Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables

Transcripción

1 Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.1. Límites en R n. Noción de continuidad Derivación. Derivadas parciales y gradiente Cambios de coordenadas. Regla de la cadena Derivadas de orden superior Fórmula de Taylor Máximos y mínimos. Extremos condicionales. Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 1 / 57

2 2.1. Límites y continuidad Para definir las nociones de ĺımite y de continuidad en R n, debemos primero definir el concepto de conjunto abierto. Para ello, utilizaremos la noción de bola. Recordamos la notación d para la distancia eucĺıdea en R n. Definición. (Bolas abiertas y cerradas) Sea un punto x 0 R n, y un número r 0. La bola abierta (eucĺıdea) centrada en x 0 y de radio r es el conjunto denotado por B r (x 0 ) y definido como sigue: B r (x 0 ) = {x R n : d(x, x 0 ) < r}. (Recordemos que d(x, x 0 ) = x x 0.) La bola cerrada centrada en x 0 y de radio r, denotada B r (x 0 ), se define de modo similar pero con d(x, x 0 ) r en vez de d(x, x 0 ) < r. Normalmente usaremos el término bola para referirnos a bola abierta. Definición. (Frontera de una bola) La frontera (o borde) de la bola B r (x 0 ) es el conjunto {x R n : d(x, x 0 ) = r}, denotado por B r (x 0 ). Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.1. Límites y continuidad 2 / 57

3 2.1. Límites y continuidad Representaciones geométricas: Ahora podemos definir el concepto importante siguiente: Definición. (Conjunto abierto) Un conjunto U R n es un conjunto abierto si para todo x U existe una bola abierta B r (x) de radio positivo tal que B r (x) U. (Una abreviación habitual de un conjunto abierto es un abierto.) Visualización: Para cualquier punto x U, existe algún r > 0 suficientemente pequeño para que la bola B r (x) esté incluida en U. Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.1. Límites y continuidad 3 / 57

4 2.1. Límites y continuidad Ejemplos: i) Toda bola eucĺıdea en R n es un abierto. Prueba. Sea B r (x 0 ) una bola cualquiera, y sea x un punto cualquiera en B r (x 0 ). Sea d = r x x 0 > 0. Vamos a usar la desigualdad triangular para demostrar que B d/2 (x) B r (x 0 ). Para todo y B d/2 (x), tenemos y x 0 y x + x x 0 < d/2+ x x 0 r/2 x x 0 /2+ x x 0, luego y x 0 < r/2 + x x 0 /2 r, luego y B r (x 0 ). Un argumento similar demuestra que, más generalmente, una bola a la cual se retira un conjunto finito de puntos también es un abierto. (ejercicio) ii) El conjunto A = {(x, y) R 2 : x > 0} es abierto. En efecto, para todo x = (x 1, x 2 ) A, nótese que la bola B x1 /2(x) está incluida en A. iii) Sea D = {(x, y) R 2 : x = y}. Este conjunto no es abierto. De hecho, cualquier bola de radio positivo centrada en un punto de D contiene puntos del complemento de D. Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.1. Límites y continuidad 4 / 57

5 2.1. Límites y continuidad Con el concepto de conjunto abierto podemos definir varios otros conceptos importantes. Definición. (Conjunto cerrado) Un conjunto V R n es un conjunto cerrado si su complemento R n \ V es un abierto. Definición. (Interior) Sea U R n. El interior de U, denotado por Ů, es el más grande de los conjuntos abiertos incluidos en U. Más precisamente, el conjunto Ů se define por la propiedad de maximalidad siguiente: si V es abierto y V U, entonces V Ů. En particular, si U es abierto entonces Ů = U. Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.1. Límites y continuidad 5 / 57

6 2.1. Límites y continuidad Definición. (Clausura topológica) Sea U R n. La clausura (o adherencia) de U es el conjunto mínimo entre los conjuntos cerrados que incluyen a U, y se denota por U. Más precisamente, el conjunto U se define por la propiedad de minimalidad siguiente: si V es cerrado y V U, entonces V U. En particular, si U es cerrado entonces U = U. Podemos ahora generalizar la noción de frontera. Definición. (Frontera) Sea U R n. La frontera de U, denotada por U, es el conjunto U (R n \ U). Ejemplo: para una bola B r (x 0 ), el complemento R n \ B r (x 0 ) = {x R n : d(x, x 0 ) r} es un cerrado, luego este complemento es igual a su adherencia. Por otro lado, se puede ver que el complemento de la bola cerrada B r (x 0 ) es un abierto. Por tanto, la bola cerrada es efectivamente un conjunto cerrado (y por ello también es igual a su adherencia). Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.1. Límites y continuidad 6 / 57

7 2.1. Límites y continuidad Tenemos por lo tanto B r (x 0 ) = {x R n : d(x, x 0 ) r} {x R n : d(x, x 0 ) r} = {x R n : d(x, x 0 ) = r}. De modo que la frontera de la bola es efectivamente su borde ( había que asegurarse de esto!). Vamos a definir dos conceptos más. Definición. (Conjunto acotado) Un conjunto U R n se dice acotado si existe una bola B r (x 0 ) tal que U B r (x 0 ). Con esto podemos definir la importante noción de compacidad en R n. Definición. (Conjunto compacto) Un conjunto U R n se dice compacto si es cerrado y acotado. (Hay una definición más general de la compacidad, que dice lo siguiente: un conjunto U es compacto si, para toda colección de abiertos cuya unión incluye a U, existe una subcolección finita que también incluye a U. En R n las dos definiciones son equivalentes (Teorema de Heine-Borel).) Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.1. Límites y continuidad 7 / 57

8 2.1. Límites y continuidad La noción de compacidad, y la de conjunto cerrado más generalmente, son muy importantes, en particular por su relación con el concepto de ĺımite de una sucesión, que vamos a ver a continuación. Definición. (Sucesión) Una sucesión en R n es un conjunto ordenado de puntos {x i : i N} R n. Se suele denotar una sucesión por (x i ) o por {x i } i. Definición. (Sucesión convergente y ĺımite) Una sucesión (x i ) en R n es convergente hacia l R n si se verifica lo siguiente: δ > 0 existe N N tal que si i > N entonces x i B δ (l). El enunciado (x i ) converge hacia l se suele escribir también x i l cuando i. El elemento l se llama el ĺımite de la sucesión (x i ). Nótese: esta noción generaliza la noción de convergencia ya vista para sucesiones en R; lo hace remplazando el valor absoluto sobre R por la distancia eucĺıdea sobre R n. Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.1. Límites y continuidad 8 / 57

9 2.1. Límites y continuidad Acerca de los ĺımites, tenemos a continuación dos teoremas importantes. Teorema. (Caracterización de cerrados por sucesiones) Un conjunto U R n es cerrado si y sólo si se da lo siguiente: para toda sucesión (x i ) incluida en U (es decir que x i U para todo i) y convergente, su ĺımite también está en U. Para el teorema siguiente, necesitamos la noción de subsucesión. Una subsucesión de una sucesión (x i ) es una sucesión (y m ) tal que para cada m N tenemos y m = x im, donde la sucesión de enteros positivos i m es creciente. (Por ejemplo, si x i = i, la subsucesión y m con i m = 2m es la sucesión de los enteros positivos pares.) Teorema de Bolzano-Weierstrass Sea (x i ) una sucesión en R n incluida en un conjunto acotado. Entonces, existe una subsucesión de (x i ) que es convergente. En particular, si (x i ) está incluida en un conjunto compacto K, entonces tiene una subsucesión (y m ) convergente hacia un ĺımite l y además l K. Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.1. Límites y continuidad 9 / 57

