Ejercicios de aplicaciones de las derivadas y del teorema del valor medio
|
|
- Esperanza Plaza Venegas
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 Se proponen a continuación varios ejercicios relacionados con las derivadas y sus aplicaciones (por ejemplo, cálculo de etremos, monotonía, cálculo de la imagen de una función, soluciones de ciertas ecuaciones...). Muchos de estos ejercicios requieren la aplicación del teorema de Rolle y del teorema del valor medio. Alguno de ellos (el número 12, por ejemplo) es de especial interés, pues haciendo uso del teorema del valor medio se pueden demostrar ciertas desigualdades muy útiles en las matemáticas en general y en el análisis matemático en particular. Estos ejercicios son de nivel universitario, aunque alguno se podría proponer en bachillerato. Cada uno de los ejercicios contiene la solución más o menos detallada. 1. Determinar la imagen de las siguientes funciones: a) f : [0, 2] R, f () = , [0, 2]. b) f : [1, 2 e] R, f () = ln, [1, 2 e]. c) f : [ 2, 2] {3} R, f () = 1 2 2, [ 2, 2], f (3) = 2. a) La función f es continua y derivable por ser polinómica. Además f (0) = 1, f (2) = 9 y f () = También tenemos que f () = 0 si, y sólo si, = 1, = 1 o = 2. Esto es equivalente a decir que f () = 0 si, y sólo si = 1, = 1 y = 2. Luego f, salvo en = 1, no puede alcanzar ningún etremo relativo en ningún punto del intervalo [0, 2]. Como f (1) = 14 y la imagen por una función continua de un intervalo cerrado y acotado es un intervalo cerrado y acotado (propiedad de compacidad), la imagen de f es el intervalo [1, 14]. b) La función es continua y derivable en el intervalo [1, 2 e] por ser cociente de derivables y no anularse nunca el denominador en dicho intervalo. Por otro lado, f (1) = 0 y f (2 e) = ln 2 2 e e ln 2+1 = 2 e = 0,31. Además f () = 1 ln, con lo que f () = 0 si, y sólo si, 2 1 [ ln ] = 0 = e. Como f (e) = 1 e = 0,368, entonces la imagen de f es el intervalo 0, 1 e = [0, 0,368]. c) Escribamos de una forma equivalente la función f : si 2 < 0 f () = si si = 3 1
2 Claramente f es continua en [ 2, 2]. Observemos además que f () f (0) lím = lím = 2 lím = lím 2 + = Por tanto, f es derivable en [ 2, 2] {0}.De este modo, si [ 2, 2] {0}, se tiene: + 1 si 2 < 0 f () = si 0 < Entonces f () = 0 si, y sólo si, = 1 o = 1. Por tanto, los únicos puntos en los que f puede alcanzar un etremo relativo en el intervalo [ 2, 2] y en los que f sea además derivable son = 1 y = 1. Haremos las imágenes de estos últimos, de los etremos del intervalo, de los puntos donde f no es derivable y del punto aislado = 3, para decidir la imagen de f. f ( 2) = 1, f ( 1) = 0, f (0) = 1, f (1) = 0, f (2) = 1, f (3) = 2 Por tanto, la imagen de f es [0, 1] {2} 2. Sean a y b números reales con a < b. Dar un ejemplo de una función f : (a, b) R, no constante, que alcance un máimo relativo en todo punto de (a, b). 1 si a < a + b f () = 2 a + b 2 si < < b 2 3. Demuéstrese la versión, aparentemente más general, del teorema de Rolle: sea f : (a, b) R una función derivable en (a, b) y supongamos que f tiene límites en los puntos a y b con lím f () = lím f (). Entonces eiste un punto c (a, b) tal que f (c) = 0. a b Sea la función g : (a.b) R definida por g() = lím f () a si = a f () si a < < b lím f () si = b b Es claro que g es continua en [a, b] y derivable en (a, b). Además, por hipótesis g(a) = g(b). Por el teorema de Rolle, eiste c (a, b) tal que g (c) = f (c) = 0. 2
3 4. Sea I un intervalo y f : I R una función derivable en I. Sean I, h R tales que + h I. Probar que eiste un número θ (0, 1) tal que f ( + h) f () = h f ( + θh). Póngase un ejemplo que demuestre que θ no tiene por qué ser único. Compruébese que en los casos I = R, f () = 2, R y f () = e, R, ocurre que, fijados y h, el número θ que aparece sí es único y es independiente de. Aplicando el teorema del valor medio al intervalo [, + h], se tiene que eiste un punto c (, + h) tal que f ( + h) f () = f (c)h. Como c (, + h), entonces eiste θ (0, 1) tal que c = + θh y así f ( + h) f () = h f ( + θh), como queríamos. Para probar que θ no tiene por qué ser único considérese la función f : [0, 1] R definida por f () = 2. Entonces f () = 0, [0, 1] y por tanto dados [0, 1], h R tales que + h [0, 1], es claro que h f ( + θh) = 0 = f ( + h) f (), θ (0, 1). Si I = R y f () = 2, eiste θ (0, 1) tal que f ( + h) f () = h f ( + θh). Pero Entonces y por tanto θ es único. f ( + h) f () = 2 + h 2 + 2h 2 = h 2 + 2h h f ( + θh) = h2( + θh) = 2h + 2θh 2 h 2 + 2h = 2h + 2θh 2 h 2 2θh 2 = 0 1 2θ = 0 θ = 1 2 Ahora, si f () = e, entonces: f ( + h) f () = h f ( + θh) e +h e = h e +θh e (e h 1) = h e e θh e h 1 = h e θh ln(e h 1) = ln h + θh θ = 1 h ln eh 1 h Por tanto, θ es único. 5. Sea I un intervalo y f : I R una función derivable en I. Supongamos que eiste un número real positivo M tal que f () M, I. Probar que f es uniformemente continua. Sean, y I, y supongamos < y. Aplicando el teorema del valor medio a la restricción de f al intervalo [, y], se tiene que c (, y) tal que f (y) f () = f (c)( y). Por tanto, 3
