Teorema III.1 Existen un único polinomio interpolante de grado a lo más n. y 1 y 2 y 3. y n 1 y n. c 1 c 2 c 3. c n 1 c n

Transcripción

1 Capítulo III Interpolación Polinómica III1 Problema Dados n + 1 puntos (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ),, (x n, y n ), con abscisas diferentes, se trata de determinar un polinomio p n (x) tal que p n (x i ) = y i para i = 0,, n Teorema III1 Existen un único polinomio interpolante de grado a lo más n Prueba: La existencia se va a establecer por medio de diferentes métodos en este capítulo La unicidad se puede concluir del siguiente argumento: si p(x) y q(x) son dos polinomios interpoladores de grado a lo más n, entonces r(x) = p(x) q(x) es un polinomio de grado a lo más n tal que r(x i ) = 0 para i = 0, 1,, n Pero un polinomio de grado a lo más n que no es idénticamente cero sólo puede tener a lo más n raíces, de lo que se concluye que r(x) = 0 y por lo tanto p(x) = q(x) Note que se habla de grado a lo más n Esto es porque es posible que n + 1 puntos sean interpolados por un polinomio de grado menor que n: por ejemplo, tres puntos colineales son interpolados por una línea Antes de ocuparnos con los métodos de Lagrange y Newton, veamos que en principio el problema de interpolación se puede resolver a través de un sistema de ecuaciones lineales (esto también muestra la unicidad) Sea p n (x) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x c n x n, entonces las igualdades p n (x i ) = y i, para i = 0,, x n son equivalentes al siguiente sistema de ecuaciones en forma matricial 1 x 1 0 x 2 0 x n 1 0 x n 0 1 x 1 1 x 2 1 x n 1 1 x n 1 1 x 1 2 x 2 2 x2 n 1 x n 2 1 x 1 3 x 2 3 x n 1 1 x 1 n 1 x 2 n 1 xn 1 1 x 1 n x 2 n x n 1 n 3 x n 3 x n n 1 x n n c 0 c 1 c 2 c 3 c n 1 c n = La matrix de coeficientes de este sistema lineal de igualdades es bien conocida y se le llama matrix de Vandermonde y se denota por V (x 0, x 1, x 2,, x n ) Su determinante es det V (x 0, x 1,, x n ) = i>j(x i x j ) y 0 y 1 y 2 y 3 y n 1 y n III1

2 III2 CAPÍTULO III INTERPOLACIÓN POLINÓMICA donde el producto es sobre todos los pares i, j con valores en 1,, n y tal que i > j (por ejemplo det V (x 0, x 1 ) = x 1 x 0, lo cual se puede verificar directamente) El determinante es diferente de zero porque los x i son diferentes Entonces V (x 0, x 1,, x n ) es invertible y existen un vector único de soluciones [c 0 c 1 c n ] T dado por c 0 c 1 c 2 c 3 c n 1 c n = 1 x 1 0 x 2 0 x n 1 0 x n 0 1 x 1 1 x 2 1 x n 1 1 x n 1 1 x 1 2 x 2 2 x n 1 2 x n 2 1 x 1 3 x 2 3 x n 1 1 x 1 n 1 x 2 n 1 x n 1 n 1 1 x 1 n x 2 n x n 1 n 3 x n 3 x n n 1 x n n 1 y 0 y 1 y 2 y 3 y n 1 y n Ejemplo Queremos encontrar el polinomio de interpolación para los puntos ( 1, 3), (0, 5), (2, 2), (3, 1), (5, 1 MATLAB provee la operación vander(x) la cual crea una matriz de Vandermode para los valores en el vector x También provee la operación V\y que multiplica el inverso de la matriz V por el vector columna y El siguiente segmento de Matlab resuelve nuestro problema Pero note que Matlab tiene un orden diferente para la matriz, y como resultado los coeficientes resultan en orden inverso también (primero el de más alto orden) Esto es cierto en general de como maneja Matlab los polinomios >> x = [ ]; >> y = [ ]; >> V=vander(x); >> c=v\y ; >> figure, grid on, hold on; >> fplot(@(x) polyval(c,x),[-15, 55]); >> plot(x,y, ro ); >> c,v ans = 1/30 1/30-13/10 7/10 5 V = El polinomio de interpolación es entonces p 4 (x) = 1 30 x x x x + 5 III2 Método de Lagrange Dados dos puntos (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ), su línea interpolante está dada por p 1 (x) = y 1 y 0 x 1 x 0 x + x 1y 0 y 1 x 0 x 1 x 0 = y 0 x x 1 x 0 x 1 + y 1 x x 0 x 1 x 0

3 III2 MÉTODO DE LAGRANGE III3 Figura III1: Interpolación de los puntos ( 1, 3), (0, 5), (2, 2), (3, 1), (5, 1) Es conveniente introducir los polinomios (líneas) L 1,0 (x) = x x 1 x 0 x 1 L 1,1 (x) = x x 0 x 1 x 0 Note que L 1,0 (x) es una línea que pasa por los puntos (x 0, 1) y (x 1, 0) y L 1,1 (x) es una línea que pasa por los puntos (x 0, 0) y (x 1, 1) Con esto, p 1 (x) se puede escribir como p 1 (x) = y 0 L 1,0 (x) + y 1 L 1,1 (x) Esto es, el polinomio (línea) p 1 (x) es la combinación lineal de L 1,0 (x) y L 1,1 (x) con coeficientes que son simplemente y 0 y y 1 Esto se puede generalizar fácilmente a la interpolación de n + 1 puntos (x 0, y 0 ),, (x n, y n ) de la siguiente manera El polinomio interpolante p n (x) de grado a lo más n está dado por p n (x) = n y i L n,i (x), i=0 donde L n,i = j i x x j x i x j El polinomio L n,i (x) tiene la propiedad L n,i (x j ) = δ i,j donde δ i,j = { 0 si i j 1 si i = j la cual se puede verificar fácilmente Haciendo las multiplicaciones y sumas hasta expresar el polinomio en la base usual (1, x, x 2, x 3, ) resulta obviamente el mismo polinomio que se puede obtener por cualquier otro medio

