TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 2.4. APLICACIONES DE LA DERIVABILIDAD

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1 TEMA. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.4. APLICACIONES DE LA DERIVABILIDAD

2 .4. APLICACIONES DE LA DERIVABILIDAD.4.1. Intervalos de crecimiento y decrecimiento.4.. Etremos locales de una función.4.3. Intervalos de concavidad y conveidad.4.4. Optimización de funciones.4.5. Regla de L Hôpital

3 .4.1. INTERVALOS DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO Dada una función f : R R definida en un intervalo ( a, b), diremos que: a) f es estrictamente creciente en (a,b) si para todos los pares de valores 1, de dicho intervalo se verifica que 1 f ( ) f ( 1 ). b) f es estrictamente decreciente en (a,b) si para todos los pares de valores 1, de dicho intervalo se verifica que 1 f ( ) f ( 1 ). c) f es creciente en (a,b) si para todos los pares de valores 1, de dicho intervalo se verifica que 1 f ( ) f ( 1 ). d) f es decreciente en (a,b) si para todos los pares de valores 1, de dicho intervalo se verifica que 1 f ( ) f ( 1 ). EJEMPLO. Analizar el crecimiento y decrecimiento de la función que tiene por gráfica:

4 .4.1. INTERVALOS DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO Sea f ( una función continua y derivable en el punto de abscisa. Si f '( ), entonces la función f ( es estrictamente creciente en. Si f '( ), entonces la función f ( es estrictamente decreciente en. Si f '( ), entonces la función f ( tiene un punto crítico en. TEOREMA DE MONOTONÍA Sea f ( una función continua y derivable en el intervalo ( a, b) : Si f '( ) para todo ( a, b), entonces la función f ( es estrictamente creciente en ( a, b). Si f '( ) para todo ( a, ), entonces la función f ( es estrictamente decreciente en ( a, b). b Cálculo de los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función. a. Calculamos el dominio D de definición de la función. b. Analizamos la continuidad y derivabilidad de la función en D. c. Obtenemos los valores 1,,..., k que anulan la derivada de la función, es decir, resolvemos la ecuación f '( y buscamos aquellos puntos en los que la función no es derivable (puntos críticos de la función) d. Eliminamos del dominio los puntos que anulan la derivada y los puntos en los que la función no es derivable y obtenemos un conjunto de intervalos en los que el signo de la derivada permanece constante. e. Estudiamos el signo de la función derivada en cada uno de los intervalos obtenidos. f. La función será creciente en los intervalos en los que la derivada es positiva y decreciente en aquellos en los que la derivada es negativa.

5 .4.1. INTERVALOS DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO EJEMPLO: 1. Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de. Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f ( e 4 f ( 9 EJERCICIOS: Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones: a) f ( 1 3 b) g ( e c) h(

6 .4.. EXTREMOS LOCALES DE UNA FUNCIÓN Una función f tiene un mínimo local o relativo en si eiste un entorno de centro, ( h, h), tal que para todo punto perteneciente a dicho entorno se verifica que f ( f ( ) Una función f tiene un máimo local o relativo en si eiste un entorno de centro, ( h, h), tal que para todo punto perteneciente a dicho entorno se verifica que f f ( ) ( Sea f : R R diremos que Dom( f ) es un punto crítico de f si se verifican una de las dos siguientes condiciones: i) La función es derivable en y f '( ) ii) La función no es derivable. EJEMPLO: f(= TEOREMA. Si es la abscisa de un etremo local de f, entonces es un punto crítico de f.

7 .4.. EXTREMOS LOCALES DE UNA FUNCIÓN CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA: Sea un punto crítico de f entonces diremos que la función: - Tiene un máimo local o relativo en el punto de abscisa si se verifica que la función es creciente en el intervalo ( h, ), y decreciente en el intervalo (, h), para cierto h. - Tiene un mínimo local o relativo en el punto de abscisa si se verifica que la función es decreciente en el intervalo ( h, ), y creciente en el intervalo, ), para cierto h. ( h CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA Sea Dom( f ) tal que f '( ) y eiste f "( ) entonces: Si f "( ) f tiene un mínimo relativo en el punto de abscisa. Si f "( ) f tiene un máimo relativo en el punto de abscisa EJEMPLO: Obtener los etremos locales de las funciones APLICANDO si es posible cada 5 3 uno de los siguientes criterios: a) f ( 3 5 b) g ( 1 EJERCICIOS. Halla los etremos locales de las siguientes funciones: a) e f ( b) g ( 4 c) h( e

8 .4.3. INTERVALOS DE CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD Sean f ( una función, (, y) un punto perteneciente a su gráfica y r ( la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función por dicho punto: Diremos que f es cóncava en el punto (, y) si la recta tangente está por encima de la gráfica en las cercanías de, es decir, eiste un entorno (, ) tal que para todo, ) se verifica que f ( r( (Figura 1) ( Diremos que f es convea en el punto (, y) si la recta tangente está por debajo de la gráfica en las cercanías de, es decir, eiste un entorno (, ) tal que para todo, ) se verifica que f ( r( (Figura ). ( Diremos que f tiene un punto de infleión en el punto (, y) si la recta tangente cambia de posición, es decir, en las cercanías de por la izquierda la tangente toma una posición diferente respecto de la curva que en las cercanías de por la derecha (Figura 3). FIGURA 1 FIGURA FIGURA 3

9 .4.3. INTERVALOS DE CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD Sea ( a, b) Dom( f ): a) Diremos que ( a, b) es un intervalo de concavidad de la función f si para todo ( a, b) la función es cóncava en. b) Diremos que ( a, b) es un intervalo de conveidad de la función f si para todo ( a, b) la función es convea en.