4 f () f (y) = f (c) y M y. Entonces, dado un número real y positivo ε > 0 y tomando δ = ε M, tenemos:, y I, y < δ f () f (y) M y < M ε M = ε con lo que f es uniformemente continua. 6. Sea f : R + R una función derivable en R +. Supongamos que f y f tienen límite en +. Probar que lím f () = 0. + Sea > 0 y n N. Entonces eiste θ (0, 1) cumpliendo f ( + n) f () = f ( + θn)n, o lo que es lo mismo, f ( + θn) = (ver ejercicio 4). Sea { n } = { + θn} +. f (+n) f () n Por hipótesis f tiene límite en infinito con lo que { } { f ( + θn)} = { f f ( + n) f () ( n )} = 0 n tal y como queríamos demostrar. lím f () = Sea f : [a, b] R continua en [a, b] y derivable en (a, b) verificando f (a) = f (b) = 0. Probar que para todo real λ eiste un punto c (a, b) tal que f (c) = λ f (c). Indicación: considérese la función g : [a, b] R definida por g() = e λ f (), [a, b]. Apliquemos el teorema del valor medio a la función g: c (a, b) : g(b) g(a) = g (c)(b a) O sea: e λb f (b) e λa f (a) = ( ) λ e λc f (c) + e λc f (c) (b a) Como f (a) = f (b) = 0, entonces: λ e λc f (c) + e λc f (c) = 0 λ e λc f (c) = e λc f (c) f (c) = λ f (c) 8. Sean a, b, c R con a 2 < 3b. Probar que la ecuación 3 + a 2 + b + c = 0 tiene solución real única. Sea f : R R definida por f () = 3 + a 2 + b + c. Razonando por reducción al absurdo, si eistieran r, t R (r < t) tales que f (r) = f (t) = 0, aplicando el teorema del valor medio 4
5 al intervalo [r, t] tenemos que eiste s (r, t) tal que f (s) = 0, es decir, tal que 3s 2 + 2as + b = 0. Y esto último ocurrirá siempre que el discriminante de la ecuación a + b = 0 sea mayor o igual que cero: 4a 2 12b 0 a 2 3b, lo cual contradice que a 2 < 3b. Por tanto la ecuación 3 + a 2 + b + c = 0 tiene solución real única. 9. Determinar el número de raíces de la ecuación = m según el valor del número m. Sea f () = m. Entonces De este modo: f () = = 15( ) = 15( 1)( + 1)( 2 + 2) f () > 0 (, 1) (1, + ) ; f () < 0 ( 1, 1) Esto quiere decir que f es estrictamente creciente en (, 1) (1, + ) y estrictamente decreciente en ( 1, 1). Por tanto, = 1 es un máimo relativo y = 1 es un mínimo relativo. Como f ( 1) = 22 m y f (1) = 22 m, y teniendo en cuenta además que lím f () =, lím f () = +, pueden ocurrir las siguientes situaciones: + Si m < 22, f ( 1) > 0 y f (1) > 0, con lo que f tiene solo una raíz real situada a la izquierda de 1. Si m = 22, f ( 1) > 0 y f (1) = 0, con lo que f tiene dos raíces reales, una de ellas en = 1 y otra menor que 1. Si 22 < m < 22, f ( 1) > 0 y f (1) < 0, con lo que f tiene tres raíces reales, una menor que 1, otra situada entre 1 y 1 y la tercera mayor que 1. Si m = 22, f ( 1) = 0 y f (1) < 0, con lo que f tiene dos raíces reales, una de ellas en = 1 y otra mayor que 1. Si m > 22, f ( 1) < 0 y f (1) < 0, con lo que f tiene solo una raíz real situada a la derecha de Sea f : [0, 1] R derivable y verificando f (0) = 0. Supongamos que la función f es creciente. Probar que la función g : (0, 1] R definida por g() = f (), (0, 1] también es creciente. 5
6 La función g es creciente en el intervalo (0, 1] si, y sólo si, para todo (0, 1]: f () f () 2 0 f () f () 0 Sea 0 < 1 y apliquemos el teorema del valor medio a la función f en el intervalo [0, ]. Eiste pues c (0, ) tal que: f () f (0) = f (c)( 0) f () = f (c) f () f () f () 0 que es justo lo que queríamos demostrar (obsérvese que la penúltima desigualdad se justifica por la hipótesis de que f es creciente). 11. Sea f : [0, 1] R una función derivable, verificando que f (0) = 0 y f () f () para todo [0, 1]. Probar que f () = 0, [0, 1]. Sea 0 < 1. Aplicando el teorema del valor medio en el intervalo [0, ] tenemos que eiste c (0, ) tal que f () = f (c), es decir, tal que f (c) = f (). Como 0 < 1, f () f () y entonces, para todo (0, 1], eiste c (0, 1] tal que f () f (c) f (c). Por tanto, no queda más remedio que f () = 0, [0, 1]. 12. Probar las dobles desigualdades siguientes: 1 + e 1 + e, R ; 1 + ln(1 + ), ( 1, + ) Sea f () = e y > 0. Aplicando el teorema del valor medio al intervalo [0, ], eiste c (0, ) tal que f () 1 = f (c) e 1 = e c e = 1 + e c Por otro lado, como 0 < c <, entonces, al ser la función eponencial estrictamente creciente tenemos que e 0 < e c < e, y como > 0 tenemos también que < e c < e 1 + < 1 + e c < 1 + e 1 + < e < 1 + e tal y como queríamos demostrar. Si < 0 basta aplicar el teorema del valor medio al intervalo [, 0] y proceder como anteriormente. Si = 0, la doble desigualdad es doble igualdad. Por tanto 1 + e 1 + e, R. 6
