CALCULO DIFERENCIAL. GRUPO D

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1 CALCULO DIFERENCIAL. GRUPO D HOJA DE PROBLEMAS 1 1. En este ejercicio se trata de dibujar el siguiente subconjunto de R 3 llamado hiperboloide de una hoja (a, b, c > 0): } V = (x, y, z) R 3 : x a + y b z c = 1 a) Estudiar los cortes de V con planos horizontales z = α. Cómo varían los cortes en función de α? Deducir que la figura es simétrica respecto al plano z = 0. b) Estudiar ahora los cortes con los planos verticales: x = 0, y = 0, y en general y = λx, observando que el resultado son hipérbolas. c) Esbozar un dibujo.. Realizar un estudio como el del ejercicio anterior para los siguientes conjuntos: (a, b, c, p > 0) (1) V = (x, y, z) R 3 : x a () V = (x, y, z) R 3 : x a (3) V = (x, y, z) R 3 : x a (4) V = (x, y, z) R 3 : x a (5) V = (x, y, z) R 3 : z c (6) V = (x, y, z) R 3 : x a (7) V = (x, y, z) R 3 : x a + y b + y b + y b y b + z c = 1} (Elipsoide) = 1} (Cilindro Elíptico) z c = 1 + x a y b + y b = 0} (Cono) = 1} (Cilindro Hiperbólico) + y b } (Hiperboloide de dos hojas) = 0} (Planos que se cortan) cz = 0} (Paraboloide elíptico) (8) V = (x, y, z) R 3 : y px = 0} (cilindro parabólico) (9) V = (x, y, z) R 3 : x a montar) y b cz = 0} (Paraboloide hiperbólico o silla de (10) V = (x, y, z) R 3 : x a = 0} (par de planos paralelos) 3. Dibujar el conjunto: M = (x, y, z) R 3 : x + y + z 4, x + y z 1} 4. Dibujar el conjunto 5. Dibujar el conjunto M = (x, y) R : (y 1)(x y) 0} M = (x, y, z) R 3 : 1 + x + y z 4} 6. Dibujar el conjunto M = (x, y, z) R 3 : (y + z 4 )(x y 1) = 0}

2 Cálculo Diferencial. Grupo D Hoja 1. Consideremos E un espacio vectorial con un producto escalar,. Probar que x, 0 = 0 para todo x E.. Si, es un producto escalar definido en un espacio vectorial E, y es la norma asociada a este producto escalar (es decir = x, x, para todo x E), demostrar que (i) (Ley del paralelogramo) x + y = x + y + x y, (ii) x + y x y x + y ; Cuando se obtiene la igualdad? (iii) (Indentidad de Polarización) 4 x, y = x + y x y, para todo x, y E. Interpretar geométricamente estos resultados en el caso de R en términos del paralelogramo formado por los vectores x e y. 3. Probar que si E es un espacio vectorial y una norma en E, entonces para todo x, y E se verifica que x y x y. 4. Comprobar que la expresión (x, y) := (x + y + xy) 1/ define una norma en R. (Indicación: está inducida por un producto escalar en R.) 5. Consideremos dos conjuntos A, B R n, siendo A abierto. Probar que el conjunto A + B = x + y : x A, y B} es abierto en R n. 6. Utilizando argumentos únicamente geométricos, justificar que R \ (0, 0)} y S = (x, y) R : xy > 1} son conjuntos abiertos en R. 7. Demostrar que todo conjunto finito de R n es un conjunto cerrado en R n. 8. Utilizando argumentos únicamente geométricos, justificar que el subconjunto de R 3, A = (x, y, z) R 3 : x + y + 1 < z } es abierto en R Prueba que toda bola cerrada en R n es un conjunto cerrado en R n. Es esto cierto en todo espacio métrico? 10. Prueba que la adherencia de cualquier bola abierta B(x, r) en R n (x R n y r > 0) es la bola cerrada B(x, r). Es esto cierto en todo espacio métrico? 11. Es el conjunto de los números racionales Q abierto o cerrado en R? 1. En un espacio métrico (M, d), denotamos por inte(c) al interior de un subconjunto C de M. Demostrar que para cualesquiera subconjuntos A, B M: (i) inte(a B) = inte(a) inte(b). (ii) inte(a B) inte(a) inte(b). Probar con un ejemplo que la inclusión puede ser estricta. (iii) A B = A B. (iv) A B A B. Probar con un ejemplo que la inclusión puede ser estricta. (iv) inte(a) es abierto, A y A son cerrados, (v) inte(a) es el mayor abierto contenido en A, (vi) A es el menor cerrado que contiene a A, (vii) inte(inte(a)) = inte(a) y A = A. 13. Decimos que un punto x A, donde A es un subconjunto de un espacio métrico (M, d) es un punto aislado de A si existe ε > 0 tal que B(x, ε) A = x}. Da un ejemplo de un subconjunto A en R con infinitos puntos de acumulación, tal que todos los puntos de A son aislados.

