Diferenciciación en R n

Transcripción

1 Diferenciciación en R n R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

2 Cómo definir la derivada? Definición Sea A un abierto de R n, a A y f : A R n R m. La derivada parcial i-ésima (1 i n) de f en a se define como f (a 1, a 2,, x i,, a n ) f (a 1,, a n ) lim = x i a i x i a i (a 1, a 2,, a i + h,, a n ) f (a 1,, a i,, a n ) lim, x i a i h si existe. A dicha derivada la denotaremos por D i f (a) o f (a) x i. f (a) De lo anterior se deduce que para calcular x i se consideran todas las variables x k, k = 1,..., n, k i constantes. A todos los efectos f (x 1,..., x n ) es una función de una única variable x i! Ejemplo: f (x, y) = exp(x 2 + y 2 )

3 Derivadas direcionales Definición Para cada vector normalizado u R n, u = 1, denominaremos derivada direcional de f en a según la dirección u, y lo denotamos por D u f (a), al ĺımite, si existe, lim λ 0 f (a + λu) f (a). λ Nótese que si denotamos por e i, i = 1,..., n a los vectores de la base canónica de R n entonces f (a) D ei f (a) =. x i Ejemplo: Calcula las derivadas direccionales en (0, 0) de xy 2 f (x, y) = x 2, si (x, y) (0, 0), + y 4 0, si (x, y) = (0, 0).

4 La existencia de derivadas direccionales no garantiza ni siquiera la continuidad de la función. Para la función anterior existen todas sus derivadas direccionales en (0, 0) pero ni siquiera f es continua en dicho punto. Cómo proceder?

5 La existencia de derivadas direccionales no garantiza ni siquiera la continuidad de la función. Para la función anterior existen todas sus derivadas direccionales en (0, 0) pero ni siquiera f es continua en dicho punto. Cómo proceder? Recordemos el concepto de diferenciabilidad de funciones de una variable: Una función f : A R R es diferenciable en un punto a A si existe un L R tal que f (a+h) f (a) Lh = o(h) f (x) f (a) L(x a) = o(x a). donde el símbolo o pequeña que significa que o(h) lim = 0. h 0 h

6 La existencia de derivadas direccionales no garantiza ni siquiera la continuidad de la función. Para la función anterior existen todas sus derivadas direccionales en (0, 0) pero ni siquiera f es continua en dicho punto. Cómo proceder? Recordemos el concepto de diferenciabilidad de funciones de una variable: Una función f : A R R es diferenciable en un punto a A si existe un L R tal que f (a+h) f (a) Lh = o(h) f (x) f (a) L(x a) = o(x a). donde el símbolo o pequeña que significa que o(h) lim = 0. h 0 h En R se puede probar que L = f (a). Y en R n?

7 Diferenciablidad de funciones de varias variables Definición Sea A un subconjunto abierto de R n, y a A. Una función f : A R n R m es diferenciable en a si existe una aplicación lineal de R n en R m, a la que denotaremos por Df (a), tal que f (x) f (a) Df (a)(x a) lim = 0 x a x a f (a + h) f (a) Df (a)(h) lim = 0 h 0 h f (a + h) f (a) Df (a)(h) = o( h ), o( h ) lim = 0. h 0 h

8 Diferenciablidad de funciones de varias variables Definición Sea A un subconjunto abierto de R n, y a A. Una función f : A R n R m es diferenciable en a si existe una aplicación lineal de R n en R m, a la que denotaremos por Df (a), tal que f (x) f (a) Df (a)(x a) lim = 0 x a x a f (a + h) f (a) Df (a)(h) lim = 0 h 0 h f (a + h) f (a) Df (a)(h) = o( h ), o( h ) lim = 0. h 0 h

9 Un () sobre aplicaciones lineales

10 Un () sobre aplicaciones lineales Definición Una aplicación (operador) T : D(T ) X Y es lineal si α, β R, x, y D(T ), T (αx + βy) = αt (x) + βt (y).

11 Un () sobre aplicaciones lineales Definición Una aplicación (operador) T : D(T ) X Y es lineal si α, β R, x, y D(T ), T (αx + βy) = αt (x) + βt (y). Ejemplos de operadores lineales son: 1 El operador identidad I : X X, t.q. y = Ix = x x X.