4 III4 CAPÍTULO III INTERPOLACIÓN POLINÓMICA Ejemplo Consideramos de nuevo los puntos ( 1, 3), (0, 5), (2, 2), (3, 1), (5, 1) Los polinomios de Lagrange son L 4,0 (x) = L 4,1 (x) = L 4,2 (x) = L 4,3 (x) = L 4,4 (x) = (x 0)(x 2)(x 3)(x 5) ( 1 0)( 1 2)( 1 3)( 1 5) = 1 x(x 2)(x 3)(x 5) 72 (x + 1)(x 2)(x 3)(x 5) (0 + 1)(0 2)(0 3)(0 5) = 1 (x + 1)(x 2)(x 3)(x 5) 30 (x + 1)(x 0)(x 3)(x 5) (2 + 1)(2 0)(2 3)(2 5) = 1 (x + 1)x(x 3)(x 5) 18 (x + 1)(x 0)(x 2)(x 5) (3 + 1)(3 0)(3 2)(3 5) = 1 (x + 1)x(x 2)(x 5) 24 (x + 1)(x 0)(x 2)(x 3) (5 + 1)(5 0)(5 2)(5 3) = 1 (x + 1)x(x 2)(x 3) 180 Simplificar esto es tedioso; los siguientes resultados fueron obtenidos con Matlab Los polinomios de Lagrange son y el polinomio de interpolación es L 4,0 (x) = 1 72 x x x x L 4,1 (x) = 1 30 x x x x + 1 L 4,2 (x) = 1 18 x x x x L 4,3 (x) = 1 24 x x3 1 8 x x L 4,4 (x) = x x x x p 4 (x) = 3 L 4,0 (x) + 5 L 4,1 (x) + 2 L 4,2 (x) 1 L 4,3 (x) + 1 L 4,4 (x) = 3 72 x(x 2)(x 3)(x 5) 5 (x + 1)(x 2)(x 3)(x 5) (x + 1)x(x 3)(x 5) (x + 1)x(x 2)(x 5) + (x + 1)x(x 2)(x 3) = 1 30 x x x x + 5 La siguiente figura muestra los polinomios de Lagrange y el polinomio de interpolación Implementación en MATLAB function [C, L] = lagran (X, Y) % Entrada - X es un vector que contiene una lista de las abscisas % - Y es un vector que contiene una lista de las ordenadas % Salida - C es una matriz que contiene los coeficientes del % polinomio interpolante de Lagrange % - L es una matriz que contiene los coeficientes de los % polinomios de Lagrange w = length(x); n = w - 1; L = zeros(w, w);

5 III2 MÉTODO DE LAGRANGE III5 Figura III2: Polinomios L 4,i (x) para el ejemplo y polinomio de interpolación (a rayas) % Formar los polinomios coeficientes de Lagrange for i = 1:n+1 V = 1; for i = 1:n+1 if i ~= j V = conv(v, poly(x(j))) / (X(i) - X(j)); end end L(i, :) = V; end % Determinar los coeficientes del polinomio interpolador de Lagrange C = Y * L; La función poly(c) donde C es un vector regresa un vector con los coeficientes del polinomio cuyas raíces son las componentes de C En otras palabras, si C es [r 0 r 1 r N 1 ], entonces poly(c) regresa el vector [c N c N 1 c 0 ] tal que (X r 0 )(X r 1 ) (X r N 1 ) = k c k X k Note que en MATLAB, los coeficientes de un polinomio aparecen en el vector correspondiente en orden decreciente (el de mayor orden primero y el de menor orden de último) La función conv(a,b) regresa la convolución de los vectores A y B Dados vectores [a m 1 a m 2 a 1 a 0 ] y [b n 1 b n 2 b 1 b 0 ] su convolución es un vector [c m+n c m+n 1 c 1 c 0 ] donde c k = i+j=k donde la suma es sobre los i, j con i + j = k Note que si se tienen dos polinomios P (X) = i a ix i y Q(x) = j b jx j entonces el producto R(X) = P (X)Q(X) es precisamente k c kx k Con estas aclaraciones, no es difícil ver como funciona la implementación a i b j

6 III6 CAPÍTULO III INTERPOLACIÓN POLINÓMICA Representación Baricéntrica (opcional) Obviamente simplificar hasta obtener la representación usual del polinomio de interpolación es bastante tedioso Y aún con el computador es cuestionable usar el método de Lagrange sólo para luego simplicarlo El método de Lagrange es más útil cuando esto no se hace y más bien se escribe p n (x) = Q n (x) n i=0 w i x x i y i donde w i = 1 j i (x i x j ) Usando además que (interpolando en los mismos nodos pero con valor 1) se obtiene la llamada representación baricéntrica n w i 1 = Q n (x) x x i i=0 p n (x) = n w i y i x x i n i=0 w i i=0 x x i Esta expresión se puede usar para calcular valores de p n (x) con x x i, sin necesidad de simplificar el polinomio III3 Método de Newton El polinomio p n (x) se puede construir recursivamente de la siguiente manera: Primero, para i = 0, tenemos p 0 (x) = y 0, el cual ciertamente satisface p 0 (x 0 ) = y 0 Ahora, en la construcción recursiva asumimos que p k 1 (X) es tal que p k 1 (x j ) = y j para j k 1 Entonces p k (x) = p k 1 (x) + c k (x x 0 )(x x 1 ) (x x k 1 ), satisface similarmente p k (x j ) = y j para j k 1 y la constante c k se determina de tal forma que p k (x k ) = y k Esto es f(x k ) p k 1 (x k ) c k = (x k x 0 )(x k x 1 ) (x k x k 1 ) Expandiendo la recurrencia de p k (x) tenemos p k (x) = c 0 + c 1 (x x 0 ) + c 2 (x x 0 )(x x 1 ) + c 3 (x x 0 )(x x 1 )(x x 2 ) + + c n (x x 0 )(x x 1 ) (x x n 1 )

