LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS
|
|
- María Pilar Rivas Calderón
- hace 8 años
- Vistas:
Transcripción
1 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD RAMAS INFINITAS Página 7 REFLEIONA RESUELVE Aproimaciones sucesivas Comprueba que: f () =,5; f (,9) =,95; f (,99) =,995 Calcula f (,999); f (,9999); f (,99999); A la vista de los resultados anteriores, te parece razonable afirmar que, cuando se aproima a 5, el valor de f () se aproima a 7? Lo epresamos así: f () = 7 Si f () =, entonces: f (,999) =,9995; f (,9999) =,99995; f (,99999) =, f () = Calcula, análogamente, + 7. f () = 5,5; f (,9) = 5,95; f (,99) = 5,995; f (,999) = 5,9995; f (,9999) = 5,99995 f () = Página 9. Cada una de las siguientes funciones tiene uno o más puntos donde no es continua. Indica cuáles son esos puntos y qué tipo de discontinuidad presenta: + a) y = b) y = c) y = si? d) y = si = a) Rama infinita en = (asíntota vertical). b) Discontinuidad evitable en = 0 (le falta ese punto). c) Rama infinita en = 0 (asíntota vertical). d) Salto en =.
2 . Eplica por qué son continuas las siguientes funciones y determina el intervalo en el que están definidas: a) y = 5 b) y = 5, <, 0 Ì < c) y = d) y = +, Ó, Ì < 5 a) Está definida y es continua en todo Á. b) Está definida y es continua en 5]. Las funciones dadas mediante una epresión analítica sencilla (las que conocemos) son continuas donde están definidas. c) Está definida en todo Á. Es continua, también, en todo Á. El único punto en que se duda es el : las dos ramas toman el mismo valor para = : = 9 = 5 + = 5 Por tanto, las dos ramas empalman en el punto (, 5). La función es también continua en =. d) También las dos ramas empalman en el punto (, ). Por tanto, la función es continua en el intervalo en el que está definida: [0, 5). Página 5. Calcula el valor de los siguientes ites: a) b) (cos ) a) b) 0. Calcula estos ites: a) + 5 b) log , a) b) Página 5. Calcula k para que la función y = f () sea continua en Á: f () = + k,? 7, = 8 f () = 7 ( + k) = + k + k = 7 8 k =
3 UNIDAD Página 55. Calcula los ites de las funciones siguientes en los puntos que se indican. Donde convenga, especifica el valor del ite a la izquierda y a la derecha del punto. Representa gráficamente los resultados: a) f () = en, 0 y b) f () = en, 0 y ( ) c) f () = + en y d) f () = en 0 y + + a) f () = ( + ) ( ) f () f () = +@ No eiste 8 f (). 8 0 f () = f () f () = +@ No eiste 8 f (). b) f () = ( ) ( ) 8 f () 8 0 f () = 8 f () = 0 c) f () = ( ) ( ) ( + ) 8 f () = f () = +@ f () No eiste 8 f ().
4 d) f () = ( + ) 8 0 f () = f () f () = +@ No eiste 8 f (). Página 5. Di el ite cuando 8 de las siguientes funciones dadas por sus gráficas: y = f () y = f () y = f () y = f () f () f () = f () = +@ f () no eiste. Página 57. Di el valor del ite cuando de las siguientes funciones: a) f () = b) f () = c) f () = d) f () = e) f () = f) f () = 5 b) +@ d) 0 e) 0 f
5 UNIDAD Página 58. Calcula f () y representa sus ramas: a) f () = b) f () = c) f () = d) f () = 5 a) 0 b) 0 c) 0 d) +. Calcula f () y representa sus ramas: a) f () = b) f () = 5 c) f () = d) f () = + b) 0 c) +@ d ) Página 59. Halla las asíntotas verticales y sitúa la curva respecto a ellas: a) y = b) y = + + 5
6 a) 8 f () f () = +@ 8 + = es asíntota vertical. b) f () = +@ 8 f () 8 + = es asíntota vertical.. Halla las asíntotas verticales y sitúa la curva respecto a ellas: a) y = b) y = a) f () = +@ f () f () f () = +@ = 0 es asíntota vertical. = es asíntota vertical. b) f () = +@ f () = +@ = es asíntota vertical. Página. Halla las ramas infinitas,, de estas funciones. Sitúa la curva respecto a su asíntota: a) y = b) y = + +
7 UNIDAD a) f () = 0 8 y = 0 es asíntota horizontal. b) y = + 8 y = es asíntota oblicua. +. Halla las ramas infinitas,, de estas funciones. Sitúa la curva respecto a sus asíntotas, si las hay: a) y = + b) y = + 7 a) f () = 8 y = es asíntota horizontal. b) grado de P grado de Q Ó f () = +@ 8 rama parabólica hacia arriba. Página. Halla f () y representa la rama correspondiente: f () = + 7 f () = 7 = +@ 7
8 . Halla f () y traza las ramas correspondientes: a) f () = ( + )/( ) b) f () = /( + ) a) f () = = = 0 b) f () = = = +@ Página. Halla las ramas infinitas, de estas funciones, y sitúa la curva respecto a las asíntotas: a) y = b) y = + c) y = d) y = a) f () = 0 8 y = 0 es asíntota horizontal. b) f () = 0 8 y = 0 es asíntota horizontal. c) f () = 8 y = es asíntota horizontal. d) y = + 8 y = es asíntota oblicua. + 8
9 UNIDAD. Halla las ramas infinitas, cuando y si tienen asíntotas, sitúa la curva respecto a ellas: a) y = b) y = + + c) y = + d) y = + a) grado P grado Q Ó f () = +@ 8 rama parabólica. b) f () = 8 y = es asíntota horizontal. c) y = y = + es asíntota oblicua. + d) f () = ( ) = +@ 9
10 Página 9 EJERCICIOS PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Discontinuidades y continuidad a) Cuál de las siguientes gráficas corresponde a una función continua? b) Señala, en cada una de las otras cinco, la razón de su discontinuidad. a) b) c) d) e) f) a) Solo la a). b) b) Rama infinita en = (asíntota vertical). c) Rama infinita en = 0 (asíntota vertical). d) Salto en =. e) Punto desplazado en = ; f () = ; f () =. 8 f ) No está definida en =. Halla los puntos de discontinuidad, si los hay, de las siguientes funciones: a) y = + b) y = ( ) c) y = d) y = e) y = f) y = 5 + a) Continua. b) c) d) Continua. e) 0 y 5 f ) Continua. 0
11 UNIDAD Comprueba si las siguientes funciones son continuas en = 0 y en = : a) y = b) y = c) y = d) y = 7 a) No es continua ni en = 0 ni en =. b) Sí es continua en = 0, no en =. c) No es continua en = 0, sí en =. d) Continua en = 0 y en =. Indica para qué valores de Á son continuas las siguientes funciones: a) y = 5 b) y = c) y = d) y = e) y = 5 f) y = a) Á b) [, +@) c) Á {0} 5 d) 0] f) Á ( ] 5 Comprueba que las gráficas de estas funciones corresponden a la epresión analítica dada y di si son continuas o discontinuas en =. a) f () = si si > + si < b) f () = si > c) f () = si si = a) Continua. b) Discontinua. c) Discontinua.