12 Un () sobre aplicaciones lineales Definición Una aplicación (operador) T : D(T ) X Y es lineal si α, β R, x, y D(T ), T (αx + βy) = αt (x) + βt (y). Ejemplos de operadores lineales son: 1 El operador identidad I : X X, t.q. y = Ix = x x X. 2 El operador nulo Θ : X Y, t.q. y = Θx = 0 x X.

13 Un () sobre aplicaciones lineales Definición Una aplicación (operador) T : D(T ) X Y es lineal si α, β R, x, y D(T ), T (αx + βy) = αt (x) + βt (y). Ejemplos de operadores lineales son: 1 El operador identidad I : X X, t.q. y = Ix = x x X. 2 El operador nulo Θ : X Y, t.q. y = Θx = 0 x X. 3 El operador derivada D definido por D : P P, tal que y(t) = Dp(t) = p (t), donde P es el espacio de los polinomios reales p(t) de cualquier grado.

14 Un () sobre aplicaciones lineales Definición Una aplicación (operador) T : D(T ) X Y es lineal si α, β R, x, y D(T ), T (αx + βy) = αt (x) + βt (y). Ejemplos de operadores lineales son: 1 El operador identidad I : X X, t.q. y = Ix = x x X. 2 El operador nulo Θ : X Y, t.q. y = Θx = 0 x X. 3 El operador derivada D definido por D : P P, tal que y(t) = Dp(t) = p (t), donde P es el espacio de los polinomios reales p(t) de cualquier grado. 4 El operador T : R n R m, tal que y = Tx = A x, donde A es una matriz n m, x e y son los correspondientes vectores de R n y R m respectivamente, y denota la multiplicación usual de matrices.

15 Aplicaciones lineales Definición Sean X e Y dos espacios normados y sea el operador T : D(T ) Y lineal. T es acotado si existe c 0 tal que a Tx c x, x D(T ). ( ) a Se sobrentiende que x es la norma en X y Tx es en Y.

16 Aplicaciones lineales Definición Sean X e Y dos espacios normados y sea el operador T : D(T ) Y lineal. T es acotado si existe c 0 tal que a Tx c x, x D(T ). ( ) a Se sobrentiende que x es la norma en X y Tx es en Y. De lo anterior se sigue que si T es acotado, entonces para todo x 0, Tx c, x D(T ), x 0. x El menor valor de c para el cual (*) se cumple lo denotaremos por T y se denomina norma del operador lineal T.

17 Aplicaciones lineales Tomando supremos en x 0 en Tx x Por otro lado, para todo y 0 luego Ty c y por lo tanto Tx sup T. x X\{0} x Ty y sup Tx x X\{0} x := c, c e ínfimos en c tenemos T = inf{c : Ty c y, y X} c Tx = sup x X\{0} x, de donde se sigue que T = Tx sup x X\{0} x

18 Aplicaciones lineales Tomando supremos en x 0 en Tx x Por otro lado, para todo y 0 luego Ty c y por lo tanto Tx sup T. x X\{0} x Ty y sup Tx x X\{0} x := c, c e ínfimos en c tenemos T = inf{c : Ty c y, y X} c Tx = sup x X\{0} x, de donde se sigue que T = Tx sup x X\{0} x T = sup Tx. x X, x =1

19 Aplicaciones lineales Si T = 0 obviamente T = 0. Si T = I, T = 1.

20 Aplicaciones lineales Si T = 0 obviamente T = 0. Si T = I, T = 1. Si en Tx c x, tomamos ínfimos en c = y X, Ty y T Ty T y.

21 Aplicaciones lineales Si T = 0 obviamente T = 0. Si T = I, T = 1. Si en Tx c x, tomamos ínfimos en c = y X, Ty y T Ty T y. Tx Usando T = sup x X\{0} x efectivamente es una norma. es sencillo probar que T es

22 Aplicaciones lineales Teorema Toda aplicación lineal T : X Y de un espacio normado de dimensión finita X en otro espacio normado cualquiera Y es acotada.