7 III3 MÉTODO DE NEWTON III7 Ejemplo Consideramos de nuevo los puntos ( 1, 3), (0, 5), (2, 2), (3, 1), (5, 1) Tomando los puntos en este orden (pero note que el método no requiere que las abscisas estén ordenadas de menor a mayor) El primer polinomio es p 0 (x) = 3 El siguiente polinomio es p 1 (x) = p 0 (x) + c 1 (x + 1) = 3 + c 1 (x + 1) con c 1 tal que p 1 (0) = 5 Esto es 3 + c 1 (0 + 1) = 5, entonces c 1 = 2 y se obtiene El siguiente polinomio es p 1 (x) = 3 + 2(x + 1) p 2 (x) = p 1 (x) + c 2 (x + 1)(x 0) = 3 + 2(x + 1) + c 2 (x + 1)x con c 2 tal que p 2 (2) = 2 Se tiene 3 + 2(2 + 1) + c 2 (2 + 1)2 = 2, por lo tanto c 2 = 7/6 y El siguiente polinomio es p 2 (x) = 3 + 2(x + 1) 7 (x + 1)x 6 p 3 (x) = p 2 (x) + c 3 (x + 1)(x 0)(x 2) = 3 + 2(x + 1) 7 6 (x + 1)x + c 3(x + 1)x(x 2) con c 3 tal que p 3 (3) = 1 Se obtiene que c 3 = 1/6 y Finalmente, el último polinomio es p 3 (x) = 3 + 2(x + 1) 7 6 (x + 1)x + 1 (x + 1)x(x 2) 6 p 4 (x) = p 3 (x) + c 4 (x + 1)(x 0)(x 2)(x 3) = 3 + 2(x + 1) 7 6 (x + 1)x (x + 1)x(x 2) + c 4(x + 1)x(x 2)(x 3) con p 4 (5) = 1 Se obtiene c 4 = 1/30 y p 4 (x) = 3 + 2(x + 1) 7 6 (x + 1)x (x + 1)x(x 2) + 1 (x + 1)x(x 2)(x 3) 30 Diferencias Divididas Ahora discutimos un método más sistemático para calcular los coeficientes c k en el la forma de Newton del polinomio de interpolación Primero, aunque no es esencial que sea así, si los puntos (x i, y i ) están determinados por una función f, la cual estamos tratando de aproximar por el polinomio p n (x), denotamos el coeficiente c k como c k = f[x 0, x 1,, x k ] el cual se llama la k-ésima diferencia dividida de f en las abscisas x 0, x 1,, x n Es claro que realmente c k depende sólo de x 0, x 1,, x k, y no de x k+1,, x n Como se puede ver en el siguiente teorema es conveniente hablar de las diferencias divididas f[x k j, x k j+1,, x }{{} k ] j + 1 nodos

8 III8 CAPÍTULO III INTERPOLACIÓN POLINÓMICA que es el coeficiente de x j en el polinomio interpolante de (x k j, y k j ),, (x k, y k ) Veamos que valores toman los c k : Primero f[x 0 ] c 0 = y 0 y entonces p 0 (x) = y 0 Entonces y f[x 0, x 1 ] c 1 = f(x 1) p 0 (x 1 ) x 1 x 0 = y 1 y 0 x 1 x 0 = f[x 1] f[x 0 ] x 1 x 0 p 1 (x) = y 0 + y 1 y 0 x 1 x 0 (x x 0 ) El siguiente f[x 0, x 1, x 2 ] ( ) c 2 = f(x 2 ) p 1 (x 2 ) y 2 y 0 + y 1 y 0 (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ) = x 1 x 0 (x 2 x 0 ) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ) = y 2 y 1 x 2 x 1 y 1 y 0 x 1 x 0 x 2 x 0 = f[x 1, x 2 ] f[x 0, x 1 ] x 2 x 0 El siguiente teorema generaliza estos cálculos y así da un algoritmo para calcular todas las diferencias divididas f[x k j, x k j+1,, x k ] En particular, se obtienen las diferencias f[x 0, x 1,, x k ] que son los coeficientes en el polinomio interpolante en la forma dada por el método de Newton Denotamos por p k j,k j+1,,k (x) al polinomio de interpolación para los nodos x k j, x k j+1,, x k Así que, por definición, p k j,k j+1,,k (x) = f[x k j, x k j+1,, x k ] x j + {términos de orden j 1} Teorema III2 f[x k ] = f(x k ) y para j = 1, 2, 3, Prueba: Sea Veamos que f[x k j, x k j+1,, x k ] = f[x k j+1, x k j+2,, x k ] f[x k j, x k j+1,, x k 1 ] x k x k j q(x) = x x k x k j x k p k j,k j+1,,k 1 (x) + x x k j x k x k j p k j+1,k j+1,,k (x) p k j,k j+1,,k 1,k (x) = q(x) Para esto es suficiente ver que q(x) interpola en los nodos x k j, x k j+1,, x k 1, x k correctamente: - en x k j : q(x k j ) = p k j,k j+1,,k 1 (x k j ) = y k j porque p k j,k j+1,,k 1 interpola en x k j correctamente; - en x k : q(x k ) = p k j+1,k j+1,,k (x k ) = y k porque p k j+1,k j+1,,k interpola en x k correctamente;

9 III3 MÉTODO DE NEWTON III9 - en x i con k j < i < k: q(x i ) = x i x k x k j x k p k j,k j+1,,k 1 (x i ) + x i x k j x k x k j p k j+1,k j+1,,k (x i ) = x i x k x k j x k y i + x i x k j x k x k j y i = x k x i x k x k j y i + x i x k j x k x k j y i = x k x i + x i x k j y i x k x k j = y i porque ambos polinomios interpolan en p i correctamente Pero el coeficiente de x j en p k j,,k (x) es f[x k j, x k j+1,, x k ] y el mismo coeficiente en q(x) es entonces f[x k j, x k j+1,, x k 1 ] x k j x k + f[x k j+1, x k j+1,, x k ] x k x k j ; f[x k j, x k j+1,, x k ] = f[x k j, x k j+1,, x k 1 ] x k j x k + f[x k j+1, x k j+1,, x k ] x k x k j = f[x k j+1, x k j+1,, x k ] f[x k j, x k j+1,, x k 1 ] x k x k j Tabla de diferencias divididas El teorema anterior nos da un algoritmo para calcular los c k = f[x 0, x 1,, x k ], el cual consiste en completar la siguiente tabla de diferencias divididas x 0 f[x 0 ] x 1 f[x 1 ] f[x 0, x 1 ] x 2 f[x 2 ] f[x 1, x 2 ] f[x 0, x 1, x 2 ] x 3 f[x 3 ] f[x 2, x 3 ] f[x 1, x 2, x 3 ] f[x 0, x 1, x 2, x 3 ] x 4 f[x 4 ] f[x 3, x 4 ] f[x 2, x 3, x 4 ] f[x 1, x 2, x 3, x 4 ] f[x 0, x 1, x 2, x 3, x 4 ] en la cual las flechas indican la dependencia: un elemento se cálcula en términos de los dos que está apuntando con ellas por medio de la ecuación del teorema anterior Los términos de la diagonal son los coeficientes del polinomio interpolante Ejemplo Consideramos de nuevo los puntos ( 1, 3), (0, 5), (2, 2), (3, 1), (5, 1) La tabla de diferencias divididas es