12 Comprueba si la función f () = si < 0 es continua en = 0. si Ó 0 Recuerda que para que f sea continua en = 0, debe verificarse que: f () = f (0) 8 0 f () = f () = f () = = f (0) Es continua en = 0. 7 Comprueba si las siguientes funciones son continuas en los puntos que se indican: ( )/ si < a) f () = en = + si > si < b) f () = en = (/) si Ó si Ì c) f () = en = + si > a) No, pues no eiste f ( ). b) f () = f () = f () =. Sí es continua en = c) f () =? f () =. No es continua en = Página 70 8 Visión gráfica del ite f () f () Estas son, respectivamente, las gráficas de las funciones: f () = y f () = ( + ) + Cuál es el ite de cada una de estas funciones cuando 8? Observa la función cuando 8 por la izquierda y por la derecha.
13 UNIDAD f () = +@ f () = +@ 8 f () = +@ f () = +@ f () No eiste 8 f (). 9 Sobre la gráfica de la función f (), halla: a) f () b) f () c) f () d) f () e) f () f) f () g) f () h) f () a) +@ c) d) 0 e) 0 f ) g) +@ h) 0 Límite en un punto 0 Calcula los siguientes ites: a) ( 5 ) b) ( ) c) d) 8 8 0,5 e) 0 + f) log 8 8 g) h) e a) 5 b) 0 c) d) e) f ) g) 0 h) e
14 Dada la función f () = + si < 0, halla: + si Ó 0 a) f () b) f () c) f () Para que eista ite en el punto de ruptura, tienen que ser iguales los ites laterales. a) 5 b) c) f () = f () = f () = Calcula los siguientes ites: a) b) c) h h d) h 7h h 8 0 h h 8 0 h Saca factor común y simplifica cada fracción. a) = = 8 0 ( ) 8 0 ( + ) b) = + = c) h (h ) = h(h ) = 0 h 8 0 h h 8 0 h (h 7) h 7 7 d) = = h 8 0 h h 8 0 Resuelve los siguientes ites: a) b) 8 8 c) + d) 8 e) + f) ( + ) ( ) a) = 8 ( ) b) + = ( + ) ( + ) = = ( + )
15 UNIDAD ( + ) ( + ) ( ) c) = d) = 8 ( + ) ( ) 8 ( ) ( + ) e) = f ) ( )( + + +) = 8 ( + ) ( + ) 8 ( )( +) Calcula el ite de la función f () = en =, = 0 y =. + 8 f () = f () = f () = +@ 8 + f () Límite cuando o 5 Calcula los siguientes ites y representa la información que obtengas: a) (7 + ) b) ( c) + 7 d) (7 ) Dale a valores grandes y saca conclusiones. Calcula el ite de las funciones del ejercicio anterior cuando y representa la información que obtengas. Resolución de los ejercicios 5 y : ) a) (7 + ) (7 + ) = +@ 0 5 b) 0 = +@ 8 ±@ 5 c) ( + 7) 8 ±@ d) (7 ) = +@ 8 ±@ 5
16 7 Comprueba, dando valores grandes a, que las siguientes funciones tienden a 0 cuando. a) f () = b) f () = 0 7 c) f () = d) f () = 00 0 a) f(00) = 0,000 b) f(00) = 0,00 f () = 0 f () = 0 c) f (0 000) = 0,07 d) f (00) = 0,00000 f () = 0 f () = 0 8 Calcula el ite cuando y cuando de cada una de las siguientes funciones. Representa los resultados que obtengas. a) f () = 0 b) f () = c) f () = d) f () = Cuando : a) f () = +@ b) f () = +@ c) f () d) f () Cuando a) f () b) f () = +@ c) f () = +@ d) f ()
17 UNIDAD Página 7 9 Calcula los siguientes ites y representa las ramas que obtengas: a) b) ( ) c) d) ( ) e) f) + g) h) Calcula el ite de todas las funciones del ejercicio anterior cuando Resolución de los ejercicios 9 y 0: a) = 0; = 0 ( ) ( ) b) = +@; c) = 0; = 0 d) = 0; = 0 ( ) ( ) e) = ; = + + 7
18 f) = +@ g) = ; = + + h) = ; = 5 5 Resuelve los siguientes ites: a) b) ( ) ( ) c) d) ( + ) + 5 a) c) 0 d) +@ Calcula el ite cuando y cuando de las siguientes funciones y representa las ramas que obtengas: a) f () = b) f () = 0 c) f () = d) f () = a) f () = 0; f () = 0 b) f () f () = +@ c) f () = +@; f () d) f () = ; f () = 8
19 UNIDAD Asíntotas Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva respecto a cada una de ellas: a) y = b) y = + + c) y = d) y = a) Asíntotas: b) Asíntotas: = ; y = = ; y = c) Asíntotas: d) Asíntotas: = ; y = = ; y = 0 Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva respecto a ellas: a) y = b) y = + + c) y = d) y = a) Asíntota: y = b) Asíntota: y = 0 9
20 c) Asíntotas: = 0; y = d) Asíntota: = 5 Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva respecto a ellas: + a) f () = b) f () = 5 c) f () = d) f () = e) f () = + 9 f) f () = ( + ) a) Asíntota vertical: = Asíntota horizontal: y = b) Asíntota vertical: = 5 Asíntota horizontal: y = c) Asíntota vertical: = Asíntota horizontal: y = 0 d) Asíntota vertical: y = 0 No tiene más asíntotas. 0
21 UNIDAD e) Asíntota vertical: =, = Asíntota horizontal: y = 0 f ) Asíntota vertical: = Asíntota horizontal: y = 0 Cada una de las siguientes funciones tiene una asíntota oblicua. Hállala y estudia la posición de la curva respecto a ella: a) f () = b) f () = + + c) f () = d) f () = + e) f () = f) f () = + a) = Asíntota oblicua: y = b) + = + + Asíntota oblicua: y = + c) = Asíntota oblicua: y = d) + 0 = + + Asíntota oblicua: y = +
22 e) = + Asíntota oblicua: y = f) + = + Asíntota oblicua: y = PARA RESOLVER 7 Calcula los ites de las siguientes funciones en los puntos que anulan su denominador: a) f () = b) f () = + c) f () = t d) f (t) = t t a) f () = +@; f () b) f () = 8 0 ( ) f () f () = +@; f () f () = +@ c) f () = ( ) ( ) ( + ) 8 f () = = ; f () = +@; f () t d) f (t) = (t ) ; f (t ) = t t Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva respecto a cada una de ellas: 5 a) y = b) y = c) y = + 7 d) y = e) y = f) y =
23 UNIDAD a) Asíntotas: = ; y = / / 5/ 5 b) Asíntotas: y = ; = 7 7/ c) Asíntotas: y = 0; = ± d) Asíntota: y = e) Asíntotas: y = ; =, = f ) Asíntotas: = ; y =
