Interpolación. Javier Segura. Cálculo Numérico I. Tema 3. Javier Segura (Universidad de Cantabria) Interpolación CNI 1 / 29

Transcripción

1 Interpolación Javier Segura Cálculo Numérico I. Tema 3. Javier Segura (Universidad de Cantabria) Interpolación CNI 1 / 29

2 Contenidos: 1 Interpolación de Lagrange Forma de Lagrange Teorema del resto Diferencias divididas de Newton 2 Interpolación de Hermite 3 Comportamiento del error en la interpolación de Lagrange 4 Interpolación mediante funciones tipo spline" Javier Segura (Universidad de Cantabria) Interpolación CNI 2 / 29

3 Interpolación de Lagrange Estructura de la presentación: 1 Interpolación de Lagrange Forma de Lagrange Teorema del resto Diferencias divididas de Newton 2 Interpolación de Hermite 3 Comportamiento del error en la interpolación de Lagrange 4 Interpolación mediante funciones tipo spline" Javier Segura (Universidad de Cantabria) Interpolación CNI 3 / 29

4 Interpolación de Lagrange Interpolación de Lagrange Para cualquier conjunto de n + 1 (n 0) números distintos x 0, x 1,..., x n y cualquier conjunto de números arbitrarios y 0, y 1,..., y n, existe un único polinomio P n (x) de grado menor o igual que n tal que P n (x k ) = y k para i = 0, 1, 2,..., n. Al este polinomio P n (x) se le llama polinomio de interpolación de Lagrange, y se dice que interpola los n + 1 puntos (x i, y i ), i = 0, 1, 2,..., n. Nuestro problema será encontrar tal polinomio, para lo cual estudiaremos dos métodos: Fórmula de Lagrange y diferencias divididas de Newton. Javier Segura (Universidad de Cantabria) Interpolación CNI 4 / 29

5 Interpolación de Lagrange Forma de Lagrange Forma de Lagrange Dados n + 1 puntos (x i, y i ), i = 0, 1,..., n (x i x j i j), el único polinomio P n (x) de grado menor o igual n que pasa por estos n + 1 puntos, es decir, tal que P n (x i ) = y i, i = 0, 1, 2,..., n. es donde P n (x) = y 0 L 0 (x) + y 1 L 1 (x) y n L n (x), L i (x) = n j=0,j i n j=0,j i (x x j ) (x i x j ) (x x 0)...(x x i 1 )(x x i+1 )...(x x n ) (x i x 0 )...(x i x i 1 )(x i x i+1 )...(x i x n ) Javier Segura (Universidad de Cantabria) Interpolación CNI 5 / 29

6 Interpolación de Lagrange Teorema del resto Cuando interpolamos valores de una función, el siguiente resultado puede servir para estimar o acotar el error cometido al aproximar la función por el polinomio. Sea f (x) una función continua en [a, b] y derivable n + 1 veces en (a, b). Si P n (x) es el polinomio de grado menor o igual que n que interpola f (x) entre los n + 1 nodos distintos x 0...x n [a, b] entonces x [a, b] ζ x (a, b), dependiente de x, tal que f (x) = P n (x) + f (n+1) (ζ x ) (n + 1)! n (x x j ) P n (x) + R n (x) j=0 donde se dice que R n (x) es el resto y denotamos n (x x j ) = (x x 0 )...(x x n ). j=0 Javier Segura (Universidad de Cantabria) Interpolación CNI 6 / 29

7 Interpolación de Lagrange Diferencias divididas de Newton Forma de Newton Si x 0, x 1,..., x n son puntos distintos y f (x) está definida en [a, b], x i [a, b] i = 0, 1,..., n, entonces el polinomio interpolador de f (x) entre estos puntos se puede escribir como P n (x) = f (x 0 ) + (x x 0 )f [x 0, x 1 ] + (x x 0 )(x x 1 )f [x 0, x 1, x 2 ] (x x 0 )(x x 1 )...(x x n 1 )f [x 0, x 1,..., x n ] = n i 1 = f [x 0...x i ] (x x j ) i=0 j=0 Javier Segura (Universidad de Cantabria) Interpolación CNI 7 / 29