3 CALCULO DIFERENCIAL. GRUPO D HOJA 3 1 Determinense (usando argumentos geométricos) el interior, la adherencia, la acumulación, la frontera y los puntos aislados de los siguientes conjuntos: a) (x, y) : x y = 1} R b) (x, y) : xy 1} R c) (x, y, z) : z = x + y } R 3 d) (x, y) : x y 3 } R e) ( m n, 1 m ) : m, n Z, m, n 0} R f) (x, y, z) : x = y = z} R 3 g) (x, y, z) : x + y + z = 0, x + y 1} R 3 h) (x, y, z) : x + y 1, z < 1} R 3 Calcúlese A, siendo A = n=1a n, en los siguientes casos: a) A n = (x, y, n) R 3 : x + y 1 n } b) A n = (x, y) R : ny = x, x + y 1 n } 3 Sea A = (x, y, z) R 3 : x + y + z 1, x + y < y }. Hállense (con argumentos geométricos) su interior, su adherencia y su frontera. 4 Estúdiese la compacidad de los siguientes conjuntos: a) (x, y) R : x + y x, y x} b) n=1 (x, y) R : x + y = n 1 } c) (x 1,..., x n ) R n : n i=1 x i 1} d) (x, y) R : x + y 1} e) n N (x, y, 1 n ) : x + y 1 n } R 3 f) (x, y) : x x y 1, x > y } R g) n=1 (x, 1 n ) : 1 1 n x + 1 n } ([1, ] 0}) R

4 Cálculo Diferencial. Grupo D. Hoja 4 1. Demostrar que una sucesión en R n no puede converger a dos puntos distintos. Es esto cierto en todo espacio métrico?. Consideremos las sucesiones en R, a n } n=1 y b n } n=1, siendo a n = ( n n + 1 sin(π n), n + 1 n cos(π n) ), b n = ( ) e n, n + n n + 1 (a) Encontrar dos subsucesiones de a n } n=1 convergentes a distintos límites. (b) Estudiar si son acotadas y si son convergentes. 3. Consideremos en R la serie i=1 v i, siendo v i = ( cos(iπ) (sen i)i, ). Es esta serie convergente? Es i i absolutamente convergente? 4. Consideremos en R n una sucesión x k } convergente a un punto x. Pruébese que el conjunto x k : k N} x} es compacto. 5. Es la unión de dos compactos en R n un conjunto compacto? Es todo conjunto finito en R n un conjunto compacto? 6. (i) Se consideran los subconjuntos de R definidos como ( ) } ( 1) n+1 M 1 =, e ( 1)n n : n N (0, 0)}, n ( ( 1) n+1 M =, n cos(nπ) ) } : n N (0, 1), (0, 1)}. n n + 1 Estudiar si son acotados y si son cerrados. Son compactos? (ii) Hacer lo mismo en R 3 para el subconjunto ( n + 1 M 3 = n ( 1)n, 1 ) }, n ( 1)n : n N (1, 0, 1), ( 1, 0, 1), ( 1, 0, 1)}. 7. Probar que la frontera de un conjunto acotado en R n es siempre compacta. 8. Sea A R n un subconjunto no vacío. Se define d(x, A) := ínf x a : a A}. Demostrar que A = x X : d(x, A) = 0}. 9. Demuestra que todo conjunto infinito y acotado de R n posee al menos un punto de acumulación. (Esta es otra formulación del Teorema de Bolzano-Weirstrass). 10. En R, consideramos el conjunto A = ([0, 1] Q) }. Dar tres abiertos relativos y tres cerrados relativos de A. 11. En R, consideramos los conjuntos A = [0, 3) [0, 3) y B = ([0, 3) Q) [0, 3). Dar tres abiertos relativos y tres cerrados relativos de A y B. 1. Determinar las componentes conexas de los siguientes subconjuntos de R n : (a) [0, 1] [, 3] (en R). (b) Z (en R). (c) Q [0, 1] (en R). (d) R n \ x R n : x = 1} (en R n ). 13. Probar que en la definición de conjunto conexo por caminos siempre podemos considerar que los caminos están definidos en un intervalo prefijado [r, s] con r < s. 14. Supongamos que existen caminos continuos en R n, p 1 que une x R n con y R n y p que une y con z R n. Probar que existe un camino continuo en R n que une x con z. 15. (i) Sea p : [0, 1] R n un camino continuo en R n tal que p(0) = x R n y p(1) = y R n. Dar una expresión de un camino continuo q : [0, 1] R n, tal que q(0) = y y q(1) = x. 16. (i) Consideremos el subconjunto de R definido como A = (x, y) R : x ó y son naturales }. Hacer un dibujo aproximado de este conjunto y definir un camino continuo en A que vaya del punto (1, 1) al (4, ). Es A conexo por caminos? (ii) Consideremos la circunferencia C = (x, y) R : x + y = 1}. Para cualesquiera dos puntos v, w C, encontrar la expresión explícita de un camino continuo en C que une v con w. Hacer lo mismo para la elipse E = (x, y) R : x + y = 1} (a, b > 0). a b 17. Consideremos A i } i I una familia arbitraria de subconjuntos de R n conexos por caminos. Probar que si i I A i, entonces i I A i es conexo por caminos. 18. Demostrar que un subconjunto A de R n es conexo si y sólo si los únicos subconjuntos de A que son a la vez abiertos y cerrados relativos en A son A y. 19. Sea A R n un subconjunto no vacío, abierto y conexo. Probar que entonces A es conexo por caminos Indicación: Seleccionamos un punto a A y consideramos el subconjunto B = x A : existe un camino continuo en A que conecta a y x}. Probar que B y A \ B son abiertos.