24 9 Halla las ramas infinitas de estas funciones. Cuando tengan asíntotas, sitúa la curva: a) y = ( + ) b) y = c) y = ( + ) d) y = e) y = f) y = a) f () = +@; f () = +@ Asíntota vertical: = 0 b) Asíntota vertical: = Asíntota horizontal: y = c) Asíntotas verticales: =, = Asíntota horizontal: y = 0 d) Asíntota horizontal: y = e) Asíntota vertical: = Asíntota oblicua: y = f) f () = +@; f () = +@ Asíntota vertical: = 5 5
25 UNIDAD Página 7 0 Prueba que la función f () = solo tiene una asíntota vertical y otra horizontal. Al hallar 8 f () verás que no f () = ; f () f () = +@; f () = ±@ Asíntota vertical: = 0 Asíntota horizontal: y = Calcula los siguientes ites y representa los resultados que obtengas: a) b) a) ( ) ( + ) = = 8 8 ( ) 5 b) + ( ) ( ) = = ( ) 8 Calculamos los ites laterales: = +@; Calcula los siguientes ites y representa los resultados que obtengas: a) b) c) d)
26 a) ( ) = = ( + ) 8 0 ( + ) Calculamos los ites laterales: = +@; 8 0 ( + ) ( + ) b) + = ( + ) = ( + ) Calculamos los ites laterales: 8 + = +@ c) ( ) ( = ) = 8 8 d) 8 ( ) ( + ) = = ( ) 8 Calculamos los ites laterales: ( + ) ( + ) = +@ ( + ) Halla las asíntotas de estas funciones: a) y = b) y = + c) y = + 5 d) y = ( ) e) y = + f) y = a) y = + b) Asíntota vertical: = 0 ( ) ( + ) Asíntotas verticales: =, = Asíntota oblicua: y = c) Asíntota horizontal: y = d) Asíntota horizontal: y = 0 Asíntotas verticales: = ± e) Asíntota vertical: = 5 f ) Asíntota vertical: = 0 Asíntota oblicua: y = Asíntota oblicua: y = + 5
27 UNIDAD Representa las siguientes funciones y eplica si son discontinuas en alguno de sus puntos: si < a) f () = 5 si Ó si Ì 0 b) f () = + si > 0 c) f () = si < si > a) Discontinua en =. 5 b) Función continua. 8 8 c) Discontinua en =. 5 5 a) Calcula el ite de las funciones del ejercicio anterior en = y = 5. b) Halla, en cada una de ellas, el ite cuando y cuando a) f () = 7; f () = 0; f () f () b) f () = ; f () = ; f () = +@; f () = c) 8 f () = 7; 8 5 f () = 5; f () = +@; f () = +@ 7
28 Calcula, en cada caso, el valor de k para que la función f () sea continua en todo Á. a) f () = si Ì (/) si < b) f () = + k si > + k si Ó ( c) f () = + )/ si? 0 k si = 0 a) 8 f () = 5 = f () f () = + k = + k 8 k = b) f () = f () = + k = f () 5 = + k 8 k = / ( + ) c) f () = = 8 k = Estudia la continuidad de estas funciones: si < a) f () = / si Ó si Ó b) f () = si < < si Ó c) f () = si Ì 0 + si > 0 a) f () = f () = f () = 8 Continua en = ? 8 Continua. Es continua en Á. b) f () = f () = f ( ) = 0 8 Continua en = f () = f () = f () = 0 8 Continua en = ? y? 8 Continua. Es continua en Á. c) f () =? f () = 8 Discontinua en = Si? 0, es continua. 8
29 UNIDAD 8 Calcula a para que las siguientes funciones sean continuas en = : + si Ì ( a) f () = b) f () = )/( ) si? a si > a si = a) 8 f () = = f () f () = a 8 + ( ) ( + ) b) f () = = 8 8 ( ) f () = a = a 8 a = 9 En una empresa se hacen montajes en cadena. El número de montajes realizados por un trabajador sin eperiencia depende de los días de entrenamiento según la función M(t) = (t en días). 0t t + a) Cuántos montajes realiza el primer día? el décimo? b) Representa la función sabiendo que el periodo de entrenamiento es de un mes. c) Qué ocurriría con el número de montajes si el entrenamiento fuera mucho más largo? a) M () = montajes el primer día. M (0) =, 8 montajes el décimo día. a = b) 5 MONTAJES DÍAS 0t t + c) Se aproima a 0 ( pues = 0 ). t 8 +@ 0 Los gastos de una empresa dependen de sus ingresos,. Así: 0, + 00 si 0 Ì 000 g () = 000/( + 50)si > 000 donde los ingresos y los gastos vienen epresados en euros. a) Representa g () y di si es función continua. b) Calcula el ite de g () cuando y eplica su significado. 9
30 a) GASTOS ( ) Es continua INGRESOS ( ) b) g () = 000. Como máimo gasta 000 al mes. Página 7 CUESTIONES TEÓRICAS Se puede calcular el ite de una función en un punto en el que la función no esté definida? Puede ser la función continua en ese punto? Sí se puede calcular, pero no puede ser continua. Puede tener una función más de dos asíntotas verticales? más de dos asíntotas horizontales? Pon ejemplos. Sí. Por ejemplo, f () = tiene = 0, = y = como asíntotas verticales. ( )( ) No puede tener más de dos asíntotas horizontales, una hacia y otra como en esta gráfica: El denominador de una función f () se anula en = a. Podemos asegurar que tiene una asíntota vertical en = a? Pon ejemplos. No. Por ejemplo, f () = + en = 0; puesto que: ( + ) f () = =
31 UNIDAD Representa una función que cumpla estas condiciones: f () = +@, f () =, f () = 0 8 Es discontinua en algún punto? Sí, es discontinua al menos en =. PARA PROFUNDIZAR 5 Halla las ramas infinitas de las siguientes funciones eponenciales: a) y = + b) y = 0,75 c) y = + e d) y = e a) f () = +@; f () = 0 Asíntota horizontal cuando y = 0 b) f () = 0; f () = +@ Asíntota horizontal cuando : y = 0 c) f () = +@; f () = Asíntota horizontal cuando y = d) f () = 0; f () = +@ Asíntota horizontal cuando y = 0 Puesto que ( ) = +@ halla un valor de para el cual sea mayor que Por ejemplo, para = 00, f () = Halla un valor de para el cual f () = 5 sea menor que 0,00. Por ejemplo, para = 000, f () = 0,000.
