Definición 11.1 Sea f : A E F una aplicación r-veces diferenciable en un punto a A. o

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1 Capítulo 11 Teoremas de Taylor Una vez más nos disponemos a extender a las funciones de varias variables resultados ya conocidos para funciones de una variable, los teoremas de aproximación de Taylor. Comenzaremos con la extensión del concepto de polinomio de Taylor y, más generalmente, del concepto de polinomio al marco de los espacios normados. Definiciones Definición 11.1 Sea f : A E F una aplicación r-veces diferenciable en un punto a A. o Llamaremos polinomio de Taylor de orden r de la función f en a a la expresión P r f(ax = f(a + r k=1 1 k! Dk f(ax k, donde con D k f(ax k denotamos abreviadamente a D k f(a(x, k..., x. En dimensión finita, es decir si E = R n, teniendo en cuenta la fórmula que relaciona la diferencial de orden k de una función con sus derivadas 111

2 112 Teoremas de Taylor 11.1 parciales de orden k, el polinomio de Taylor quedará así ( f P r f(ax = f(a + (ax f (ax n x 1 x n + 1 ( 2 f 2 x 2 (ax f (ax 1 x 2 1 x 1 x f (ax 2 x x 2 x Como vemos, el polinomio de Taylor resulta un polinomio de varias variables en el sentido habitual. Observemos que, debido a que se pueden permutar las derivaciones, en el polinomio de Taylor aparecen muchos términos iguales entre sí. Por ejemplo si r 5, el número de términos repetidos, cuya parte literal es x 2 1 x3 7 será igual al número de formas posibles de obtener 5 f x 2 (a 1 x3 7 es decir a las permutaciones con repetición de cinco elementos con dos y tres repetidos, por tanto 5!/2!3!. Luego, una vez agrupados todos estos términos, nos quedará un término en x 2 1 x3 7, cuyo coeficiente será: 1 5! 5! 2!3! 5 f x 2 1 x3 7 (a = 1 2!3! 5 f x 2 (a. 1 x3 7 Definición 11.2 Si E, y F son dos espacios normados, llamaremos polinomio de grado r a toda función de E en F de la forma a 0 + a 1 x + a 2 x a r x r, donde cada a k es una aplicación k-lineal simétrica y continua de E k en F y a r 0. En el polinomio de Taylor los coeficientes a k son precisamente las aplicaciones k-lineales simétricas (1/k!D k f(a. Los teoremas Nuestro objetivo en esta sección será obtener teoremas de aproximación de funciones diferenciables mediante polinomios. Dada una función f, se dirá

3 11.3 Teoremas de Taylor 113 que el polinomio P (x = a 0 + a 1 x + a 2 x a r x r aproxima a f hasta el orden k (k = 1, 2,... en un entorno del punto a si f(a + h P (h h 0 h k = 0. En el siguiente teorema veremos que, como en el caso de una variable, el polinomio de Taylor de orden r de una función r-veces diferenciable en un punto, aproxima hasta el orden r a esta función en un entorno del punto. Para ello vamos a usar como lema una versión conveniente del teorema de aproximación ( local? de Taylor para funciones de una variable Lema 11.3 Sea f : [a, b] R R una función (r-1-veces derivable en [a, b] y r-veces derivable en a. Entonces existe un punto ξ (a, b tal que ( (b ar f r 1 (ξ f r 1 (a f(b P r f(a(b a = f r (a. r! ξ a Demostración. Por inducción sobre r. Veamos que el lema es cierto para r = 2. Consideremos para ello las funciones siguientes g(x = f(x P 2 f(a(x a = f(x ( f(a + f (a(x a + 1/2f (a(x a 2 h(x = (x a 2. Puesto que f es derivable en [a, b], es evidente que g y h son también derivables en [a, b]. Aplicando entonces el teorema del valor medio, se tiene que ( g(b g(a h (ξ = ( h(b h(a g (ξ, a < ξ < b. Haciendo las sustituciones correspondientes obtenemos 2(f(b P 2 f(a(b a(ξ a = (b a 2( f (ξ (f (a + f (a(ξ a, lo que implica f(b P 2 f(a(b a = (b a2 2 ( f (ξ f (a ξ a f (a, que es justamente la fórmula que buscábamos. Supongamos pues, como hipótesis de inducción, que el resultado se verifica para r 1, y consideremos las funciones g(x = f(x P r f(a(x a h(x = (x a r.