5 CALCULO DIFERENCIAL. GRUPO D HOJA 5 1. En los siguientes casos, estúdiese si M y M \ (0, 0)} son conexos: a) M = (x, y) : x + (y + 1) 1} (0, y) : 0 y < 1} b) M = (x, y) : x Q, 0 < y 1} (x, y) : x Q, 1 y < 0} R 1} R 1} (0, 0)} c) M = (x, y) R : y = αx, x R, α R \ Q}. Estúdiese si son conexos o conexos por caminos los conjuntos: a) R \ M, siendo M numerable. b) (x, y) : 1 < 4x + 9y < 9; x 1 n, n N, n > 1} (x, y) : 1 = 4x + 9y } R. 3. Sea A un subconjunto conexo de R n que contiene más de un punto, pruébese que todos sus puntos son de acumulación. 4. Estúdiese la existencia de límite en el origen para las funciones: a) f(x, y) = exy x+1 b) f(x, y) = y x sin(x + y ) c) f(x, y) = sin(x +y ) x +y d) f(x, y) = (x + y) sin 1 x sin 1 y e) f(x, y) = x y x +y f) f(x, y) = x y x y +(x y) g) f(x, y) = x4 y x 4 +y h) f(x, y) = 1 4 x sin xy i) f(x, y) = x3 x +y j) f(x, y) = x y 1/ log(x + y ) k) f(x, y) = exy 1 x l) f(x, y) = y x sin(x + y ) x y m) f(x, y) = n) f(x, y) = (y x) (x +y ) 1/ y 4 +x o) f(x, y) = sin(x y) p) f(x, y, z) = xy z (x +y ) 1/ x +y +z q) f(x, y) = x +y sin xy r) f(x, y) = x y log(x + y ) 5. Estúdiese la existencia del limíte en (1, 1) de las siguientes funciones : ( e xy y+x 1 (x 1) ) (y + 1) F (x, y) =, x (x 1) + (y + 1) ( x x + 1 G(x, y) = (x 1) + (y + 1), sen((x 1) + (y + 1) ) ) (x 1) + (y + 1) 7. Determinar, si existen, los limites iterados y el límite doble en (0,0) de la función: f(x, y) = (xy) (xy) + (x y). 8. Comprobar si existe lim (x,y) (0,0) f(x, y), donde f(x, y) = sin y y(x +1) si y 0 0 si y = 0

