La Diferencial de Fréchet

Transcripción

1 Capítulo 2 La Diferencial de Fréchet Dedicaremos este capítulo a extender la derivabilidad a las funciones de varias variables reales. Límites y continuidad El contenido de este parágrafo es eminentemente práctico. En él se exponen algunas técnicas para el estudio de la continuidad (existencia de ite) para una función de varias variables reales, f : A R n R p. Si p = 1, es decir si f toma sus valores en R, se dirá que f es una función escalar. Cuando p > 1, una función de este tipo se dirá que es una función vectorial. En ese caso escribiremos f = (f 1, f 2,..., f p ), donde f i (x) es la coordenada i-ésima de f(x), es decir las funciones f 1, f 2,..., f p son las funciones coordenadas de f. Definición 2.1 Sea f : A R n F (F un espacio normado) y a un punto de acumulación de A. Diremos que el punto l F es ite de la función en el punto a, lo que denotaremos como f(x) = l, x a x A si para ε > 0, existe δ > 0 tal que si x A y 0 < x a < δ entonces f(x) l < ε. 11

2 12 La Diferencial de Fréchet 2.1 Es claro que la función f es continua en a A A si y sólo si f(x) = f(a), x a x A Nótese también que la definición de ite es independiente de la norma de R n que se utilice. En efecto si es otra norma sobre R n, sabemos que existen dos constantes mayores que 0, α, β, tal que α x x β x. Entonces si para ε > 0, existe δ > 0 tal que si x A y 0 < x a < δ implica f(x) l < ε, tomando δ 1 = (1/β)δ resulta que 0 < x a < δ 1 implica f(x) l < ε. De igual manera la existencia o no de ite se mantiene si se cambia la norma de F por otra equivalente. Si no se dice otra cosa cuando nos encontremos con la expresión x a f(x) supondremos que la función f está definida en alguna bola reducida de centro a. Observar en todo espacio normado toda bola es un conjunto con infinitos elementos y por lo tanto si A = B(a, r) \ {a} entonces a A. Proposición 2.2 Si f tiene p funciones coordenadas f = (f 1, f 2,..., f p ), entonces f(x) = l = (l 1,..., l p ) f i (x) = l i x a x a Demostración. Si en R p utilizamos la norma producto, es evidente que la definición de ite para f en a puede expresarse en los siguientes términos: para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que 0 < x a < δ f i (x) l i < ε, i lo que equivale a decir que l i es el ite de f i en a, para todo i. 2.3 Como fácilmente puede probarse las reglas habituales del cálculo de ites se mantienen para funciones de varias variables. Si embargo, no disponemos ahora de la importante herramienta que para funciones de una variable suponía regla de l Hopital. Para simplificar trabajaremos con funciones escalares de dos variables, entonces, de acuerdo con la definición 2.1, l = f(x, y), (x,y) (x 0,y 0 )

3 2.6 La Diferencial de Fréchet 13 si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que x x 0 < δ, y y 0 < δ 0 < (x x 0, y y 0 ) < δ x x 0 + y y 0 < δ (x x0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ... f(x, y) l < ε, A continuación establecemos algunas condiciones necesarias para la existencia de ite. Definición 2.4 (Límites iterados) Con las notaciones anteriores, a cada uno de los ites ( f(x, y)), x x 0 y y 0 ( f(x, y)) y y 0 x x 0 se les denomina ites iterados. Proposición 2.5 Si existe el ite de una función en un punto (x 0, y 0 ) es decir, l = (x,y) (x0,y 0 ) f(x, y), entonces también existen y son iguales a l los ites iterados. (Se supone que para cada y y 0 y x x 0 existen los ites x x0 f(x, y) y y y0 f(x, y)). Demostración. Resulta directamente de aplicar la definición de ite. Definición 2.6 (Límites direccionales) Llamaremos ites direccionales de la función f en el punto (x 0, y 0 ) a los ites siguiendo rectas que pasen por el punto, es decir x x0 f(x, y 0 + m(x x 0 )). (Análoga definición para ite siguiendo curvas que pasan por el punto). Nota. La definición 2.4 se generalizan de manera natural al caso de funciones de 3 o más variables. Para generalizar también la noción de ites direccionales de una función en un punto, deberemos escribir en forma paramétrica las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto. Así si a = (a 1,..., a n ), entonces x 1 = a 1 + th 1, x 2 = a 2 + th 2,..., x n = a n + th n