32 8 Cuál es la asíntota vertical de estas funciones logarítmicas? Halla su ite cuando : a) y = log ( ) b) y = ln( + ) a) Asíntota vertical: = f () = +@ b) Asíntota vertical: = f () = +@ Página 7 AUTOEVALUACIÓN 5, Ì. Calcula los ites de la función f () = en = 0, = y = 5. 7, > Eplica si la función es continua en =. f () = ( 5) = f () = ( 5) = 8 f () = ( 7) = No eiste el ite de f () cuando tiende a. f () = ( 7) = La función no es continua en =, porque no eiste el ite de la función en ese punto.. Halla los siguientes ites: a) b) c) ( ) 8 a) = = b) = = c) = +@ 8 ( ) (Si 8 + o si 8, los valores de la función son positivos.)
33 UNIDAD. a) b) Sobre la gráfica de estas dos funciones, halla, en cada caso, los siguientes ites: f (); f (); f (); f () a) f () No tiene ite en =. 8 f () 8 f () = f () = 0 f () = +@ b) f () = f () f () = f () = 8 8 f () = +@ f () f () = No tiene ite en = , <. Calcula el valor que debe tomar a para que la función f () = a, Ó sea continua en =. Puede ser discontinua en otro punto? Para que f () sea continua en =, debe cumplir que: f () = f () Veamos: f () = ( 5) = f () = 8 + ( a) = a Como deben coincidir: = a 8 a =
34 5, si < Por tanto, f () =, si Ó No puede ser discontinua en ningún otro punto, por estar definida mediante funciones polinómicas. 5. Justifica qué valor debe tomar a para que la función sea continua en Á: a si Ì f () = a si > f () = a si Ì a si > La función es continua para valores de menores que y mayores que, porque ambos tramos son rectas. Para que sea continua en =, debe cumplirse: f () = f () f () = a 8 f () f () = a f () = a Para que eista el ite, debe ser: a = a 8 a = 8 a = 8 +. Halla las asíntotas de la función y = y estudia la posición de la curva respecto a ellas. Asíntota vertical: f () = +@ 8 f () 8 + Así, = es una asíntota vertical. Asíntota horizontal: 8@ f () = 8 y = Si, f () < 0 8 la curva está por debajo de la asíntota. Si f () > 0 8 la curva está por encima de la asíntota. No tiene asíntotas oblicuas.
35 UNIDAD 7. Representa una función que cumpla las siguientes condiciones: f () f () = +@ f () = 0 f () = Estudia las ramas infinitas de la función y = y representa la información + que obtengas = +@ = +@ = +@ 9. Cuál de las siguientes funciones tiene una asíntota oblicua? Hállala y sitúa la curva respecto a ella: + a) y = b) y = c) y = + ( ) + La única que tiene asíntota oblicua es la función b) y =. + + y = = + La asíntota es y =. Como > 0, la curva está por encima de la asíntota. 5
LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS
LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD RAMAS INFINITAS Página 7 REFLEIONA RESUELVE Aproimaciones sucesivas Comprueba que: f () = 6,5; f (,9) = 6,95; f (,99) = 6,995 Calcula f (,999); f (,9999); f (,99999);
Más detallesContinuidad y ramas infinitas. El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A = 2. lm í
Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas Resuelve Página 7 A través de una lupa AUMENTO DISTANCIA (dm) El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A
Más detallesLÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD
LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Página 7 REFLEXIONA Y RESUELVE Visión gráfica de los ites Describe análogamente las siguientes ramas: a) f() b) f() no eiste c) f() d) f() +@ e) f() @ f) f() +@ g) f()
Más detallesLÍMITES Y CONTINUIDAD
UNIDAD 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD Páginas 0 y Describe las siguientes ramas: a) f () b) f () no eiste c) f () d) f () + e) f () f) f () + g) f () h) f () no eiste; f () 0 i) f () + f () + j) f () 5 4 f ()
Más detallesLÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD
LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Página REFLEXIONA Y RESUELVE Algunos ites elementales Utiliza tu sentido común para dar el valor de los siguientes ites: a,, b,, @ c,, 5 + d,, @ @ + e,, @ f,, 0 @ 0 @
Más detallesTEMA 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD
TEMA 8: DE FUNCIONES. CONTINUIDAD 1. EN EL INFINITO En ocasiones interesa estudiar el comportamiento de una función (la tendencia) cuando los valores de se hacen enormemente grandes ( ) o enormemente pequeños
Más detallesTema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Tema 07 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Límite de una función en un punto Vamos a estudiar el comportamiento de las funciones f ( ) g ( ) ENT[ ] h ( ) i ( ) en el punto Para ello, damos a valores próimos
Más detallesTema 7. Límites y continuidad de funciones
Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 55 Límite de una función en un punto Tema 7 Límites y continuidad de funciones Idea inicial Si una función f está
Más detallesTEMA 11 LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS MATEMÁTICAS I 1º Bach 1
TEMA 11 LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS MATEMÁTICAS I 1º Bach 1 TEMA 11 LÍMITES, CONTINUIDAD, ASÍNTOTAS 11.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 11.1.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite de una función en un
Más detallesANÁLISIS DE FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD. RESUMEN
ANÁLISIS DE FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD. RESUMEN Problema Datos Procedimiento Ejemplo Dominio de una La ecuación de Casos en los que en dominio no es IR: función la función Irracionales (ecluir valores
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES
EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES. Estudiar el crecimiento, el decrecimiento y los etremos relativos de las siguientes funciones: a) f( ) 7 + + b) ln f( ) c) 5 si < f(
Más detallesFUNCIONES Y GRÁFICAS.