7 Sea ahora f () = ln(1 + ) y > 0. Volviendo a aplicar el teorema del valor medio al intervalo [0, ], eiste c (0, ) tal que ln(1 + ) = 1+c 1. Pero: 0 < c < 1 < 1 + c < < c < < c < < ln(1 + ) < 1 + tal y como queríamos demostrar. Si 1 < < 0 se aplica el teorema del valor medio al intervalo [, 0]. Si = 0 la doble desigualdad es claramente una doble igualdad. Por tanto, ln(1 + ), ( 1, + ) Probar que e e, R +. Indicación: estudiar la función f : R + R dada por f () = ln, R+. Derivando la función dada en la indicación tenemos f () = 1 ln. Entonces: 2 f () = 0 1 ln = 0 ln = 1 = e Por tanto, todo punto de R + distinto de e no puede ser etremo relativo. Además, por un lado: f () 0 1 ln 0 ln 1 e Y, por otro lado, f () 0 1 ln 0 ln 1 e Esto quiere decir que la función f alcanza un máimo relativo en el punto = e, y éste es único (será pues un máimo absoluto). Por tanto, para todo R + tenemos: f () f (e) ln tal y como queríamos demostrar. 1 e e ln ln e ln e e e 14. Sea f : [0, 1] R una función derivable en I = [0, 1] verificando f (0) = f (0) = 0 y que f (1) = 1. Probar que [0, 1] f (I). Como f (0) = 0, entonces 0 f (I). Aplicando el teorema del valor medio en el intervalo [0, 1], eiste c (0, 1) tal que f (1) f (0) = f (c)(1 0) f (1) = f (c) f (c) = 1 7
8 De lo anterior se deduce que también 1 f (I). Por tanto, al ser f (I) un intervalo (ver parte v) del teorema 3 del artículo dedicado al teorema del valor medio), todo punto comprendido entre 0 y 1 también pertenece a f (I). Es decir, [0, 1] f (I). 15. Sea f : R R una función derivable en R. Sea a un número real tal que f (a) > 0 y supongamos que f es continua en a. Probar que f es estrictamente creciente en un cierto intervalo abierto de centro a. Como f es continua en a y f (a) > 0, utilizando el lema de conservación del signo, eiste un número real y positivo δ tal que si es cualquier punto de R verificando a < δ, se tiene que f () f (a) > 0 ( f () tiene el mismo signo que f (a)). Como f (a) > 0, entonces f () > 0, (a δ, a + δ), es decir, f es estrictamente creciente en un cierto intervalo abierto de centro a. 16. Sea A un conjunto no vacío de números reales que no tenga puntos aislados. Probar que si A no es un intervalo eiste una función de A en R derivable con derivada nula en todo punto de A y que no es constante. Si A no es un intervalo, eisten a, b A con a < b, de forma que (a, b) no está contenido en A. Luego eiste c (a, b) tal que c / A. Así A = A 1 A 2, donde A 1 = {a A : a < c} y A 2 = {a A : a > c}. Tomemos pues { 1 si A f () = 1 0 si A 2 Es claro que f () = 0, A y f no es constante. 17. Dar un ejemplo de una función f : R R derivable en R, con f () = 0 para todo R, que no sea monótona. Sea f : R R definida por f () = 2. Entonces f () = 2 = 0, R. Además, f decrece estrictamente en (, 0) y crece estrictamente (0, + ), luego no es monótona. 8
Teorema del Valor Medio
Tema 6 Teorema del Valor Medio Abordamos en este tema el estudio del resultado más importante del cálculo diferencial en una variable, el Teorema del Valor Medio, debido al matemático italo-francés Joseph
Más detallesTeoremas de Convergencia
Capítulo 24 Teoremas de Convergencia El teorema de la convergencia monótona (Lema 21.3) establece ciertas condiciones sobre una sucesión de funciones medibles para que se puedan permutar los símbolos y
Más detallesTema 2 Resolución de EcuacionesNo Lineales
Tema 2 Resolución de Ecuaciones No Lineales E.T.S.I. Informática Indice Introducción 1 Introducción 2 Algoritmo del método de Bisección Análisis del 3 4 5 6 Algoritmo de los métodos iterativos Interpretación
Más detallesLímites y continuidad
Límite funcional 6 6. Límite funcional 79 6.2 Límites infinitos y en el infinito 8 6.3 Cálculo de límites 83 6.4 Continuidad 84 6.5 Teorema del valor intermedio 87 6.6 Monotonía 89 6.7 Ejercicios 9 La
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS DE INECUACIONES
EJERCICIOS RESUELTOS DE INECUACIONES 1. Resolver las inecuaciones: a) 3-8 - 7 b) 6-5 > 1-10 a) Para resolver la inecuación, se pasan los términos con al primer miembro y los independientes al segundo quedando
Más detallesCONTINUIDAD DE FUNCIONES. SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos.
