CÁLCULO DIFERENCIAL 9. UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS

Transcripción

1 CÁLCULO DIFERENCIAL 9 UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS SOLUCIONES DE LA COLECCIÓN DE PROBLEMAS - CAPÍTULO 3 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO Índice 1. Cálculo Diferencial Funciones, límites y continuidad Derivabilidad Cálculo Diferencial 1.1. Funciones, límites y continuidad Problema i) R \ {2, 3}, ii) { 1, 1}, iii) [ 1, 1] \ {1/ 2}, iv) [ 2, 3] [ 3, 2], v) (0, e) (e, ), vi) (0, 1), vii) [0, 5] \ {1}, viii) (0, ). Problema i) impar, ii) ni par ni impar, iii) par, iv) par. Problema i) (f g) (x+ x) 3, ii) (g f) x 3 + x 3, iii) (f h) e 3x, iv) (h g f) e x3 + x 3. Problema i) 0, ii) 4, iii) 0, iv) no existe, los límites laterales valen por la derecha y por la izquierda. v), vi) 1/4, vii) 1/2, viii) 1/2, ix) e, x) 1. Problema Dividimos por la máxima potencia, arriba y abajo. i) 1/7, ii) 1/ 2, iii) 1, iv) 2, v) 1, vi) 1, vii) 1/2, viii) 1/2, ix) 1/5, x) 0. Problema La función ya es continua en R \ {2} de entrada. Para la continuidad en el 2 hace falta a = 4.

2 CÁLCULO DIFERENCIAL 10 Problema k = 0 para que coincidan los límites laterales y el valor de f(x) en el 0. Fuera del cero ya es continua. ( ( ) ) Problema Dom(f) = (, 1) ( 1, π/2) (2k+1)π, (2k+3)π La función 2 2 k=0 es continua en los puntos que están en su dominio. Sólo hace falta comprobarlo en el cero, donde comprobamos que coinciden los límites laterales y el valor de la función. Problema Consideramos la función f x 4 1, que es continua en [0, 1]. x Tenemos que f(0) = 1 < 0 y que f(1) = 1/2 > 0, luego por el Teorema de Bolzano existe algún x (0, 1) tal que f 0. Problema Consideramos la función f cos(x) 2x + 1, que es continua en toda la recta. Buscamos un intervalo en el que haya cambio de signo de f en los extremos y aplicamos el Teorema de Bolzano allí: f(0) = 2 > 0, f(π/2) = 1 π < 0, Entonces está garantizado que hay algún punto c (0, π/2) donde f(c) = 0, es decir, tal que cos(c) = 2c Derivabilidad Problema f lím (x + h) 3 x 3 h = lím x 3 + 3x 2 h + 3xh 2 + h 3 x 3 h Problema i) f 2x + 5 sen x. ii) f cos x x sen x. iii) f x sen x cos x. x 2 iv) f 1 cos tg2 (x). v) f sen(x 2 ) 2x. vi) f 2x + 5 x 2 + 5x. vii) f 1 cos 2 (e x2 ) ex2 2x. viii) f e sen(x)+cos2 (x) (cos(x) 2 cos(x) sen(x)). ix) f 4x sen(x 2 + 1) cos(x 2 + 1). = lím (3x 2 +3xh+h 2 ) = 3x 2.

3 CÁLCULO DIFERENCIAL 11 x) f 2x sen(1/x) cos(1/x). xi) f cos(x) sen(x) + 1. xii) f (x 2 + 1) cos(x) ( sen(x) log(x 2 + 1) + xiii) f (2x + 2). 2 xiv) f 2x 6. 1 x 4 1 9x 2 Problema La derivada es y = tiene ecuación: ) 2x cos(x). x (x + 2) 2, luego y (0) = 1/4 y la recta tangente y = (x 0) = x Problema f x 2, luego f (0) = 2, como f(0) = 0, la recta tangente es: y = 2x. Problema Los límites laterales en x = 0 son lím x2 = 0, x 0 + lím x 0 (x 1) = 1. Como no coinciden, la función f no tiene límite en x = 0 y por tanto allí no es continua. Al no ser continua tampoco es derivable en x = 0. Problema i) 4, ii) 0, iii) 1/2, iv) 0, v) no existe, los límites laterales son y, vi) 0, vii), viii). Problema formas. Los resultados son los mismos que al calcular los límites de otras Problema i) Máximos: x = 2 y x = 2, mínimo x = 0. ii) Máximo x = 1, mínimo x = 1. iii) Máximo x = 1, mínimo x = 1. Problema i) Dom(f) = R, impar, no tiene asíntotas, f 3x 2 4, puntos críticos: x = ±2/ 3 creciente en (, 2/ 3) (2/ 3, ), decreciente en ( 2/ 3, 2/ 3). x = 2/ 3 mínimo local, x = 2/ 3 máximo local. Convexa en x > 0 y cóncava en x < 0, x = 0 es punto de inflexión. ii) Dom(f) = R, ni par ni impar y sin asíntotas, f 3x(x 2), puntos críticos: x = 0, x = 2, creciente en (, 0) (2, ), decreciente en (0, 2), x = 0 máximo local, x = 2 mínimo local. Convexa en x > 1, cóncava en x < 1, x = 1 es punto de inflexión. iii) Dom(f) = R, par, sin asíntotas, f 4x(x 2 + 1), punto crítico x = 0, creciente en x > 0, decreciente en x < 0, x = 0 es mínimo absoluto. Convexa siempre.