FUNCIONES Y GRÁFICAS. CONTENIDOS: Concepto de función. Gráfica de una función. Estudio cualitativo de funciones dadas por sus gráficas Idea intuitiva de continuidad de una función. Repaso de funciones
Más detallesREPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Tema 4: Representación de funciones Índice:. Información obtenida de la función... Dominio de la función.. Simetrías..3. Periodicidad.4. Puntos de corte con los ejes..5. Ramas
Más detallesLÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Capítulo 9 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 9.. Introducción El concepto de ite en Matemáticas tiene el sentido de lugar hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito. Veamos
Más detallesGráfica de una función
CAPÍTULO 9 Gráfica de una función 9. Bosquejo de la gráfica de una función Para gráficar una función es necesario:. Hallar su dominio sus raíces.. Decidir si es par o impar, o bien ninguna de las dos cosas..
Más detallesMATEMÁTICAS I 1º Bachillerato Capítulo 7: Límites y continuidad
MATEMÁTICAS I º Bachillerato Capítulo 7: Límites y continuidad file:///c:/users/cuenta~/appdata/local/temp/b006%0limitesycontinuida D%0Adela. 00 Índice. CONCEPTO DE LÍMITE.. DEFINICIÓN.. LÍMITES LATERALES..
Más detalles10 Cálculo. de derivadas. 1. La derivada. Piensa y calcula. Aplica la teoría
0 Cálculo de derivadas. La derivada Piensa y calcula Calcula mentalmente sobre la primera gráfica del margen: a) la pendiente de la recta secante, r, que pasa por A y B b) la pendiente de la recta tangente,
Más detallesLímites. 1. Calcula los límites de las siguientes funciones en los puntos que se indican: 2 2 2 a) lim b) lim c) lim d) lim
Límites CIT_H. Calcula los límites de las siguientes funciones en los puntos que se indican: ( ) + + + a) lim b) lim c) lim d) lim + + + + + e) lim f) lim g) lim h) lim + 0 + + 9 + j) lim k) lim l) lim
Más detallesAPLICACIONES DE LA DERIVADA
APLICACIONES DE LA DERIVADA.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 1 Crecimiento y decrecimiento. APLICACIONES DE LA DERIVADA Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente
Más detallesUNIDAD 1: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD
UNIDAD : LÍMITES Y CONTINUIDAD UNIDAD : LÍMITES DE FUNCIONES CONTINUIDAD ÍNDICE DE LA UNIDAD - INTRODUCCIÓN - LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO LÍMITES LATERALES - LÍMITES EN EL INFINITO 5 4- ÁLGEBRA DE
Más detalles12. f(x) = 1 x-1 2 13. f(x) = x+2. x 15. f(x) = 2x+1. x 24. f(x) = x 2 +x+1 2 25. f(x) = x 2 -x-2. 1 21. f(x) = x 2 +x. x-1 27.
. Determina el dominio de la función:. f() = -. f() =. f() = 4. f() = -6. f() = 6. f() = + 7. f() = - 8. f() = e 9. f() = + 0. f() = -. f() = -. f() = -. f() = + 4. f() = +. f() = + 6. f() = - + 7. f()
Más detalles5Soluciones a los ejercicios y problemas Gráficamente Representamos en unos mismos ejes ambas funciones:
Soluciones a los ejercicios y problemas Gráficamente Representamos en unos mismos ejes ambas funciones: Pág. y 6 Puntos de corte con los ejes: 9 (, 9) Eje : 6 0 8 ± + 8 ± 7 8 8 + 7 ( ), 0 (,8; 0) 7 ( ),
Más detalles1. Limite de Funciones
1. Limite de Funciones 1.1. Introducción. Consideremos la función f() = { 1+ 2 si > 0 1 2 si < 0 Se observa que la función no está definida en 0 = 0. Sin embargo, se observa que cuando se consideran valores
Más detallesM a t e m á t i c a s I I 1
Matemáticas II Matemáticas II ANDALUCÍA CNVCATRIA JUNI 009 SLUCIÓN DE LA PRUEBA DE ACCES AUTR: José Luis Pérez Sanz pción A Ejercicio En este límite nos encontramos ante la indeterminación. Agrupemos la
Más detallesUna desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos
MATEMÁTICAS BÁSICAS DESIGUALDADES DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE La epresión a b significa que "a" no es igual a "b ". Según los valores particulares de a de b, puede tenerse a > b, que
Más detallesb) Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, hay que derivar la función. Como que se trata de un cociente, aplicamos la fórmula:
1. Dada la función f(x) = : a) Encontrar el dominio, las AH y las AV. b) Intervalos de crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos relativos. c) Primitiva que cumpla que F(0) = 0. a) Para encontrar el
Más detallesSoluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Funciones de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Funciones de Antonio Francisco Roldán López de Hierro * Convocatoria de 200 Las siguientes páginas contienen las soluciones de los ejercicios propuestos
Más detallesUnidad 5 Estudio gráfico de funciones
Unidad 5 Estudio gráfico de funciones PÁGINA 84 SOLUCIONES Representar puntos en un eje de coordenadas. 43 Evaluar un polinomio. a) P(-1) = 1 + + 1 1 = 3 b) P(0) = -1 c) P(-) = 8 + 8 + 1 = 17 d) P(1) =
Más detallesTema 2 Límites de Funciones
Tema 2 Límites de Funciones 2.1.- Definición de Límite Idea de límite de una función en un punto: Sea la función. Si x tiende a 2, a qué valor se aproxima? Construyendo - + una tabla de valores próximos
Más detalles1-Comportamiento de una función alrededor de un punto:
Matemática II 7 Modulo Límites continuidad En esta sección desarrollaremos el concepto de límite, una de las nociones fundamentales del cálculo. A partir de este concepto se desarrollan también los conceptos
Más detallesÁLGEBRA DE MATRICES. Al consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente.