CAPÍTULO IV. CONTINUIDAD DE FUNCIONES SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos. 121 A. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN CONTINUA. Una función
Más detallesAplicaciones de la derivada
CAPÍTULO 8 Aplicaciones de la derivada 8. Máimos mínimos locales Si f. 0 / f./ para cada cerca de 0, es decir, en un intervalo abierto que contenga a 0, diremos que f alcanza un máimo local o un máimo
Más detalles4. Resolución de indeterminaciones: la regla de L Hôpital.
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Lección. Funciones y derivada. 4. Resolución de indeterminaciones: la regla de L Hôpital. Sean f y g dos funciones derivables en un intervalo abierto I R y sea
Más detallesProblemas de limites, continuidad y derivabilidad. Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y exponenciales
Problemas de limites, continuidad y derivabilidad Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y eponenciales - ) = [ = = = = = = = . ) = [0. ] = = = = = = = = = 0 = [ = p=
Más detallesFunciones convexas Definición de función convexa. Tema 10
Tema 10 Funciones convexas Los resultados obtenidos en el desarrollo del cálculo diferencial nos permiten estudiar con facilidad una importante familia de funciones reales de variable real definidas en
Más detallesTeorema del valor medio
Práctica 6 - Parte 1 Teorema del valor medio El teorema del valor medio para derivadas (o teorema de Lagrange) es un resultado central en la teoría de funciones reales. Este teorema relaciona valores de
Más detallesCálculo I (Grado en Ingeniería Informática) Problemas adicionales resueltos
Cálculo I (Grado en Ingeniería Informática) - Problemas adicionales resueltos Calcula el ĺımite lím ( n + n + n + ) n Racionalizando el numerador, obtenemos L lím ( n + n + n (n + n + ) (n + ) + ) lím
Más detallesx si x 2 Q 1 x si x 2 R Q
Relacion 4.CONTINUIDAD Y LÍMITE FUNCIONAL 1 Demuestrese i) que si una función tiene límite, éste es único. ii) aplicando la de nición de límite, que a) lim!0 sen 1 =0 b) lim!1 1 = 1 ( 1) 4 iii) que no
Más detallesTEMA 12 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES
Tema Derivadas. Aplicaciones Matemáticas I º Bacillerato TEMA INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES TASA DE VARIACIÓN MEDIA DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO EJERCICIO : Halla la tasa de variación
Más detallesEstudio de funciones mediante límites y derivadas
Estudio de funciones mediante límites y derivadas CVS0. El precio del billete de una línea de autobús se obtiene sumando dos cantidades, una fija y otra proporcional a los kilómetros recorridos. Por un
Más detallesREPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.. Se pide: x
1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN IBJ05 1. Se considera la función f ( ). Se pide: a) Encontrar los intervalos donde esta función es creciente y donde es decreciente. ( puntos) b) Calcular las asíntotas.
Más detallesDemostraciones a Teoremas de Límites
Demostraciones a Teoremas de Límites Programa de Bachillerato.Universidad de Chile. Otoño, 009 En esta sección solo daremos los fundamentos teóricos que nos permiten resolver los problemas que se nos plantean,
Más detallesx 2 + 1, si x 0 1 x 2 si x < 0 e x, si x > 0 x si 0 x < 2 f(x) = x + 2 si 2 x < 3 2x 1 si 3 x < 4 tgx, 0 < x < π/4
CÁLCULO. Curso 2003-2004. Tema 7. Derivabilidad.. Estudiar la continuidad y la derivabilidad de las funciones: {, si 0 (a) e, si > 0 2 +, si > 0 (b), si = 0 2. Dada la función (c) 2 si < 0 e, si > 0 2
Más detallesƒ : {(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7)}.
SECCIÓN 5. Funciones inversas 5. Funciones inversas Verificar que una función es la inversa de otra. Determinar si una función tiene una función inversa. Encontrar la derivada de una función inversa. f
Más detalles12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO
INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Deinición Se llama tasa de variación media (T.V.M.) de una unción, y = () en un intervalo
Más detallesREPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
8 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Página 86 Descripción de una gráfica. Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos y sin mirar la gráfica que aparece al principio, representa esta
Más detallesProblemas Tema 4 Solución a problemas de Repaso y Ampliación 1ª Evaluación - Hoja 02 - Problemas 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10
página 1/20 Problemas Tema 4 Solución a problemas de Repaso y Ampliación 1ª Evaluación - Hoja 02 - Problemas 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10 Hoja 2. Problema 2 Resuelto por Carmen Jiménez Cejudo (diciembre 2014)
Más detallesCalcula la tangente de las siguientes curvas en los puntos dados: Calcula la derivada de las siguientes funciones: e) f (x) = x x.
Derivadas Definición Reglas de derivación jercicio Calcula la tangente de las siguientes curvas en los puntos dados: a) y = en el origen + b) y = cos() en ( c) y = + en (3, 0) π, 0) d) y = en (, ) Solución
Más detallesFunciones de Clase C 1
Capítulo 7 Funciones de Clase C 1 Vamos a considerar ahora la extensión a varias variables del concepto de función de clase C 1. Cada vez que establezcamos una propiedad de las funciones diferenciables,
Más detallesTerminaremos el capítulo con una breve referencia a la teoría de cardinales.