4 114 Teoremas de Taylor 11.3 Es inmediato comprobar que g y h son derivables en [a, b]. Aplicándolas entonces el teorema del valor medio, se tiene ( g(b g(a h (ξ 1 = ( h(b h(a g (ξ 1, a < ξ 1 < b. O sea que (11.1 r ( f(b P r f(a(b a (ξ 1 a r 1 = (b a r( f (ξ 1 ( f (a + f (a(ξ 1 a f r (a (r 1! (ξ 1 a (r 1. La expresión entre corchetes es f (ξ 1 P r 1 f (a(ξ 1 a, por lo que aplicando la hipótesis de inducción a f en el intervalo [a, ξ 1 ], podemos escribir f (ξ 1 P r 1 f (a(ξ 1 a = (ξ 1 a r 1 ( f r 1 (ξ f r 1 (a f r (a, (r 1! ξ a donde a < ξ < ξ 1. De esto se deduce, teniendo en cuenta 11.1 que r ( f(b P r f(a(b a (ξ 1 a r 1 luego f(b P r f(a(b a = = (b a r (ξ 1 a r 1 (r 1! (b ar r! ( f r 1 (ξ f r 1 (a ξ a ( f r 1 (ξ f r 1 (a ξ a f r (a. f r (a, Nota. Observemos que el lema anterior no resulta válido para r = 1. Concretamente, no es cierto en general que si f es una función continua en el intervalo [a, b] y derivable en a exista un punto ξ intermedio tal que f(b ( f(a + f (a(b a ( f(ξ f(a = (b a f (a. ξ a En efecto, realizando una serie de operaciones elementales, lo anterior significaría que para algún punto intermedio entre a y b se debería de satisfacer la igualdad f(b f(a b a = f(ξ f(a. ξ a Pero es fácil de encontrar muchas funciones para las que eso no es posible.

5 11.4 Teoremas de Taylor 115 Teorema 11.4 (Local de Taylor Si la aplicación f : A R n R p es r-veces diferenciable en un punto a A, o entonces su polinomio de Taylor de orden r en a aproxima hasta el orden r a f en un entorno del punto a. Es decir f(a + h P r f(ah h 0 h r = 0. Demostración. Es evidente que la demostración estará completa si se prueba que dado ε > 0 existe δ > 0 tal que si h δ entonces f(a + h P r f(ah 1 r! ε h r. Obviamente se puede suponer que f es una función escalar. Por ser f r-veces diferenciable en a existe δ tal que si u δ entonces (11.2 D r 1 f(a + u D r 1 f(a D r f(au u ε. Fijemos h tal que h δ, a + h A y f resulte (r-1-veces derivable en [a, a + h]. Consideremos la aplicación F = f λ, donde λ es la aplicación del intervalo [0, 1] en A dada por λ(t = a + th. Puesto que λ es una aplicación de clase C, la aplicación F es r-veces derivable en 0 y (r-1-veces derivable en [0,1]. Por tanto, a la aplicación de una variable, F, se le puede aplicar el lema anterior, de lo que resulta (11.3 F (1 P r F (01 = 1 r! ( F (r 1 (θ F (r 1 (0 θ F r (0. Para escribir esta igualdad en términos de la función f y sus derivadas, vamos a utilizar la fórmula (que después demostraremos De este modo, 11.3 queda así F (k (t = D k f(a + thh k. f(a + h P r f(a(a + h = 1 ( D r 1 f(a + θhh r 1 D r 1 f(ah r 1 D r f(ah r r! θ = 1 r! D r 1 f(a + θh D r 1 f(a D r f(a(θh h r 1. θ