4 14 La Diferencial de Fréchet 2.6 es la ecuación de la recta que tiene como vector director h = (h 1,..., h n ) y que pasa por a. El ite siguiendo esta recta será entonces f(a 1 + th 1,..., a n + th n ). t 0 Para n = 2 el ite anterior coincide con el ite direccional en el sentido de la definición 2.6, siguiendo la recta de pendiente m = h 2 /h 1. Como en el caso de los ites iterados, es evidente que la existencia de ite implica la de los ites direccionales y siguiendo curvas. Se deduce, pues, que la existencia de los ites iterados, direccionales y siguiendo curvas son condiciones necesarias para la existencia del ite. Por lo tanto: NO existe ite cuando 1. No existe alguno de los ites iterados o existen pero son distintos. Ejemplo 2.7 Consideremos la función f(x, y) = x2 + y x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0); f(0, 0) = 0. Esta función no es continua en (0, 0) ya que uno de los ites iterados no existe: ( x 2 + y y 0 x 0 x 2 + y ) = y 2 y 0 y = ±1. Ejemplo 2.8 Este es un ejemplo de una función para la que los ites iterados existen pero son diferentes (luego el ite no existe) Se tiene que f(x, y) = (x + y 1) ln(x2 + 2y 2 ) (x 1) 2 + y 2, si (x, y) (1, 0). ( 2(x 1) ln x f(x, y)) = x 1 y 0 x 1 (x 1) 2 = 2 ( y ln(1 + 2y 2 ) 4y f(x, y)) = y 0 x 1 y 0 y 2 = y y 2 = No existe alguno de los ites direccionales o existen, pero no son iguales.

5 2.12 La Diferencial de Fréchet 15 Ejemplo 2.9 Sea f(x, y) = xy x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0). Los ites direccionales de esta función no son todos iguales. En efecto: mx 2 f(x, mx) = x 0 x 0 (m 2 + 1)x 2 = m m que depende de m. Se deduce pues que el ite no existe. Ejemplo 2.10 Sea f(x, y) = x 2 y x 4 + (y x) 2 si (x, y) (0, 0); f(0, 0) = 0. Es inmediato comprobar que x 0 f(x, mx) = 0 para m 1. En cambio para m = 1 el ite anterior no existe, es decir la función no tiene ite en (0,0) siguiendo la recta y = x y por lo tanto no admite ite en ese punto (no es continua en (0,0)). 3. No existe el ite siguiendo alguna curva que pasa por el punto o el ite varía dependiendo de la curva que se tome. Ejemplo 2.11 Consideremos la función f(x, y) = xy2 x 2 + y 4 si (x, y) (0, 0). Tanto los ite iterados como los ites direccionales en el punto (0,0) existen y valen 0, sin embargo esta función no tiene ite en ese punto, ya que si tomamos las curvas y = m x, se tiene: f(x, m m 2 x 2 x) = x 0 x 0 x 2 + m 4 x 2 = m2 m Es decir los ites siguiendo esa familia de curvas existen todos pero son diferentes entre sí, luego el ite no existe. Ejemplo 2.12 Sea f(x, y) = x 2 ln y x 4 + (x 2, si (x, y) (0, 1); f(0, 1) = 0. + ln y) 2

6 16 La Diferencial de Fréchet 2.12 Es inmediato comprobar que también en este caso los ites iterados en (0,1) valen 0. En cuanto a los ites direccionales x 0 x 2 ln(1 + mx) x 4 + (x + ln(1 + mx)) 2 = x 0 ln(1 + mx) x 2 + (x + 1/x ln(1 + mx)) 2 = ln 1 m 2 = 0. Sin embargo tampoco existe el ite ya que si consideramos la curva y = e x2, que obviamente pasa por (0,1), la función admite ite siguiendo esta curva, pero es diferente de 0. Derivadas parciales Para funciones de una variable disponemos de unas reglas de cálculo de derivadas, las llamadas reglas de derivación. Por ejemplo sabemos que la función si f(x) = x 2 + x sen x satisface las hipótesis necesarias para poder aplicar estas reglas para calcular su derivada y así obtener que f (x) = 2x + sen x + x cos x. En particular podemos obtener el valor de la derivada en un punto concreto a sin más que sustituir a en la igualdad anterior, de este modo f (π) = 2π + 0 π = π. Cuando estas reglas no son aplicables en algún punto a, aún la función puede admitir derivada en a. Por ejemplo si f(x) = x 2 + x sen x, x [ π/2, π/2] y queremos calcular f (x), se puede aplicar la regla de la cadena para hacer este cálculo en todo punto x distinto de 0. De este modo para x 0 se tiene f (x) = 1/2(2x + sen x + x cos x)(2x + sen x + x cos x) 1/2. En cambio no podemos aplicar la regla de la cadena para calcular f (0) pues para ello sería necesario que la raíz cuadrada (como función de una variable) fuese derivable en 0. Para estudiar la existencia de f (0) recurrimos a la definición de derivada en un punto: f f(x) f(a) (a) =. x a x a Entonces para la función del ejemplo tendríamos f (0) = x 0 x 2 + x sen x x { 2 si x 0 + = 2 si x 0 Una situación idéntica se plantea cuando se tiene una función f de varias variables, supongamos para concretar de 2-variables x, y, y se quiere calcular la derivada (parcial) de f respecto a una de las variables. Por ejemplo si f(x, y) = x 2 + y sen y la derivada parcial de f respecto de x en un punto (x, y) no es otra cosa que la derivada de la función de 1-variable