10 2.1. Límites y continuidad Observación: Usando la definición misma de convergencia, se puede ver lo siguiente: una sucesión (x i ) en R n converge hacia l si y sólo si la sucesión de reales positivos d(x i, l) converge hacia 0. Por otro lado, dada la fórmula de la distancia eucĺıdea en R n, a saber d(x i, l) = ( x i (1) l(1) x i (n) l(n) 2) 1/2, podemos ver que d(x i, l) 0 si y sólo si se tiene convergencia hacia 0 de cada sucesión x i (j) l(j), j = 1,..., n. Obtenemos así la observación siguiente: (x i l en R n cuando i ) ( j [1, n], x i (j) l(j) en R, i ). Ejemplo: Converge en R 2 la sucesión (x k ) con x k = ( k, cos(πk))? Usando la observación, vemos que la respuesta es negativa, porque la sucesión en la segunda coordenada, (cos(πk)), no es convergente en R. Ahora bien, la sucesión (x k ) está incluida en el conjunto compacto [1, 2] [ 1, 1], luego, por el teorema de Bolzano-Weierstrass, existe una subsucesión de (x k ) que converge. Por ejemplo, puesto que para todo entero k par tenemos cos(πk) = 1, podemos ver que la subsucesión correspondiente a índices k pares converge, hacia (1, 1). Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.1. Límites y continuidad 10 / 57

11 2.1.1 Límites de funciones El siguiente paso consiste en definir la noción de ĺımite de una función f : U R n cuando el argumento (o variable) de la función converge hacia un punto. Recordemos como lo hacemos en el caso de R. En este caso lim x x0 f (x) = b significa esto: ɛ > 0, δ > 0 tal que si 0 < x x 0 < δ entonces f (x) b < ɛ. Nótese que se puede tener lim x x0 f (x) = b incluso en casos en que f (x 0 ) b, o incluso en casos en que f no esté ni definida en x 0. La generalización desde R a R n del concepto de ĺımite de una función consiste simplemente en generalizar el valor absoluto a la norma eucĺıdea. Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.1. Límites y continuidad 11 / 57

12 Definición. (Límite de una función en un punto) Sea U un conjunto abierto en R n, sea f : U R m una función, y sea x 0 U. Decimos que f tiene ĺımite l en x 0, y escribimos lim x x0 f (x) = l, si se da lo siguiente: ɛ > 0, δ > 0 tal que para todo x U con 0 < x x 0 < δ, tenemos f (x) l < ɛ. Representación gráfica: Por qué pedimos que U sea abierto? Esto hace que, para todo δ > 0, la condición 0 < x x 0 < δ en la definición se cumpla para al menos un punto x U \ {x 0 }, es decir, que existan puntos de U arbitrariamente cercanos a x 0 pero distintos de x 0. Esto permite por ejemplo que se dé el caso lim x x0 f (x) = l incluso cuando f (x 0 ) l. Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.1. Límites y continuidad 12 / 57

13 2.1.1 Límites de funciones El concepto de ĺımite de funciones sobre R n se puede definir de forma equivalente usando sucesiones: tenemos lim x x0 f (x) = l si y sólo si para toda sucesión (x i ) que converge hacia x 0, la sucesión f (x i ) converge a l. Esta definición implica en particular lo siguiente: supongamos que existe el ĺımite lim x x0 f (x) = l, y sean (x i ), (y i ) dos sucesiones cualesquiera que convergen hacia x 0 ; si f (x i ) c y f (y i ) c, i, entonces se debe dar c = c = l. Nótese: esto nos da un criterio para reconocer si una función tiene ĺımite en un punto. Es decir, si encontramos dos sucesiones (x i ), (y i ) convergentes hacia x 0, y tenemos f (x i ) c, f (y i ) c, y c c, entonces f no tiene ĺımite definido en x 0. Resumiendo: el ĺımite de f en un punto, si existe, es único. Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.1. Límites y continuidad 13 / 57

14 2.1.1 Límites de funciones Veamos cómo se comporta la operación de ĺımite respecto a otras operaciones habituales con funciones. Sean f, g : U R n R m. Entonces tenemos: i) (lim x x0 f (x) = a, y lim x x0 g(x) = b) lim x x0 (f + g)(x) = a + b. ii) (lim x x0 f (x) = a, y λ R) lim x x0 (λf )(x) = λ a. iii) (m = 1, lim x x0 f (x) = a, y lim x x0 g(x) = b) lim x x0 (f g)(x) = a b. iv) (m = 1, y lim x x0 f (x) = a 0) lim x x0 1/f (x) = 1/a. v) lim x x0 f (x) = l si y sólo lim x x0 f j (x) = l j para cada j [m]. Añadimos una propiedad destacada, a saber la propiedad de composición: Sea una función f : U R n R m y otra función g : f (U) R m R s. Si lim x x0 f (x) = b y lim y b g(y) = c, entonces lim x x0 g(f (x)) = c. Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.1. Límites y continuidad 14 / 57

15 2.1.2 Funciones continuas Definición (Continuidad en un punto y en un dominio abierto en R n ) Sea U un abierto en R n, sea f : U R m, y sea x 0 U. Decimos que f es continua en x 0 si lim x x0 f (x) existe y es igual a f (x 0 ). Decimos que f es continua en U si es continua en todo punto x 0 U. (Cuando el dominio U está claro por el contexto, se puede decir f es continua en vez de f es continua en U.) Las propiedades de los ĺımites implican propiedades similares para las funciones continuas. Por ejemplo, la suma de dos funciones continuas R n R m es continua, etc.. Ejemplo: sea f : R 2 R 2, (x, y) ( x 2 y, (y + x 3 )/(1 + x 2 ) ). Veamos, usando las propiedades mencionadas arriba, que f es continua. Basta ver que los componentes (x, y) x 2 y, (x, y) (y + x 3 )/(1 + x 2 ) son funciones continuas. El primer componente es producto de funciones continuas x, x, y. Para el segundo componente, observar primero que 1 + x 2 es continua y no nula para todo x, luego 1/(1 + x 2 ) es continua. Finalmente, como y + x 3 también es continua, obtenemos que el producto (y + x 3 )/(1 + x 2 ) = (y + x 3 ) 1/(1 + x 2 ) es una función continua. Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.1. Límites y continuidad 15 / 57