ÁLGEBRA DE MATRICES Página 49 REFLEXIONA Y RESUELVE Elección de presidente Ayudándote de la tabla, estudia detalladamente los resultados de la votación, analiza algunas características de los participantes
Más detallesMATEMÁTICAS. TEMA 5 Límites y Continuidad
MATEMÁTICAS TEMA 5 Límites y Continuidad MATEMÁTICAS º BACHILLERATO CCSS. TEMA 5: LÍMITES Y CONTINUIDAD ÍNDICE. Introducción. Concepto de función. 3. Dominio e imagen de una función. 4. Gráfica de algunas
Más detallesEjemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) =
T1 Dominios, Límites, Asíntotas, Derivadas y Representación Gráfica. 1.1 Dominios de funciones: Polinómicas: D( = La X puede tomar cualquier valor entre Ejemplos: D( = Función racional: es el cociente
Más detallesPÁGINA 77 PARA EMPEZAR
Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 77 Pág. 1 PARA EMPEZAR El arte cósico Vamos a practicar el arte cósico : Si a 16 veces la cosa le sumamos 5, obtenemos el mismo resultado que si multiplicamos
Más detallesTeóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 4 - Límite de funciones. 1. Límites en el infinito - Asíntotas horizontales
Práctica 4 - Parte Límite de funciones En lo que sigue, veremos cómo la noción de límite introducida para sucesiones se etiende al caso de funciones reales. Esto nos permitirá estudiar el comportamiento
Más detallesLÍMITES DE FUNCIONES Y DE SUCESIONES
LÍMITES DE FUNCIONES Y DE SUCESIONES Índice: 1.Funciones reales de variable real-------------------------------------------------------------- 1 2. Límite finito de una función en un punto.---------------------------------------------------
Más detallesFUNCIÓN EXPONENCIAL - FUNCIÓN LOGARÍTMICA
FUNCIÓN EXPONENCIAL - FUNCIÓN LOGARÍTMICA Problema : COMPARAR ÁREAS DE CUADRADOS A partir de un cuadrado realizaremos una nueva construcción: se trazan las diagonales y por cada vértice se dibuja una paralela
Más detalles8LÍMITES Y DERIVADAS. Problema 1. Problema 2. Problema 3
CONTENIDOS Límite y asíntotas Cálculo de límites Continuidad Derivadas Estudio de funciones Problemas de optimización Varias de las características de diferentes tipos de funciones ya han sido estudiadas
Más detallesSISTEMA DIÉDRICO PARA INGENIEROS. David Peribáñez Martínez DEMO
SISTEMA DIÉDRICO PARA INGENIEROS David Peribáñez Martínez SISTEMA DIÉDRICO PARA INGENIEROS David Peribáñez Martínez Valderrebollo 20, 1 A 28031 MADRID 1ª Edición Ninguna parte de esta publicación, incluido
Más detallesFunciones definidas a trozos
Concepto de función Dominio de una función Características de las funciones Intersecciones con los ejes Crecimiento y decrecimiento Máximos y mínimos Continuidad y discontinuidad Simetrías Periodicidad
Más detallesSelectividad Septiembre 2013 OPCIÓN B
Pruebas de Acceso a las Universidades de Castilla y León ATEÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES EJERCICIO Nº páginas Tablas OPTATIVIDAD: EL ALUNO DEBERÁ ESCOGER UNA DE LAS DOS OPCIONES Y DESARROLLAR
Más detallesLÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS
LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS Página 7 PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE El valor de la función f () = + 5 para = 5 no se puede obtener directamente porque el denominador se hace
Más detallesMatemática I Extremos de una Función. Definiciones-Teoremas
Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado Decanato de Agronomía Programa Ingeniería Agroindustrial Departamento de Gerencia Estudios Generales Matemática I Etremos de una Función. Definiciones-Teoremas
Más detallesCALCULO CAPITULO 1 1.6 ASINTOTAS VERTICALES Y HORIZONTALES
1.6 ASINTOTAS VERTICALES Y HORIZONTALES 1.6.1.- Definición. Una asíntota es una recta que se encuentra asociada a la gráfica de algunas curvas y que se comporta como un límite gráfico hacia la cual la
Más detalles2Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 42
PÁGINA 42 Pág. 20 cm r r l l 20 cm Amparo quiere fabricar las cuatro velas que ha diseñado sobre el lienzo, pero aún no se ha decidido sobre alguna de sus dimensiones. Para hacerlo necesita saber su volumen
Más detallesDESIGUALDADES página 1
DESIGUALDADES página 1 1.1 CONCEPTOS Y DEFINICIONES Una igualdad en Álgebra es aquella relación que establece equivalencia entre dos entes matemáticos. Es una afirmación, a través del signo =, de que dos
Más detallesSOLUCIONES HOJA 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA 1
MATEMÁTICAS:º BACHILLERATO SOLUCIONES HOJA 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA.- Calcular los etremos relativos de las siguientes funciones: a) f ( ) D(f) (Por ser polinómica) ; Posibles máimos o mínimos 6
Más detallesAPLICACIONES DE LA DERIVADA
APLICACIONES DE LA DERIVADA 1. MONOTONÍA (CRECIMIENTO O DECRECIMIENTO) Si una función es derivable en un punto = a, podemos determinar su crecimiento o decrecimiento en ese punto a partir del signo de
Más detallesAPRENDIZAJE DEL CONCEPTO DE LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
APRENDIZAJE DEL CONCEPTO DE LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN AUTORÍA ANTONIO JESÚS MARTÍNEZ RUEDA TEMÁTICA MATEMÁTICAS ETAPA BACHILLERATO Resumen La introducción del concepto de límite en bachillerato
Más detallesAl consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente. Dos consejeros (C y E) están de acuerdo en los mismos candidatos (B, C y D).