7 2.13 La Diferencial de Fréchet 17 que se obtiene al considerar y en la derivación como una constante. Luego x (x, y) = 2x y análogamente y (x, y) = sen y + y cos y. En particular podemos obtener el valor de la derivadas parciales en un punto concreto (a, b) sin más que sustituir (a, b) en las igualdades anteriores. De igual modo si f(x, y) = x 2 + y sen y, y [ π/2, π/2], se pueden aplicar en cada (x, y) (0, 0) las reglas de derivación de las funciones de una variable para deducir que x (x, y) = x(x2 + y sen y) 1/2 ; y (x, y) = 1 2 (sen y + y cos y)(x2 + y sen y) 1 2. Como antes, no podemos aplicar la regla de la cadena para estudiar la existencia de la derivada parcial respecto a x (o respecto a y) en el punto (0, 0), sino que habremos de recurrir a la definición de derivada parcial respecto a x (o respecto a y) en un punto (a, b), que de acuerdo a lo anterior no es más que derivada en a de la función de la variable x (o y) que se obtiene al sustituir en la definición de f la variable y (o x) por b (o a) i.e., (a, b) = x x a Más generalmente, f(x, b) f(a, b) ; x a f(a, y) f(a, b) (a, b) = y y b y b Definición 2.13 Sea f : A R n F y sea a o A. Llamaremos derivada parcial j-ésima de f en a a la derivada en a j de la aplicación de 1-variable g : x j f(a 1,.., a j 1, x j, a j+1,.., a n ) La denotaremos por (/ x j )(a) o, también, D j f(a). Por tanto: f(a 1,..., a j 1, x j, a j+1,..., a n ) f(a) (a) =. x j x j a j x j a j Ejemplo (Una función no continua en un punto, que admite en ese punto derivadas parciales respecto a cualquier índice). f(x, y) = xy x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0); f(0, 0) = 0. Es fácil ver que las do derivadas parciales de esta función son nulas en (0,0). Por otras parte la función no es continua en (0,0) pues los ites direccionales de f en (0,0) existen pero no son todos iguales: x 0 mx 2 x 2 + m 2 x 2 = m 1 + m 2

8 18 La Diferencial de Fréchet 2.13 Diferenciabilidad en un punto Hemos visto que una función de varias variables puede admitir derivadas parciales en un punto a sin ser continua en a. Esto indica que si se quiere que las funciones de varias variables que sean derivables en un punto sean continuas en ese punto, no va a bastar que se les exija sólo la existencia de derivadas parciales. Definición 2.14 Sea f : A R n F, a o A. Se dice que f es diferenciable o derivable en a (en el sentido de Fréchet), si admite derivadas parciales respecto a cualquier índice en a y además se satisface la siguiente condición: (D) n j=1 f(x) f(a) x j (a)(x j a j ) = 0, x a x a Para funciones de una variable, la definición anterior coincide con la de función derivable en un punto. En efecto, supongamos que f es una función de una variable (con valores en un espacio normado F ) derivable en a, entonces f(x) f(a) = f f(x) f(a) f (a)(x a) (a) = 0 x a x a x a x a f(x) f(a) f (a)(x a)] = 0. x a x a Nota. Observemos en primer lugar que la definición anterior es independiente de la norma que consideremos en R n. En efecto si es otra norma sobre R n, sabemos que existen dos constantes mayores que 0, α, β, tal que α x x β x. Entonces si f(a + h) f(a) se tiene también que n j=1 x j (a)h j ε h cuando h δ, f(a + h) f(a) n j=1 x j (a)h j βε h cuando h 1/βδ,