16 2.1.2 Funciones continuas Ejemplo: sea f : R 2 R, (x, y) sin(x2 +y 2 ). Hallar, si existe, x 2 +y 2 lim (x,y) (0,0) f (x, y) (nótese que f no está definida en (0, 0)). Recordamos que, usando la regla de l Hôpital, tenemos lim r 0 sin(r)/r = 1. Usemos esto para demostrar que f tiene ĺımite 1 en (0, 0). Apliquemos la definición del ĺımite de f : fijemos cualquier ɛ > 0. Como lim r 0 sin(r)/r = 1, tenemos que existe δ > 0 tal que si 0 r < δ entonces 1 sin(r)/r < ɛ. Por lo tanto, si v = (x, y) satisface v < δ 1/2, entonces 1 f (x, y) = 1 sin( v 2 )/ v 2 < ɛ. Se cumple pues la condición para tener lim (x,y) (0,0) f (x, y) = 1. Ejemplo: Existe el ĺımite lim (x,y) (0,0) x 2 /(x 2 + y 2 )? Si existe, entonces debe ser único. Vamos a tomar dos sucesiones particulares que tienden a (0, 0) de forma distinta, y ver qué pasa. Sea a k = (1/k, 0), que tiende a (0, 0) por el eje de x. Tenemos lim k (1/k 2 )/(1/k 2 + 0) = 1. Sea b k = (0, 1/k), que tiende a (0, 0) por el eje de y. Tenemos lim k 0/(1/k 2 + 0) = 0. Los ĺımites son distintos. Por lo tanto, la respuesta a la pregunta es negativa. Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.1. Límites y continuidad 16 / 57

17 2.1.2 Funciones continuas Ejemplo (prolongación por continuidad) : La función f : R 2 \ {(0, 0)} R, (x, y) sin(x2 +y 2 ) no está definida en x 2 +y 2 (0, 0). Pero, como vimos, en (0, 0) tiene un ĺımite bien definido (= 1). Podemos prolongar el dominio de f{ para hacerla definida y continua en sin(x 2 +y 2 ), (x, y) (0, 0) (0, 0). Redefinimos pues f (x, y) = x 2 +y 2 1, (x, y) = (0, 0). La noción de continuidad está íntimamente relacionada con la de conjuntos abiertos y cerrados. Teorema (Caracterización topológica de la continuidad) Una función f : U R n R m es continua si y sólo si se verifica una de las condiciones equivalentes siguientes: i) Si V f (U) es un abierto, entonces la preimagen f 1 (V ) es un abierto. ii) Si V f (U) es un cerrado, entonces f 1 (V ) es un cerrado. Nota: en un ámbito más general que el de espacios R n se suele tomar la parte i) de este teorema como la definición de la continuidad. Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.1. Límites y continuidad 17 / 57

18 2.1.2 Funciones continuas Ejemplo: Sea A = {(x, y) R 2 : 2 < x 2 + y 2 < 4}. Demostrar que A es un conjunto abierto. Utilicemos el último teorema. Sea f : R 2 R, (x, y) x 2 + y 2. Esta función es continua. Observamos que A = f 1 ((2, 4)), donde (2, 4) = {x R : 2 < x < 4} es un intervalo abierto. Por lo tanto A es abierto. Ejemplo: Sea B = {(x, y) R 2 : x 0, y 0}. Demostrar que B es un conjunto abierto. Tenemos B = (R \ {0}) (R \ {0}). Se puede ver, utilizando la definicón de conjunto abierto (sin utilizar funciones), que B es abierto. Cómo? Ejemplo: Sea C = {(x, y) R 2 : 0 < x 2 + sin(xy) 1}. Determinar si C es abierto o cerrado. Tenemos C = f 1 ((0, 1]) donde f (x, y) = x 2 + sin(xy) es continua. Notamos que (0, 1] no es ni abierto ni cerrado. Esto se puede usar para ver que C no es ni abierto ni cerrado. Cómo? Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.1. Límites y continuidad 18 / 57

19 2.2. Derivación, derivadas parciales, y gradientes En esta sección introducimos los conceptos necesarios para poder derivar funciones multivariables. Como ya vimos, al tener más de una variable se complica el cálculo de ĺımites, y esto influirá en lo que sigue. Empecemos con el ejemplo de una función f : R 2 R. Definición (Derivadas parciales de funciones de dos variables) Sea f : U R 2 R. Definimos la derivada parcial f (x, y) por la fórmula x f (x, y) = lim h 0 derivada parcial y f (x+h,y) f (x,y) h. Definimos de modo similar la f (x, y), respecto de la variable y. Interpretamos la noción de derivada parcial geométricamente como sigue: x En este plano calculamos la derivada del modo usual para funciones de una variable. Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.2. Derivación, derivadas parciales, y gradientes 19 / 57

20 Derivadas parciales Ejemplo: sea f (x, y) = x + y. Calculemos las derivadas parciales. x f (x, y) = lim h 0 x+h+y (x+y) h = 1. (Igualmente, y f (x, y) = 1.) Para funciones más complicadas, se aplica el principio siguiente: derivar respecto a una variable dada consiste en fijar las demás variables y tomar la derivada habitual respecto de la única variable dada. Ejemplo: sea f (x, y) = xy sin(xy). Calculemos la derivada parcial respecto a x: x f (x, y) = y sin(xy) + xy 2 cos(xy). Con estas ideas podemos definir las derivadas parciales para funciones de más de 2 variables. Definición (Derivadas parciales de una función de n variables) Sea f : U R n R, con variables x 1,..., x n. Definimos la derivada parcial i-ésima (o derivada parcial respecto a x i ) x i f (x 1,..., x n ) por la f (x fórmula siguiente: x i f (x 1,..., x n ) = lim 1,...,x i +h,...,x n) f (x 1,...,x n) h 0 h. Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.2. Derivación, derivadas parciales, y gradientes 20 / 57

21 Derivadas parciales Nótese: con las derivadas parciales no agotamos todas las posibilidades de derivación, porque existen otras direcciones en las cuales una sucesión puede acercarse a un punto considerado (otras que las direcciones rectas y paralelas a algún eje de coordenadas). Para abarcar todas estas posibilidades, debemos definir una noción general llamada diferenciabilidad. Veamos esta noción primero para funciones de dos variables. Sea una función f (x, y), y sea (x, y ) un punto en el cual f tiene derivada en cualquier dirección de aproximación. Entonces tenemos que poder definir un plano tangente a la gráfica de f en (x, y ), que aproxime bien esta gráfica cerca de (x, y ). Para ser más precisos: la ecuación siguiente define un plano en R 3 que toca la gráfica de f en el punto ( x, y, f (x, y ) ) : z = f (x, y ) + f x (x, y )(x x ) + f y (x, y )(y y ). La noción de diferenciabilidad consiste en una condición precisa para que este plano sea una buena aproximación local de la gráfica de f en (x, y ). Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.2. Derivación, derivadas parciales, y gradientes 21 / 57

22 Derivadas parciales Definición (Diferenciabilidad de funciones de dos variables) Sea f : U R 2 R. Decimos que f es diferenciable en el punto (x, y ) si las derivadas parciales existen en (x, y ), y si tenemos además ) lim (x,y) (x,y ) f (x,y) ( f (x,y ) + f x (x,y )(x x ) + f y (x,y )(y y ) (x,y) (x,y ) = 0. Es decir que f es diferenciable en un punto dado si el plano tangente en ese punto es una buena aproximación local de la gráfica de f. Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.2. Derivación, derivadas parciales, y gradientes 22 / 57