23 Aplicaciones lineales Teorema Toda aplicación lineal T : X Y de un espacio normado de dimensión finita X en otro espacio normado cualquiera Y es acotada. x X, x = n k=1 x ke k n n Tx = T x k e k x k Te k max Te k k k=1 k=1 n x k. k=1

24 Aplicaciones lineales Teorema Toda aplicación lineal T : X Y de un espacio normado de dimensión finita X en otro espacio normado cualquiera Y es acotada. x X, x = n k=1 x ke k n n Tx = T x k e k x k Te k max Te k k k=1 k=1 Por otro lado, usando el lema técnico c > 0 tal que n n x = x k e k c x k. k=1 k=1 n x k. k=1

25 Aplicaciones lineales Teorema Toda aplicación lineal T : X Y de un espacio normado de dimensión finita X en otro espacio normado cualquiera Y es acotada. x X, x = n k=1 x ke k n n Tx = T x k e k x k Te k max Te k k k=1 k=1 Por otro lado, usando el lema técnico c > 0 tal que n n x = x k e k c x k. k=1 Combinando ambas tenemos k=1 Tx max k Te k x Tx γ x. c n x k. k=1

26 Aplicaciones lineales Teorema Sea T : D(T ) X Y una aplicación lineal de un espacio normado X a otro espacio normado Y. Entonces 1 T es continuo si y sólo si T es acotado. 2 Si T es continuo en algún x 0 D(T ), T es continuo en D(T ).

27 Aplicaciones lineales Teorema Sea T : D(T ) X Y una aplicación lineal de un espacio normado X a otro espacio normado Y. Entonces 1 T es continuo si y sólo si T es acotado. 2 Si T es continuo en algún x 0 D(T ), T es continuo en D(T ). Asumiremos que T no es el operador nulo. 1. Sea T acotado y sea x 0 D(T ) cualquiera. Como T es lineal y acotado, entonces Tx Tx 0 = T (x x 0 ) T x x 0. Entonces, ɛ > 0, δ = ɛ/ T > 0 tal que, x con x x 0 < δ, Tx Tx 0 < ɛ.

28 Aplicaciones lineales Sea T lineal y continuo en x 0 D(T ) cualquiera. Entonces ɛ > 0, δ > 0 tal que, x con x x 0 < δ Tx Tx 0 < ɛ. Sea y 0 en D(T ) cualquiera. Escojamos x tal que x x 0 = δ 2 y y x x 0 < δ Tx Tx 0 < ɛ. Para dichos x tenemos (linealidad de T ) que Tx Tx 0 = T (x x 0 ) = T δ 2 y y = δ 2 y Ty ɛ Ty 2ɛ δ y Ty γ y Nótese que en la prueba anterior se probó que si T era continuo en un punto x 0 D(T ), entonces era acotado en D(T ). Pero entonces por 1, al ser acotado en D(T ), es continuo en D(T ).

29 Representación matricial de las aplicaciones lineales Sea A : D(T ) R n R m, espacios de dimensión finita. Sea (e k ) k la base canónica de R n. Entonces para todo x R n x R n, x = n x k e k = y = Ax = k=1 n x k Ae k. k=1 Pero Ae k R m luego m Ae k = a i,k e i = y = i=1 ( m n ) a i,k x k e i = i=1 k=1 m y i e i = i=1 n y i = a i,k x k, i = 1, 2,... n. k=1 Es decir, si consideramos los vectores x R n, y R m con coordenadas (x i ) n i=1, (y i) m i=1, respectivamente, entonces el operador A se puede representar como una matriz (a i,j ) n i,j=1,

30 Aplicaciones lineales Es decir toda aplicación lineal A : D(T ) R n R m se puede expresar de la forma y = Ax donde A es una matriz m n a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 2,n A = a 3,1 a 3,2 a 3,3 a 3,n a m,1 a m,2 a m,3 a m,n

31 Diferenciablidad de funciones de varias variables La diferencial o derivada total Df (a) de una función f en a es un operador lineal. Además:

32 Diferenciablidad de funciones de varias variables La diferencial o derivada total Df (a) de una función f en a es un operador lineal. Además: 1 f : A R n R m es diferenciable en a si y sólo si lo son sus funciones componentes.

33 Diferenciablidad de funciones de varias variables La diferencial o derivada total Df (a) de una función f en a es un operador lineal. Además: 1 f : A R n R m es diferenciable en a si y sólo si lo son sus funciones componentes. 2 Si f es diferenciable en a, entonces es f continua en a.