9 2.16 La Diferencial de Fréchet 19 Ejemplo 2.15 La función f(x, y) = x3 y 3 x 2 ; f(0, 0) = 0 + y2 es continua y admite derivadas parciales respecto a ambas coordenadas en (0,0) pero no es diferenciable en (0,0). Proposición 2.16 La función f : A R n F es diferenciable en un punto a A o si y sólo si existe una aplicación lineal J : R n F tal que f(x) [f(a) + J(x a)] (2.1) = 0. x a x a Demostración. Antes de nada debemos tener en cuenta que una aplicación lineal L de R n en F está determinada unívocamente por una matriz (c 1, c 2,..., c n ) con c j F, mediante la igualdad L(x 1, x 2,..., x n ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 + +c n x n. Por otra parte estas aplicaciones son siempre continuas, de hecho lipschitzianas: L(x) L(y) = c j (x j y j ) ( c j ) x j y j. De la definición de función diferenciable y lo anterior se deduce que la condición f diferenciable en a implica que la aplicación lineal J cuya matriz asociada es la matriz jacobiana ( x 1 (a),..., x n (a)), satisface la condición (D). Recíprocamente supongamos que existe una aplicación lineal J : R n F tal que f(x) [f(a) + J(x a)] = 0, x a x a entonces si J está determinada por la matriz (c 1, c 2,..., c n ), se tiene: f(x) [f(a) + c j (x j a j )] = 0. x a x a Para probar que f es diferenciable en a habrá que ver que c i = x i (a). De lo anterior se deduce, en particular que f(a 1,..., x i,..., a n ) [f(a) + c i (x i a i )] = 0 x i a i x i a i y por tanto f(a 1,..., x i,..., a n ) [f(a) + c i (x i a i )] = 0, x i a i x i a i lo que implica que x i a i f(a 1,..., x i,..., a n ) f(a) x i a i = c i.

10 20 La Diferencial de Fréchet 2.16 Teniendo en cuenta la proposición anterior sólo puede existir una aplicación lineal satisfaciendo la condición de diferenciabilidad. La definición siguiente es consecuencia natural de este hecho: Definición 2.17 Si f : A R n F es diferenciable en el punto a A, o a la aplicación lineal de R n en F determinada por la matriz jacobiana ( x 1 (a),..., x n (a)) (la única que que satisface la condición 2.1), la llamaremos diferencial de la función f en a, y la denotaremos como Df(a). Proposición 2.18 Una función diferenciable en un punto a es continua en ese punto. De hecho, existe alguna bola centrada en B(a, r) y alguna constante M 0 tal que si x B(a, r), entonces f(x) f(a) M x a. Demostración. Por la diferenciabilidad de f en a existe r > 0 tal que si x a r entonces f(x) f(a) Df(a)(x a) x a 1 f(x) f(a) Df(a)(x a) x a. Sea V = B(a, r) y x V, entonces teniendo en cuenta que Df(a) es lipschitziana, se tiene f(x) f(a) f(x) f(a) Df(a)(x a) + Df(a)(x a) (1 + K) x a. Reglas Formales de Derivación Las reglas de derivación para funciones de una variable se mantienen para funciones de varias variables. Para empezar, supongamos que f, g son derivables en a, entonces para probar que f + g es derivable en a habremos de ver que: (D) n j=1 (f + g)(x) (f + g)(a) x a x a (f+g) x j (a)(x j a j ) = 0, lo cual es cierto sin más que tener en cuenta que las derivadas parciales de una suma de dos funciones es la suma de las derivadas parciales y que lo mismo sucede con el ite de una suma. De igual modo se prueba que si f es diferenciable en a y λ R entonces λf es diferenciable en a.

11 2.19 La Diferencial de Fréchet 21 También si f, g son funciones escalares diferenciables en a, entonces la función f g es diferenciable en a. Como esto es verdad en una variable, las derivadas parciales de f g existen y se calculan por la fórmula de Leibnitz: (f g) (a) = f(a) g (a)+g(a) (a). Luego habrá que ver que se satisface x j x j x j la condición de diferenciabilidad de f g en a tomando como aplicación lineal la aplicación J = f(a)dg(a) + g(a)df(a) (EJERCICIO HOJAS). Proposición 2.19 Sea f : A R n R p, diferenciable en a A. o Si B f(a) y g : B R p F es diferenciable en f(a) B o entonces g f es diferenciable en a y la matriz de las derivadas parciales de g f consiste en el producto de la matriz de las derivadas parciales de g en f(a) por la matriz de las derivadas parciales de f en a. Es decir (2.2) D(g f)(a) = Dg(f(a)) Df(a) (Regla de la Cadena). Demostración. Sea ε > 0. Puesto que f es diferenciable en a, existe δ 1 > 0 tal que si h δ 1 f(a + h) f(a) Df(a)h ε h. De igual modo, por la diferenciabilidad en el punto f(a) de la aplicación g, existe η > 0 tal que si k η g(f(a) + k) g(f(a)) Dg(f(a))k ε k. Por último, y debido también a la diferenciabilidad de f en a (ver 2.18), existen δ 2 > 0 y α > 0 tal que si h δ 2 entonces f(a + h) f(a) M h η. Luego, para h δ = mín(δ 1, δ 2 ) y k = f(a + h) f(a), se tiene (g f)(a + h) (g f)(a) (Dg(f(a)) Df(a))h g(f(a) + k) g(f(a)) Dg(f(a))k + Dg(f(a))(f(a + h) f(a) Df(a)h ε k + ε Dg(f(a)) h (α + Dg(f(a)) )ε h. Esto demuestra que si h δ (g f)(a + h) (g f)(a) (Dg(f(a)) Df(a))h Mε h, donde M = α + Dg(f(a)), es decir que g f es diferenciable en a y que D(g f)(a) = Dg(f(a)) Df(a).