23 Derivadas parciales La noción de diferenciabilidad puede extenderse a funciones R n R de la manera siguiente: Definición (Diferenciabilidad de funciones escalares de n variables) Sea f : U R n R (U abierto), y sea x R n. Decimos que f es diferenciable en el punto x si las derivadas parciales de f existen en x y si, definiendo el vector Df (x ) = ( f x 1 (x ),..., f x n (x ) ), tenemos lim f (x) f x x (x ) Df (x ) (x x ) x x = 0. Decimos que f es diferenciable en U si es diferenciable en todo punto x U. Más adelante veremos que este objeto Df es muy útil (se trata del gradiente). Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.2. Derivación, derivadas parciales, y gradientes 23 / 57

24 Derivadas parciales Para funciones F : R n R m, (x 1,.., x n ) ( f 1 (x 1,.., x n ),.., f m (x 1,.., x n ) ), la definición de diferenciabilidad es parecida. Para m = 1 teníamos un vector Df (x ) R n (que se puede ver como una matriz en R 1 n ). Para m general, tenemos una matriz en R m n, que denotamos por DF (x ), y que definimos dando la fórmula siguiente para su entrada i, j: DF (x ) i,j = f i x j (x 1,..., x n). (*) Definición (Matriz jacobiana de F : R n R m en un punto) La matriz jacobiana de F en x es la matriz DF (x ) definida por (*). La matriz jacobiana de F es la matriz m n denotada por DF, con entrada i, j la función DF i,j = f i x j. (Distinguir DF de DF (x ).) Ejemplo: Sea F : R 2 R 2, (x, y) (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) con f 1 (x, y) = e x+y + y, f 2 (x, y) = x 2 y. Entonces tenemos ( f1 f 1 ) ( x y e x+y e DF = = x+y ) + 1 2xy x 2. f 2 x f 2 y Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.2. Derivación, derivadas parciales, y gradientes 24 / 57

25 2.2.1 Derivadas parciales Definición (Diferenciabilidad de funciones R n R m ) Sea F : U R n R m (U abierto), y sea x R n. Decimos que F es diferenciable en x si está definida la matriz M = DF (x ) R m n, y si tenemos lim F (x) F x x (x ) M (x x ) x x = 0. Decimos que F es diferenciable en U si es diferenciable en todo punto x U. La definición de diferenciabilidad implica la existencia de las derivadas parciales de la función en cuestión. Sería útil tener una implicación en el sentido inverso. En efecto, las derivadas parciales pueden ser más fáciles de manejar que la noción más general de diferenciabilidad. El resultado siguiente nos da una implicación de este tipo. Teorema (Condición suficiente para la diferenciabilidad) Sea F : U R n R m (con U abierto). Sea x U un punto tal que, para algún abierto V con x V U, todas las derivadas parciales de F existen en V y son continuas en x. Entonces F es diferenciable en x. Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.2. Derivación, derivadas parciales, y gradientes 25 / 57

26 Derivadas parciales En el sentido lógico inverso, tenemos otro resultado relacionando continuidad y diferenciabilidad: Teorema (La continuidad es necesaria para la diferenciabilidad) Sea F : U R n R m una función diferenciable en x U. Entonces F es continua en x. Prueba. Recordemos que la condición de diferenciabilidad en x implica lo siguiente: para cada componente f i de F, i [m], tenemos lim x x f i (x) f i (x ) Df i (x ) (x x ) x x = 0. Multipliquemos esta fracción por x x 0, y tomemos el ĺımite cuando x x. Obtenemos lim x x f i (x) = f i (x ), luego f i es continua en x. Esto se da para cada componente f i. Recordando un resultado visto anteriormente (relación entre continuidad de F y continuidad de sus componentes), deducimos que F es continua en x. Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.2. Derivación, derivadas parciales, y gradientes 26 / 57

27 Gradiente Pasamos a estudiar una herramienta muy útil en cálculo vectorial. Dada una función escalar f : U R n R (o campo escalar ), esta herramienta nos permite calcular derivadas de f en direcciones generales (no sólo las derivadas parciales). Definición (Gradiente) Sea f : U R n R una función (o campo) escalar diferenciable en cada punto de U. El gradiente de f es la función vectorial U R n denotada por f, y definida por la fórmula Ejemplos: f (x 1,..., x n ) = ( f x 1,..., f x n ). - Sea f : R 2 R, (x, y) x 2 + 2x + y 3 + xy 2. Entonces f (x, y) = (2x y 2, 3y 2 + 2xy). - Sea f : R 3 R, (x, y, z) 2xy + 3x + cos(z). Entonces f (x, y, z) = ( 2y + 3, 2x, sin(z) ). Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.2. Derivación, derivadas parciales, y gradientes 27 / 57

28 Gradiente La utilidad del gradiente f radica en que nos permite expresar la derivada de f en cualquier dirección simplemente como un producto escalar. Definición (Derivada direccional de un campo escalar) Sea f : U R n R diferenciable en x U y sea v R n un vector unitario ( v = 1). La derivada direccional de f en x en dirección de v, denotada por D v f (x ), es la derivada en 0 de la siguiente función de una variable t R: t f (x + t v). Es decir D v f (x ) = d dt f (x + tv) t=0. Teorema Tenemos d dt f (x + t v) t=0 = f (x ) v = f x 1 (x ) v f x n (x ) v n. En efecto, recordemos que en la definición de diferenciabilidad ya aparecía f (x ), denotado por Df (x ), y que en esa definición se tiene que lim f (x) f x x (x ) Df (x ) (x x ) x x = 0. En particular, substituyendo x = x + t v, y dejando que t tienda hacia 0, deducimos el teorema. Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.2. Derivación, derivadas parciales, y gradientes 28 / 57

29 Gradiente El gradiente tiene una interpretación geométrica interesante relativa a las curvas de nivel de funciones escalares. Teorema Sea f : U R n R diferenciable en x. Si f (x ) 0, entonces este vector apunta en la dirección en que la derivada direccional de f tiene máximo valor. Dicho de otro modo, el vector f (x ) apunta en la dirección en que f crece lo más rápidamente partiendo de x. Este teorema se puede demostrar usando el resultado anterior, a saber, que la derivada en la dirección de v es f (x ) v. Recordamos la fórmula f (x ) v = f (x ) v cos(θ) = f (x ) cos(θ), donde θ es el ángulo entre f (x ) y el vector unitario v. Por lo tanto, la dirección v en la que hay mayor derivada es la dirección en la que θ = 0, es decir la dirección en la que apunta f (x ). Nótese que en esta dirección la derivada direccional es la norma f (x ). Nótese también que, claramente, tenemos que f (x ) es ortogonal a cualquier v en cuya dirección la derivada es nula. Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.2. Derivación, derivadas parciales, y gradientes 29 / 57