6 9. Sea f : R xy R, definida por f(x, y) = xy + x y 4 si (x, y) (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) Calcúlense, si existen, los límites reiterados en (0, 0). Es f continua en (0, 0)? 10. Sea f(x, y) = y x3 y +x 6 sin(y x 3 ) cos(xy) si (x, y) (0, 0); f(0, 0) = 1. Estúdiese la continuidad en el origen. 11. Sea f(x, y) = xp y q x +y xy con p, q 0. Discutir la existencia de lim (x,y) (0,0) f(x, y) en función de los valores de p y q. 1. a) Sea f : R n R m continua. Pruébese que G f = (x, f(x)) : x R n } es cerrado en R n+m. b) Sea f : R [0, 1]. Pruébese que si G f es cerrado en R, entonces f es continua. 13. Pruébese que la función definida en R por: f(x, y) = no es continua en (0, 0). y 5 +x 3 +x +x y 5 +x 3 +x x si y 5 + x 3 + x x 0 1 si y 5 + x 3 + x x = Estúdiese la continuidad de las siguientes funciones: a) f(x, y) = (x + y) cos 1 x + y si x + y 0 f(x, y) = 0 si x + y = 0 b) f(x, y) = 1 x + y si x + y 0 f(x, y) = 0 si x + y = 0 c) f(x, y) = x + y (x + y ) 1 si (x, y) (0, 0) f(0, 0) = 0 d) f(x, y) = 1 cos x + y x + y si (x, y) (0, 0) f(0, 0) = 0 e) f(x, y) = xy x y x + y si (x, y) (0, 0) f(0, 0) = 0 f) f(x, y) = 1 x y e 1 x +y si x y f(x, y) = 0 si x = y

7 CALCULO DIFERENCIAL. GRUPO D HOJA DE PROBLEMAS 6 1. Dar la definición de lim (x,y) f(x, y) para una función f de dos variables, de forma análoga al caso de funciones de una variable, así como una caracterización de estos lí mites a través de sucesiones. Estudiar la existencia de los límites siguientes: cos(x + y) (y x ) log(1 + x + y ) a) lim (x,y) e x + e y b) lim (x,y) 1 + sin x c) lim (x + +y 3 x cos(y x 3 ) y)ex d) lim (x,y) (x,y) x + y 4 e) lim (x,y) (x + y )e (x +y ). Estúdiese la continuidad uniforme de las siguientes funciones: a) f : R R f(t) = ( ) t, t 1 + t 4 b) f : R R f(x, y) = xy 3. Estúdiese la continuidad uniforme de f en M en los siguientes casos: ( ) x y x +y, sin(x +y ) x +y a) f(x, y) = en M = (x, y) : y < x < 4x y } ( ) x b) f(x, y) = x +y 1, x y log(x + y ) M = (x, y) : x < x + y < x} c) f(x, y) = y x sin(x + y ) M = (x, y) : 0 < y < x < 1} 4. Se considera el conjunto: A = (x, y) R : y 1 < x < 1 y, y [ 1, 1]} \ (0, 0)} a) Se considera f : A R definida por f(x, y) = xy tan(x +y ) x +y. Pruébese que f es continua. b) Existe g : A R continua tal que la restricción de g a A sea f? d) Es f uniformemente continua? 5. Sea la función f(x, y) = a) Estúdiese si f es continua en (0, 0). x 4 y x 8 +y si (x, y) (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0)

8 b) Sea M = (x, y) R : 0 y x 5 1}. Es f restringida a M uniformemente continua? c) Es f(m) compacto? 6. Sea M = (x, ( y) R : 1 ) x + y y } y sea f : M R definida por y f(x, y) = x +y, sin(x + y) si (x, y) (0, 0), (x, y) M (0, 0) si (x, y) = (0, 0) a) Pruébese que M es compacto. b) Estúdiese la continuidad y continuidad uniforme de f en M. c) Es f(m) compacto? 7. Se consideran el conjunto D = (x, y) R : 0 < x +y < 1} y la función f : D R definida por f(x, y) = xy. Estúdiese si f es uniformemente continua. x +y 8. Pruébese el siguiente Teorema: Si F R n es un conjunto cerrado no acotado y f : F R es una función continua que verifica que lim f(x) = a, a R, x + entonces f es uniformemente continua en F. 9. Estúdiese la continuidad uniforme de la función f(x, y) = (x + y )e (x+y) en el conjunto M = (x, y) R : x > 0, y > 0}. Es f uniformemente continua en R?

