INTERPOLACIÓN: Error en la la interpolación polinómica de Lagrange

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1 INTERPOLACIÓN: Error en la la interpolación polinómica de Lagrange Arturo Hidalgo LópezL Alfredo López L Benito Carlos Conde LázaroL Marzo, 007 Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 91

2 OBJETIVOS 1º. Obtener y aplicar la expresión que proporciona el error de interpolación en el proceso de interpolación polnómica de Lagrange. º. Obtener cotas del error de interpolación de Lagrange Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 9

3 NOTACIÓN: Soporte: {x 0, x 1,..., x n } formado por (n+1) puntos distintos de (a, b) Función que se interpola: f(x) Valores de la función en el soporte: {f 0, f 1,..., f n } Polinomio interpolador de Lagrange: p n (x) TEOREMA Teorema de expresión del error (n+ 1) Si f C ((a,b)) entonces : x* (a,b) ξ* = ξ( x* ) / E( x* ) = f( x*) -p ( x* ) = = (n+1 n f ( ξ* ) (x*-x) i (n+1)! i=0 Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 93 n

4 Teorema de de expresión del del error: Demostración a) Si x* {x 0, x 1,..., x n } el teorema es evidente. b) Si x* {x 0, x 1,..., x n }: n f( x* ) p( n x* ) Sea: F: x f( x) pn( x ) (x x n i) i= 0 ( x* xi) Se verifica que: i= 0 F(x i ) = 0 (i = 0,..., n) F(x*) = 0 (n+ 1) F C ((a,b)) RECORDATORIO: Teorema de Rolle Si g(x) es una función de clase C 1 (a, b) y g(a) = g(b), entonces existe γ (a, b) tal que g (γ) = 0 F(x) tiene al menos (n+) raíces distintas en (a, b) Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 94 α γ β

5 Teorema de de expresión del del error: Demostración a) Si x* {x 0, x 1,..., x n } el teorema es evidente. b) Si x* {x 0, x 1,..., x n }: n f( x* ) p( n x* ) Sea: F: x f( x) pn( x ) (x x n i) i= 0 ( x* xi) Se verifica que: i= 0 F(x i ) = 0 (i = 0,..., n) F(x*) = 0 (n+ 1) F C ((a,b)) E(x*) (n+ 1 (n+ 1 f( x* ) p( n x* ) 0 = F ( ξ* ) = f ( ξ* ) (n+ 1)! n (x * x ) i= 0 i F(x) tiene al menos (n+) raíces distintas en (a, b) (Aplicando n veces el teorema de Rolle) F (n+1 (x) tiene al menos 1 raíz ξ (a,b) (n+ 1 n f ( ξ* ) E( x* ) = (x * x i) ( n+ 1)! Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 95 i= 0 c.q.d.

6 Algunas acotaciones del error (n+ 1 n x* = x* / x* = f ( ξ* (a,b) ξ* ξ( ) E( ) ) (x*-x i) (n+1)! M = (n+ 1 sup f ( x) x (a,b) n M x (a,b) : E( x ) (x-x i) ( n+ 1)! n M x (a,b) : E( x ) sup (x-x i) (n+1)! h = b a Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 96 i=0 x ( a, b) i= 0 M x (a,b) : E( x ) h (n+1)! i=0 (n+1) n 1 O( h + )

7 Ejemplo 1º (1/11) EJEMPLO 1 de error de interpolación de Lagrange Sea la función (4x ) f:x.x.e + definida en [0., 1] a) Calcular y representar gráficamente los polinomios de base de Lagrange asociados al soporte {0., 1.0} b) Hallar el polinomio p(x) que interpola f(x) en el sentido de Lagrange sobre el soporte {0., 1} c) Obtener la expresión del error de interpolación d) Hallar una cota de error válida en todo (0., 1) Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 97