30 Gradiente Las propiedades geométricas que acabamos de ver se pueden visualizar para funciones f : R 2 R usando las curvas de nivel. Dibujamos las curvas de nivel Aplicación: para funciones R 2 R, el gradiente nos sirve para calcular la recta tangente a una curva de nivel en un punto dado. Ejemplo: Sea f (x, y) = x 2 + 2y 2. Calcular la recta tangente en el punto (1, 1) a la curva de nivel de f que pasa por (1, 1). Tenemos f (x, y) = (2x, 4y). En (1, 1) tenemos pues f = (2, 4). Sabemos que este vector es ortogonal a la recta tangente deseada. Por tanto un vector director de esta recta es ( 4, 2). La ecuación de la tangente es pues 2x + 4y + c = 0, donde c es la constante para la cual esta recta contiene (1, 1), a saber c = 6. Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.2. Derivación, derivadas parciales, y gradientes 30 / 57

31 Ejemplo: sea f (x, y, z) = 3xy + z 2. Calcular la ecuación del plano tangente a la superficie de nivel 4 de f que pasa por x = (1, 1, 1). Tenemos f = (3y, 3x, 2z), luego f (1, 1, 1) = (3, 3, 2). El plano es pues 3x + 3y + 2z + c = 0, donde c es la constante para la cual el plano contiene (1, 1, 1). Calculamos que c = 8. Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.2. Derivación, derivadas parciales, y gradientes 31 / Gradiente Un argumento similar se da para funciones f : R n R: el gradiente en x apunta siempre en la dirección de mayor crecimiento de f cerca de x, y es perpendicular a la superficie de nivel de f que pasa por x. Aplicación: para funciones R 3 R, usando f (x ) podemos expresar el plano tangente a la superficie de nivel de f que pasa por x. Este plano se define por la ecuación (x x ) f (x ) = 0.

32 2.3. Regla de la cadena Recordemos las propiedades de las derivadas de funciones de una variable, a saber, cómo se comportan respecto de la suma de funciones, del producto de funciones, y combinaciones de tales operaciones. De estas propiedades se deducen propiedades similares de la diferenciabilidad de funciones multivariables. En concreto tenemos por ejemplo lo siguiente. Teorema Sean F, G : U R n R m funciones diferenciables. Entonces F + G y F G también son diferenciables. ( Cómo expresar las jacobianas D(F + G), D(F G) con D(F ), D(G), F, G?) En el caso de la composición de funciones, el comportamiento de la propiedad de diferenciabilidad es más delicado. Recordemos que en el caso de funciones de una variable, este comportamiento lo describe la regla de la cadena. Ejemplo: Sean f (x) = x 2, g(x) = sin(x). Entonces f g(x) = (sin(x)) 2. Tenemos d dx (f g)(x) = g (x) f (g(x)) = cos(x) 2 sin(x). Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.3. Regla de la cadena (cambios de coordenadas) 32 / 57

33 2.3. Regla de la cadena Vamos a estudiar como se puede generalizar la regla de la cadena para funciones multivariables. La complejidad mayor del problema se debe a que ahora hay varios componentes y coordenadas que tomar en cuenta. Ejemplo: Sean las funciones f (x, y) = x 2 + 2xy + sin(y), g(x, y) = xy. Queremos calcular la derivada x f (x, g(x, y)). Tenemos f (x, g(x, y)) = x 2 + 2x(xy) + sin(xy). La derivada deseada es pues 2x + 4xy + y cos(xy). Se puede calcular de otra manera: Sean u(x, y) = x, v(x, y) = g(x, y). Sea G(x, y) = ( u(x, y), v(x, y) ), una función R 2 R 2. Sea f : R 2 R, (u, v) u 2 + 2uv + sin(v). Tenemos f (x, g(x, y)) = f G. Calculemos las jacobianas de f y G. Df = ( f u, f v ) = (2u + 2v, 2u + cos(v)), DG = ( ) 1 0 y x. Nótese: Df (1, y) = 2u + 2v + 2uy + cos(v)y = 2x + 4xy + y cos(xy), la derivada deseada! De modo similar y f (x, g(x, y)) = Df (0, x). Así que D(f G)(x, y) = Df (u, v) DG(x, y) (multiplicación de matrices). Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.3. Regla de la cadena (cambios de coordenadas) 33 / 57

34 2.3. Regla de la cadena Recordamos: dada F : R n R m, x = (x 1,..., x n ) (f 1 (x),..., f m (x)) una función diferenciable, definimos la jacobiana DF por la fórmula DF i j = f i x j. Podemos ahora enunciar la regla de la cadena en general. Teorema (Regla de la cadena) Sean F : R m R s, G : R n R m funciones diferenciables. Entonces F G es diferenciable R n R s, y para todo x R n, D ( F G ) (x) = DF ( G(x) ) DG(x). Ejemplo: Sea f (u, v, w) = u 2 + v 2 + w 3, R 3 R, y G(x, y, z, t) = (xyzt, y, xy + z sin(t)), R 4 R 3. Calcular y (f G). Tenemos f G = (xyzt) 2 + y 2 + (xy + z sin(t)) 3. (parece complicado) y (f G) es la segunda entrada de D(f G). Regla de la cadena D(f G) 2 = (Df (u, v, w) DG(x, y, z, t)) 2 = ( u f, v f, w f ) (xzt, 1, x). Esto es igual a 2uxzt + 2v + 3w 2 x. Substituyendo (u, v, w) = (xyzt, y, xy + z sin(t)), obtenemos la derivada deseada, a saber 2(xyzt)xzt + 2y + 3x(xy + z sin(t)) 2. (ejercicio: verificar esto calculando (f G) directamente.) y Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.3. Regla de la cadena (cambios de coordenadas) 34 / 57

35 2.4. Derivadas de orden superior Para una función f de una variable, sabemos que podemos calcular derivadas iteradas de f, a saber d dx f, d 2 f, etc. Vamos a estudiar las dx 2 operaciones análogas para funciones multivariables. Empezamos con el caso particular de las derivadas de orden 2 para f (x, y), R 2 R diferenciable. Se pueden tomar las derivadas siguientes: x ( x f ) = 2 x 2 f, x ( y f ) = 2 x y f, y ( y f ) = 2 y 2 f, y ( x f ) = 2 y x f. Si todas estas derivadas existen en cada punto de R 2 y son funciones continuas, se dice que f es una función de clase C 2, o se escribe f C 2. Para estas funciones tenemos el resultado siguiente. Teorema Si f : R 2 R es de clase C 2, entonces 2 y x f = 2 x y f. Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.4. Derivación de orden superior 35 / 57

36 2.4. Derivadas de orden superior Ejemplo: Sea f (x, y) = xy + (x + 2y) 2. Entonces 2 f = x 2 x (y + 2(x + 2y)) = 2, 2 f = y 2 y (x + 4(x + 2y)) = 8. Encontramos también que 2 y x f = 2 x y f = 5. Más generalmente, si la función es de más de 2 variables, podemos tomar de modo similar las derivadas parciales de orden 2, fijando i, j [1, n] y tomando la derivada 2 x i x j f = x i ( x j f ). Definición Sea U R n abierto y sea f : U R. Decimos que f es de clase C 2 en U si para todo i, j [n] la derivada 2 x i x j f existe y es continua en U. Como en el caso n = 2, tenemos en general lo siguiente. Teorema Si f : U R n R es de clase C 2 en U, entonces para todo i, j [n], para todo punto x U, tenemos 2 x i x j f (x ) = 2 x j x i f (x ). Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.4. Derivación de orden superior 36 / 57