10 III10 CAPÍTULO III INTERPOLACIÓN POLINÓMICA x 0 = 1 f 0 = 3 x 1 = 0 f 1 = 5 f 0,1 = 2 x 2 = 2 f 2 = 2 f 1,2 = 3/2 f 0,1,2 = 7/6 x 3 = 3 f 3 = 1 f 2,3 = 3 f 1,2,3 = 1/2 f 0,1,2,3 = 1/6 x 4 = 5 f 4 = 1 f 3,4 = 1 f 2,3,4 = 4/3 f 1,2,3,4 = 11/30 f 0,1,2,3,4 = 1/30 Por ejemplo f 0,1 = f 1 f 0 x 1 x 0 = ( 1) = 2 f 1,2,3 = f 2,3 f 1,2 x 3 x 1 = 3 ( 3/2) 3 0 = 1/2 Escribiendo la tabla sin las ayudas: x k y k /2 7/ /2 1/ /3 11/30 1/30 De los elementos en la diagonal se puede entonces construir el polinomio de interpolación: p 4 (x) = 3 + 2(x + 1) 7 6 (x + 1)x (x + 1)x(x 2) + 1 (x + 1)x(x 2)(x 3) 30 Implementación MATLAB En la función MATLAB newpoly a continuación, D[k,j] es la diferencia dividida f[x k j, x k j+1,, x k ] Note que el vector C que la función regresa es el vector de coeficientes en la base usual x n, x n 1,, x, 1, y no las diferencias divididas en la diagonal las cuales son los coeficientes en la base con desplazamientos (en el ejemplo anterior, (x + 1)x(x 2)(x 3), (x + 1)x(x 2), (x + 1)x, x + 1, 1) Pero esas diferencias divididas se encuentran en la tabla de diferencias divididas D que también regresa la función

11 III4 ERROR III11 function [C, D] = newpoly (X, Y) % Entrada - X es un vector que contiene la lista de abscisas % - Y es un vector que contiene la lista de ordenadas % Saldia - C es un vector que contiene los coeficientes del % polinomio interpolante de Newton % - D es la tabla de diferencias divididas n = length(x); D = zeros(n, n); D(:, 1) = Y ; for j = 2:n for k = j:n D(k, j) = (D(k, j-1) - D(k-1, j-1)) / (X(k) - X(k-j+1)); end end % Determinar los coeficientes del polinomio interpolante de Newton C = D(n, n); for k = (n-1):-1:1 C = conv(c, poly(x(k))); m = length(c); C(m) = C(m) + D(k, k); end En este programa Matlab, conv(a, B) determina la convolución de los vectores A y B; esto es, si A = [a m a m 1 a 1 a 0 ] y B = [b n b n 1 b 1 b 0 ] entonces su convolución es el vector C = [c mn c mn 1 c 1 c 0 ] donde c k = a i b j i+j=k donde la suma es sobre todos los pares de índices i, j tal que i + j = k Por ejemplo, si m = 4, n = 5 y k = 3 entonces c 3 = a 3 b 0 + a 2 b 1 + a 1 b 2 + a 0 b 3 Es fácil ver que si A y B son los vectores de coeficientes de polinomios (de grados m y n) entonces conv(a, B) es el vector de coeficientes del producto de polinomios correspondiente III4 Error El análisis del error de interpolación es similar al de la aproximación de Taylor Es válido cuando los n + 1 valores interpolados provienen de una función con derivadas hasta de orden n + 1 en [a, b] Teorema III3 Consideremos f C n+1 [a, b] y sea p n (x) el polinomio interpolante de f con nodos de interpolación x 0, x 1,, x n Entonces existe c = c(x) [a, b] tal que f(x) = p n (x) + E n (x) donde y Q n (x) = E n (x) = f (n+1) (c) (n + 1)! Q(x) n (x x i ) = (x x 0 )(x x 1 ) (x x n ) i=0

12 III12 CAPÍTULO III INTERPOLACIÓN POLINÓMICA Prueba: Primero, tenemos la función de error definida como E n (x) = f(x) p n (x) Obviamente E n (x i ) = 0 para i = 0, 1,, n, puesto que p n (x) interpola f(x) con base en esos nodos Igualmente, Q n (x i ) = 0 para i = 0, 1,, n Ahora para x [a, b], x x i, definimos K(x) = E n(x) Q n (x) de tal forma que E n (x) = K(x)Q n (x) Así que queremos verificar que K(x) = f (n+1) (c)/(n + 1)! para algún c [a, b] Para esto, definimos la función g : R R como g(t) = E n (t) K(x)Q n (t) Se observa que g(t) tiene al menos n + 2 ceros en [a, b], a saber: x 0, x 1,, x n y x Por el teorema del valor intermedio, se tiene que la derivada g (t) tiene al menos n + 1 ceros en [a, b] (uno en cada uno de los intervalos determinados por los n + 2 ceros) De nuevo usando el teorema del valor intermedio, se tiene que g (t) tiene al menos n ceros in [a, b] Continuando el argumento se llega a que g (n+1) (t) tiene al menos un cero c = c(x) (c depende de x) en [a, b] Ahora calculemos g (n+1) (t): Note que p (n+1) n E n (n+1) (t) = f (n+1) (t) También que Q (n+1) n polinomio de grado n Entonces Reemplazando t = c se tiene que (t) = 0, porque p n (t) es de grado n y por lo tanto (t) = (n + 1)! porque Q n (t) = t n+1 + q(t) donde q(t) es un g (n+1) (t) = f (n+1) (t) K(x)(n + 1)! g (n+1) (c) = f (n+1) (c) K(x)(n + 1)! = 0 De aquí que K(x) = f (n+1) (c) (n + 1)! y por lo tanto E n (x) = K(x)Q n (x) = f (n+1) (c) (n + 1)! Q n(x) Estamos interesados en el máximo error en valor absoluto en el intervalo: E n (f; a, b) = máx x [a,b] E n(x), donde por simplicidad no hacemos explícita la dependencia de x 0, x 1,, x n Así que tenemos la cota E n (f; a, b) 1 (n + 1)! máx x [a,b] f (n+1) (x) máx x [a,b] Q n(x)