TEMA 5. CARDINALES 241 Tema 5. Cardinales Terminaremos el capítulo con una breve referencia a la teoría de cardinales. Definición A.5.1. Diremos que el conjunto X tiene el mismo cardinal que el conjunto
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 5 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 0 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 05 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detallesDerivadas 1 1. FUNCIÓN DERIVABLE EN UN PUNTO, DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. CONCEPTO DE FUNCIÓN DERIVADA, DERIVADA SEGUNDA DE UNA FUNCIÓN.
Derivadas. FUNCIÓN DERIVABLE EN UN PUNTO, DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. CONCEPTO DE FUNCIÓN DERIVADA, DERIVADA SEGUNDA DE UNA FUNCIÓN.. Función derivable en un punto, derivada de una función en
Más detallesSe desea estudiar el comportamiento de una función a medida independiente x se aproxima a un valor específico.
Tema: Límites de las funciones Objetivos: Comprender el concepto de límite de una función y las propiedades de los límites. Calcular el límite de una función algebraica utilizando las propiedades de los
Más detallesCoordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 7: Lunes 22 - Viernes 27 de Abril. Contenidos
Coordinación de Matemática I (MAT01) 1 er Semestre de 013 Semana 7: Lunes - Viernes 7 de Abril Cálculo Contenidos Clase 1: Álgebra de límites. Teorema del Sandwich. Cálculo de límites. Límites trigonométricos.
Más detallesSemana 09 [1/28] Sucesiones. 29 de abril de Sucesiones
Semana 09 [1/28] 29 de abril de 2007 Semana 09 [2/28] Definición Sucesión Una sucesión real es una función: f : N R n f (n) Observaciones Para distinguir a una sucesión de las demás funciones, se ocupará
Más detalles1. Convergencia en medida
FACULTAD CS. FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE MA3801 Teoría de la Medida. Semestre 2009-02 Profesor: Jaime San Martín Auxiliares: Andrés Fielbaum y Cristóbal Guzmán Clase auxiliar 7 21 de Septiembre
Más detalles1. Halle el dominio de la función f(x) = ln(25 x2 ) x 2 7x + 12 ; es decir, el conjunto más grande posible donde la función está definida.
Cálculo I (Grado en Ingeniería Informática) Problemas resueltos, 0-3 y 03-4 (segunda parte) Preparado por los profesores de la asignatura: Pablo Fernández, Dragan Vukotić (coordinadores), Luis Guijarro,
Más detallesLímites y Continuidad de funciones de varias variables
1- Se construe un depósito de propano adosando dos hemisferios a los etremos de un cilindro circular recto Epresar el volumen V de ese depósito en función del radio r del cilindro de su altura h - Determinar
Más detallesReglas de l Hôpital Teorema del Valor Medio Generalizado. Tema 7
Tema 7 Reglas de l Hôpital Estudiamos en este tema el método práctico más efectivo para calcular ites de funciones en los que se presenta una indeterminación del tipo [0/0], o [ / ]. Este método se atribuye
Más detallesLímites y continuidad
9 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR Tema 9 Límites y continuidad 9. Límite y continuidad de una función en un punto Definición 9.- Un punto IR se dice punto de acumulación de un conjunto A si,
Más detallesÓrdenes de la convergencia de sucesiones. Condiciones de la convergencia lineal y cuadrática del método de iteración simple
Órdenes de la convergencia de sucesiones. Condiciones de la convergencia lineal y cuadrática del método de iteración simple Estos apuntes están redactados por Maria de los Angeles Isidro Pérez y Egor Maximenko.
Más detallesESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES 1. Sea f : (0, + ) definida como f () = Ln a) Probar que la función derivada f es decreciente en todo su dominio. b) Determinar los intervalos de crecimiento
Más detallesECUACIONES NO POLINÓMICAS CON UNA INCÓGNITA
Unidad didáctica. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones ECUACIONES NO POLINÓMICAS CON UNA INCÓGNITA Una ecuación no polinómica es, en general, más difícil de resolver que una
Más detallesTEMA 3. Funciones. Cálculo diferencial
TEMA 3. Funciones. Cálculo diferencial En este tema vamos a hacer un estudio preliminar de las funciones de una variable real y el importante concepto de derivada. Comenzaremos recordando las funciones
Más detalles1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS
. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS. Hallar el área de la región limitada por la parábola y = y el eje OX. Los cortes de la gráfica de y = con el eje OX son los valores de tales que =, esto es, = y =. El
Más detalles9. Aplicaciones al cálculo de integrales impropias.
Funciones de variable compleja. Eleonora Catsigeras. 8 Mayo 26. 85 9. Aplicaciones al cálculo de integrales impropias. Las aplicaciones de la teoría de Cauchy de funciones analíticas para el cálculo de
Más detallesTEMA 6 INICIACIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL
TEMA 6 INICIACIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL 6.1. TASAS DE VARIACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA 6.1.1. Tasa de variación media La tasa de variación media de una unción en un intervalo a, b es el cociente: b a TVM,
Más detallesCARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN
. DOMINIO CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN inio de o campo de eistencia de es el conjunto de valores para los que está deinida la unción, es decir, el conjunto de valores que toma la variable independiente.