8 Interpolación de Lagrange Diferencias divididas de Newton La interpolación con las diferencias divididas de Newton es, en general, más fácil de computar que la utilización de la fórmula de Lagrange, y puede ser evaluada de forma recursiva. En efecto, no es difícil demostrar que f [x i... x i+k ] = f [x i+1...x i+k ] f [x i...x i+k 1 ] x i+k xi Lo que permite generar las diferencias divididas con k + 1 argumentos a partir de las diferencias con k argumentos. (1) Javier Segura (Universidad de Cantabria) Interpolación CNI 8 / 29

9 Interpolación de Lagrange Diferencias divididas de Newton Por ejemplo, en el caso de interpolar una función f (x) en tres puntos distintos x 0,..., x 2,, se puede plantear la siguiente tabla de diferencias divididas: x i f [] f [, ] f [,, ] x 0 f [x 0 ] = f (x 0 ) f [x 0, x 1 ] = f [x 1] f [x 0 ] x 1 x 0 x 1 f [x 1 ] = f (x 1 ) f [x 0, x 1, x 2 ] = f [x 1, x 2 ] f [x 0, x 1 ] x 2 x 0 f [x 1, x 2 ] = f [x 2] f [x 1 ] x 2 x 1 x 2 f [x 2 ] = f (x 2 ) Observemos que cada diferencia dividida se forma tomando la diferencia de las diferencias divididas vecinas (a la derecha) y dividiendo por la diferencia de abscisas; los valores de las abscisas se encuentran trazando las diagonales desde la posición que se está evaluando hasta la columna de las diferencias divididas de orden 0. Javier Segura (Universidad de Cantabria) Interpolación CNI 9 / 29

10 Interpolación de Lagrange Diferencias divididas de Newton Datos igualmente espaciados: forma de Newton Si los nodos x i están todos separados por le misma distancia, podemos encontrar una fórmula muy simple para el polinomio interpolador: donde P(x 0 + sh) = f (x 0 ) + s f (x 0 ) + s(s 1) 2 f (x 0 ) ! +s(s 1)...(s n + 1) n f (x 0 ). n! 0 f i = f i, f i = f i+1 f i, n f i = n 1 f i = n 1 f i = n 1 f i+1 n 1 f i y utilizamos la notación f i = f (x i ) = f (x 0 + ih). Javier Segura (Universidad de Cantabria) Interpolación CNI 10 / 29

11 Interpolación de Hermite Estructura de la presentación: 1 Interpolación de Lagrange Forma de Lagrange Teorema del resto Diferencias divididas de Newton 2 Interpolación de Hermite 3 Comportamiento del error en la interpolación de Lagrange 4 Interpolación mediante funciones tipo spline" Javier Segura (Universidad de Cantabria) Interpolación CNI 11 / 29

12 Interpolación de Hermite Podemos generalizar las diferencias divididas permitiendo que se repitan nodos. Teniendo en cuenta que podemos demostrar que: Lema Si f es una función n veces derivable en un intervalo (a, b) y dados n + 1 valores distintos x i (a, b), i = 0,..., n entonces es lógico tomar, por definición: Definición c (a, b) tal que f [x 0... x n ] = f (n) (c) n! Si f es n veces derivable en x 0 entonces f [x 0... x 0 ] = f (n) (x 0 ) n! donde x 0 se repite n + 1 veces en la diferencia dividida. Javier Segura (Universidad de Cantabria) Interpolación CNI 12 / 29

13 Interpolación de Hermite Combinando la relación si x i+k x i con la definición f [x i... x i+k ] = f [x i+1...x i+k ] f [x i...x i+k 1 ] x i+k xi f [[x i ] n+1 ] = f (n) (x i ) n! podemos calcular diferencias divididas f [x i... x j ] en las que puede haber repeticiones. La mejor forma de organizar el cálculo es colocar de forma consecutiva los valores repetidos. Javier Segura (Universidad de Cantabria) Interpolación CNI 13 / 29

14 Interpolación de Hermite Ejemplo: para calcular f [x 0 x 0 x 0 x 1 ] hacemos: x 0 f [x 0 ] f [x 0 x 0 ] = f (x 0 ) x 0 f [x 0 ] f [x 0 x 0 x 0 ] = f (x 0 )/2 f [x 0 x 0 ] = f (x 0 ) f [x 0 x 0 x 0 x 1 ] = f [x 0x 0 x 1 ] f [x 0 x 0 x 0 ] x 1 x 0 x 0 f [x 0 ] f [x 0 x 0 x 1 ] = f [x 0x 1 ] f [x 0 x 0 ] x 1 x 0 f [x 0 x 1 ] = f (x 1) f (x 0 ) x 1 x 0 x 1 f [x 1 ] Repetir nodos nos permite la interpolación de Hermite, en la que imponemos condiciones no sólo sobre el valor del polinomio en los nodos, sino también sobre las derivadas. Javier Segura (Universidad de Cantabria) Interpolación CNI 14 / 29