37 2.4. Derivadas de orden superior Ejemplo: Sea f (x, y, z) = e xy + z cos(x). Las derivadas de orden 2 (o derivadas segundas) de f son las siguientes: 2 f = x 2 x (yexy z sin(x)) = y 2 e xy z cos(x). 2 f = y 2 y (xexy ) = x 2 e xy. 2 f = z 2 z cos(x) = 0. Verifiquemos que las derivadas cruzadas son iguales: 2 x y f = x (xexy )=e xy +xye xy, 2 y x f = y (yexy z sin(x))=e xy +xye xy 2 x z f = sin(x), 2 z x f = sin(x) 2 y z f = 0, 2 z y f = 0. En general, si todas las derivadas de orden k existen y son continuas en U, decimos que la función es de clase C k en U. En este caso, las derivadas de orden k conmutan, es decir que no importa el orden de las variables en que tomemos las derivadas, la función obtenida al final será la misma. Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.4. Derivación de orden superior 37 / 57

38 2.5. Fórmula de Taylor Para una función real f de una variable, recordemos que la fórmula de Taylor nos permite aproximar f (x) por un polinomio, con mayor precisión cuantas más derivadas de orden superior sucesivas de f conozcamos en x. El polinomio p k (x) que aproxima f (x) cerca de un punto x es p k (x) = f (x ) + df (x ) dx (x x ) + 1 d 2 f (x ) 2 (x x ) d k f (x ) dx 2 k! (x x ) k. dx k Teorema (Fórmula de Taylor para funciones R n R) Sea f : U R n R y sea x U tal que, para una bola B = B δ (x ) U, f es de clase C k sobre B. Entonces para cualquier x B tenemos n f (x) = f (x f (x ) ) + (x i x i ) + 1 n 2 f (x ) (x i x i )(x j x j ) x i 2 x i x j i=1 i,j= n k f (x ) (x i1 x i k! x i1 x 1 ) (x ik x i k ) + R(x), ik i 1,...i k =1 R(x) = n i 1,..,i k+1 =1 h i 1,..,i k+1 (x) k+1 j=1 (x i j x i j ), lim x x h i1,...,i k+1 (x) = 0. Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.5. Fórmula de Taylor 38 / 57

39 2.5. Fórmula de Taylor Para el caso particular de funciones de 2 variables cerca de (x, y ), tenemos las aproximaciones siguientes: Grado 0: p 0 (x, y) = f (x, y ). Grado 1: p 1 (x, y) = f (x, y ) + f (x,y ) x (x x ) + f (x,y ) y (y y ). Grado 2: p 2 (x, y) = f (x, y ) + f (x,y ) x (x x ) + f (x,y ) y (y y ) ( f (x,y ) 2 (x x ) f (x,y ) x 2 x y (x x )(y y ) + 2 f (x,y ) (y y ) ). 2 y 2 Nótese que en grado 1 el polinomio describe la tangente a la curva de nivel en (x, y ). De modo similar, para funciones de 3 variables, el polinomio de Taylor de grado 1 describe el plano tangente en (x, y, z ). Tenemos un hecho similar para n variables en general: el polinomio de grado 1 siempre describe el espacio lineal x + V tangente a la superficie de nivel en el punto x R n. Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.5. Fórmula de Taylor 39 / 57

40 2.5. Fórmula de Taylor Ejemplo: calcular las series de Taylor de grados 1 y 2 de la función f (x, y) = sin(x y) alrededor de (1, π/2). Calcular estas series consiste en calcular las derivadas parciales. Tenemos primero f (1, π/2) = sin(π/2) = 1. Las derivadas parciales de orden 1 son las siguientes: f x (1, π/2) = y cos(xy) (1,π/2) = 0, Las derivadas parciales de orden 2 son las siguientes: f y (1, π/2) = x cos(xy) (1,π/2) = 0. 2 f x 2 (1, π/2) = y 2 sin(xy) (1,π/2) = π 2 /4. 2 f y 2 (1, π/2) = x 2 sin(xy) (1,π/2) = 1. 2 f x y (1, π/2) = xy sin(xy) (1,π/2) = π/2. El polinomio de Taylor de grado 1 es constante: p 1 (x, y) = f (1, π/2) = 1. El polinomio de Taylor de grado 2 es ( p 2 (x, y) = 1 1 π (x 1)2 + π(x 1)(y π 2 ) + (y π 2 ). )2 Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.5. Fórmula de Taylor 40 / 57

41 Máximos y mínimos locales En esta sección estudiamos cómo calcular máximos y mínimos de funciones multivariables. Empecemos recordando estas nociones para funciones f : R R. x 0 = máximo local: f toma un valor máximo en un entorno de x 0. x 1 = mínimo local: f toma un valor mínimo en un entorno de x 1. Estas nociones se generalizan fácilmente a funciones R n R. Definición (Máximo local) Sea f : U R n R. Decimos que x 0 U es un máximo local de f si existe un abierto V con x 0 V U tal que x V, f (x) f (x 0 ). Definición (Mínimo local) Sea f : U R n R. Decimos que x 1 U es un mínimo local de f si existe un abierto V con x 1 V U tal que x V, f (x) f (x 1 ). Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.6. Máximos y mínimos. Extremos condicionales 41 / 57

42 Máximos y mínimos Decimos que x U es un extremo local si es un máximo local o un mínimo local. Un problema natural que surge en relación con los extremos es cómo encontrarlos dada una función. En el caso de funciones de una variable se usa la derivada (buscando los valores de x donde esta se anula). Para funciones R n R usamos el gradiente. Teorema Sea f : U R n R diferenciable en x U. Si x es un extremo local, entonces f (x ) = 0. Este teorema se puede demostrar usando el resultado análogo en dimensión 1, para obtener que para todo i [n] se tiene f x i (x ) = 0. Un punto x donde f (x ) = 0 se llama un punto crítico de f. El teorema implica que para encontrar un extremo local en un subconjunto abierto V del dominio de f, hay que mirar entre los puntos críticos en V. Cómo averiguar si un punto crítico dado es un máximo o un mínimo? Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.6. Máximos y mínimos. Extremos condicionales 42 / 57

43 Máximos y mínimos locales Ejemplo: Sea f (x, y) = x 2 + y 2. Tenemos Df = ( f x, f y ) = (2x, 2y), que se anula en x = (0, 0). En este caso está claro que se trata de un mínimo. Ejemplo: Sea f (x, y) = x 2 y 2. Tenemos Df = ( f x, f y ) = (2x, 2y), que de nuevo se anula en x = (0, 0). No obstante, aquí observamos que si nos acercamos de (0, 0) por el eje de y, tenemos un máximo en y = 0, mientras que si nos acercamos de (0, 0) por el eje de x, tenemos un mínimo en x = 0. Un tal punto crítico se llama un punto de silla. Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.6. Máximos y mínimos. Extremos condicionales 43 / 57