Más detalles1.5 Límites infinitos
SECCIÓN.5 Límites infinitos 8.5 Límites infinitos Determinar ites infinitos por la izquierda por la derecha. Encontrar dibujar las asíntotas verticales de la gráfica de una función., cuando Límites infinitos
Más detallesTEORMAS DE WEIERSTRASS, BOLZANO, ROLLE Y LAGRANGE
TEORMAS DE WEIERSTRASS, BOLZANO, ROLLE Y LAGRANGE PROBLEMAS RESUELTOS + Dada F() =, escriba la ecuación de la secante a F que une los puntos (, F( )) y 4 (, F()). Eiste un punto c en el intervalo [, ]
Más detallesTEMA 4: DERIVADAS. En símbolos, la pendiente de la curva en P = lim Q P (pendiente de P Q).
TEMA 4: DERIVADAS 1. La derivada de una función. Reglas de derivación 1.1. La pendiente de una curva. La pendiente de una curva en un punto P es una medida de la inclinación de la curva en ese punto. Si
Más detallesFunciones integrables en R n
Capítulo 1 Funciones integrables en R n Sean un subconjunto acotado de R n, y f : R una función acotada. Sea R = [a 1, b 1 ]... [a n, b n ] un rectángulo que contenga a. Siempre puede suponerse que f está
Más detallesBLOQUE 4. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE. ESTUDIO DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
BLOQUE 4. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE. ESTUDIO DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Crecimiento y decrecimiento. Extremos absolutos y relativos. Concavidad y convexidad. Asíntotas.
Más detallesEJERCICIOS ADICIONALES.
UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR PREPARADURIA DE MATEMATICAS MATEMATICAS 4 (MA-5) Miguel Guzmán (magt_3@hotmail.com) Tema: SUCESIONES EJERCICIOS ADICIONALES..- Considere la sucesión establecida por la relación
Más detallesTema 10 Aplicaciones de la derivada Matemáticas II 2º Bachillerato 1. ( x) 2x x. Hay dos puntos: (1, 2) y (1, 2)
Tema 0 Aplicaciones de la derivada Matemáticas II º Bachillerato TEMA 0 APLICACIONES DE LA DERIVADA RECTA TANGENTE Escribe e 0 EJERCICIO : la ecuación de la recta tangente a la curva f en 0. Ordenada del
Más detallesDespejando, se tienen las siguientes ecuaciones de la forma : a) b)
MAT 115 B EJERCICIOS RESUELTOS 1. De la siguiente ecuación: Despejando, se tienen las siguientes ecuaciones de la forma : a) b) Calcule la raíz por el método de punto fijo, tomando en cuenta el criterio
Más detallesLimites: Definición: lim
Limites: Definición: El concepto de límite en Matemáticas tiene el sentido de lugar hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito. Por ejemplo: Consideremos la función yy
Más detallesCOL LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS
DEPARTAMENT DE MATEMÀTICA ECONOMICOEMPRESARIAL DEPARTAMENT D ECONOMIA FINANCERA UNIVERSITAT DE VALÈNCIA LLICENCIATURA EN ECONOMIA LLICENCIATURA EN ADMINISTRACIÓ I DIRECCIÓ D EMPRESES DIPLOMATURA EN CIÈNCIES
Más detallesFunciones 1. D = Dom ( f ) = x R / f(x) R. Recuerda como determinabas los dominios de algunas funciones: x x
Funciones. DEFINICIÓN Y TERMINOLOGÍA.. Definición de función real de variable real. "Es toda correspondencia, f, entre un subconjunto D de números reales y R (o una parte de R), con la condición de que
Más detallesManual de teoría: Funciones Matemática Bachillerato
Manual de teoría: Funciones Matemática Bachillerato Realizado por José Pablo Flores Zúñiga Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 1 Contenido: ) Funciones.1 Conceptos Básicos de Funciones. Función
Más detalles3.3 Funciones crecientes y decrecientes y el criterio de la primera derivada
SECCIÓN. Funciones crecientes decrecientes el criterio de la primera derivada 79. Funciones crecientes decrecientes el criterio de la primera derivada Determinar los intervalos sobre los cuales una función
Más detallesLa función, definida para toda, es periódica si existe un número positivo tal que
Métodos con series de Fourier Definición: Función periódica La función, definida para toda, es periódica si existe un número positivo tal que para toda. El número en un periodo de la función. Si existe
Más detallesTERCER TRABAJO EN GRUPO Grupo 10
TERCER TRABAJO EN GRUPO Grupo 10 Problema 1.- Se considera la ecuación x 3 + x + mx 6 = 0. Utilizando el Teorema de Bolzano demostrar que: (i) Si m > 3 la ecuación tiene al menos una raíz real menor que.
Más detalles26 Apuntes de Matemáticas II para preparar el examen de la PAU
6 Apuntes de Matemáticas II para preparar el examen de la PAU Unidad. Funciones.Continuidad TEMA FUNCIONES. CONTINUIDAD. 1. Definición de Continuidad. Tipos de discontinuidades 3. Continuidad de las funciones
Más detallesf: D IR IR x f(x) v. indep. v. dependiente, imagen de x mediante f, y = f(x). A x se le llama antiimagen de y por f, y se denota por x = f -1 (y).