6 116 Teoremas de Taylor 11.4 Se deduce pues que 1 r! = 1 r! f(a + h P r f(ah D r 1 f(a + θh D r 1 f(a D r f(a(θh h r 1 θ D r 1 f(a + θh D r 1 f(a D r f(a(θh h h r 1. θ h De la condición (11.2 se sigue que D r 1 f(a + θh D r 1 f(a D r f(a(θh θ h ε. Por tanto f(a + h P r f(ah 1 r! ε h r Demostración de la fórmula F (k (t = D k f(a + thh k. Razonemos por inducción. Para k = 1, se obtiene sin más que aplicar la regla de la cadena F (t = D(f λ(t1 = ( Df(λ(t Dλ(t 1 = Df(a + thλ (t = Df(a + thh. Supongamos cierta la fórmula para k 1, es decir F (k 1 (s = D k 1 f(a + shh k 1. Esta aplicación resulta ser la composición de las funciones Luego [0, 1] λ A R n g R s x = a + sh D k 1 f(xh k 1 F (k (t = (F (k 1 (t = D(F (k 1 (t1 = D(g λ(t1 = Dg(a + thh. Para terminar sólo queda calcular la diferencial de la aplicación g en el punto a + th. Para ello consideremos la siguiente descomposición de g: x D k 1 f D k 1 f(x φ D k 1 f(xh k 1

7 11.7 Teoremas de Taylor 117 El segundo factor en la descomposición anterior es una aplicación lineal y continua, por lo que se deduce que F (k (t = Dg(a + thh = D(φ D k 1 f(a + thh = (φ D k f(a + thh = D k f(a + thh k Según el teorema local de Taylor, una condición suficiente para que una función pueda aproximarse hasta el orden r mediante un polinomio, en un entorno de un punto, es que sea r-veces diferenciable en ese punto. Esta condición no es, sin embargo, necesaria (para un teorema recíproco del teorema de Taylor, ver Avez [2, 4.5]. En efecto, consideremos, por ejemplo, la función f(x = x 3 sen 1 x. El polinomio 0 aproxima hasta el orden 2 a la función f en un entorno de 0, pues f(x x 0 x 2 = x sen 1 x 0 x = 0. En cambio, f no es 2-veces derivable en 0. Teorema 11.7 (Unicidad del polinomio de Taylor Sea f : A R n R p y a A. o Entonces, para cada r 1 existe a lo sumo un polinomio de grado r, que aproxima a f hasta el orden r en un entorno del punto a. En particular, si f es r-veces diferenciable en a, entonces ese polinomio es el de Taylor de orden r. Demostración. Para simplificar, vamos a hacer la demostración en el punto a = 0. Supongamos entonces que existen dos polinomios que satisfacen el teorema, es decir f(x (a 0 + a 1 x a r x r x 0 x r = 0 x 0 f(x (b 0 + b 1 x b r x r x r = 0 y probemos que ambos polinomios coinciden. Si llamamos c k = a k b k, nuestra hipótesis implica que c 0 + c 1 x c r x r x 0 x r = 0.

8 118 Teoremas de Taylor 11.7 Se trata de ver, por tanto, que el único polinomio que tiene la propiedad anterior es el idénticamente nulo, o sea que c k = 0 para todo k. Procederemos por inducción. Trivialmente c 0 = 0. Supongamos que c j = 0 si j < k y veamos que también c k = 0 : Observemos en primer lugar que la condición implica que Se tiene entonces c 0 + c 1 x c r x r x 0 x r = 0 c 0 + c 1 x c r x r x 0 x k = 0, k r. 0 = x 0 c k x k c r x r x k = x 0 c k ( x x,..., + c k+1 ( x x,..., ( x + c r x,..., x, x ( ( x = c k x 0 x x,..., x, x +... x, x,..., x x x x donde la segunda igualdad se obtiene gracias a que c ( x j x,..., x, x,..., x x c j x... x ( x c j x 0 x,..., x x, x,..., x = 0, j > k. Hemos obtenido pues que c k x k x 0 x k = 0. Por tanto, cualquiera que sea x 0, se tiene que 0 = t 0 + c k (tx k tx k = t k c k x k t 0 + t k x k = c kx k x k, lo que implica c k x k = 0, para todo x. Para probar que de esto se deduce ya que c k = 0, basta tener en cuenta la siguiente fórmula para aplicaciones k-lineales y simétricas (ver [22] (11.4 c k (x 1,..., x k = 1 k!2 k ε1 ε 2... ε k c k (ε 1 x ε k x k k, donde ε i = ±1.