13 III4 ERROR III13 Ejemplo Consideramos la función f(x) = sin(x) en el intervalo [0, π] Se quiere hacer interpolación lineal en cada uno de M subintervalos de [0, π], de tal forma que la precisión sea 10 6 ; es decir, tal que en cada subintervalo E 1 (x) Cuál debe ser el valor de M? Se tiene n = 1 y f (x) = sin(x) Entonces máx f (x) = 1 x [0,π] Los subintervalos son de la forma I i = [u i, u i+1 ] donde u i = ih, h = 1/M En I i tenemos Q 1 (x) = (x u i )(x u i+1 ) Para determinar el max de Q 1 (x) en I i determinamos los extremos de Q 1 (x): derivando Q 1(x) = (x u i+1 ) + (x u i ) = 2x (u i + u i+1 ) e igualando a cero Q 1(x) = 0 x = x = 1 2 (u i + u i+1 ) Puesto que Q 1 (x ) = h 2 h 2 = h2 4 y Q 1 (x) = 0 en los extremos de I i, entonces máx Q 1 (x) = h2 x I i 4 (Lo cual podría haberse obtenido directamente ya que el extremo de la parábola descrita por Q 1 (x) debe estar en el punto medio de sus cruces con cero u i, u i+1 ) Finalmente, se tiene la cota para el error en cualquier I i, E 1 (x) M = 1 2 8M 2 Si 1 8M entonces se puede garantizar E 1 (x) 10 7 Así que se tiene 1 8M M M = 500 Ejemplo Consideramos ahora interpolación de orden 2 en el intervalo [a, b] con nodos en x 0 = a, x 1 = (a + b)/2, x 2 = b Qué cota de error se puede dar para máx x [a,b] Q 2 (x)? Y para orden n? Del análisis anterior debe ser claro que la posición de los x i no es importante, sino las distancias entre ellos Así que en este caso es suficiente analizar los extremos de la función g(x) = (x + h)x(x h) = x(x 2 h 2 )

14 III14 CAPÍTULO III INTERPOLACIÓN POLINÓMICA donde h = (b a)/3 Derivando se tiene g (x) = 3x 2 h 2 e igualando a cero se encuentra que los puntos críticos están en x = ±h/ 3 y g(x ) = h3 y entonces máx Q 2(x) = 2 3 x [a,b] 9 h3 La dependencia h 2 y h 3 que se ha observado para n = 1, 2 se extiende a h n+1 en general, pero no es fácil determinar el extremo y la constante III5 Interpolación Polinomial a Trazos Dados n+1 puntos (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ),, (x n, y n ), el problema es determinar un función interpolante P (x) que consiste de un polinomio en cada intervalo [x k, x k+1 ] de tal forma que ciertas condiciones de continuidad se satisfacen en los puntos frontera x k, Si los polinomios son lineales, sólo la continuidad de la función puede garantizarse Si los polinomios son cuadráticos, la continuidad de la primera derivada también puede garantizarse En la práctica se usan polinomios cúbicos porque pueden garantizar la continuidad de la segunda derivada también lo que garantiza la continuidad de la curvatura En lo que sigue, como primer ejemplo discutimos el caso cuadrático III51 Interpolación Cuadrática a Trazos Denotamos con Q(x) la función interpolante en todo el intervalo [x 0, x n ] y con Q k (x) el polinomio cuadrático interpolante Q k (x) = q k,2 (x x k ) 2 + q k,1 (x x k ) + q k,0 en el intervalo Es decir Tenemos entonces el conjunto de ecuaciones I k = [x k, x k+1 ] para k = 0, 1,, n 1 Q(x) = Q k (x) para x I k Q(x k ) = y k para k = 1, 2,, n Q(x + k ) = y k para k = 0, 1,, n 1 Q (x k ) = Q (x + k ) para k = 1, 2,, n 1 que establecen la interpolación de los valores y k y la continuidad de la primera derivada En términos de los Q k (x), estas ecuaciones son equivalentes a Q k 1 (x k ) = y k para k = 1, 2,, n Q k (x k ) = y k para k = 0, 1,, n 1 Q k 1(x k ) = Q k(x k ) para k = 1, 2,, n 1 Así que en total tenemos 3n 1 ecuaciones y 3n incógnitas (los q k,i ) Aunque no es un valor conocido inicialmente, en general, introducimos la notación s k para Q (x k ), k = 0, 1,, n: s k Q (x k )

15 III5 INTERPOLACIÓN POLINOMIAL A TRAZOS III15 Note que las s k no están especificadas por el problema sino que resultan de la condición de continuidad Usando los s k se tiene y Q k 1(x k ) = Q k(x k ) = s k para k = 1, 2,, n 1 Q 0(x 0 ) = s 0 y Q n 1(x n ) = s n En I k, k = 0,, n 1, Q k (x) es lineal y por lo tanto se puede escribir de la siguiente manera (interpolando los valores s k y s k+1 linealmente (recuerde el método de Lagrange), con la notación h k = x k+1 x k, tenemos Q x x k+1 x x k k(x) = s k + s k+1 = s k (x k+1 x) + s k+1 (x x k ) x k x k+1 x k+1 x k h k h k Integrando esta función tenemos s k Q k (x) = 1 (x k+1 x) h k 2 s k+1 (x x k ) 2 + C k h k donde C k es una constante tal que Q k (x) toma los valores requeridos en los extremos de I k Esto es, Entonces, usando la expresión para Q k (x) se tiene Q k (x k ) = y k y Q k (x k+1 ) = y k s kh k + C k = y k y 1 2 s k+1h k + C k = y k+1, y por lo tanto C k = y k s kh k y C k = y k s k+1h k ( ) Substrayendo estas ecuaciones y reescribiendo el resultado se obtiene, para k = 0, 1,, n 1, s k + s k+1 = 2d k donde d k = (y k+1 y k )/h k (lo cual dice que el promedio de las derivadas en x k y x k+1 debe ser d k ) Tenemos entonces n + 1 incognitas (los s k ) y n ecuaciones, lo cual quiere decir que existe un grado de libertad que puede ser fijado por alguna otra restricción En forma matricial el sistema a resolver es s 0 s 1 s 2 s n 1 s n = 2d 0 2d 1 2d 2 2d n 1 2d n Una opción simple es fijar la derivada en el extremo derecho, es decir s 0 Con esto el sistema se resuelve fácilmente: s k+1 = 2d k s k Una vez se han encontrado los s k se pueden determinar los polinomios Q k (x) Sumando las ecuaciones ( ), se tiene C k = 1 2 (y k + y k+1 ) (s k s k+1 )h k