8 Solución del apartado a): Polinomios de base de Lagrange x x1 1 x x x0 x 0. L(x) 0 = = L(x) 1 = = x x 0.8 x1 x Ejemplo 1º (/11) x 0 x 1 x 0 x 1 (NOTA: Se puede comprobar que L 0 (x) + L 1 (x) = 1) Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 98

9 Solución del apartado b) p 1 (x) ( ) L(x ( ) p(x) = f x. ) + f x. L( x) = f(x) Ejemplo 1º (3/11) = Polinomio interpolador de Lagrange 1 x 0.4.e..e. x ( ) + p(x) x x 0 x 1 Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 99

10 Solución del apartado c): Expresión del error f ( ξ ) ( n + 1)! (n+ 1) n = = x Aplicamos la expresión: ε (x) f(x) p(x) ( x x ) j Como el número de puntos es n+1 = se deriva DOS veces f(x) f ( x ) = ( ( 4 x ) 8 x) e + ε (x) f" ( ξ Ejemplo 1º (4/11) n x = f(x) p(x) = ( x x ) j (n + 1)! j= 0 ) Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 100 j= 0 f( x) = ( x) e ( 4 x+ ) ε (x) = f(x) p(x) = (4ξx + ) ( ξx ). e! ε (x) = f( x) p(x) = (4 x ) ( 16 ξ + 3. ξ x ).e x 1. x + 0. ( x 0.)( x 1) ( )

11 Solución del apartado d): Cota de error max f ( x) 1 x [ 0.,1] ε (x) = f(x) p(x) max ( x x ) j 3! x [ 0.,1] j= 0 Hallemos, en primer lugar m ax f (x) Llamamos: g ( x) = f ( x) Dado que la función g(x) es continua en [0., 1], su mayor valor absoluto en [0, ] será el mayor de los siguientes: Valor de g(x) en las abscisas de [0., 1] para las que g (x) = 0. Valor de g(0.). Valor de g(1). Ejemplo 1º (5/11) Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 101

12 Ejemplo 1º (6/11) Valor de g(x) en las abscisas para las que g (x) = 0. ( 4 (4x ) g(x) = ( x).e x + ) g '(x) = ( x).e + ( 4x* + ) 96 g '( x*) = 0 ( x* ).e = 0 x* = = de donde: g( ) (1) Valor de g(x) en los extremos del intervalo [ 0., 1 ]. g( 0.) = () g( 1 ) = (3) El mayor valor absoluto de entre (1), () y (3) es: (obtenido para x = 0.) Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 10

13 Ejemplo 1º (7/11) Gráfico en [0., 1] de la función g(x) = f (x) Valor máximo m de g(x) Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 103

14 Ejemplo 1º (8/11) Buscamos ahora max ( x 0.)( x 1) x [ 0.,1] Llamamos q(x)=(x 0.)(x 1) = x 1.x + 0. q(x) es un polinomio de segundo grado que se anula en los puntos 0. y 1, luego, necesariamente, tendrá algún extremo en el intervalo [ 0., 1]. x 0 x 1 q(x) Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 104

15 Ejemplo 1º (9/11) El máximo de q(x) se alcanzará en los puntos que se obtienen resolviendo la ecuación q (x) = 0: q (x) = 0 = x 1. de donde se obtiene x = 0.6 como abscisa en la que se encuentra el máximo de q(x) : resultando: q(0.6) = q(0.6) = 0.16 Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 105

16 Ejemplo 1º (10/11) Teniendo en cuenta los resultados obtenidos, UNA cota de error vendrá dada por: ε (x) = f(x) p(x).(0.16) = Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 106

17 Ejemplo 1º (11/11) La cota del error obtenida es una cota teórica. Si se representa el valor absoluto del error exacto (e.p. hacerlo): ε(x) = f(x) p(x) se obtiene la siguiente figura: El error máximo real que se comete es del orden de 0.006, mucho menor que la cota teórica ( ). A menudo, las cotas a las que conduce el teorema de acotación del error son conservadoras. Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 107