9 11E Teoremas de Taylor 119 Teorema 11.8 Sea f : A R n R, donde A es un conjunto abierto. Si f es de clase C r en el segmento [a, b] A y (r + 1-veces diferenciable en (a, b, entonces existe un punto ξ (a, b tal que f(b P r f(a(b a = 1 (r + 1! Dr+1 f(ξ(b a r+1. Demostración. Basta aplicar el teorema de Taylor con resto de Lagrange a la función de una variable F (t = f(a + t(b a en el intervalo [0,1]. Nota. El teorema global de Taylor anterior (sólo válido en esta forma para funciones escalares, es para el caso r = 1 el teorema del valor medio para funciones escalares (ver Teorema 8.9: Si f : A R n R es una función continua en el segmento [a, b] A y derivable en (a, b, entonces existe un punto ξ (a, b tal que Ejercicios f(b f(a = Df(ξ(b a = f x j (ξ(b j a j. 11A Obtener el coeficiente del término en x 4 yz 2 del desarrollo de Taylor en el origen de una función de las variables x, y, z. 11B Si en el desarrollo de Taylor en el origen de una función de las variables x, y, z el único término de grado 7 es 3x 4 yz 2, cuáles son las derivadas parciales de orden 7 de esta función en (0, 0, 0? 11C Supuesta conocida la función f y sus derivadas, obtener el polinomio de Taylor de orden 2 de la función g(x, y, z = f(xy, xz en un entorno del punto (0, 0, 0. 11D Obtener el polinomio de Taylor de orden 3 de la funciones f(x, y = cos x cos y ; g(x, y = cos xy en un entorno de (0,0 11E (a Probar que si P es un polinomio de grado r, entonces Q(x = P (x + a es también un polinomio de grado r. De hecho Q es el polinomio de Taylor de orden r de P en el punto a. (b Obtener los polinomios de Taylor de orden 2, 3 y 4 de la función f(x, y, z = 1 + xy + 2yz x 3 3yz 2 en los puntos (0, 0, 0 y (1, 0, 2. Expresar f como un polinomio en potencias de (x 1, y, (z + 2.

10 120 Teoremas de Taylor 11F 11F Sea f(x, y = 3x 2 y 2 +x 4 +y 4 +sen 3 xy. Demostrar que el polinomio de Taylor de orden 5 para la función f en (0,0 es igual a 3x 2 y 2 + x 4 + y 4. 11G Supongamos que f es una función de clase C 6, tal que f(x, y, z (2x yz 2 + x 2 yz + z 3 x 2 (x,y,z (0,0,0 (x 2 + y 2 + z 2 3 = 0. (a Obtener P 6 f(0, 0, 0(x, y, z, P 5 f(0, 0, 0(x, y, z y P 3 f(0, 0, 0(x, y, z (b Calcular las derivadas parciales de f en (0, 0, 0 hasta el orden 6. 11H Demostrar, sin tener que hacer el cálculo, que todas las derivadas parciales de orden 8 de la función f(x, y = sen(x 9 + y 9 son nulas en (0,0. Probar asimismo que igual sucede con las de orden 5 para la función g(x, y, z = cos xyz. 11I Estudiar la existencia de los límites siguientes haciendo el desarrollo de Taylor que convenga y aplicando después el teorema de Taylor que proceda. xy sen x sen y xy sen x sen y 1. (x,y (0,0 x 2 + y 2 2. (x,y (0,0 (x 2 + y 2 3/2 xy sen x sen y sen x + cos y cos x x + y (x,y (0,0 x6 + y 6 (x,y (0,0 x 2 + y 2 2xy 1 + cos 2(x + y sen 2 x + sen 2 y 5. (x,y (0,0 x 2 + y 2 6. (x,y (0,0 x 2 + y 2 7. xe y ye x x + y xe y ye x x + y + x 3 (x,y (0,0 x 2 + y 2 8. (x,y (0,0 x 2 + y 2 9. xe y ye x xe y ye x x + y (x,y (0,0 x 2 + y (x,y (0,0 x 2 + y 2 11J Sean f, g funciones escalares de varias variables y de clase C tales que f(0 = g(0 = 0, y para las que el cociente f(x/g(x está definido en todo punto x 0 de algún entorno de 0 (para concretar se puede suponer por tanto que g(x 0 en ese entorno. (a Para cada x denotemos por r(x y s(x, respectivamente, a los números naturales más pequeños (o infinito tales que D r(x f(0x r(x 0, D s(x g(0x s(x 0. Demostrar que si existe x 0 f(x/g(x = l (l finito, entonces: i r(x s(x para todo x; ii si para algún x, r(x > s(x, l = 0; iii si para algún x, r(x = s(x <, l 0. (b Sea r = min{r(x : x R n }, s = min{s(x : x R n } y supongamos que r y s son finitos, es decir D r f(0 0, D s g(0 0, y éstas son las primeras derivadas de f y g que no se anulan en 0. Se tiene entonces:

11 11L Teoremas de Taylor 121 i Si r < s el x 0 f(x/g(x no es finito. ii Si r = s una condición necesaria para la existencia de x 0 f(x/g(x es que D r f(0 = kd s g(0. En ese caso, si existe el límite, su valor es k (y por tanto 0. iii Sea h(x, y = x2 + y 3 x 2. Es evidente que en este ejemplo + y4 r = s = 2, 1/2D 2 f(0, 0(x, y 2 = 1/2D 2 g(0, 0(x, y 2 = x 2. Sin embargo, no existe (x,y (0,0 f(x, y/g(x, y. iv Si r > s el único valor posible del x 0 f(x/g(x es el 0. (c Cada una de estas condiciones implica la siguiente: i x 0 g(x x s =. ii D s g(0x s 0, x 0. iii Existe λ > 0 tal que g(x λ x s para x en algún entorno de 0. iv Si r > s entonces x 0 f(x/g(x = 0. Si r = s y D r f(0 = ld s g(0 (l 0 entonces x 0 f(x/g(x = l. 11K En cada uno de los ejemplos siguientes comprobar si se satisface la condición necesaria (a y/o alguna de las condiciones suficientes de (c y estudiar la existencia del límite en (0,0. 1. h(x, y = (x y3 (x y 2 + x h(x, y = x5 + y 3 x x 2 y 2 + y 4 x x 4 + y 4 x 2 y 2 + y 6 3. h(x, y = x5 + y 3 x 2 x 3 y 2 + y 4 x x 4 + y 4 x 2 y 2 + y 6 4. h(x, y = x5 + y 3 x 2 x 3 y 2 + y 4 x x 4 + x 2 y 2 + y 6 5. h(x, y = x4 + y 2 x 2 + y 4 x + y 6 x 4 + x 2 y 2 + y 6 6. h(x, y = x5 + y 4 x + y 7 x 4 + x 2 y 2 + y 6 7. h(x, y = x4 + y 2 x 2 + (x + y 6 x 4 + x 2 y 2 + y 6 x sen y y sen x 9. h(x, y = (sen 2 x + sen 2 y 2 x sen y y sen x 8. h(x, y = sen 2 x + sen 2 y xy sen x sen y 10. h(x, y = x 4 + y 4 11L Sea P un polinomio homogéneo de n variables y grado k 1 y f : R R una función derivable hasta el orden que necesitemos. Consideremos la función g = f P. (a Probar que para cada 0 j < k se verifica que P kr+j g(0x = P r f(0(p (x (b Aplicar (a para calcular el polinomio de Taylor de orden 7 en (0,0 de la función f(x, y = cos(x 2 xy.

12 122 Teoremas de Taylor 11M 11M (a Sea f : R R una función n-veces diferenciable en 0. Probar que si 1 k < n, la función es k-veces diferenciable en 0. g(t = f(t P nf(0t t n k ; g(0 = 0 Indicación: Razonar por inducción sobre k. (b Deducir de (a que si f es n-veces diferenciable en 0 (n 2, entonces la función f(t f(0 h(t = ; h(0 = f (0 t es (n 1-veces diferenciable en 0, siendo P n 1 g(0t = f (0 + 1/2!f (0t /n!f (n (0t n 1 (c Utilizar lo anterior para demostrar que las funciones sen x sen y si x y g 1 (x, y = x y cos x si x = y xy si xy 0 g 2 (x, y = xy 0 si xy = 0 son de clase C (g 2 en algún entorno de (0,0. Obtener el polinomio de Taylor de orden 4 en (0,0 de ambas funciones. 11N Sea f : R 2 R. (a Probar que si f es una aplicación de clase C r, entonces la aplicación g(x, y = xf(x, y es (r + 1-veces diferenciable en (0,0. (b Demostrar que P r+1 g(0, 0(x, y = xp r f(0, 0(x, y.

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