44 Máximos y mínimos locales Dado x tal que f (x ) = 0, para decidir si x es un máximo o un mínimo local (o ninguno de los dos), debemos usar las derivadas de orden 2. Recordemos que en el caso de f : R R la segunda derivada f nos da el criterio deseado, a saber, que x es un máximo local si f (x ) < 0 y es un mínimo local si f (x ) > 0. Para funciones f : R n R, la herramienta análoga debe tomar en cuenta todas las derivadas parciales de orden 2. La herramienta en cuestión es una matriz llamada la hessiana de f (en honor al matemático L. O. Hesse). Definición (Matriz hessiana) Sea f : U R n R de clase C 2. La hessiana de f en x U es la matriz H f (x ) R n n definida por la fórmula siguiente que describe sus entradas: H f (x ) i,j = 2 x i x j f (x ). Calcular esta matriz nos da la información necesaria para averiguar la estructura de un punto crítico. Veamos esto en detalle. Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.6. Máximos y mínimos. Extremos condicionales 44 / 57

45 Máximos y mínimos locales Recordatorio de álgebra lineal: dada una matriz M R n n, para cada i [n] el menor principal i-ésimo de M es el determinante de la submatriz M i R i i cuyas filas y columnas son las primeras i filas y columnas de M. Clasificación de puntos críticos (usando el criterio de Sylvester) Sea f : U R n R de clase C 2 en U. Sea x U un punto crítico de f, y supongamos que cada menor de H f (x ) es no nulo. 1) x es un mínimo local si todos los menores principales de H f (x ) son positivos, es decir si H f (x ) es definida positiva. 2) x es un máximo local si los menores principales i-ésimos son negativos para i impar y positivos para i par, es decir si H f (x ) es definida negativa. 3) Si los menores principales son todos no nulos y no se da ni 1) ni 2), entonces x es un punto de silla (en algunas direcciones es un mínimo y en otras un máximo). (Si algún menor de H f (x ) es nulo, no podemos decir nada en general.) Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.6. Máximos y mínimos. Extremos condicionales 45 / 57

46 Máximos y mínimos locales En el caso de f : R 2 R se puede mejorar (precisar) el criterio: incluso si el menor principal 2 f (x ) = 0, se puede decir algo si det(h x 2 f (x )) < 0, a saber, que x es un punto de silla. Ejemplo: Sea f : R 2 R, f (x, y) = x 2 2xy + 2y 2. Calculemos los puntos críticos de f. f x = 2x 2y, f { 2x 2y = 0 y = 2x + 4y. Resolvemos el sistema 2x 4y = 0. Encontramos el punto crítico (x, y ) = (0, 0). ( ) ( ) 2 f x Calculamos la hessiana: 2 2 f x y f 2 f (0,0) =. 2 4 y x y 2 ( ) Los menores principales son 2 f 2 2 = 2, det = 4. x El criterio de Sylvester nos dice pues que (0, 0) es un mínimo local. Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.6. Máximos y mínimos. Extremos condicionales 46 / 57

47 Máximos y mínimos locales Ejemplo: encontrar los puntos de la gráfica de f (x, y) = 1/(xy) que minimizan la distancia al origen (0, 0, 0). Esta distancia se da por la fórmula siguiente: (x, y, f (x, y)) (0, 0, 0) = ( x 2 + y 2 + 1/(x 2 y 2 ) ) 1/2. Por lo tanto, el problema consiste en encontrar los mínimos de la función g(x, y) = x 2 + y 2 + 1/(x 2 y 2 ). Calculemos los puntos críticos. g x = 2x 2y 2 x = 2x 2 g, x 4 y 4 x 3 y 2 y = 2y 2. x 2 y 3 Está claro que los puntos críticos tienen { x, y ambos no nulos. 2x Tenemos pues que resolver el sistema 4 y 2 = 2 2x 2 y 4. Encontramos cuatro = 2 puntos críticos, a saber x = (±1, ±1). Confirmemos que son mínimos: 2 g = 2 + 6y 2 x 2 = 2 + 6, x 2 x 6 y 4 x 4 y 2 2 g = 2 + 6, 2 g y 2 x 2 y 4 x y = 4yx3 = 4 x 6 y ) ( 4 ( ) 8 4, H g ± (1, 1) = 4 8 ( ( ) 8 4 Tenemos H g ± (1, 1) = 4 8 luego (±1, ±1) son mínimos, por el criterio de Sylvester. x 3 y 3. Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.6. Máximos y mínimos. Extremos condicionales 47 / 57 ),

48 Máximos y mínimos globales Definición (Máximo y mínimo global) Sea f : U R n R. Un punto x U es un máximo global (resp. mínimo global) de f en U si x U, f (x) f (x ) (resp. f (x) f (x )). Recordemos lo que ocurre para funciones f : R R. En x 0, tenemos un mínimo local de f. En x 1, tenemos un mínimo global. Con los métodos vistos, detectamos que x 1 es un mínimo local, pero no que es global. Para funciones R n R más generalmente, se da el mismo problema de detección. El resultado siguiente nos da por lo menos la existencia de extremos globales bajo ciertas condiciones. Teorema Sea D R n un conjunto compacto (i.e. cerrado y acotado), y sea f : D R una función continua. Entonces existe al menos un mínimo global de f en D y al menos un máximo global de f en D. Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.6. Máximos y mínimos. Extremos condicionales 48 / 57

49 Máximos y mínimos globales En otras palabras, existen puntos de D en los cuales f alcanza sus extremos globales en D. Ejemplo: encontrar los mínimos y máximos globales de la función f (x, y) = xy en el rectángulo D = {(x, y) : 1 x 1, 1 y 1}. Calculamos primero los puntos críticos x D : tenemos f f x = y, y = x, luego x = (0, 0). Tenemos H f (x ) = ( ), luego x es un punto de silla. Tenemos que estudiar f más particularmente para encontrar los extremos globales en D (el teorema anterior nos dice que existen). Como xy 1 en D, los extremos ocurren en D, más precisamente en (x, y) = (±1, ±1). A: f (1, y) = y, y [ 1, 1] mínimo 1 en (1, 1). B: f (x, 1) = x, x [ 1, 1] mínimo 1 en ( 1, 1). C: f ( 1, y) = y, y [ 1, 1] mín. 1 en ( 1, 1). D: f (x, 1) = x, x [ 1, 1] mín. 1 en (1, 1). Los mínimos globales se alcanzan pues en (1, 1) y ( 1, 1). De modo similar se ve que los máximos globales se alcanzan en (1, 1) y ( 1, 1). Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.6. Máximos y mínimos. Extremos condicionales 49 / 57

