TEORMAS DE WEIERSTRASS, BOLZANO, ROLLE Y LAGRANGE

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1 TEORMAS DE WEIERSTRASS, BOLZANO, ROLLE Y LAGRANGE PROBLEMAS RESUELTOS + Dada F() =, escriba la ecuación de la secante a F que une los puntos (, F( )) y 4 (, F()). Eiste un punto c en el intervalo [, ] verificando que la tangente a la gráfica de F en (c, F(c)) es paralela a la secante que ha hallado? En caso afirmativo razone su respuesta y calcule c, en caso negativo razone por qué no eiste. 0 5 F ( ) = = ; F () = 6 = 5 La ecuación de la recta secante que pasa por los puntos, y (, ) es: Punto : (, ) y + = 6y 8 = 0 Vector director : 4, (, ) ( 6, ) 6 Por otra parte, la función F () es continua en el intervalo [, ], puesto que su dominio es Dom F() = {4}. Además es derivable en el intervalo (, ). Por tanto podemos aplicar el teorema del valor medio y afirmar que eiste un punto c (, ) tal que: F() F( ) F () = ( ) es decir, eiste al menos un punto en (, ) tal que la tangente es paralela a la secante. Esto es: m secante= 6 Deben coincidir por ser paralelas. m tangente= F'( c) c 8c + 6 F () = F (c) = = ( 4) 6 ( c 4) 6 Desarrollando la ecuación anterior y simplificando queda: c 8c + 4 = 0 cuyas raíces son: c = 4 ±. Eiste sólo un punto que cumple la condición buscada, c = 4, ya que c = 4 + (, ). Demuestra que la función f () = + e corta al eje OX en el intervalo (, ) y tiene un máimo relativo en ese mismo intervalo. La función es continua en el intervalo de estudio y, además, tiene distinto signo en los etremos del intervalo. Por tanto, por el teorema de Bolzano, cortará al eje OX entre y. En efecto: f ( ) = e < 0 y f () = + e < 0 En consecuencia, eistirá un punto c (, ) tal que f (c) = 0. En ese punto, la corta al eje OX. Para ver que tiene un máimo hallamos las derivadas primera y segunda: f () = e = 0 = Ln 0,69 < f () = e f (Ln ) = e Ln = < 0 Como la derivada segunda es negativa en = Ln, para ese valor se tendrá, efectivamente un máimo.

2 Se considera la función f () = ( a) ( b) ( c), con 0 < a < b < c. Demostrar que la ecuación f () = 0 tiene eactamente tres raíces reales. La función f () = ( a) ( b) ( c) es polinómica. Por tanto, es continua y derivable en todo. Además corta al eje OX eactamente en cuatro puntos: = 0, = a, = b y = c. Un esbozo de su gráfica es: Como puede apreciarse visualmente, la curva tiene un máimo y dos mínimos. En las abscisas de esos puntos la derivada se anula, pues son puntos con tangente horizontal (*). Por tanto, la ecuación f () = 0 tiene eactamente tres raíces reales:, y. (*) Esto es consecuencia del teorema de Rolle, que dice: Si f () es una función continua en el intervalo [a, b] y derivable en el intervalo (a, b) que verifica f (a) = f (b), entonces eiste, al menos, un punto c (a, b) tal que f (c) = 0. Aquí los intervalos son: [0, a], [a, b] y [b, c]. Demostrar que la ecuación + + = 0 tiene una única solución real. Consideramos la función f () = + +, que es continua y derivable por ser un polinomio. Como f (0) = y f () =, por el teorema de Bolzano se deduce que la función corta al eje OX en el intervalo (0, ). Luego la ecuación + + = 0 tiene una raíz entre 0 y. Como f () = + + > 0 para todo, la función será siempre creciente. En consecuencia, sólo corta una vez al eje OX. Luego la ecuación + + = 0 sólo tiene una raíz real. Enunciar el teorema de Rolle. Demostrar que la función f () = + a cumple la hipótesis de este teorema en el intervalo [0, ] cualquiera que sea el valor de a. Encontrar el punto en el cual se cumple la tesis. Teorema de Rolle: Sea f () una función continua en el intervalo [a, b] y derivable en el intervalo (a, b) que verifica f (a) = f (b). Entonces eiste, al menos, un punto c (a, b) tal que f (c) = 0. Por tratarse de un polinomio, la función f () = + a es continua para todo número real; en particular en el intervalo [0, ]. Como además f (0) = a y f () = a, también se verifica la segunda hipótesis. En consecuencia, eiste un punto c (0, ) tal que f (c) = 0. Derivando: f () = = ± El valor buscado es =, que es el que cae dentro del intervalo.