15 Interpolación de Hermite Teorema (Interpolación de Hermite) El problema de interpolación P n (x 0 ) = f (x 0 ),... P (n 0) n (x 0 ) = f (n0) (x 0 )... P n (x k ) = f (x k ),... P (n k ) n (x k ) = f (n k ) (x k ) mediante un polinomio de grado n = n n k + k, siendo f (x) n + 1 veces derivable en [a, b], tiene solución única, que se puede construir mediante el esquema de diferencias divididas. Denotando ( x 0 x 1... x n ) = ([x 0 ] n 0+1,..., [x k ] n k +1 ), tenemos: P n (x) = n i=0 i 1 f [ x 0... x i ] (x x j ). j=0 Además f (x) P n (x) = f (n+1) (ζ x ) (n + 1)! n (x x j ) para algún ζ x (a, b). j=0 Javier Segura (Universidad de Cantabria) Interpolación CNI 15 / 29

16 Estructura de la presentación: 1 Interpolación de Lagrange Forma de Lagrange Teorema del resto Diferencias divididas de Newton 2 Interpolación de Hermite 3 Comportamiento del error en la interpolación de Lagrange 4 Interpolación mediante funciones tipo spline" Javier Segura (Universidad de Cantabria) Interpolación CNI 16 / 29

17 Comportamiento del error Comportamiento del error en la interpolación de Lagrange Volvamos a la interpolación de Lagrange (todos los nodos distintos). Definamos S(x) n (x x j ) j=0 y, por comodidad, consideraremos x 0 < x 1 <... < x n 1 < x n. Para x i igualmente espaciados, los mayores valores de S(x) se encuentran para los mayores o menores valores de x en el intervalo [x 0, x n ] (sin coincidir con los x i ) mientras que S(x) alcanza menores valores para valores intermedios de x. Javier Segura (Universidad de Cantabria) Interpolación CNI 17 / 29

18 Comportamiento del error Comportamiento del error en la interpolación de Lagrange Ejemplo: interpolación de una función para los valores de x i = i 4, i = 0.,8. S(x) = x(x 2 1)(x 2 4)(x 2 9)(x 2 16): S(X) X Javier Segura (Universidad de Cantabria) Interpolación CNI 18 / 29

19 Comportamiento del error Comportamiento del error en la interpolación de Lagrange Ejemplo: comparación la interpolación en 9 puntos x i = 4 i, i = 0,.., 8 de la función f (x) = x 2 / x (línea continua) con la propia función (línea discontinua) X Javier Segura (Universidad de Cantabria) Interpolación CNI 19 / 29

20 Dada una función f (x) definida en un intervalo [a, b], la mejor aproximación polinómica de grado n será aquella que minimice E[q(x)] m«ax f (x) q(x), x [a,b] Si un determinado polinomio Q n (X) hace que E[Q n (x)] sea el de valor mínimo entre todos los polinomios de grado n entonces se dice Q n (x) es la aproximación minimax de grado n de la función f (x) en [a, b]. Nosotros no consideraremos esta aproximación, sino que buscaremos nodos x 0... x n tales que el polinomio nodal Q(x) = (x x 0 )(x x 1 )... (x x n ) sea el de mínimo máximo valor absoluto en el intervalo [a, b]. Javier Segura (Universidad de Cantabria) Interpolación CNI 20 / 29

21 Interpolación Chebyshev Polinomios de Chebyshev: definición El polinomio de Chebyshev de orden n-ésimo se define como [ ] T n (x) = cos n cos 1 (x), x [ 1, 1], n = 0, 1, 2, 3,... Javier Segura (Universidad de Cantabria) Interpolación CNI 21 / 29