12 22 La Diferencial de Fréchet 2.19 y, en particular, la matriz de las derivadas parciales de g f se obtiene mediante la fórmula, ( (g f) (g f) (a),..., (a) ) = x 1 x n ( g (f(a)),, g ) (f(a)) y 1 y p 1 1 (a) (a) x 1 x n 2 2 (a) (a) x 1 x n p p (a) (a) x 1 x n Esta igualdad matricial nos permite escribir entonces lo que podemos llamar la regla de la cadena para derivadas parciales: (g f) x j (a) = p s=1 g y s (f(a)) s x j (a). Proposición 2.20 Sean f, g : A R n R aplicaciones diferenciables en un punto a. Si g(a) 0 entonces la aplicación h = f/g es diferenciable en a. Se tiene entonces que (2.3) D(f/g)(a) = g(a)df(a) f(a)dg(a) g(a) 2. Demostración. Basta ver que si g(a) 0, entonces la aplicación 1/g es diferenciable en a. Escribiendo 1/g como la composición de las aplicaciones x g(x) 1 g(x), eso se sigue de que la aplicación de R en R, t 1/t, es diferenciable en R \ {0}. La fórmula 2.3 se obtiene de la correspondiente fórmula para funciones de una variable y de la fórmula de Leibnitz. Nota. No consideraremos aquí la diferenciabilidad de la inversa de una función, ya que el estudio de funciones inversas será el objeto de otro capítulo posterior.

13 2.22 La Diferencial de Fréchet Los resultados anteriores nos permitirán construir una extensa familia de funciones diferenciables. Empecemos, por ejemplo, con los polinomios: Como se sabe un polinomio de varias variables es una aplicación de la forma f(x 1, x 2,..., x n ) = finita a i1...i n x i x in n, i k = 0, 1,... Puesto que la suma y el producto de aplicaciones diferenciables es una aplicación diferenciable, es evidente que los polinomios son diferenciables ya que las aplicaciones (x 1, x 2,..., x n ) a i1...i n (x 1, x 2,..., x n ) x ik lo son, como fácilmente puede verificarse. Aplicando 2.20, las funciones racionales (cocientes de dos polinomios) son diferenciables sobre el conjunto de puntos donde el polinomio del denominador no se anula. Por último, mediante la composición de las funciones anteriores con funciones de una variable y diferenciables, se obtienen nuevas funciones de varias variables y diferenciables sen (x 2 + y 2 ), log(1 + x 2 + y 2 ), cos 2 (xyz),... Interpretación geométrica de la diferenciabilidad Es bien conocido que una función de una variable f es derivable en un punto a si y sólo si su gráfica admite una recta tangente (no vertical) en el punto (a, f(a)). Queremos que una función de varias variables que sea derivable en un punto tenga una propiedad geométrica análoga. Previamente debemos formalizar la noción de tangencia. Definición 2.22 Llamaremos curva de R k a toda aplicación continua γ : I R R k, donde I es un intervalo (abierto) de R. Podemos pensar en γ(t) = (x 1 (t),..., x k (t)) como en la posición de un móvil en el instante de tiempo t. Si γ es derivable en un punto t 0 I diremos que el vector γ (t 0 ) = (x 1 (t 0),..., x k (t 0)) es tangente a la curva en c = γ(t 0 ). Es fácil ver que el vector γ (t 0 ) es, conforme a la idea intuitiva que se tiene de tangencia, un vector tangente al subconjunto de Im(γ) = {(x 1 (t),..., x k (t)) : t I}