9 CALCULO DIFERENCIAL. GRUPO D. HOJA DE PROBLEMAS 7 1. Calcúlense las derivadas direccionales de las funciones siguientes en los puntos y direcciones indicados: a) f(x, y) = e x cos(πy) en el punto (0, 1); dirección ( 1 5, 5 ) b) f(x, y, z) = e x + yz, en el punto (1,1,1); dirección ( 1 3, 1 3, 1 3 ). Calcúlese la matriz Jacobiana en los puntos que se indican de las funciones siguientes: f(t) = (tan t, sin t, e t ) en t = 0; f(u, v) = (u v 3, u 3 v, u 4 v ) en (u, v) = (1, ); f(x, y) = (e x + sin y, x cos y) en (x, y) = (π, π/); f(x, y, z) = e x +y +z 3 en (x, y, z) = (0, 0, 0); f(x, y, z) = (x 4 y cos z, xe z ) en (x, y, z) = (π/, 0, 0); f(x, y) = (sin x + log(1 + y ), cos(xy)) en (x, y) = (π, 0). 3. Son tangentes las gráficas de las funciones f(x, y) = x + y y g(x, y) = x y + xy 3 en el punto (0, 0)? 4. Sea γ : R R n una curva diferenciable con γ (t) 0, t R. Sea p R n un punto que no pertenezca a γ(r). Supongamos que existe q = γ(t 0 ) el punto de la curva más cercano a p. Demuéstrese que el vector p q es ortogonal a la curva en q. 5. Sean f, g : R R n dos curvas diferenciables con f (t) 0, g (t) 0, t R. Supongamos que existen p = f(s 0 ) y q = g(t 0 ) tales que p q f(s) g(t), t, s R. Pruébese que p q es un vector ortogonal a las curvas f y g en p y q respectivamente. 6. Calcúlese la derivada direccional de la función f(x, y, z) = x y + xy z zx en el punto (1,3,) según la dirección del vector (,, 0). En qué dirección es máxima la derivada direccional? Cuál es el valor de la derivada direccional máxima? x 7. Sea f : R y 4 R, definida por: f(x, y) = x 4 +y si (x, y) (0, 0) 6 Estúdiese la 0 si (x, y) = (0, 0) existencia de derivadas direccionales y la diferenciabilidad de f en R.

10 8. Estúdiese la diferenciabilidad en (0, 0) de las siguiente funciones: (i) f(x, y) = exy definida en el abierto U = (x, y) x+1 R : x 1}. (ii) f(x, y) = (iv) f(x, y) = sin(x +y ) (x, y) (0, 0) x +y, (iii) f(x, y) = 1, (x, y) = (0, 0) x 4 y (x, y) (0, 0) x 4 +y 4, (v) f(x, y) = 0, (x, y) = (0, 0) x y x +y (x, y) (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0), x 3 x +y (x, y) (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0), (vi) f(x, y) = (x + y) sin 1 cos 1 x 0, y 0 x y, 0, x = 0 ó y = 0 (vii) f(x, y) = (viii) f(x, y) = (x) f(x, y) = (xiii) f(x, y, z) = 1 e xy 1 sin(xy), x 0 x, (ix) f(x, y) = 0, x = 0, x 0 x, (xii) f(x, y) = 0, x = 0 xy z x y x y +(x y) (x, y) (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0), x y 1/ log(x + y ) (x, y) (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0), x y x +y (x, y) (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0),, (x, y, z) (0, 0, 0) x +y +z, (xiv) f(x, y) = 0, (x, y, z) = (0, 0, 0) x y log(x + y ) (x, y) (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0),

11 CALCULO DIFERENCIAL. GRUPO D HOJA DE PROBLEMAS 8 1. Calcúlese la diferencial en el punto (0, 0, 0) de la función: f(x, y, z) = xy z (t + 1)e t dt. Sean n un número natural y f : R R la función definida por: (x + y) n 1 cos si (x, y) (0, 0) f(x, y) = (x +y ) 1 0 si (x, y) = (0, 0) Encontrar los números naturales n para los que: a) f sea continua; b) f sea diferenciable; c) f tenga derivadas parciales continuas. 3. Sea f(x, y, z) = x z x +y +z sin(x y), si (x, y, z) R 3 \0}. Qué valor habría que dar a f(0, 0, 0), para que f fuese continua en todo R 3? Es en este caso f diferenciable? 4. Sean g(t) = (t, t) y f(x, y) = xy x +y si (x, y) (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) a) Pruébese que f admite derivadas parciales en (0, 0) y calcúlense. b) Pruébese que f g es diferenciable. c) Compruébese que (f g) (0) < f(0, 0), g (0) >. 5. Sean f(x, y) = xy sin x y si y 0 0 si y = 0 y g(x, y) = 1 π ex+y + x 0 t dt (1 + t 4 ) 1 a) Pruébese que F (x, y) = (f(x, y), g(x, y)) es diferenciable en (0, 0) y (0, r). b) Dedúzcase que G = F F es diferenciable en (0, 0) y calcúlese DG(0, 0). 6. En los siguientes casos, estúdiese si f es diferenciable y si es de clase C 1 : a) f(x, y) = x sin y x +y si (x, y) (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) b) f(x, y) = log(1+x y ) x +y si (x, y) (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) 7. Sea f(x, y, z) = (e xz + x 1, z + ae y ), y g(u, v) = v + usen 1 u +v, g(0, 0) = 0. a) Estúdiese la diferenciabilidad de f y g. b) Para qué valores de a puede asegurarse, utilizando la regla de la cadena, que g f es diferenciable en (0, 0, 0)? Calcúlese, en ese caso, D(g f)(0, 0, 0).