16 III16 CAPÍTULO III INTERPOLACIÓN POLINÓMICA Reemplazando en la ecuación para Q k (x) obtenemos, después de un poco de manipulación, en I k = [x k, x k+1 ] Q k (x) = 1 2 s k+1 s k (x x k ) 2 + s k (x x k ) + y k h k Implementación MATLAB La siguiente función MATLAB implementa la interpolación cuadrática a trazos con la derivada en el extremo izquierdo especificada function C= quadratic2(x,y,d) % X,Y datos de entrada, derivada en X0 % coeficientes de salida N=length(X); h=x(2:n)-x(1:n-1); D=2*((Y(2:N)-Y(1:N-1))/h); S=zeros(1,N); S(1)=d; C=zeros(N-1,3); for i=2:n S(i) = D(i-1)-S(i-1); end; for i=1:n-1 C(i,1)=(S(i+1)-S(i))/(2*h(i)); C(i,2)=S(i); C(i,3)=Y(i); end Figura III3: Interpolaciones lineal y cuadrática a trazos para los puntos ( 1, 3), (0, 5), (2, 2), (3, 1), (5, 1) La función MATLAB que se ha usado para graficar cada interpolación es GraficaCercha que es parte de las funciones en la librería del curso III52 Interpolación Cúbica a Trazos Sea S(x) la función interpolante en todo el intervalo [x 0, x n ] y sea S k (x) el polinomio cuadrático interpolante (con coeficientes a ser determinados) S k (x) = s k,3 (x x k ) 3 + s k,2 (x x k ) 2 + s k,1 (x x k ) + s k,0

17 III5 INTERPOLACIÓN POLINOMIAL A TRAZOS III17 en el intervalo Es decir Tenemos entonces el conjunto de ecuaciones I k = [x k, x k+1 ] para k = 0, 1,, n 1 S(x) = S k (x) para x I k S(x k ) = y k para k = 1, 2,, n S(x + k ) = y k para k = 0, 1,, n 1 S (x k ) = S (x + k ) para k = 1, 2,, n 1 S (x k ) = S (x + k ) para k = 1, 2,, n 1 que establecen la interpolación de los valores y k y la continuidad de la primera y segunda derivadas En términos de los S k (x), estas ecuaciones son equivalentes a S k 1 (x k ) = y k para k = 1, 2,, n S k (x k ) = y k para k = 0, 1,, n 1 S k 1(x k ) = S k(x k ) para k = 1, 2,, n 1 S k 1(x k ) = S k(x k ) para k = 1, 2,, n 1 Así que en total tenemos 4n 2 ecuaciones y 4n incógnitas (los q k,i ) Esto significa que dos parámetros puden ser especificados Vamos a denotar la primera y segunda derivada del interpolante en x k por t k y m k respectivamente, con k = 0, 1,, n Note que las t k, m k no están especificadas (en general) por el problema sino que resultan de la condición de continuidad Podemos utilizar para S k la expresión obtenida para interpolación cuadrática (la expresión Q k) Así que se tiene para k = 0, 1,, n 1, con la condición o equivalentemente S k(x) = 1 2 m k+1 m k (x x k ) 2 + m k (x x k ) + t k h k m k + m k+1 = 2 t k+1 t k h k (m k + m k+1 )h k = 2(t k+1 t k ) ( ) Así que con esta expresión y condición se ha enforzado ya la continuidad de la primera y segunda derivadas Integrando S k (x) se obtiene, para k = 0, 1,, n 1, S k (x) = 1 6 m k+1 m k (x x k ) 3 + m k h k 2 (x x k) 2 + t k (x x k ) + y k, donde la constante de integración se ha determinado de tal forma que S k (x k ) = y k Sólo falta garantizar la continuidad del valor de la función, es decir S k (x k+1 ) = y k+1 Esta condición es S k (x k+1 ) = 1 6 m k+1 m k (x k+1 x k ) 3 + m k h k 2 (x k+1 x k ) 2 + t k (x k+1 x k ) + y k = y k+1

18 III18 CAPÍTULO III INTERPOLACIÓN POLINÓMICA Después de algo de manipulación, usando h k = x k+1 x k, se obtiene, para k = 0, 1,, n 1, (m k+1 + 2m k )h k + 6t k = 6d k, donde d k = (y k+1 y k )/h k ( ) Restando la misma expresión con índice uno menos se obtiene (m k+1 + 2m k )h k (m k + 2m k 1 )h k 1 + 6(t k t k 1 ) = 6(d k d k 1 ) Reemplazando ( ) y simplificando, se obtiene la condición m k 1 h k 1 + 2m k (h k 1 + h k ) + m k+1 h k = u k donde u k = 6(d k d k 1 ), ( ) para k = 1, 2,, n 2, n 1 Note que los h k y u k son valores conocidos, mientras que los m k están por determinarse Así que este es un sistema (tridiagonal) con n 1 ecuaciones con n + 1 incognitas y se requieren dos ecuaciones adicionales para determinar una solución Existen varias alternativas que dan origen a diferentes tipos de cerchas cúbicas que se discuten a continuación En cada caso, una vez se han determinado los m k, entonces los coeficientes de las cerchas S k (x) están dados por s k,0 = y k s k,1 = t k = d k 1 6 (m k+1 + 2m k )h k Tipos de Cerchas (Splines) s k,2 = 1 2 m k s k,3 = 1 m k+1 m k 6 h k Cercha cúbica sujeta Se especifican las derivadas en los extremos: t 0 = D 0 y t n = D n Con k = 0 en la ecuación ( ) se obtiene y con k = 1 en ( ) se obtiene (m 1 + 2m 0 )h 0 + 6D 0 = 6d 0 y m 0 h 0 = 3(d 0 D 0 ) 1 2 m 1h 0 m 2 h 1 + 2m 1 (h 0 + h 1 ) + m 0 h 0 = u 1 Reemplazando la primera en la segunda se obtiene ( ) 3 2 h 0 + 2h 1 m 1 + h 1 m 2 = u 1 3(d 0 D 0 ) Ahora, con k + 1 = n en la ecuación ( ), se tiene que y con k = n 1 en ( ), se obtiene (m n 1 + m n )h n 1 = 2(D n t n 1 ) (m n + 2m n 1 )h n 1 + 6t n 1 = 6d n 1,