3 sen+ sen( + ) Dada la función f () = en el intervalo 0 < < π, calcula su derivada, cos cos( + ) simplificándola en lo posible. Es constante esta función f ()? Derivando como un cociente se tiene: (cos + cos( + ))(cos cos( + )) (sen+ sen( + ))( sen+ sen( + )) f () = = (cos-cos(+)) = (cos cos ( + )) (sen ( + ) sen ) (cos cos( + )) = (cos + sen (sen ( + ) + cos ( + )) = = (cos cos( + )) (cos cos( + )) Como su derivada vale 0, la función es constante. = 0 Nota: Si utilizamos las fórmulas de sumas de senos y cosenos se tiene que: + sen cos sen+ sen( + ) f () = = = cotg cos cos( + ) + sen sen Esta función es constante, y por tanto, su derivada valdrá 0. Enunciar el Teorema del Valor Medio del cálculo diferencial. Usarlo para demostrar que para cualesquiera números reales < y se verifica que cos y cos = y. El teorema del valor medio dice: Si f () es continua en el intervalo [a, b] y derivable en el intervalo (a, b), entonces eiste un punto c (a, b) tal que: f ( b) f( a) = f (c) b a Consideramos la función f () = cos. Esta función es continua y derivable en todo, y en particular en cualquier intervalo [, y]. Por tanto, aplicando el teorema: f ( y) f( ) = f (c), siendo < c < y y Luego: cos y cos = sen c cos y cos = (y ) ( sen c) y Como sen c para cualquier valor de c, se tendrá que: (y ) ( sen c) y Por tanto, cos y cos y. Demuestra que la función y = sen π tiene un máimo relativo en el intervalo (, 0) y un mínimo relativo en el intervalo (0, ). Menciona los resultados teóricos que utilices. La función dada es continua y derivable (con derivada continua) en todo, y en particular en los intervalos [, 0] y [0, ]. Por tanto cumple el teorema de Rolle, el de Bolzano y todos los relativos a continuidad y derivabilidad. Como y () = 0, y (0) = 0 e y () = 0, por el teorema de Rolle, eistirá un valor c (, 0) en donde y (c) = 0; y por lo mismo, otro punto c (0, ) en el que y (c ) = 0. Lo que no sabemos, de momento, es si esos puntos son máimos o mínimos. Haciendo la derivada se tiene: y = cos π.

4 Como y ( ) = + π > 0 e y (0) = π < 0, la función es creciente en un entorno de = y decreciente en un entorno de = 0. Por tanto, algún valor c (, 0) tal que y (c) = 0 es un máimo. Como y (0) = π < 0 e y () = + π > 0, la función es decreciente en un entorno de = 0 y creciente en un entorno de =. Por tanto, algún valor c (0, ) tal que y (c ) = 0 es un mínimo. Comprobar que se verifican las hipótesis del teorema de Rolle para la función f () = cos, en el intervalo [π/, π/]. Calcular también el valor al que se refiere la tesis del teorema. La función es continua y derivable en todo ; en particular, en el intervalo [π/, π/]. Además: f (π/) = 0 = f (π/) Por tanto cumple las hipótesis del teorema de Rolle. Luego, eiste un punto c (π/, π/) tal que f (c) = 0. Calculémoslo: kπ f () = 6 cos sen = sen = 0 = kπ = con k El punto buscado es c = π, ya que es el punto que pertenece al intervalo [π/, π/]. Puede aplicarse el teorema de Bolzano a la función f () = sen + cos en el intervalo [0, π]? Encontrar, si eiste, un punto de [0, π] en el cual se anule esta función. Teorema de Bolzano. Si una función es continua en un intervalo [a, b] y toma valores de signo opuesto en los etremos (por ejemplo, f (a) > 0 y f (b) < 0), entonces eiste al menos un punto c [a, b] tal que f (c) = 0. La función f () = sen + cos es continua en todo, en particular en [0, π]. Además: f (0) = sen 0 + cos 0 = y f (π) = sen π + cos π = Luego verifica las hipótesis del teorema de Bolzano. Por tanto, eiste un punto tal que f () = sen + cos = 0. A ojo, se ve que una solución de esa ecuación trigonométrica es = π/. Nota: Hacemos un intento de resolución de la ecuación sen + cos = 0: sen + cos = 0 sen cos + cos cos sen sen = 0 sen cos + cos (cos sen ) sen sen cos = 0 cos (cos sen sen ) = 0 = π/ + kπ Aunque hay más soluciones, a nosotros nos vale con encontrar una: = π/, que, como hemos dicho, puede verse a ojo. Se considera la función f () = arctg. Demostrar que eiste algún número real (0, ) tal que f () =. f () = arctg f () = + Consideramos la función F () = f () = + Esta función es continua en [0, ]. Además, F (0) = y F () =. Luego, por el teorema de Bolzano, eiste un punto c (0, ) tal que F (c) = 0. Por tanto: F (c) = 0 F (c) = c = 0 = c f (c) = c + c + c