14 24 La Diferencial de Fréchet 2.23 Definición 2.23 Un vector w de R k se dirá tangente al conjunto M R k en el punto c M, si existe alguna curva γ : I R R k contenida en M que pasa por c y tiene a w como vector tangente en c i.e., i) γ(t) M para cada t, ii) existe t 0 I tal que γ(t 0 ) = c, iii) γ es derivable en t 0 y γ (t 0 ) = w. Geométricamente, un vector tangente a M en c es pues un vector tangente a alguna curva trazada sobre M pasando por c (ver ejercicio 2M para una definición más general de vector tangente.) Al conjunto de vectores tangentes a M en el punto c M se le denotará por T c (M). Siguiendo con el objetivo de interpretar geométricamente la diferenciabilidad de una función en un punto y tratando de evitar en lo posible las complicaciones formales, vamos a permitirnos trabajar con una función escalar de 2-variables. Sea pues f : A R 2 R, y M = {(x, y, f(x, y)): (x, y) A} su gráfica. Sea (a, b) A o y c = (a, b, f(a, b)). Según lo anterior T c (M) será el conjunto de vectores tangentes a curvas contenidas en la gráfica y que pasan por c. Vamos a considerar en primer lugar una familia especial de estas curvas: Sea u = (h, k) un vector de R 2 y consideremos γ(t) = (a+th, b+tk, f(a+th, b+tk)). Obviamente γ es una curva contenida en M que pasa por c = (a, b, f(a, b)). Geométricamente podemos obtenerla mediante la intersección de M con el plano perpendicular al XY y contiene a la recta x = a + th; y = b + tk; z = 0. Así, si γ fuese derivable en t = 0, el vector γ (0) = ( f(a + th, b + tk) f(a, b) ) h, k,, t 0 t sería un vector tangente a M en c. Cuando existe γ f(a+th,b+tk) f(a,b) (0) i.e. cuando existe t 0 t se dice que f es diferenciable en (a, b) siguiendo el vector (h, k) y se escribirá D (h,k) f(a, b) para denotar al valor de ese ite. Cuando f admite derivadas en (a, b) siguiendo cualquier vector se dice que existen las derivadas direccionales de f en (a, b). En tal caso, de lo anterior se deduce que una familia de vectores tangentes a la gráfica de f en c sería {(h, k, D (h,k) f(a, b): (h, k) R 2 }. Vamos a ver a continuación que cuando f es diferenciable en a, entonces esta familia constituye en realidad la totalidad de los vectores tangentes. Proposición 2.24 Sea f : A R 2 R una aplicación diferenciable en el

15 2.24 La Diferencial de Fréchet 25 punto (a, b) o A, c = (a, b, f(a, b)) y M la gráfica de f. Entonces T c (M) = {(h, k, Df(a, b)(h, k)): (h, k) R 2 }. En particular, el conjunto T c (M) es un plano vectorial de R 3 (que no contiene vectores de la forma (0, 0, z) con z 0). Demostración. De acuerdo con el estudio hecho antes, para probar que {(h, k, Df(a, b)(h, k)): (h, k) R 2 } T c (M) sólo será preciso ver que si f es diferenciable en (a, b) entonces f es diferenciable siguiendo cualquier vector (h, k) y que D (h,k) f(a, b) = Df(a, b)(h, k) = (a, b)h + (a, b)k. x y En efecto, observemos en primer lugar que la fórmula es obvia si (h, k) = (0, 0) y tomemos por tanto (h, k) un vector no nulo. Puesto que f es diferenciable en (a, b) se tiene que luego luego t 0 t 0 f(a + th, b + tk) f(a, b) x (th, tk) f(a + th, b + tk) f(a, b) t( x t (h, k) (a, b)(th) + y (a, b)(tk) (a, b)(h) + y (a, b)(k)) f(a + th, b + tk) f(a, b) tdf(a, b)(h, k) = 0, t 0 t = 0, = 0, luego f(a + th, b + tk) f(a, b) tdf(a, b)(h, k) = 0, t 0 t luego f(a + th, b + tk) f(a, b) = Df(a, b)(h, k) t 0 t lo que demuestra que f es derivable en (a, b) siguiendo cada vector (h, k) y que D (h,k) f(a, b) = Df(a, b)(h, k). Recíprocamente, sea w = (h, k, l) R 3 un vector tangente a M en c. Nosotros queremos probar que w = (h, k, Df(a, b)(h, k)). Puesto que w T c (M), debe existir una curva γ : I R R 3 : γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) y un punto t 0 I tal