50 Máximos y mínimos globales Ejemplo: encontrar los mínimos y máximos globales de la función f (x, y) = sin(x) + cos(y) en D = {(x, y) : 0 x 2π, 0 y 2π}. Como antes, calculamos primero los puntos críticos en el interior D. Tenemos f f x = cos(x), y = sin(y). En D, estas derivadas se anulan respectivamente en x = π 2, 3π 2, y = π. Tenemos por otro lado ( ) { sin(x) 0 (π/2, π) : det(hf ) = 1, punto de silla H f =, luego 0 cos(y) (3π/2, π) : det(h f ) = 1, mínimo loc. 2. Cuidado: también hay que estudiar lo que pasa en la frontera D, donde puede haber extremos globales en D que no son { puntos críticos de f. máx 1 en y = 0, 2π A: f (2π, y) = cos(y) mín -1 en y = π { máx 2 en x = π/2 B: f (x, 2π) = sin(x) + 1 mín 0 en x = 3π/2 { máx 1 en y = 0, 2π C: f (0, y) = cos(y) mín -1 en y = π { máx 2 en x = π/2 D: f (x, 0) = sin(x) + 1 mín 0 en x = 3π/2 Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.6. Máximos y mínimos. Extremos condicionales 50 / 57

51 Máximos y mínimos globales Conclusión del estudio: en D = {(x, y) : 0 x 2π, 0 y 2π}, la función f (x, y) = sin(x) + cos(y) alcanza su máximo global 2 en los puntos ( π 2, 0), ( π 2, 2π), y alcanza su mínimo global 2 en el punto ( 3π 2, π). Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.6. Máximos y mínimos. Extremos condicionales 51 / 57

52 Extremos condicionales El problema que trataremos aquí es el de hallar extremos de una función bajo ciertas condiciones o restricciones, llamados extremos condicionales. El método principal que estudiaremos para hacer esto es el llamado método de los multiplicadores de Lagrange. Vamos a describir el problema más precisamente. Sean f, g : U R n R funciones de clase C 1 en U. Denotemos por S c el conjunto de nivel c de g, a saber S c = {x : g(x) = c}. Denotemos por f Sc la restricción de f a S c, es decir la función S c R, x f (x). Cómo estudiar los extremos de f Sc? Usando el método de multiplicadores de Lagrange. Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.6. Máximos y mínimos. Extremos condicionales 52 / 57

53 Extremos condicionales El método se basa en el resultado central siguiente. Teorema (Multiplicadores de Lagrange) Sean f, g : U R n R, y denotemos por S c el conjunto de nivel c de g. Supongamos que x S c es tal que g(x ) 0. Si f Sc tiene un extremo en x, entonces existe un número real λ 0 tal que f (x ) = λ 0 g(x ). La intuición tras este teorema se puede ver del modo siguiente, por ejemplo con n = 2: sea x S c un extremo de f en S c ; entonces la recta tangente a la curva de nivel de f que pasa por x tiene que ser la misma que la recta tangente a S c en x (si no, acercándonos a x por S c, la función f pasaría de ser < c a ser > c, o al revés). Recordando que el gradiente de una función en x es ortogonal a su conjunto de nivel que pasa por x, deducimos que f (x ), g(x ) tienen que ser colineales. Cómo aplicar el método: se calcula los puntos críticos de la función auxiliar F : R n+1 R, (x, λ) f (x) λ(g(x) c). De este modo, hallamos puntos (x, λ 0 ) tales que se da, al mismo tiempo, que g(x ) = c (esto viene de la ecuación F λ = 0) y que f (x ) = λ 0 g(x ) (esto porque F x i = 0 i). Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.6. Máximos y mínimos. Extremos condicionales 53 / 57

54 Extremos condicionales Ejemplo: encontrar el máximo de f (x, y, z) = x + z con la condición que x 2 + y 2 + z 2 = 1. Para un parámetro real λ, utilizamos la función auxiliar F = f (x, y, z) λ(g(x, y, z) 1), con g(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2. F (x, y, z, λ) = f (x, y, z) λ(x 2 + y 2 + z 2 1). Consideramos λ como una nueva variable, y buscamos los puntos críticos de la función de cuatro variables F (x, y, z, λ). Tenemos F x = 1 2λx, F y = 2λy, F z = 1 2λz, F λ = x 2 y 2 z Para que se anulen las tres primeras derivadas parciales, se necesita λ 0, y = 0, x = z = 1/(2λ). Por lo tanto la cuarta se anula también si = 1, i.e. si λ = ±1/ 2. 4λ 2 4λ 2 Substituimos λ en x = z = 1/(2λ), obteniendo los puntos críticos condicionales ( 1 1 2, 0, 2 ) (máximo), y ( 1 2, 0, 1 2 ) (mínimo). Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.6. Máximos y mínimos. Extremos condicionales 54 / 57

55 Extremos condicionales Ejemplo: hallar los extremos de f (x, y) = xy en D : x 2 + y 2 1. Aquí haremos como en la clase anterior, a saber, estudiar primero los extremos en el interior D o, y luego mirar si hay extremos en la frontera D. 1) Estudio en D o : aquí aplicamos el análisis de extremos visto anteriormente. Tenemos f x = y, f y = x, 2 f = 2 f = 0, 2 f x 2 y 2 x y = 1. Tenemos pues (0, 0) como punto crítico en D o, y H f (0, 0) = ( ) tiene determinante negativo, luego (0, 0) es un punto de silla. 2) Estudio en D = {(x, y) : x 2 + y 2 = 1}: aquí, podemos usar el método de los multiplicadores. Ponemos F (x, y, λ) = xy λ(x 2 + y 2 1). F x = y 2λx = 0 y = 2λx { F 2λ = ±1 y = x 2λy = 0 x(1 (2λ) 2 ) = 0 F λ = x 2 + y 2 1 = 0 x 2 + y 2 x 2 + y 2 = 1 = 1 λ = 1/2 x = y (x, y) = ±(1/ 2, 1/ 2), máximos. λ = 1/2 x = y (x, y) = ±(1/ 2, 1/ 2), mínimos. Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.6. Máximos y mínimos. Extremos condicionales 55 / 57

56 Extremos condicionales Ejemplo: hallar los extremos de f (x, y) = x2 2 + y 2 2 De nuevo, dividimos el análisis en dos partes. en D : x2 2 + y ) Estudio en D o : calculamos los extremos locales. Tenemos f x = x, f y = y, 2 f = 1, 2 f = 1, 2 f x 2 y 2 x y = 0. Tenemos pues (0, 0) como punto crítico en D o, y H f (0, 0) = ( ) tiene determinante positivo, luego (0, 0) es un mínimo local. 2) Estudio en D = {(x, y) : x 2 + 2y 2 = 2}: de nuevo usamos multiplicadores. Sea F (x, y, λ) = 1 2 (x 2 + y 2 ) λ( x2 2 + y 2 1). F x = x λx = 0 F y = y 2λy = 0 x = 0 y = ±1, λ = 1/2, o bien F λ = x2 2 + y y = 0 x = ± 2, λ = = 0 Obtenemos cuatro puntos críticos, a saber (0, ±1), (± 2, 0). Conclusión: f (0, ±1) = 1 2, f (± 2, 0) = 1, f (0, 0) = 0. Por tanto, en D tenemos máximos globales en (± 2, 0), y un mínimo global en (0, 0). Capítulo 2. Cálculo diferencial en varias variables 2.6. Máximos y mínimos. Extremos condicionales 56 / 57