Límites. 1. Calcula los límites de las siguientes funciones en los puntos que se indican: a) lim b) lim c) lim d) lim

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1 Límites CIT_H. Calcula los límites de las siguientes funciones en los puntos que se indican: ( ) a) lim b) lim c) lim d) lim e) lim f) lim g) lim h) lim j) lim k) lim l) lim m) lim n) lim p) lim q) lim r) lim Soluciones: a) b) 0 c) / d) / e) f) g) h) j) / k) e l) / m) + n) p) q) + r). Una función definida en la recta real es estrictamente creciente. Puede deducirse de esto que su límite en + es +? Si la respuesta es negativa, da un ejemplo que lo aclare.. Escribe dos funciones f y g cuyo límite en + sea + y tal que la diferencia f g tienda en + al número.. Puede tener una función más de dos asíntotas horizontales? Razona la respuesta gráficamente.. Una función tiene límite en un punto y en cualquier entorno suyo la función toma valores positivos y negativos. cuánto vale en este caso el límite?. El límite de una función se calcula en el punto a, es necesario que este punto pertenezca al dominio o campo de definición de la función? Por qué?. Puede ocurrir que dos funciones f y g no tengan límite finito en un punto a y que, sin f embargo, su cociente c sí tenga límite finito en dicho punto? En caso afirmativo, g da un ejemplo. 8. Calcula los siguientes límites: + + a) lim b) lim c) lim d) lim Soluciones: a) 0 b) c) d) 0 "Libros, caminos y días dan al hombre sabiduría". Proverbio árabe

2 Continuidad de funciones. Estudia la continuidad de las siguientes funciones en los puntos que se indican: H_CIT si < si a) f en. b) g si en sin ( ) si > si > si < si < ) c h + en d) k si en si si > Si presentan discontinuidad indica de qué tipo y en el caso de que la discontinuidad sea evitable, indica cómo se podría evitar. Sol: a) Continua; b) Discont evitable; c) Discontinua. Salto /; d) Discont. Salto.. Determina los valores de k en las siguientes funciones para que sean continuas en los puntos que se indican: + ( + k)( ) si 0 si a) f en 0 ; b) g k + en si 0 si + si 0 c) h + k si 0 Sol: a) k ; b) k 8; c) k. Dadas las funciones + si > + si f g, si + si < f clasifica las discontinuidades de la función g Sol: En y discontinuidades inevitables de salto infinito. En discontinuidad evitable.. Se considera la función f + b. Sabiendo que es discontinua en, calcula b y clasifica todas sus discontinuidades. Sol: b. a + b + si <. Dada la función f si <. Determina los valores de a y b + a + b si para que sea continua en toda la recta real. 0 si. Estudia la continuidad de f si en el punto. + e

3 . Dada la función Teoremas de continuidad + f, comprueba que: H_CIT a) En los etremos del intervalo [ 0, ] los valores de la función son de distinto signo. b) La única solución de la ecuación f( ) 0 es ( 0,) Contradicen estos resultados el Teorema de Bolzano? Por qué?. Prueba que la función resolver la ecuación f + + es continua en el intervalo [,] + +., demuestra que tiene alguna solución.. Sin. La función f cot verifica que f y f, significa esto que la ecuación cot 0 tiene alguna solución en el intervalo,? En caso afirmativo halla dicha solución.. Demuestra que el polinomio P + tiene al menos dos raíces reales. +. Demuestra que la ecuación. Demuestra que eiste algún valor real tal que sin.. Sea f :, la función definida por: tiene al menos una solución en el intervalo [, ] tan si f si La función verifica f ; f. Sin embargo f 0, Contradice esto el teorema de Bolzano? Razona la contestación. f la función definida por f 8. Sea :[ 0,] a) Es continua en [ 0, )? b) Alcanza un mínimo absoluto en el intervalo [ 0, )? c) Contradice esto el teorema de Weierstrass? Por qué? 9. Si f es continua en [ ] algún punto (,), siendo f() y f(), puedes afirmar que en c se verifica f() c? Justifica la respuesta. < 0. Se considera la función f si > a sea continua en toda la recta real.. Pruébese que la ecuación si a e tiene alguna solución en (,]. Halla a y define f( a ) para que f( ). Eisten máimo y mínimo absolutos de la función f cos + en el intervalo [ 0, ]? Justifíquese su eistencia y calcúlense.

4 Derivadas Calcula la función derivada de las siguientes funciones: H_CIT y + y +. ' 8 0. y y' + + ( ). y y'. y y' + 8 ( + ) ( ) ( ) ( ). y + y' + 0. y y' + + ( ) ( ) y e y e. ' 9 y + y + 9 y + y 8. ' 9. ' ( ) ( ) y + + y' ln + ln + ln 0. y + + y' y y' (+ 8 ln. y y' ln. y log ( + ) y' log e +. y ln(+ ) y' + ( ). y y'. y y' ( ) 8. ( ) ' cos( ) + 0. tan ( ln y sen + y y cos ' y sen y e ) y ' e + + ( e ) cos

5 DERIVADAS () H_CIT. Calcula las derivadas de las siguientes funciones: a) f b) f ln + c) f ( + ) d) g) + f f f + ( ) h) f ( + ) j) + y e k) y ln + m) y sen( + ) n) y tg +. Calcular la derivada segunda de las siguientes funciones: e) f) i) f y l) y log p) y ln(ln ) ( + ) ( ) + a) y sen b) y tg c) y ln( + ) d) y e e) y arctg( + ) f) y + g) y cos h) y e sen i) y e. Calcula la derivada n-ésima de la función f e. Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes a las siguientes curvas en los puntos que se indican: a) y +, a b) y +, a 0 c) y, a d) y, a 0 e) y +, a. En qué punto la tangente a la parábola y + es paralela a la recta + y 0? Solución: (,-). Halla la recta tangente a la curva y + que es paralela al eje de abscisas. Sol: y si. Dada la función f, estudia si es derivable en todos los puntos de su dominio. + si > Sol: Es derivable en todo punto ecepto en. sen si 0 < 8. Estudiar si la función F es derivable en el punto de abscisa cos si Sol: No lo es ( por qué?) 0. ln( + ) si < 9. Hallar la función derivada de la función f e si 0. En qué punto de la curva y ln la ecuación de la recta tangente es paralela a la cuerda que une los e, ln( e ) puntos (,0) y (e, )? Sol: Enseñar no es una función vital, porque no tienen el fin en sí misma; la función vital es aprender. Aristóteles