TEMA 8: FUNCIONES. 8. Función real de variable real. 8. Dominio de una función. 8.3 Características de una función: signo, monotonía, acotación, simetría y periodicidad. 8.4 Operaciones con funciones:
Más detallesLa derivada de una función en punto a de su dominio está dada por la fórmula. f(x) f(a) x a. x a
3 Derivación 3.. La derivada La derivada de una función en punto a de su dominio está dada por la fórmula f (a) = lím a f() f(a) a El cociente f() f(a) a es la pendiente de la recta secante a la función
Más detallesREPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Página 5 REFLEXIONA Y RESUELVE Descripción de una gráfica Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos, y sin mirar la gráfica que aparece al principio,
Más detallesProfesorado de Nivel Medio y Superior en Biología Matemática - 1º Cuatrimestre Año 2013 FUNCIÓN CUADRÁTICA
Matemática - º Cuatrimestre Año 0 FUNCIÓN CUADRÁTICA Hemos definido anteriormente la función lineal como una función f: R R de la forma f()a+b con a R y b R, que se representa en el plano mediante una
Más detallesCálculo en varias variables
Cálculo en varias variables Dpto. Matemática Aplicada Universidad de Málaga Resumen Límites y continuidad Funciones de varias variables Límites y continuidad en varias variables 1 Límites y continuidad
Más detallesInstituto Tecnológico Autónomo de México. Departamento de Matemáticas Cálculo Diferencial e Integral I (MAT14100) Lista de Ejercicios.
Instituto Tecnológico Autónomo de Méico Departamento de Matemáticas Cálculo Diferencial e Integral I (MAT400) Lista de Ejercicios La derivada Cálculo Diferencial e Integral I La derivada La derivada Antes
Más detallesTabla de Derivadas. Función Derivada Función Derivada. f (x) n+1. f (x) y = f (x) y = ln x. y = cotg f (x) y = ( 1 cotg 2 f (x)) f (x) = f (x)
Matemáticas aplicadas a las CCSS - Derivadas Tabla de Derivadas Función Derivada Función Derivada y k y 0 y y y y y f ) y f ) f ) y n y n n y f ) n y n f ) n f ) y y n y y f ) y n n+ y f ) n y f ) f )
Más detallesFUNCIONES CONTINUAS EN UN INTERVALO. El Tª de Bolzano es útil para determinar en algunas ocasiones si una ecuación tiene soluciones reales:
FUNCIONES CONTINUAS EN UN INTERVALO Teoremas de continuidad y derivabilidad Teorema de Bolzano Sea una función que verifica las siguientes hipótesis:. Es continua en el intervalo cerrado [, ]. Las imágenes
Más detallesApéndice sobre ecuaciones diferenciales lineales
Apéndice sobre ecuaciones diferenciales lineales Juan-Miguel Gracia 10 de febrero de 2008 Índice 2 Determinante wronskiano. Wronskiano de f 1 (t), f 2 (t),..., f n (t). Derivada de un determinante de funciones.
Más detallesSucesiones Introducción
Temas Límites de sucesiones. convergentes. Sucesiones divergentes. Sucesiones Capacidades Conocer y manejar conceptos de sucesiones convergentes y divergentes. Conocer las principales propiedades de las
Más detallesLímites de funciones de varias variables.
Límites continuidad de funciones de varias variables Límites de funciones de varias variables. En este apartado se estudia el concepto de límite de una función de varias variables algunas de las técnicas
Más detallesUna función f, definida en un intervalo dterminado, es creciente en este intervalo, si para todo x
Apuntes de Matemáticas II. CBP_ ITSA APLICACIONES DE LA DERIVADA.- CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN En una función se puede analizar su crecimiento o decrecimiento al mirar la variación que experimentan
Más detallesAplicando el teorema de los incrementos finitos a la función f(x) = x 2 + 4x - 2 en los extremos [-1, 3] hallar x o
DERIVADAS Y TEOREMAS DE DERIVABILIDAD Aplicando el teorema de los incrementos finitos a la función f(x) = x 2 + 4x - 2 en los extremos [-1, 3] hallar x o El teorema de Lagrange dice que: f(3) - f(-1) =
Más detallesFUNCIONES. Función. π k π +, k } (los puntos que quitamos anulan el coseno). 2. tg x: {x / x =
Función FUNCIONES Es una relación entre dos magnitudes variables, de tal manera que a cada valor de la primera, llamada independiente, le corresponde un único valor de la segunda, llamada dependiente.
Más detallesTeoría Tema 3 Teoremas de derivabilidad
página 1/10 Teoría Tema 3 Teoremas de derivabilidad Índice de contenido Teorema de Rolle...2 Teorema del valor medio de Lagrange (o de los incrementos finitos)...4 Teorema de Cauchy...6 Regla de L'Hôpital...8
Más detalles«La derivada de una función en un punto representa geométricamente la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto»
TEMA 10 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO f (a): Consideremos una función f(x) y un punto P de su gráfica (ver figura), de abscisa x=a. Supongamos que damos a la variable independiente x un pequeño incremento
Más detallesTema 7: Aplicaciones de la derivada, Representación de Funciones
Tema 7: Aplicaciones de la derivada, Representación de Funciones 0.- Introducción 1.- Crecimiento y Decrecimiento de una función. Monotonía..- Máimos y mínimos de una función.1.- Etremos relativos...-
Más detalles3.4 Concavidad y el criterio de la segunda derivada
90 CAPÍTULO 3 Aplicaciones de la derivada 3.4 Concavidad el criterio de la segunda derivada Determinar intervalos sobre los cuales una función es cóncava o cóncava. Encontrar cualesquiera puntos de infleión
Más detallesEJERCICIOS TEMA 1 CÁLCULO DIFERENCIAL EN UNA VARIABLE
EJERCICIOS TEMA CÁLCULO DIFERENCIAL EN UNA VARIABLE EJERCICIOS TEMA EJERCICIOS TEMA 3 CONJUNTOS NUMÉRICOS Ejercicio Demostrar, aplicando el principio de inducción, las siguientes propiedades a) + + 3 +