ÁLGEBRA DE MATRICE Página 48 Ayudándote de la tabla... De la tabla podemos deducir muchas cosas: Al consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente. B solo tiene un candidato el C. Dos consejeros
Más detallesGráfica de una función
CAPÍTULO 9 Gráfica de una función 9. Interpretación de gráficas símbolos Con la finalidad de reafirmar la relación eistente entre el contenido de un concepto, la notación simbólica utilizada para representarlo
Más detalles1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad
Estudio y representación de funciones 1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad 1.1. Dominio Al conjunto de valores de x para los cuales está definida la función se le denomina dominio. Se suele
Más detallesPRISMA OBLICUO > REPRESENTACIÓN Y DESARROLLO POR EL MÉTODO DE LA SECCIÓN NORMAL
1. CARACTERÍSTICAS GENERALES DEL PRISMA OBLICUO Desde el punto de vista de la representación en SISTEMA DIÉDRICO, el prisma oblicuo presenta dos características importantes que lo diferencian del prisma
Más detallesUna función f es derivable en un punto a de su dominio si existe el límite. f(x) f(a) Si f y g son derivables en a, entonces fg es derivable en a y
4. Derivabilidad 1 Una función f es derivable en un punto a de su dominio si existe el límite f (a) = lím x a f(x) f(a) x a f(a + h) f(a) = lím, h 0 h y es un número real. El número f (a) se denomina derivada
Más detallesSelectividad Septiembre 2009 SEPTIEMBRE 2009. Opción A
SEPTIEMBRE 2009 Opción A 1.- Como cada año, el inicio del curso académico, una tienda de material escolar prepara una oferta de 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para los alumnos de un IES,
Más detallesTema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice
Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice 1 Polinomios Dedicaremos este apartado al repaso de los polinomios. Se define R[x] ={a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... +
Más detalles1. Hallar los extremos de las funciones siguientes en las regiones especificadas:
1 1. DERIVACIÓN 1. Hallar los extremos de las funciones siguientes en las regiones especificadas: b) f(x) x (x 1) en el intervalo [, ] y en su dominio. DOMINIO. D R. CORTES CON LOS EJES. Cortes con el
Más detallesTema 6: Ecuaciones e inecuaciones.
Tema 6: Ecuaciones e inecuaciones. Ejercicio 1. Encontrar, tanteando, alguna solución de cada una de las siguientes ecuaciones: 3 a) + 5 = 69 Probamos para =,3,4,... = = 3 3 = 4 4 3 3 3 + 5 = 13. + 5 =
Más detallesEJERCICIOS DE FUNCIONES REALES
EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES.- La ley que relaciona el valor del área de un cuadrado con la longitud de su lado es una función. Sabemos que la epresión que nos relacionas ambas variables es. Observa
Más detallesANÁLISIS DE FUNCIONES RACIONALES
ANÁLISIS DE FUNCIONES RACIONALES ( x 9) Dada la función f( x) = x 4 DETERMINE: Dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento, intervalos de concavidad, extremos relativos y puntos de inflexión, representar
Más detallesPolinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo
Polinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo P (x) = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n Donde n N (número natural) ; a 0, a 1, a 2,..., a n son coeficientes reales
Más detalles1. JUNIO 2014. OPCIÓN A. La función de beneficios f, en miles de euros, de una empresa depende de la cantidad invertida x, en miles de euros, en un
Selectividad Andalucía Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales Bloque Funciones EJERCICIOS DE EXÁMENES DE SELECTIVIDAD ANDALUCÍABLOQUE FUNCIONES 1 JUNIO 014 OPCIÓN A La función de beneficios f en
Más detallesTeoría de Conjuntos y Funciones
Elaborado por: Lic. Eleazar J. García República Bolivariana de Venezuela. Tinaco.- Estado Cojedes Teoría de Conjuntos Funciones Este capítulo comienza con el estudio de las nociones de la teoría de conjuntos
Más detallesNombre del polinomio. uno monomio 17 x 5 dos binomio 2x 3 6x tres trinomio x 4 x 2 + 2
SISTEMA DE ACCESO COMÚN A LAS CARRERAS DE INGENIERÍA DE LA UNaM III. UNIDAD : FUNCIONES POLINÓMICAS III..1 POLINOMIOS La expresión 5x + 7 x + 4x 1 recibe el nombre de polinomio en la variable x. Es de
Más detallesFunciones, x, y, gráficos
Funciones, x, y, gráficos Vamos a ver los siguientes temas: funciones, definición, dominio, codominio, imágenes, gráficos, y algo más. Recordemos el concepto de función: Una función es una relación entre
Más detallesMatemática Función exponencial
Matemática Función eponencial La selección de problemas que aquí se presentan forma parte del documento Función eponencial de la Serie Aportes para la enseñanza. Nivel Medio, en proceso de edición en la
Más detalles3 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS PARA EMPEZAR Un cuadrado tiene 5 centímetros de lado. Escribe la epresión algebraica que da el área cuando el lado aumenta centímetros. A ( 5) Señala cuáles de las siguientes
Más detalles9 FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA
9 FUNCINES DE PRPRCINALIDAD DIRECTA E INVERSA EJERCICIS PRPUESTS 9. Dibuja la gráfica de la función que eprese que el precio del litro de gasolina en los últimos 6 meses ha sido siempre de 0,967 euros.
Más detallesPROPORCIONALIDAD - teoría
PROPORCIONALIDAD RAZÓN: razón de dos números es el cociente indicado de ambos. Es decir, la razón de los dos números a y b es a:b, o lo que es lo mismo, la fracción b a. PROPORCIÓN: es la igualdad de dos
Más detallesPOLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Página 66 PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE Múltiplos y divisores. Haz la división: 4 + 5 0 + 5 A la vista del resultado, di dos divisores del polinomio 4 + 5 0. (
Más detallesFUNCIONES. Funciones. Qué es una función? Indicadores. Contenido
Indicadores FUNCIONES Calcula el valor de incógnitas usando la definición de función. Determina valores de la variable dependiente a partir de valores dados a la variable independiente. Determina los puntos
Más detallesTema 5. Aproximación funcional local: Polinomio de Taylor. 5.1 Polinomio de Taylor
Tema 5 Aproximación funcional local: Polinomio de Taylor Teoría Los polinomios son las funciones reales más fáciles de evaluar; por esta razón, cuando una función resulta difícil de evaluar con exactitud,
Más detallesDepartamento de Matemáticas
MA5 Clase 9: Campos Direccionales, Curvas Integrales. Eistencia y Unicidad Elaborado por los profesores Edgar Cabello y Marcos González La ecuación y = f(, y) determina el coeficiente angular de la tangente
Más detalles164 Ecuaciones diferenciales
64 Ecuaciones diferenciales Ejercicios 3.6. Mecánica. Soluciones en la página 464. Una piedra de cae desde el reposo debido a la gravedad con resistencia despreciable del aire. a. Mediante una ecuación
Más detallesMATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASES # 13 y #14
MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASES # 3 y #4 Desigualdades Al inicio del Capítulo 3, estudiamos las relaciones de orden en los número reales y el signi cado de expresiones
Más detallesAdvierta que la definición 1 requiere implícitamente tres cosas si f es continua en a:
SECCIÓN.5 CONTINUIDAD 9.5 CONTINUIDAD En la sección.3 se le hizo notar que a menudo se puede hallar el ite de una función cuando tiende a a, con sólo calcular el valor de la función en a. Se dice que las
Más detallesNÚMEROS RACIONALES Y DECIMALES
NÚMEROS RACIONALES Y DECIMALES Unidad didáctica. Números racionales y decimales CONTENIDOS Fracciones Fracciones equivalentes Amplificar fracciones Simplificar fracciones Representación en la recta numérica.