34 Diferenciablidad de funciones de varias variables La diferencial o derivada total Df (a) de una función f en a es un operador lineal. Además: 1 f : A R n R m es diferenciable en a si y sólo si lo son sus funciones componentes. 2 Si f es diferenciable en a, entonces es f continua en a. 3 Si f es diferenciable en a, entonces existen todas las derivadas direccionales de f en a y D u f (a) = Df (a)(u)

35 Diferenciablidad de funciones de varias variables La diferencial o derivada total Df (a) de una función f en a es un operador lineal. Además: 1 f : A R n R m es diferenciable en a si y sólo si lo son sus funciones componentes. 2 Si f es diferenciable en a, entonces es f continua en a. 3 Si f es diferenciable en a, entonces existen todas las derivadas direccionales de f en a y D u f (a) = Df (a)(u) 4 Si f es diferenciable en a, entonces existen todas las derivadas parciales de f en a y f (a) x i = Df (a)(e i ), donde e i es el i-ésimo vector de la base canónica de R n.

36 Diferenciablidad de funciones de varias variables La diferencial o derivada total Df (a) de una función f en a es un operador lineal. Además: 1 f : A R n R m es diferenciable en a si y sólo si lo son sus funciones componentes. 2 Si f es diferenciable en a, entonces es f continua en a. 3 Si f es diferenciable en a, entonces existen todas las derivadas direccionales de f en a y D u f (a) = Df (a)(u) 4 Si f es diferenciable en a, entonces existen todas las derivadas parciales de f en a y f (a) x i = Df (a)(e i ), donde e i es el i-ésimo vector de la base canónica de R n. 5 Si f y g son diferenciables en a, entonces también lo es la suma f + g y λf, λ R, y se verifica que D(f + g)(a) = Df (a) + Dg(a), D(λf )(a) = λdf (a).

37 Diferenciablidad de funciones de varias variables La diferencial o derivada total Df (a) de una función f en a es un operador lineal. Además: 1 f : A R n R m es diferenciable en a si y sólo si lo son sus funciones componentes. 2 Si f es diferenciable en a, entonces es f continua en a. 3 Si f es diferenciable en a, entonces existen todas las derivadas direccionales de f en a y D u f (a) = Df (a)(u) 4 Si f es diferenciable en a, entonces existen todas las derivadas parciales de f en a y f (a) x i = Df (a)(e i ), donde e i es el i-ésimo vector de la base canónica de R n. 5 Si f y g son diferenciables en a, entonces también lo es la suma f + g y λf, λ R, y se verifica que D(f + g)(a) = Df (a) + Dg(a), D(λf )(a) = λdf (a). 6 Si f es lineal entonces es diferenciable a y Df (a) = f.

38 Representación matricial del diferencial Si elegimos en R n la base canónica e i m i = 1,..., n, entonces la matriz asociada a la aplicación lineal Df (a) tiene la forma Df (a) = f 1 (a) x 1. f m (a) x 1 f 1 (a) f 1 (a)... x 2 x n D. 1 f 1 (a)... D n f 1 (a).... f m (a) f m (a) = D... 1 f m (a)... D n f m (a) x 2 x n A la matriz Df (a) se la denomina matriz jacobiana de f en a (y muchas veces se denota por J f (a)) y al determinante de la matriz se le denomina jacobiano de f en a. De lo anterior además se deduce que si f es diferenciable en x = a, entonces el diferencial Df (a) es único.

39 Diferenciablidad de funciones de varias variables Conviene tener en cuenta que de la diferenciabilidad de f se deduce la existencia de las derivadas parciales y direccionales, pero no a la inversa. Para mostrar lo anterior definamos la función { 0, si xy = 0, f (x, y) = 1, si xy 0. Claramente esta función es discontinua en el origen, luego no puede f (0, 0) f (0, 0) ser diferenciable en (0, 0) y sin embargo = = 0. x y

40 Diferenciablidad de funciones de varias variables Conviene tener en cuenta que de la diferenciabilidad de f se deduce la existencia de las derivadas parciales y direccionales, pero no a la inversa. Para mostrar lo anterior definamos la función { 0, si xy = 0, f (x, y) = 1, si xy 0. Claramente esta función es discontinua en el origen, luego no puede f (0, 0) f (0, 0) ser diferenciable en (0, 0) y sin embargo = = 0. x y Por otro lado, la función f (x, y) = x 3 y x 4 si (x, y) (0, 0), + y 2 f (0, 0) = 0, no es diferenciable en (0, 0) y sin embargo todas sus derivadas direccionales en (0, 0) son cero.