12 CALCULO DIFERENCIAL. GRUPO D HOJA DE PROBLEMAS 9 1. Sea f : R R definida por f(x, y) = y +sin x y +x si (x, y) (0, 0), f(0, 0) = 1. Estúdiese si f es diferenciable en el origen.. Calcúlese la matriz jacobiana de las siguientes transformaciones: a) f(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ) b) f(ρ, θ, ϕ) = (ρ cos θ cos ϕ, ρ cos θ sin ϕ, ρ sin θ) c) f(x, y) = (e x + e y, e x e y ) d) f(x, y, z) = (x + y, y + z, z + x ) 3. Calcúlese h x, siendo h(x, y) = f(u(x, y), v(x, y)), y f(u, v) = u + v u v, u(x, y) = e x y, v(x, y) = e xy, (a) utilizando la regla de la cadena; (b) directamente. 4. Sea f : R n R de clase C 1 y sean a, b R n tales que f(a) = f(b). Existe x [a, b] tal que Df(x) = 0? 5. Sea F : R R, definida por F (x, y) = (f(x, y), g(x, y)), en donde f(x, y) = y sin(x/y) si y 0; f(x, 0) = 0, y g es diferenciable en (0,0), verificándose: g(0, 0) = 0, D u g(0, 0) = 1, D v g(0, 0) = 0, siendo u y v los vectores ( 1 1, ) y ( 1 1, ), respectivamente. a) Calcúlese g(0, 0). b) Estúdiese la diferenciabilidad de F en (0,0). c) Demuéstrese que la función G = (F F ) + F de R en R es diferenciable en (0, 0) y calcúlese DG(0, 0). d) Demuéstrese que f x y (0, 0) f y x (0, 0). 6. Se cumple el Teorema de Schwarz sobre las parciales cruzadas para la siguiente función? f(x, y) = xy x y x + y si (x, y) (0, 0) f(0, 0) = (0, 0) 7. Calcúlese el Polinomio de Taylor de grado menor o igual que 3 para las siguientes funciones en los puntos que se indica: a) f(x, y) = e (x 1) cos y en (1, 0), b) f(x, y) = x sin y + y sin x en (0, 0). c) f(x, y) = xy en (0, 0), d) f(x, y) = log(x + y) en (1, 1). e) f(x, y) = 1 x +y +1 en (0, 0), f) f(x, y) = y x 3 en (1, 1) 8. Consideremos la función f(x, y) = y x definida en el conjunto A = (x, y) R : y > 0} (en el que f es de clase C ). Encuéntrese un polinomio P (x, y) en dos variables, de grado menor o igual que 3, tal que lim (x,y) (0,1) f(x, y) P (x, y) = 0. (x + (y 1) ) 3/

13 9. (i) Si f, g, h : R R son funciones diferenciables y definimos V : R R, V (x, y) = f(x g(x, y), e 3y + h(x, y)), Es V diferenciable en R? Si es así, calcula las parciales de V (en términos de las parciales de f, g, h). (ii) Supongamos que f, g, h son de clase C (R ), Es V de clase C (R )? Si es así, calcula las parciales de orden dos de V (en términos de las parciales de f, g, h).