16 26 La Diferencial de Fréchet 2.24 γ(t) M, luego z(t) = f(x(t), y(t)) γ(t 0 ) = (x(t 0 ), y(t 0 ), z(t 0 )) = (a, b, f(a, b)) y γ (t 0 ) = (x (t 0 ), y (t 0 ), z (t 0 )) = (h, k, l). Se trata pues de ver que de lo anterior se deduce que l = Df(a, b)(h, k). Pero, puesto que z(t) = f(x(t), y(t)), aplicando la regla se tiene que l = z (t 0 ) = Df(x(t 0 ), y(t 0 ))(x (t 0 ), y (t 0 )) = Df(a, b)(h, k). Observemos, por último, que la aplicación (h, k) (h, k, Df(a, b)(h, k)) es una aplicación lineal inyectiva de R 2 en R 3 y por tanto su imagen T c (M) es un subespacio vectorial isomorfo a R 2 (un plano vectorial), que obviamente no contiene vectores de la forma (0, 0, z) con z 0. La proposición anterior se extiende a más variables con idéntica demostración. El enunciado preciso es el siguiente: Proposición 2.25 Si f : A R n F es una aplicación diferenciable en el punto a A, o entonces: (a) f es derivable en a en todas las direcciones y para cada h R n se tiene n D h f(a) = Df(a)h = (a)h j x j (b) Si M es la gráfica de f y c = (a, f(a)), el conjunto T c (M) es un subespacio vectorial isomorfo a E (luego de dimensión n) que no contiene vectores de la forma (0, v) con v 0. Precisamente, T c (M) = {(h, Df(a)h): h R n }. j=1 Ejercicios 2A Estudiar continuidad y existencia de derivadas parciales para las funciones { ln(1 + (x y) 2 ) si x y > 1 1. f(x, y) = x y + ln 2 si x y 1 2. f(x, y) = x 4 + sen 2 xy x 3 3. f(x, y) = x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) 4. f(x, y) = { sen x sen y x y cos x si x y si x = y

17 2E La Diferencial de Fréchet 27 2B Supongamos que f es una función escalar de dos variables, continua en el punto (0,0), y sea g(x, y) = xf(x, y). Probar que g es diferenciable en (0,0). 2C Sean E, F espacios normados, f : A E F y a o A. (a) Si f es diferenciable en a, probar que { f(a + h) f(a) 0 si Df(a) = 0 = h 0 h No existe si Df(a) 0 (b) Probar que si f admite derivadas en a siguiendo cualquier vector y ( ) f(a + h) f(a) = α 0 h 0 h entonces D h f(a) = α h, para todo h E. (c) Deducir de (b) que si dim E > dim F y f satisface ( ) entonces f no puede ser diferenciable en a. Indicación. De ser diferenciable en a, existiría algún vector no nulo en el núcleo de Df(a). (d) Si f es diferenciable en a, entonces son equivalentes: i) Existe h 0 f(a + h) f(a) h ii) Df(a)h = Df(a) h para todo h E. (e) Considerar las funciones f 1 (x, y) = x 2 + y 2 ; f 2 (x, y) = { x2 + y 2 si x 0 x 2 + y 2 si x < 0 Probar que ambas funciones satisfacen la condición ( ) en (0,0), cuando se considera la norma euclídea en R 2. Ninguna de las dos funciones son diferenciables en (0,0), pero mientras que la función f 1 no admite derivadas direccionales, la función f 2 sí. 2D Probar que la función f(x) = x 3/2 sen 1/x, no es lipschitziana en ningún entorno de 0. f(0) = 0 es derivable en 0, pero 2E Estudiar continuidad, existencia de derivadas parciales, existencia de derivadas direccionales y diferenciabilidad en el origen de coordenadas, para cada una de las funciones siguientes. (Supondremos que todas estas funciones toman el valor 0 en

18 28 La Diferencial de Fréchet 2E el origen) 1. f(x, y) = x4 + x 2 y 2 + y 5 x 2 + y 4 2. f(x, y) = x3 y 3 x 2 + y 2 3. f(x, y) = x4 + y 4 x 2 + y 2 5. f(x, y) = ln(1 + xy) x2 + y 2 7. f(x, y) = (x2 + y 3 )(x 2 + y 2 ) x 2 + y 4 8. f(x, y) = 4. f(x, y) = sen (x3 + xyz) x 2 + y 2 + z 2 ln(1 + xy) 6. f(x, y) = 3 x2 + y 2 xy x 2 + x 2 + y 2 2F 1. Estudiar la diferenciabilidad de la función f(x, y) = sen x 2 y 2, en los puntos (0,0) y (1,1). 2. Estudiar la diferenciabilidad en (0,0) de la función f(x, y) = xy α, según los valores de α Estudiar continuidad, existencia de derivadas parciales, existencia de derivadas direccionales y diferenciabilidad en los puntos (0,0) y (0,1), para la función { x4 + sen f(x, y) = 2 (xy) si x 0 x 4 + sen 2 (xy) si x < 0 2G Demostrar que la función es diferenciable en (0,0). Indicación: Probar que f(x, y) = x5 y 3 ; f(0, 0) = 0 x6 + y4 0 x 6 + y 4 y 2 x 3, x, y. 2H En este ejercicio g y ϕ serán en todos los casos una función escalar diferenciable en todo punto (aunque no siempre del mismo número de variables). Supuesto esto, se trata de probar que la función h construida a partir de g es también diferenciable y de calcular sus derivadas parciales en términos de las funciones g y ϕ y sus derivadas parciales: 1. h(x, y, z) = g(x 2 z, sen xyz) 2. h(x, y, z) = g(x + y z 2 ) 3. h(x) = g(x 3, sen x, x 1) 4. h(x) = g(x 2, g(x, sen x)) 5. h(x, y) = g(x 2, g(x, sen y)) 6. h(x, y, z) = xg(xy) + yg(xz) + zg(yz) 7. h(x) = xg(x + g(x)) 8. h(x, y, z) = g(x, y) + g(x, z) + g(y, z) 9. h(x, y) = g(x + ϕ(x, y)) 10. h(x, y) = g(x, yϕ(x, y))