41 Diferenciablidad de funciones de varias variables Supongamos que f : A R n R es diferenciable en a. Entonces existen todas sus derivadas parciales. Se define al vector f (a) por ( ) f (a) f (a) f (a) =,..., x 1 x n y se le denomina gradiente de f en x = a. Nótese que D u f (a) = f (a), u. De la expresión anterior se deduce que la derivada direccional es, en valor absoluto, máxima en la dirección definida por el vector gradiente. En el caso cuando u es ortogonal a f (a) se tiene que D u f (a) = 0.

42 Interpretación geométrica del diferencial Para ello tomemos una función f : R 2 R. Si f es diferenciable en z 0 = (a, b) entonces f (x, y) f (a, b) = f (a, b) f (a, b) (x a)+ (y b)+o( (x a) x y 2 + (x b) 2 ). Si dibujamos la superficie σ definida por los puntos (x, y, f (x, y)), lo anterior indica que muy cerca de (a, b, f (a, b)), σ es muy parecida al plano π definido por (z = f (x, y), c = f (a, b)) z c = f (a, b) (x a) + x f (a, b) (x b). x Dicho plano π es tangente a σ en (a, b, c). ( De hecho el vector) normal a π en (a, b, c) viene dado por n = f (a,b) f (a,b) x, y, 1.

43 Interpretación geométrica del diferencial Para ello tomemos una función f : R 2 R. Si f es diferenciable en z 0 = (a, b) entonces f (x, y) f (a, b) = f (a, b) f (a, b) (x a)+ (y b)+o( (x a) x y 2 + (x b) 2 ). Si dibujamos la superficie σ definida por los puntos (x, y, f (x, y)), lo anterior indica que muy cerca de (a, b, f (a, b)), σ es muy parecida al plano π definido por (z = f (x, y), c = f (a, b)) z c = f (a, b) (x a) + x f (a, b) (x b). x Dicho plano π es tangente a σ en (a, b, c). ( De hecho el vector) normal a π en (a, b, c) viene dado por n = f (a,b) f (a,b) x, y, 1. Ejercicio: Mostrar que dicho plano π es tangente.

44 Interpretación geométrica del diferencial En la figura se muestra el plano tangente a la superficie z = f (x, y) = 1 x 2 y 2 en el punto ( 2/2, 1/2, 1/2), dado por la ecuación (x 2/2) 2 + (y 1/2) + (z 1/2) = 0, siendo en vector normal a la superficie en dicho punto v = ( 2, 1, 1). Plano tangente a una superficie y Df (a). El vector representa al vector normal al plano (y a la superficie) en el punto a.

45 Diferenciabilidad de funciones de varias variables Si f, g : A R n R son diferenciables en a, entonces el producto y el cociente también lo son y se tiene que Si además g(a) 0 entonces D(fg)(a) = g(a)df (a) + f (a)dg(a). D(f /g)(a) = g(a)df (a) f (a)dg(a) (g(a)) 2.

46 Diferenciabilidad de funciones de varias variables Teorema (Regla de la cadena) Sean f : A R n R m y g : B R m R k, A, B abiertos t.q. f (A) B. Supongamos que f es diferenciable en a y g es diferenciable en f (a). Entonces la función g f : A R n R k es diferenciable en a y D(g f )(a) = Dg(f (a)) Df (a). En coordenadas: i = 1,..., n, j = 1,, k Matricialmente: D j (g f ) i (a) = (g f ) i (a) x j = m D k g i (f (a))d j f k (a), k=1 m k=1 g i (f (a)) f k (a). x k x j D(g f )(a) = Dg(f (a)) Df (a) J g f (a) = J g (f (a)) J f (a)

47 Diferenciabilidad de funciones de varias variables Como ya hemos visto la existencia de derivadas parciales en un punto no implica la diferenciabilidad de f en dicho punto. No obstante imponiendo ciertas condiciones extra se puede probar la diferenciabilidad. De hecho se tiene el siguiente teorema: Teorema (Condición suficiente de diferenciabilidad I) Sea f : A R n R m, con A abierto y sea a A. Supongamos que existen las derivadas parciales de cada una de las componentes de f en a con respecto a cada una de las variables y son continuas en a, entonces f es diferenciable en a.