14 CALCULO DIFERENCIAL. GRUPO D HOJA DE PROBLEMAS Estúdiense los puntos críticos, máximos y mínimos relativos de las siguientes funciones: a) f(x, y) = x x y, b) f(x, y) = x y + xy, c) f(x, y) = x + y + 3xy, d) f(x, y) = y x 3, e) f(x, y) = x 3 + y 3 3axy, f) f(x, y) = sen(x + y ), g) f(x, y) = xye x+y, h) f(x, y) = e 1+x y, i) f(x, y, z) = x + y z, j) f(x, y, z) = x + y + z x + yz.. Decidir si existen máximo y/o mínimo absolutos de las siguientes funciones en los conjuntos que se indican y calcularlos en caso afirmativo. a) f(x, y) = x x y, en K = (x, y) R : (x, y) 1}. b) f(x, y) = sen(xy), en K = (x, y) R : (x, y) 1}. 3. Decidir si existen máximo y/o mínimo absolutos de las siguientes funciones en los conjuntos que se indican y calcularlos en caso afirmativo. a) f(x, y) = 4x + y 4x 3y en K = y 0, 4x + y 4}. b) f(x, y) = (x + y)e (x +y ) en R. 4. Sea f(x, y) = (y 3x )(y x ) a) Pruébese que (0,0) es un punto crítico de f. b) Pruébese que f tiene un mínimo relativo en (0,0) sobre cada recta que pasa por (0,0). c) Pruébese que (0,0) no es un mínimo relativo de f. 5. Encuéntrense los puntos (x, y) R y las direcciones para las que la derivada direccional de f(x, y) = 3x + y alcanza el máximo valor, suponiendo que (x, y) verifica x + y Sea D un abierto acotado de R n, y sea f : D R una función continua, diferenciable en D. Si f se anula en la frontera de D, demuéstrese que existe al menos un punto a D tal que Df(a) = Hállese la ecuación del plano que pasa por (1, 1, ) y determina con los ejes de coordenadas un tetraedro de volumen mínimo (no nulo). (El volumen de un tetraedro es Bh/3 siendo B el área de la base y h la altura). 8. Sean f(x, y) = e ax+y + bsen(x + y ) a) Determínense los valores de los parámetros a y b para que f tenga un extremo relativo en (0, 0), y que el polinomio de Taylor de grado de f en el origen toma el valor 6 en el punto (1, ). b) Con los resultados obtenidos en (a), qué clase de extremo es el punto (0, 0) para f? 9. Sea f(x, y) = a[xy + y + yx + cos(x + y)] + x (a y). Discútase la existencia de extremos relativos en el origen, según los valores de a. 10. Hallar los extremos absolutos, si existen, de la función f(x, y) = (ax + by )e (x +y ), siendo a, b > 0.

15 CALCULO DIFERENCIAL. GRUPO D HOJA DE PROBLEMAS 11 ( ) 1. Estúdiese si la función f(x, y) = x y xy x +y, x +y tiene inversa en algún abierto que contiene al punto (0, 1).. Pruébese que la función f(x, y, z) = (z cos(xy), z sin(xy), x + z) admite una inversa local g de clase infinito en algún abierto que contiene al punto (x, y, z) = (1, 0, 1); calculese Dg(f(1, 0, 1)). 3. Pruébese que la función f(x, y) = (e x cos y, e x sin y) admite una inversa local de clase infinito en un entorno de cada punto. Comprobar que, sin embargo, f no admite una inversa global. 4. Sea ϕ(r, θ) = (rcosθ, rsenθ). Pruébese que ϕ admite una inversa local de clase C en un entorno de cada punto (r, θ) con r > 0. Calcúlese una inversa de ϕ en el conjunto A = (x, y) R, x > 0, y > 0}. 5. Sea g : R 3 R 3 definida por g(x, y, z) = (e y + e z, e x e z, x y) a) Pruébese que g admite inversa de clase C en un entorno de cada punto. b) Admite g inversa global? 6. Sea f : R 5 R definida por f(x, y, z, u, v) = (u + v + x y + z, u + v + u xyz) Pruébese que el sistema de ecuaciones f = 0 define, en un entorno de (0, 0, 0, 1, 1 ), una función implícita de clase infinito (u, v) = (h 1 (x, y, z), h (x, y, z)) = h(x, y, z) y calculese Dh(0, 0, 0). 7. Sea h : R R la función definida por h(x, y) = x 3 + y 3 + x + xy + ay siendo a 0 un parámetro real. a) Consideremos la ecuación h(x, y) = 0. Se puede obtener y como función implícita de clase C de x, en un entorno de (0, 0)? b) Sea y = f(x) la función implícita determinada por h(x, y) = 0, definida en un cierto abierto U con 0 U. Calcúlese el valor de a para que el polinomio de Taylor de segundo grado de f en el origen valga 1 en el punto x = 1. Para qué valores de a tiene f un extremo en x = 0? c) Sea F : U R R la función F (x, y) = (e x+y + x 1, f(x) + y cos x). Demuéstrese que F admite función inversa diferenciable en un entorno de (0, 0) y que G = F F + F 1 es diferenciable en (0, 0) y calculese DG(0, 0). 8. Calcúlese el desarrollo de Taylor hasta el orden de la función z = f(x, y) de clase infinito, definida implícitamente por x + y + z 4 8xz z + 8 = 0 en un entorno de (, 0, 1). 9. Definimos f : B(0, 1) R n como f(x) = x 1 x 1... x n. Pruébese que es f es un C -difeomorfismo de B(0, 1) en R n.