5 Podemos aplicar el teorema de Rolle a la función f () = en el intervalo es [, ]? Para qué valor α es f (α) = 0? Teorema de Rolle: Si f () es una función continua en el intervalo [a, b] y derivable en el intervalo (a, b) y además f (a) = f (b), entonces eiste, al menos, un punto c (a, b) tal que f (c) = 0. La función f () = e cumple las hipótesis anteriores en el intervalo [, ], ya que es continua y derivable en él y además: f ( ) = e 0 = y f () = e 0 = Por tanto: El valor pedido es α = 0. e f () = e = 0 = 0 Demostrar que, para cualquier valor de m, la ecuación + m = 0 no tiene dos raíces diferentes que pertenecen al intervalo [0, ]. Consideramos la función f () = + m que es continua y derivable en todo. Su derivada, f () =, vale 0 en = y en =. Como f es negativa para todo (, ), la función es decreciente en todo el intervalo. En consecuencia, f () = + m sólo puede cortar una vez, como máimo, al eje OX en el intervalo (, ). Por tanto, la ecuación + m = 0 sólo puede tener una raíz en ese intervalo. Aplicar, si es posible, a la función f () = sen cos en si el intervalo es [0, π], el teorema de Rolle, dando c (0, π) para el cual f (c) = 0. La función f () = sen cos es continua y derivable en toda la recta. En particular en el intervalo [0, π]. Además: f (0) = sen 0 cos 0 = 0 y f (π) = sen π cos π = 0 Por tanto, puede aplicarse el teorema. En consecuencia, eiste un punto c (0, π) tal que f (c) = 0 f () = cos cos sen sen = cos = 0 = π/ = π/4 El valor buscado es c = π/4 Nota: Hay otra solución: c = π/4 Aplicar el teorema de Bolzano para demostrar que la ecuación = cos tiene al menos una solución dentro del intervalo [0, π/]. Consideramos la función f () = cos. Esa función es continua en todo, en particular en [0, π/]. Además: f (0) = 0 cos 0 = < 0 y f (π) = π cos π = π + > 0 Luego verifica las hipótesis del teorema de Bolzano. Por tanto, eiste un punto c (0, π/) tal que f (c) = 0: f (c) = 0 f (c) = c cos c = 0 c = cos c Esto es, la ecuación = cos tiene una solución que es c. Calcula un punto el intervalo [, ] en el que la recta tangente a la curva y = + es paralela a la cuerda que une los puntos A = (, ) y B = (, 8). El teorema del valor medio dice: Si f () es continua en el intervalo [a, b] y derivable en el intervalo (a, b), entonces eiste un punto c (a, b) tal que: f ( b) f( a) f (c) = b a

6 Como la función y = f () = + cumple las condiciones del teorema se tendrá: f () f () = c (ya que f () = f (c) = c ) 8 = = c c = El punto pedido es =. Considera la función: + si 0 f () = si 0 < cos( ) si > a) Estudia si es derivable en = 0 y en =. b) Razona si se puede asegurar que eiste un punto c en el intervalo [, ] en el cual f (c) = 0. a) Veamos primero la continuidad. La función es continua en todo, salvo quizás en los puntos = 0 y =, que es los que se cambia de un trozo a otro. Si 0 f () 0 Si 0 + f () 0 La función es continua en = 0. Si f () Si + f () cos 0 = La función es continua en =. Salvo en = 0 y =, su derivada es: + si < 0 f () = si 0< < sen( ) si > Para = 0: Si 0 f () Si 0 + f () La función es derivable en = 0. Para = : Si f () Si + f () sen 0 = 0 La función no es derivable en =. La derivada es pues: + si 0 f () = si 0< < sen( ) si > b) En el intervalo [, ] la función es continua y derivable; en consecuencia cumple el teorema de Rolle, y eiste un punto c (, ) tal que f (c) = 0. Ese punto es la solución de: + = 0 =

7 Prueba que la función f () = + cos tiene al menos un mínimo relativo en el intervalo (0, π). La función f () = + cos es continua y derivable para todo. Lo mismo le sucede a su derivada, f () = sen. Como: f (0) = < 0 y f (π) = π > 0 por el teorema de Bolzano, eiste algún punto c entre 0 y π tal que f (c) = 0. Este punto c será el punto singular de la función f. La segunda derivada vale f () = cos. Entonces: f (c) = cos c > 0 (por ser cos α, para todo α) Por tanto, c cumple las condiciones de mínimo relativo: f (c) = 0 y f (c) > 0.

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