48 Diferenciabilidad de funciones de varias variables Como ya hemos visto la existencia de derivadas parciales en un punto no implica la diferenciabilidad de f en dicho punto. No obstante imponiendo ciertas condiciones extra se puede probar la diferenciabilidad. De hecho se tiene el siguiente teorema: Teorema (Condición suficiente de diferenciabilidad I) Sea f : A R n R m, con A abierto y sea a A. Supongamos que existen las derivadas parciales de cada una de las componentes de f en a con respecto a cada una de las variables y son continuas en a, entonces f es diferenciable en a. Las condiciones del teorema son suficientes pero no necesarias. Ejemplo: f (x, y) = ( x 2 + y 2) ( ) 1 sen x 2 + y 2, f (0, 0) = 0, no tiene derivadas parciales continuas en (0, 0), pero es diferenciable en (0, 0) siendo su derivada el operador (0 0).

49 Diferenciabilidad de funciones de varias variables Generalización del teorema anterior: Theorem (Condición suficiente de diferenciabilidad II) Sea f : A R n R m, con A abierto y sea a A. Si existe la derivada parcial de f en a con respecto a una de las variables y las restantes n 1 derivadas parciales existen en un entorno de a y son continuas en a, entonces f es diferenciable en a. Las condiciones del teorema son suficientes. El mismo ejemplo de antes nos vale para probar que no son necesarias. f (x, y) = ( x 2 + y 2) ( ) 1 sen x 2 + y 2, f (0, 0) = 0, no tiene derivadas parciales continuas en (0, 0), pero es diferenciable en (0, 0) siendo su derivada el operador (0 0).

50 Diferenciabilidad de funciones de varias variables Definición Diremos que un abierto A R n es convexo si, dados dos puntos a y b cualesquiera de A, el segmento s = {(1 t)a + tb : t [0, 1]} que los une también pertence a A.

51 Diferenciabilidad de funciones de varias variables Definición Diremos que un abierto A R n es convexo si, dados dos puntos a y b cualesquiera de A, el segmento s = {(1 t)a + tb : t [0, 1]} que los une también pertence a A. Teorema (del valor medio) Sea f : A R n R m, diferenciable en A abierto y convexo. Sean a, b A y sea s el segmento que los une. Entonces, para cada vector v R m, z en el interior del segmento s tal que v, f (b) f (a) = v, Df (z)(b a), donde, denota el producto escalar en R m.

52 Diferenciablidad de funciones de varias variables En el caso de funciones escalares se tiene Corolario Si f : A R n R (o sea, f es una función escalar) y f es diferenciable en A, abierto y convexo, entonces existe un punto z en el interior del segmento s que une a con b tal que f (b) f (a) = Df (z)(b a) = f (z), b a.

53 Diferenciablidad de funciones de varias variables En el caso de funciones escalares se tiene Corolario Si f : A R n R (o sea, f es una función escalar) y f es diferenciable en A, abierto y convexo, entonces existe un punto z en el interior del segmento s que une a con b tal que f (b) f (a) = Df (z)(b a) = f (z), b a. Corolario Si f : A R n R m es una función diferenciable en A abierto y convexo, entonces existen los puntos z 1,..., z n en el interior del segmento s que une a con b tal que f k (b) f k (a) = Df k (z)(b a) = f (z k ), b a, k = 1, 2,..., m.

54 Diferenciablidad de funciones de varias variables Corolario Si la derivada total Df (x) es tal que Df (x) M para todo x sobre el segmento s que une a con b, entonces f (b) f (a) M b a.

55 Diferenciablidad de funciones de varias variables Corolario Si la derivada total Df (x) es tal que Df (x) M para todo x sobre el segmento s que une a con b, entonces f (b) f (a) M b a. Corolario Sea A una abierto conexo y f : A R n R m una función diferenciable en A tal que Df (x) = 0, para todo x A, entonces f es constante en A.

56 Diferenciablidad de funciones de varias variables Veamos más ejemplos.