19 III5 INTERPOLACIÓN POLINOMIAL A TRAZOS III19 Eliminando t n 1 de estas dos últimas y despejando m n h n 1 se obtiene m n h n 1 = 3(D n d n 1 ) 1 2 m n 1h n 1 Reemplazando esta expresión para m n h n 1 en ( ) con k = N 1, se obtiene ( h n 2 m n 2 + 2h n ) 2 h n 1 m n 1 = u n 1 3(D n d n 1 ) En resumen, se tienen las siguientes n 1 ecuaciones con n 1 incognitas m 1, m 2,, m n 1 : ( ) 3 2 h 0 + 2h 1 m 1 + h 1 m 2 = u 1 3(d 0 D 0 ) h k 1 m k 1 + 2(h k 1 + h k )m k + h k m k+1 = u k para k = 2, 3,, n 2 ( h n 2 m n 2 + 2h n ) 2 h n 1 m n 1 = u n 1 3(D n d n 1 ) Una vez determinadas m 1, m 2,, m n 1, m 0 y m n se pueden determinar por medio de m 0 = 3 d 0 D 0 h m 1 m n = 3 D n d n 1 h n m n 1 Ejemplo Consideramos los puntos (0, 1), (1, 0), (2, 2), (3, 1) con D 0 = 0 y D 3 = 1 Calculamos primero las constantes involucradas en las ecuaciones: h 0 = h 1 = h 2 = 1 d 0 = (y 1 y 0 )/h 0 = (0 1)/1 = 1 d 1 = (y 2 y 1 )/h 1 = (2 0)/1 = 2 d 2 = (y 3 y 1 )/h 2 = (1 2)/1 = 1 u 1 = 6(d 1 d 0 ) = 6(2 ( 1)) = 18 u 2 = 6(d 2 d 1 ) = 6( 1 2) = 18 Reemplazando en el sistema de ecuaciones arriba (para n = 3 la ecuación del medio no aparece) se tiene ( ) m 1 + m 2 = 18 3( 1 0) = 21 ( m ) m 2 = 18 3(1 ( 1)) = 24 2 y 7 3 m 1 + m 2 = 21 m m 2 = 24

20 III20 La solución de este sistema es De aquí que CAPÍTULO III INTERPOLACIÓN POLINÓMICA m 1 = 26 3, m 2 = 28 3 m 0 = 3 d 0 D 0 1 h 0 2 m 1 = 3( 1 0) = 22 3 m 3 = 3 D 3 d 2 1 h 2 2 m 2 = 3(1 ( 1)) 1 2 ( 28 3 ) = 32 3 Reemplazando en las expresiones para los s k,i se obtienen las ecuaciones de la cercha: S 0 (x) = 8 3 x x2 + 1 para 0 x 1 S 1 (x) = 3(x 1) (x 3 1)2 + 2 (x 1) para 1 x 2 3 S 2 (x) = 10(x 3 2)3 14(x 3 2)2 + 1 (x 2) + 2 para 2 x 3 3 Como comparación, con Matlab: >> x=[ ]; >> y=[ ]; >> Sf=csfit(x,y,0,1) Sf = 8/3-11/ /3 2/3 0 10/3-14/3 1/3 2 >> figure >> grid on, hold on >> GraficaCercha(x,y,Sf) function S = csfit (X, Y, dx0, dxn) % Entrada - X es el vector de abscisas 1 x n % - Y es el vector de ordenadas 1 x n % - dxo = S (x0) primera derivada condicion frontera (inicial) % - dxn = S (xn) primera derivada condicion frontera (final) % Salida - S: las filas de S son los coeficientes % para los interpolantes (trazadores) cubicos Cercha cúbica natural Las segundas derivadas en los extremos se hacen iguales a cero: m 0 = m n = 0

21 III5 INTERPOLACIÓN POLINOMIAL A TRAZOS III21 En este caso, simplemente en ( ) hacemos m 0 = 0 y m n = 0 Se obtiene el siguiente sistema de n 1 ecuaciones con las n 1 incognitas m 1, m 2,, m n 1 : Ejemplo 2(h 0 + h k )m 1 + h 1 m 2 = u 1 h k 1 m k 1 + 2(h k 1 + h k )m k + h k m k+1 = u k para k = 2, 3,, n 2 h n 2 m n 2 + 2(h n 2 + h n 1 )m n 1 = u n 1 Consideramos de nuevo los puntos (0, 1), (1, 0), (2, 2), (3, 1) Usando Matlab: >> x=[ ]; >> y=[ ]; >> Sn=csnatural(x,y) Sn = >> figure, grid on, hold on; >> GraficaCercha(x,y,Sn); Las ecuaciones de la cercha son: S 0 (x) = x 3 2x + 1 para 0 x 1 S 1 (x) = 2(x 1) 3 + 3(x 1) 2 + (x 1) para 1 x 2 S 2 (x) = (x 2) 3 3(x 2) 3 + (x 2) + 2 para 2 x 3 function S=csnatural(X,Y) % Entrada - X es el vector de abscisas 1 x n % - Y es el vector de ordenadas 1 x n % Salida - S: las filas de S son los coeficientes % para los interpolantes (trazadores) cubicos Cercha cúbica extrapolada Se extrapola S (x) en el primero y últimos subintervalos a partir del segundo y penúltimo subintervalos respectivamente Se tienen las ecuaciones adicionales m 0 = m 1 h 0(m 2 m 1 ) h 1 m n = m n 1 + h n 1(m n 1 m n 2 ) h n 2 Esto corresponde a tener una misma cúbica en todo [x 0, x 2 ], e igualmente una misma cúbica en [x n 2, x n ]

22 III22 CAPÍTULO III INTERPOLACIÓN POLINÓMICA function S=csextrapolado(X,Y) % S extrapola en los extremos % % Entrada - X es el vector de abscisas 1 x n % - Y es el vector de ordenadas 1 x n % Salida - S: las filas de S son los coeficientes % para los interpolantes (trazadores) cubicos Cercha cúbica con terminación parabólica Se tiene S (x) = 0 en el primero y último subintervalos Esto implica que S (x) es constante en estos intervalos y por lo tanto m 0 = m 1 m n = m n 1 Equivalentemente, los polinomio de interpolación en [x 0, x 1 ] e [x n 1, x n ] son cuadráticos function S=csconstante(X,Y) % S constante en los extremos % % Entrada - X es el vector de abscisas 1 x n % - Y es el vector de ordenadas 1 x n % Salida - S: las filas de S son los coeficientes % para los interpolantes (trazadores) cubicos Se especifica S (x) en los puntos ex- Cercha cúbica con curvatura dada en los extremos tremos x 0 y x n : m 0 = S (x 0 ) m n = S (x n ) function S=csconocido(X,Y,a,b) % S toma valores fijos en los extremos % % Entrada - X es el vector de abscisas 1 x n % - Y es el vector de ordenadas 1 x n % - a es el valor de S (x0) % - b es el valor de S (xn) % Salida - S: las filas de S son los coeficientes % para los interpolantes (trazadores) cubicos III6 Aproximación por Mínimos Cuadrados Ahora consideramos el problema en el cual se busca una curva que no necesariamente pasa por los puntos dados, pero que la aproxima suficientemente bien