16 10. Demuéstrese que las ecuaciones: x y + uv = 0, xy + u v = 0, definen funciones implícitas de clase C, u(x, y), v(x, y), en un entorno del punto (x, y, u, v) = (0, 1, 1, 1). Considérese ahora la función: ϕ(x, y) = (u(x, y), v(x, y)), definida en un entorno de (0, 1). a) Calcúlese Dϕ(0, 1). Admite ϕ inversa local alrededor de (0, 1)? b) Calcúlese la derivada direccional de ϕ 1 en (1, 1), según la dirección ( 1, 1 ). c) Si γ(t) = (t, t ), cuánto vale (ϕ 1 γ) (1)? 11. Consideremos la función f : R R definida por f(x) = x + x sin 1 x para x 0 y f(0) = 0. Probar que f (0) 0 y que f no es localmente invertible en ningún abierto que contenga al punto 0. Por qué no contradice esto el teorema de la función inversa? 1. Utilizando el teorema del punto fijo para aplicaciones contractivas, demostrar que el sistema de ecuaciones x = 1 4 sin(x + y) + 1 3, y = 1 4 sin(x y) tiene solución única para x 1, y 1.

17 CALCULO DIFERENCIAL. GRUPO D HOJA DE PROBLEMAS 1 1 Demuéstrese que las ecuaciones x y + xyz 11 = 0, x 3 + y 3 + z 3 xyz 30 = 0; definen una variedad de clase C y dimensión 1 en R 3, en un entorno del punto (3,, 1). Hallense las ecuaciones de la recta tangente y del plano normal a la variedad en dicho punto. Demuéstrese que las ecuaciones: x + y + z + u v 1 = 6, xy + z u + v 1 =, yz + xz + u + v = ; definen una variedad en R 5 de clase C en un entorno de (1,1,1,1,-1). Determínese su dimensión y calcúlese el espacio tangente y normal en (1,1,1,1,-1). 3 Calcúlense las tangentes a las curvas siguientes en los puntos indicados: ϕ(t) = (t sin t, 1 cos t) en t = π/, t = π/4 y t = 1; ϕ(t) = (1 + t 3, 1 + t 3 ) en t = 0 y t = 1. 4 Calcúlense las tangentes a las curvas siguientes en los siguientes puntos: xyz = 1, y = z en (1, 1, 1); xy + z = 1, x + y = 0 en (0, 0, 1). 5 Sea M = (x, y, z) R 3 : (x + y) z = 16} (cilindro hiperbólico). a) Demuéstrese que M es una variedad. b) Sea f(x, y, z) = x + y + z. Calcúlense, si existen, los extremos absolutos de f en M. 6 Indíquese en qué puntos las ecuaciones dadas definen variedades diferenciables de dimensión en R 3 y calcúlense el plano tangente y la recta normal en los puntos que se indican: z = x + y en (1, 0, 1); z 3 = x + y en (0, 1, 1); z = x + y en x (1,, 5); 16 + y 9 z 8 = 0 en (4, 3, 4). 7 Hállense en la superficie x + y z x = 0 los puntos en que los planos tangentes a ella sean paralelos a los planos coordenados. 8 Calcúlese el plano tangente a la superficie: x = r cos t, y = r sin t, z = t en el punto correspondiente a r = 1, t = π. 9 Hállense los planos tangentes a la superficie x + y + 3z = 1, paralelos al plano x + 4y + 6z = Estúdiense los extremos absolutos de las siguientes funciones con las condiciones que se indican: a)f(x, y, z) = x y + z; x + y + z = b)f(x, y) = x; x + y = 3 c)f(x, y, z) = x +y +z ; x xy+y z = 1 d)f(x, y) = 3x+y; x +3y = 3 e)f(x, y, z) = x + y + z; x y = 1; x + z = 1 f)f(x, y) = x y; x y = 11 Calcúlese la distancia de los siguientes conjuntos al origen de coordenadas: A = (x, y, z); x +y = 1; x+y+z = 1}; B = (x, y, z); x +y z = 1; x+y+z = 1} 1 Calcúlense los extremos absolutos de la función f(x, y) = (x y) n, con la condición x + y = 1 (n 1).

18 13 Sea f(x, y, z) = x + y + z + x + y + z. a) Pruébese que el conjunto M = (x, y, z) R 3 ; x + y + z 4; ; z 1} es compacto. b) Calcúlense los puntos de máximo y mínimo absoluto de f sobre M. 14 Estúdiense los extremos absolutos de la función f(x, y, z) = xyz 3 sobre la porción de esfera x + y + z = 5r en la que x 0, y 0, z Se considera la función f(x, y, z) = x + y + z. Calcúlense los extremos absolutos de f sobre el compacto K = (x, y, z) : x + y z 6, 0 z } 16 Demuéstrese que el volumen máximo de un paralelepípedo rectangular (con lados paralelos a los planos coordenados) inscrito en el elipsoide x a + y b + z c = 1, es 8abc 3 3 (a, b, c > 0).