10 .4.3. INTERVALOS DE CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD Si f "( ) f es convea en. Si f "( ) f es cóncava en. Si f "( ) y el signo de f "( ) es distinto al signo de f "( ) (siendo muy pequeño) entonces f tiene un punto de infleión en. Por ejemplo, estudiemos a continuación los intervalos de concavidad y conveidad de la 5 3 función f ( 3 5. UTILIZAMOS EL PROCEDIMIENTO SIGUIENTE: 1) Calculamos la derivada segunda: ) Hallamos los valores en los que se anula la derivada segunda: 3) Con los valores que anulan la derivada segunda y el dominio, construimos los intervalos en los que el signo de la derivada segunda se mantiene constante: 4) Analizamos el signo de la derivada segunda en dichos intervalos por medio de una tabla: 5) Obtención de los intervalos de concavidad y conveidad y los puntos de infleión. EJERCICIOS: Estudia los intervalos de concavidad y conveidad y los puntos de infleión de las siguientes funciones: a) f ( e b) g ( 9 C) h( 1

11 .4.4. OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES Sea f : D R R y sea D. Diremos que: f tiene un máimo global o absoluto en si f ( ) f (, para todo D f tiene un mínimo global o absoluto en si f ( ) f (, para todo D Si la función es continua en el intervalo a, b, entonces el máimo y mínimo absoluto se encuentra entre los puntos críticos de la función y los puntos etremos del intervalo a y b. EJEMPLOS. 1) Obtener los máimos y mínimos absolutos de las siguientes funciones: A) f ( definida en el intervalo 1, 4 B) f ( y queremos obtener el máimo y mínimo globales en el intervalo, ) Problema de optimización. Un granjero tiene 8 m de malla para realizar un corral rectangular junto a un lado del establo que tiene 1 m de largo. Qué dimensiones deberá tener el corral para que el área que encierra sea máima?

12 .4.4. OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES: EJERCICIOS. 1) Calcula el máimo y mínimo global de las siguientes funciones en los intervalos indicados: a) f ( 3 en,1 b) g ( 3 en,4 5 c) h( en 1, d) i ( en 1,1 ) Halla dos números enteros positivos cuyo producto sea 16 y tal que su suma sea mínima. 3) Una empresa produce unidades de un cierto bien a un precio de 9 euros por unidad. Si los costes de producción vienen determinados por la función C( 13, determinar el número de unidades que tendrá que producir para obtener un beneficio máimo. 4) Una plataforma petrolífera está km mar adentro y la refinería a 4 km al sur en la misma costa. El coste del metro de oleoducto es de. euros si este se fabrica en tierra firme y el doble si se construye en el mar. Cuál es el trayecto que debe tener el oleoducto para minimizar los costes?

13 .4.5. REGLA DE L HÔPITAL Sean f y g dos funciones derivables en el intervalo ( h, h) tales que: lim f (, lim g( f '( f (. Si eiste lim entonces el lim eiste y se verifica g'( g( f ( f '( que: lim lim. g( g'( EJEMPLO: 1 lim Sean f y g dos funciones derivables tales que lim f ( y lim g(. Si eiste f '( f ( f ( f '( lim entonces lim eiste y se verifica que: lim lim. g'( g ( ) g ( ) g'( EJEMPLO: 1 lim 1 ln 1

14 Indeterminaciones tipo.. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.4.5. REGLA DE L HÔPITAL Sean f y g dos funciones derivables tales que entonces f ( lim eiste y se verifica que: g( Indeterminaciones tipo lim lim f ( y lim g(. Si eiste f ( lim f '(. g( g'( 3 Por ejemplo, lim ( ) e f '( lim g'( Sean f y g dos funciones derivables tales que lim f ( y lim g(. Entonces f ( g( lim f ( g( lim ( ) lim ( ). 1/ g( 1/ f ( Indeterminaciones tipo Por ejemplo: lim ( 1) ln( 1) 1 Sean f y g dos funciones derivables tales que lim f ( y lim g(. Entonces 1 1 g( f ( 1 1 lim f ( g( lim ( ). Por ejemplo, lim 1 sen f ( g(

15 Indeterminaciones 1, y. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.4.5. REGLA DE L HÔPITAL Para resolver estas indeterminaciones utilizaremos logaritmos y sus propiedades: g( g( Deseamos calcular lim f (. Supongamos que lim f ( L, entonces tomado logaritmos neperianos: g( ln lim f ( ln( L). Aplicando las propiedades de los límites: g( lim ln f ( ln( L ) teniendo en cuenta las propiedades de los logaritmos: lim g( ln f ( ln( L ) El primer límite será una indeterminación del tipo cierto valor A. Por tanto, A A ln( L) L e. 3/ EJEMPLOS: 1) limcos ( 1 ), que una vez resuelta nos dará un 1 ) lim ( ) 3) lim ( )

16 1) Calcula los siguientes límites: cos sen a) lim 3 b) lim e c) lim 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.4.5. REGLA DE L HÔPITAL: EJERCICIOS ) Calcula los siguientes límites: lim ( 3 tg( / ) a) 1 b) lim 1 1 ln 3) Calcula los siguientes límites: a) lim 1/ b) lim 1 1 1