Más detallesGuía de Ejercicios Funciones. Debes copiar cada enunciado en tu cuaderno y realizar el desarrollo, indica la respuesta correcta en la guía 2-1-
Colegio Raimapu Departamento de Matemática Guía de Ejercicios Funciones Nombre del Estudiante: IV Medio Debes copiar cada enunciado en tu cuaderno realizar el desarrollo, indica la respuesta correcta en
Más detalles8.4. CRITERIO DE ESTABILIDAD POR EL METODO DIRECTO DE LIAPUNOV
8.4. CRITERIO DE ESTAB.: METODO DE LIAPUNOV 309 8.4. CRITERIO DE ESTABILIDAD POR EL METODO DIRECTO DE LIAPUNOV Consideremos el sistema autónomo dx = F (x, y) dt (8.32) dt = G(x, y), y supongamos que tiene
Más detallesINSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL TRUJILLO CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA
INSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL TRUJILLO CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles. René Descartes
Más detallesTeoría de la Probabilidad Tema 2: Teorema de Extensión
Teoría de la Probabilidad Tema 2: Teorema de Extensión Alberto Rodríguez Casal 25 de septiembre de 2015 Definición Una clase (no vacía) A de subconjuntos de Ω se dice que es un álgebra si A es cerrada
Más detallesSeminario de problemas-bachillerato. Curso Hoja 8
Seminario de problemas-bachillerato. Curso 202-. Hoja 8 40. Se puede dibujar un triángulo equilátero que tenga los tres vértices sobre puntos de una malla cuadrada? Qué polígonos regulares se pueden dibujar
Más detalles10. LIMITES DE FUNCIONES
10. LIMITES DE FUNCIONES Definición de límite La función no está definida en el punto x = 1 ya que se anula el denominador. Para valores próximos a x = 1 tenemos Taller matemático 1/12 Definición de límite
Más detallesJosé Vicente Ugarte Susaeta. Profesor de la Universidad Comercial de Deusto
MATEMÁTICAS PARA ECONOMÍA Y EMPRESA CÁLCULO DE UNA VARIABLE José Vicente Ugarte Susaeta Profesor de la Universidad Comercial de Deusto Con la colaboración de Miguel Ángel Larrinaga Ojanguren Profesor de
Más detallesx = 0, la recta tangente a la gráfica de f (x)
CÁLCULO DIFERENCIAL JUNIO 004 1. Sea la función e y = estúdiese su monotonía, etremos relativos y asíntotas. (Solución: Es derivable en todos los puntos ecepto en =0. Creciente si < 0. No tiene asíntotas
Más detallesColegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis. (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas)
Análisis (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas) Problema 1: Sea la función Determina: a) El dominio de definición. b) Las asíntotas si existen. c) El o los intervalos de
Más detallesSemana 2 [1/24] Derivadas. August 16, Derivadas
Semana 2 [1/24] August 16, 2007 Máximos y mínimos: la regla de Fermat Semana 2 [2/24] Máximos y mínimos locales Mínimo local x es un mínimo local de la función f si existe ε > 0 tal que f( x) f(x) x (
Más detallesUNIDAD 10. DERIVADAS. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
Unidad 0. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas UNIDAD 0. DERIVADAS. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se llama TASA DE VARIACIÓN MEDIA (TVM) de una función () f en un intervalo
Más detallesTema 7.0. Repaso de números reales y de funciones
Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Repaso de números reales y de funciones 47 Tema 70 Repaso de números reales y de funciones El conjunto de los números reales El conjunto de los números
Más detallesDefinición de derivada Observación: Algunos de los enunciados de estos problemas se han obtenido de Selectividad.
Definición de derivada Observación: Algunos de los enunciados de estos problemas se an obtenido de Selectividad Halla, utilizando la definición, la derivada de la función f ( ) en el punto = Comprueba
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES
EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES. Estudiar el crecimiento, el decrecimiento y los etremos relativos de las siguientes funciones: a) f( ) 7 + + b) ln f( ) c) 5 si < f(
Más detallesIdentificación de inecuaciones lineales en los números reales
Grado Matematicas - Unidad Operando en el conjunto de Tema Identificación de inecuaciones lineales en los números reales Nombre: Curso: A través de la historia han surgido diversos problemas que han implicado
Más detallesPruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León
Pruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León MATEMÁTICAS II EJERCICIO Nº páginas: INDICACIONES:.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo
Más detallesEspacios completos. 8.1 Sucesiones de Cauchy
Capítulo 8 Espacios completos 8.1 Sucesiones de Cauchy Definición 8.1.1 (Sucesión de Cauchy). Diremos que una sucesión (x n ) n=1 en un espacio métrico (X, d) es de Cauchy si para todo ε > 0 existe un
Más detalles1. Estudia la derivabilidad de la función )En qué punto del intervalo (0,ð) la recta tangente a y=tg(x) tiene pendiente 2?.
ejerciciosyeamenes.com EXAMEN DERIVADAS. Estudia la derivabilidad de la función si f ()= si > 3. )En qué punto del intervalo (0,ð) la recta tangente a y=tg() tiene pendiente?. 4. Ecuación de la recta tangente
Más detallesdada por c(x) = donde x indica el tamaño de los pedidos para renovar existencias
FUNCIONES +, si
Más detallesResumen de Análisis Matemático IV
Resumen de Análisis Matemático IV 1. Funciones inversas e implícitas y extremos condicionados 1.1. Teorema de la función inversa Teorema de la función inversa: Sea A abierto de R n, f : A R n tal que f
Más detalles