19 2K La Diferencial de Fréchet 29 2I Como en el ejercicio anterior, g y ϕ denotarán funciones escalares diferenciables en todo punto. Sean: (a) h(x, y, z) = g(xy, ϕ(yz)), con ϕ(0) = 0 ; ϕ (0) = 1 ; Dg(0, 0) (2, 3) Calcular las derivadas parciales de h en (0, 1, 0). (b) h(x, y) = x g(x, y, y), con g(1, 0, 0) = 1 ; Dg(1, 0, 0) (1, 2, 2). Calcular las derivadas parciales de h en (1, 0). (c) h(x, y, z) = g(xz, g(y, z)), con g(0, 1) = 0 ; Dg(0, 0) (1, 2) ; Dg(0, 1) ( 3, 4). Calcular las derivadas parciales de h en (0, 0, 1). 2J Probar que la función h(x, y) = x+y 0 e t2 +x dt es diferenciable en cada punto y calcular su diferencial. Indicación: Tener en cuenta el teorema fundamental del cálculo integral: Si f es una función continua en el intervalo [a, b], entonces la función F (x) = x f(t)dt es a derivable y su derivada es F (x) = f(x). 2K Considerar la función f(x, y) = x 2 2y. (a) Obtener la ecuación del plano tangente a la gráfica de f en el punto (0,1,-2). (b) Calcular la derivada de f en (0,1) siguiendo el vector v = (2, 3).

20 30 La Diferencial de Fréchet 2K (c) Encontrar alguna curva sobre la gráfica de la función f, que pase por el punto (0,1,-2) y tenga como vector tangente en ese punto a (2, 3, D (2,3) f(0, 1)). 2L Estudiar la existencia de derivadas direccionales en (0,0) para las funciones f 1 (x, y) = 3 x 3 + y 3 ; f 2 (x, y) = 3 x 3 + y 4 Son diferenciables en (0,0)? Indicación: Para estudiar la diferenciabilidad de f 2 en (0,0), puede resultar útil saber que, si r es un número real > 0 y denotamos por g a la función g(u) = 3 u + r 3 u, entonces g es no negativa y alcanza un máximo absoluto en el punto u = r/2. 2M (Una definición más general de vector tangente) Sea M un subconjunto de un espacio normado G, c M y v G. Se dirá que v es tangente a M en c, si existe una sucesión {z n } de puntos de M y una sucesión de escalares {λ n > 0} tal que: z n c, λ n (z n c) v. Se denotará por T c (M) al conjunto de vectores tangentes a M en c. (a) Probar que un vector no nulo v es tangente a M en c si y sólo si existe una sucesión {z n } M, z n c tal que z n c, z n c z n c v. (b) Sea γ : (a, b) R G una curva contenida en M que pasa por el punto c M. Para concretar, sea c = γ(t 0 ). Probar que si γ es derivable en t 0 entonces el vector v = γ (t 0 ) es un vector tangente a M en c. (c) Sean E, F espacios normados y f : A E F una aplicación continua y derivable siguiendo un vector h en el punto a A. o Probar que el vector (h, D h f(a)) es un vector tangente en el punto c = (a, f(a)) a la gráfica de la función f. (e) Sea f : A E F una función diferenciable en un punto a y M su gráfica: 1. Demostrar que el conjunto de los vectores tangentes a M en el punto c = (a, f(a)) es el subespacio vectorial isomorfo a E, T c (M) = {(h, Df(a)h): h E}. 2. Demostrar que el vector v es tangente a M en c = (a, f(a)) si y sólo si v es tangente en c a alguna curva contenida en M que pasa por c.