22 Polinomios de Chebyshev: propiedades 1 Relación de recurrencia de tres términos para los polinomios de Chebyshev: T n+1 (x) = 2xT n (x) T n 1 (x), n = 1, 2, 3,... siendo los valores iniciales de la recurrencia T 0 (x) = 1, T 1 (x) = x. 2 El coeficiente del término x n en T n (x) es 2 n 1 y se cumple que T n ( x) = ( 1) n T n (x). 3 Los n ceros de T n (x) están en el intervalo [ 1, 1] y están dados por [ ] 2k + 1 x k = cos 2n π, k = 0, 1,..., n 1. T n (x) tiene n + 1 extremos en el intervalo [ 1, 1] que vienen dados por x k = cos kπ n, k = 0,..., n, donde los polinomios valen: T (x k) = ( 1) k Javier Segura (Universidad de Cantabria) Interpolación CNI 22 / 29

23 Teorema Para cualquier n 1, entre todos los polinomios mónicos (es decir, con coeficiente 1 en el término de mayor grado) el polinomio de Chebyshev modificado T n (x) 1 2 n 1 T n(x) es el de mínimo máximo valor absoluto en [-1,1], siendo este valor 1/2 n 1. Es decir, que 1 2 n 1 = m «ax T n (x) m«ax P n(x) x [ 1,1] x [ 1,1] para cualquier polinomio P n (x) de tipo mónico: P n (x) = x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n a 1 x + a 0, Javier Segura (Universidad de Cantabria) Interpolación CNI 23 / 29

24 Teorema Sea f (x) n + 1 veces diferenciable con continuidad en [a, b] Sea P n (x) el polinomio de interpolación de Lagrange grado n basado en los n + 1 nodos (de Chebyshev) x k = b + a 2 + b a 2 entonces el error viene acotado por: m«ax f (x) P n(x) a x b ( b a donde hemos considerado el cambio de variable ( ) 2k + 1 cos 2n + 2 π, k = 0,..., n x(t) = b + a + b a 2 2 t que transforma el intervalo [ 1, 1] en [a, b]. 2 ) n+1 1 (n + 1)!2 n m «ax a x b f (n+1) (x) Javier Segura (Universidad de Cantabria) Interpolación CNI 24 / 29

25 Ejemplo: f (x) = x 2 / x Se representa f (x) P(x) con P(x) el polinomio de interpolación que interpola en 9 nodos distintos. La línea continua corresponde a los nodos equiespaciados y la línea discontinua corresponde a la aproximación cuasi-minimax para 9 nodos en el intervalo [ 4, 4] X Javier Segura (Universidad de Cantabria) Interpolación CNI 25 / 29

26 Propiedad de ortogonalidad discreta n ( ) n + 1 T i (x k )T j (x k ) = 2 (1 + δ i0) δ ij, siendo δ ij = k=0 { 1, i = j 0, i j Kronecker. Las x k son los n + 1 ceros del polinomio T n+1 (x). la delta de Javier Segura (Universidad de Cantabria) Interpolación CNI 26 / 29

27 Evaluación de la interpolación Chebyshev El polinomio interpolador de grado n basado en los nodos de Chebyshev (ceros de T n+1 (x)), que interpola f (x) en estos n + 1 puntos de [ 1, 1], se puede escribir como: n P n (x) = c j T j (x) donde c j = 2 δ j0 n + 1 ( ) y x k = cos 2k + 1 2n + 2 π, k = 0,..., n. j=0 n f (x k )T j (x k ) k=0 Javier Segura (Universidad de Cantabria) Interpolación CNI 27 / 29

28 Interpolación mediante funciones tipo spline" Estructura de la presentación: 1 Interpolación de Lagrange Forma de Lagrange Teorema del resto Diferencias divididas de Newton 2 Interpolación de Hermite 3 Comportamiento del error en la interpolación de Lagrange 4 Interpolación mediante funciones tipo spline" Javier Segura (Universidad de Cantabria) Interpolación CNI 28 / 29

29 Interpolación mediante funciones tipo spline" Construcción de splines Sean n + 1 puntos (x i, y i ), i = 0, 1,..., n verificando a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b, una spline cúbica de estos puntos es una función s(x) en [a, b] que satisface: 1 Polinomio de tercer grado. s(x) es un polinomio, P i (x), de grado tres sobre cada intervalo [x i 1, x i ] para i = 1, 2,..., n. 2 Condiciones de interpolación. s(x i ) = y i para i = 0, 1,..., n. 3 Suavidad. s (x) es continua en [a, b] ( [x 0, x n ]), luego también lo son s(x) y s (x). Javier Segura (Universidad de Cantabria) Interpolación CNI 29 / 29