Más detalles1.4.- D E S I G U A L D A D E S
1.4.- D E S I G U A L D A D E S OBJETIVO: Que el alumno conozca y maneje las reglas empleadas en la resolución de desigualdades y las use para determinar el conjunto solución de una desigualdad dada y
Más detallesGUÍA DE EJERCICIOS UNIDAD II
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA UNIVERSIDAD DE CARABOBO FACULTAD DE INGENIERÍA ESTUDIOS BÁSICOS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ANÁLISIS MATEMÁTICO II Corregido por: Prof. AOUAD Jamil Prof. LAURENTÍN María Prof.
Más detalles1 Límites de funciones
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 1 1 Límites de funciones En general, en la recta real R podemos considerar la noción de distancia entre dos puntos y a dada por la fórmula d (, a) = a
Más detallesLímite de una función
Límite de una función Idea intuitiva de límite El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x 0. Es
Más detallesInformación importante que debes leer antes de comenzar a trabajar
PROYECTO DE LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS S.A.E.M. THALES ESTALMAT Estímulo del Talento Matemático Prueba de selección 8 de junio de 2013 Nombre:... Apellidos:... Localidad: Provincia:... Fecha de nacimiento:././...
Más detallesUNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS
UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS Unidad 6: Polinomios con coeficientes enteros. Al final deberás haber aprendido... Expresar algebraicamente enunciados sencillos. Extraer enunciados razonables
Más detallesFUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES
www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS. Representemos, en función de la longitud de la base (), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro
Más detallesVECTORES. Módulo, dirección y sentido de un vector fijo En un vector fijo se llama módulo del mismo a la longitud del segmento que lo define.
VECTORES El estudio de los vectores es uno de tantos conocimientos de las matemáticas que provienen de la física. En esta ciencia se distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Se llaman
Más detallesLíneas Equipotenciales
Líneas Equipotenciales A.M. Velasco (133384) J.P. Soler (133380) O.A. Botina (133268) Departamento de física, facultad de ciencias, Universidad Nacional de Colombia Resumen. En esta experiencia se estudia
Más detallesColegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO
Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas º ESO Nombre: C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Resolver la siguiente ecuación: 5 5 6 Multiplicando por el mcm(,,6) = 6 y
Más detallesProblemas Tema 1 Enunciados de problemas de Repaso 4ºESO
página / Problemas Tema Enunciados de problemas de Repaso 4ºESO Hoja. Calcula las medidas de un rectángulo cuya superficie es de 40 metros cuadrados, sabiendo que el largo es 6 metros mayor que el triple
Más detallesSISTEMA DE PLANOS ACOTADOS APUNTES REALIZADOS POR ANTONIO CUESTA
SISTEMA DE LANOS ACOTADOS AUNTES REALIZADOS OR ANTONIO CUESTA El sistema de lanos Acotados o Sistema Acotado constituye, al igual que el Sistema Diédrico, un sistema de representación reversible en el
Más detallesEste documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales.
Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Introducción Por qué La Geometría? La Geometría tiene como objetivo fundamental
Más detalles, determinar: dominio y raíces; intervalos de continuidad y tipo de x 2 4 discontinuidades; asíntotas verticales y horizontales; su gráfica.
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN GLOBAL E00 ) Dadas las funciones f) +4, g) 3 & h), obtener: g/h)), h f)) &g h)), así como sus respectivos dominios. ) Dada la función definida por f) 3 5 5 3,
Más detallesLección 1-Introducción a los Polinomios y Suma y Resta de Polinomios. Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009
Lección 1-Introducción a los Polinomios y Suma y Resta de Polinomios Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009 Objetivos de la Lección Al finalizar esta lección los estudiantes: Identificarán, de una lista de expresiones
Más detallesCAPÍTULO III. FUNCIONES
CAPÍTULO III LÍMITES DE FUNCIONES SECCIONES A Definición de límite y propiedades básicas B Infinitésimos Infinitésimos equivalentes C Límites infinitos Asíntotas D Ejercicios propuestos 85 A DEFINICIÓN
Más detallesDOMINIO Y RANGO página 89. Cuando se grafica una función existen las siguientes posibilidades:
DOMINIO Y RANGO página 89 3. CONCEPTOS Y DEFINICIONES Cuando se grafica una función eisten las siguientes posibilidades: a) Que la gráfica ocupe todo el plano horizontalmente (sobre el eje de las ). b)
Más detallesOPCIÓN A 0 1 X = 1 12. Podemos despejar la matriz X de la segunda ecuación ya que la matriz. 1 1 ; Adj 0 1 X =
Selectividad Junio 011 Pruebas de Acceso a las Universidades de Castilla y León MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES EJERCICIO Nº páginas Tablas OPTATIVIDAD: EL ALUMNO/A DEBERÁ ESCOGER UNO DE
Más detallesObservaciones del profesor:
Calificación total máxima: 10 puntos. Tiempo: 60 minutos. OPCIÓN A Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 4 puntos) Se considera la matriz: A=( ) a) Determina la matriz B= A 2-2A 1,5 PUNTOS b) Determina los
Más detalles1. Pasos en la resolución de ecuaciones de primer grado
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO 1. Pasos en la resolución de ecuaciones de primer grado En este curso vamos resolver ecuaciones de primer grado un poco más complicadas que las del curso pasado.
Más detallesDescomposición factorial de polinomios
Descomposición factorial de polinomios Contenidos del tema Introducción Sacar factor común Productos notables Fórmula de la ecuación de segundo grado Método de Ruffini y Teorema del Resto Combinación de
Más detallesFRACCIONES. Una fracción tiene dos términos, numerador y denominador, separados por una raya horizontal.
FRACCIONES Las fracciones representan números (son números, mucho más exactos que los enteros o los decimales), Representa una o varias partes de la unidad. Una fracción tiene dos términos, numerador y
Más detallesRepresentación gráfica de funciones
Gráfica de una fución Representación gráfica de funciones La gráfica de una función está formada por el conjunto de puntos (x, y) para todos los valores de x pertenecientes al Dominio de la función gráfica
Más detalles