4 CÁLCULO DIFERENCIAL 12 iv) Dom(f) = R, impar, asíntota horizontal y = 0 para x ±, f 1 x2 (x 2 + 1), 2 puntos críticos: x = ±1, creciente en ( 1, 1), decreciente en (, 1) (1, ), x = 1 mínimo absoluto, x = 1 máximo absoluto. v) Dom(f) = R \ { 2, 2}, par, asíntota horizontal y = 1 para x ±, asíntotas verticales: x = 2 y x = 2. f 10x, punto crítico x = 0, creciente en (, 2) (x 2 4) 2 ( 2, 0), decreciente en (0, 2) (2, ), máximo local x = 0, convexa en (, 2) (2, ) y cóncava en ( 2, 2). vi) Dom(f) = R \ { 2, 1}, ni par ni impar, asíntota horizontal y = 1 para x ±, discontinuidad evitable en x = 1, f (x + 1)/(x + 2) salvo en x = 1, donde no está definida. Asíntota vertical en x = 2. f 1/(x + 2) 2, salvo en x = 1, no hay puntos críticos. Creciente en (, 2) ( 2, 1) (1, ), convexa en (, 2), cóncava en ( 2, 1) (1, ). vii) Dom(f) = R\{0}, ni par ni impar, asíntota vertical en x = 0, asíntota oblicua y = x+2 para x ±. f x3 + x 2, punto crítico x = 1, creciente en (, 0) (1, ), x 3 decreciente en (0, 1), x = 1 es mínimo local. f 2x + 6, convexa en (, 0) (0, 3), x 4 cóncava en (3, ), x = 3 es punto de inflexión. viii) Dom(f) = R y es par. Su gráfica es similar a la de g x 2 4, pero donde esta función está por debajo del eje horizontal le damos la vuelta y la ponemos positiva. La gráfica tiene dos picos (puntos donde no hay derivada), en x = 2 y x = 2, que son los mínimos absolutos de f, porque allí f vale 0 y en el resto es positiva. ix) Dom(f) = R, par, sin asíntotas, periódica de periodo π, f 2 cos(x) sen(x), puntos críticos x = πk/2, con k Z, creciente en ( π + kπ, π + kπ), con k Z, decreciente 2 en (kπ, π +kπ), puntos máximos absolutos son x = kπ, mínimos absolutos son x = π +kπ, 2 2 con k Z. Convexa en ( π + kπ, 3π + kπ), cóncava en ( π + kπ, π + kπ), x = π + kπ son puntos de inflexión. x) Dom(f) = R, impar, sin asíntotas, periódica de periodo 2π, f 1 + cos(x), puntos críticos x = π + 2kπ, con k Z. Creciente siempre. f sen(x), convexa en ( π + 2kπ), cóncava en (2kπ, π + 2kπ), con k Z. No hay máximos ni mínimos. Puntos de inflexión: x = kπ, con k Z. Problema Para estar inscrito en la esfera debe ser r 2 + (h/2) 2 = 9 y el volumen es V = πr 2 h. Eliminando la variable r obtenemos: ) V (h) = π (9 h2 h = 9πh π 4 4 h3, definida para h > 0. El máximo absoluto de la función es h = 2 3 y entonces r = 6.

5 CÁLCULO DIFERENCIAL 13 Problema El volumen es V x(10 2x) 2, donde x (0, 5). El máximo volumen se obtiene cuando x = 5/3. Problema La superficie lateral es S = 2πrh + 2πr 2. Como el volumen de la lata es V = πr 2 h, entonces h = V/(πr 2 ) y queda S: S(r) = 2V r + 2πr2. La superficie es mínima cuando r = 3 V 2π. Entonces, h = 2 3 V 2π = 2r. Problema Área = x y = , Longitud de la valla = x + 2y. Poniendo la longitud en términos de x tenemos: Longitud de la valla = V x x, definida para x > 0. El mínimo absoluto de V es x = 300. Entonces, y = 600.