18 Ejemplo º (1/11) Sea la función f(x) = sen(5.x + ) x π 0, 10 a) Calcular y representar gráficamente los polinomios de base de Lagrange asociados al soporte { x 0,x π,x π } = = = b) Hallar el polinomio p(x) que interpola f(x) en el sentido de Lagrange sobre el soporte de apartado anterior c) Obtener la expresión del error de interpolación d) Hallar una cota de error válida π x 0, 10 Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 108

19 Ejemplo º (/11) Solución del apartado a): Polinomios de base de Lagrange L(x) 0 = (x x )(x x ) 1 0 (x x )(x x ) = ( x π )( x π ) 0 10 ( 0 π )( 0 π ) = =.x.x + 1 π π x 0 x 1 x Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 109

20 Ejemplo º (3/11) Polinomios de base de Lagrange () L(x) 1 = (x x 1)(x x ) (x x )(x x ) ( x 0) ( x π ) 10 ( π 0)( π π ) = = = + π π.x.x x 0 x 1 x Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 110

21 Ejemplo º (4/11) Polinomios de base de Lagrange (3) (x x 0)(x x 1) ( x 0)( x π ) L(x) = 0 = (x x 0)(x x 1) π 0 π π ( )( ) = π π.x.x x 0 x 1 x Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 111

22 Solución del apartado b) p(x) Ejemplo º (5/11) Polinomio interpolador de Lagrange ( x ) L(x ( x ) L(x) ( x ) = f. ) + f. + f. L ( x) = = sen ( 5.(0 ) + ).. x. x π π 5π sen +.. x +. x 0 π π 5π sen +..x.x 10 π π Operando: p 0 ( x) x.91850x Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 11

23 Ejemplo º (6/11) Representación gráfica de la función y de su polinomio interpolador p (x) f(x) x 0 x 1 x Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 113

24 Ejemplo º (7/11) Solución del apartado c): Expresión del error Aplicamos la expresión general del error de interpolación: n f (cx ) ε (x) = f(x) p(x) = ( x x ) j 3! j= 0 donde aparece la derivada tercera de f(x) por tener el soporte de interpolación 3 puntos. f(x) = sen(5.x + ) f(x) = 5.cos(5x+ ) f(x) = 5.sen(5x+ ) f (x) = 15. cos(5x + ) Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 114

25 La expresión del error será, entonces: 15. cos( 5cx + ) π π ε (x) = f( x) p(x) = x x x 3! 10 0 Operando, resulta: Ejemplo º (8/11) donde c x es algún punto del intervalo (0, π/10) dependiente de la abscisa x 15. cos(5cx + ) 3 3π π = = + ε (x) f ( x) p(x) 6 x 0 x 00 x Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 115

26 Ejemplo º (9/11) Solución del apartado d): Cota de error max f (x) π x [0, ] π π x) = f(x) p(x) m + x 3! π x [0, ] ε ( ax x x = π max cos( 5 x + ) max x x x π π x [0, ] x [0, ] π = α máx = + π/10 x = 0 α min = = x = π/10 α máx = 5 (π/10) + = +π/ α mín = Luego: max cos( 5 x + ) = 1 π x [0, ] 10 Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 116

27 15 3 π π ε + = 3 '(x) max cos( 5 x ) max x x + x 6 π π x [0, ] x [0, ] π π = π 0 3 x = x x + q( ) Ejemplo º (10/11) 3 max x x x π x [0, ] 10 π 00 x 3 π π q'( x) = 3 x x π q '( x* ) = 0 x* = (1 ± ) x* q( ) = q( ) = q(0.) = q(π/0) = q(π/10) = Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 117 =

28 Ejemplo º (11/11) q(x) x 0 x 1 m ax (x) = 0.0 x 0, π 10 q 0149 En resumen UNA cota de error es: x 15 ε(x ) La función valor absoluto del error de interpolación ε(x) = f(x) p(x), tiene el siguiente grafo: Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 118

29 Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 119