23 III6 APROXIMACIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS III23 III61 Ajuste de Una Línea Dados n puntos {(x k, y k )} n k=1 (abscisas distintas), la línea de minímos cuadrados y = Ax + B es la que minimiza n (Ax i + B y i ) 2 i=1 Para determinar el mínimo, se igualan a cero las derivadas parciales con respecto a A y a B: ( n ) n (Ax i + B y i ) 2 = 2(Ax i + B y i ) x i = 0 A i=1 i=1 ( n ) n (Ax i + B y i ) 2 = 2(Ax i + B y i ) = 0 B i=1 De aquí se obtiene que los coeficientes A, B satisfacen las siguientes ecuaciones normales: i=1 ( n i=1 x2 i ) A + ( n i=1 x i) B = n i=1 x iy i ( n i=1 x i) A + n B = n i=1 y i Despejando, se obtiene que A = n n i=1 x iy i ( n i=1 x i) ( n i=1 y i) n ( n i=1 x2 i ) ( n i=1 x i) 2 ( n ) B = 1 n n y i x i A i=1 i=1 A y B se pueden escribir en términos de promedios como A = i (x i µ(x i ))(y i µ(y i )) i (x i µ(x i )) 2 B = µ(y i ) Aµ(x i ) donde µ(x i ) = 1 x i, n i µ(y i ) = 1 y i, n Estas últimas son las ecuaciones que implementa la rutina Matlab para este problema: function [A, B] = lsline (X, Y) % Entrada - X es el vector de abscisas 1 x n % - Y es el vector de ordenadas 1 x n % Salida - A es el coeficiente de x en Ax + B % - B es el coeficiente constante en Ax + B xmean = mean(x); ymean = mean(y); sumx2 = (X - xmean) * (X - xmean) ; sumxy = (Y - ymean) * (X - xmean) ; A = sumxy / sumx2; B = ymean - A * xmean; i

24 III24 CAPÍTULO III INTERPOLACIÓN POLINÓMICA III62 Ajuste de un Polinomio El ajuste de una línea se puede generalizar fácilmente al ajuste de un polinomio de grado n: Entonces el error cuadrático es P n (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 E(a 0, a 1,, a n ) = n (y i P n (x i )) 2 Para determinar el valor óptimo se igualan las derivadas parciales a cero: para j = 0, 1,, n, i=0 x j E(a 0, a 1,, a n ) = 0 Reemplazando, obtenemos n 2(y i (a n x n i + a n 1 x n 1 i + + a 1 x i + a 0 ))x j i = 0, i=0 y de aquí, para j = 0, 1,, n, n a n x n+j i + a n 1 i=0 n i=0 x n 1+j i + + a 1 n i=0 x 1+j i + a 0 n x j i = i=0 n y i x j i Esto es un sistema de n + 1 ecuaciones cuyas n + 1 incógnitas son los coeficientes a n, a n 1,, a 1, a 0 de P n III63 Ajuste de otras Curvas Se pueden manejar otras funciones no lineales usando linealización Por ejemplo, dados n puntos {(x k, y k )} n k=1, se quiere ajustar una curva exponencial y = ce ax Tomando logaritmos se tiene ln y = ln c + ax Con el cambio de varibles Y = ln y, X = x, y de constantes A = a y B = ln c, entonces se obtiene la ecuación de una línea Y = AX + B Aquí se puede usar entonces ajuste por una línea de mínimos cuadrados Se aplican entonces las ecuaciones normales a los pares (X k, Y k ) = (x k, ln y k ), k = 1,, n para obtener los parámetros A y B A partir de estos, se obtienen entonces los parámetros a = A y c = exp(b) de la curva exponencial original Otros ejemplos de transformación al modelo lineal Y = AX + B: Modelo Transf ecuación Transformación vars and pars y = bx a ln y = ln b + a ln x Y = ln y, X = ln x, A = a, B = ln b y = 1 1 ax + b y = ax + b Y = 1, X = x, A = a, B = b y ( ) ( ) l l l y = ln 1 + ce ax y 1 = ln c + ax Y = ln y 1, X = x, A = a, B = ln c En el último caso, el parámetro l se debe fijar para entonces determinar a y c i=0

25 III7 MÉTODO DE CHEBYSHEV (OPCIONAL) III25 III7 Método de Chebyshev (Opcional) Este tema se omitió este semestre Como ya hemos visto el error E n (f; a, b) de la interpolación polinómica de f en los nodos x 0, x 1,, x n [a, b] puede ser acotado por E n (f; a, b) donde c = c(x) [a, b] depende de x y 1 (n + 1)! máx c [a,b] f (n+1) (c) máx x [a,b] Q n(x) Q n (x) = n (x x k ) k=0 Observando que Q n (x) depende de los nodos de interpolación x 0, x 1,, x N, se busca determinar los valores óptimos de estos de tal forma que máx x [a,b] Q n (x) es minimizado Es decir, se quiere resolver el siguiente problema de optimización: mín x 0,x 1,,x n [a,b] ( ) máx Q n(x) x [a,b] La restricción [a, b] = [ 1, 1] es sin pérdida de generalidad porque dados nodos de interpolación z k en [ 1, 1] los nodos correspondientes en [a, b] se pueden determinar por medio de x k = b a 2 z k + b + a 2 Note que lo que queremos obtener es un polinomio mónico ˆT n (x) de grado n (es decir, en el cual el coeficiente de x n es 1) y con ceros en [0, 1] de tal forma que para todo conjunto de nodos x 0,, x n máx ˆT n (x) máx Q n(x) x [ 1,1] x [ 1,1] Vamos a ver a continuación que (para [a, b] = [ 1, 1]), la solución a este pregunta está dada por los llamados polinomions de Chebyshev (así que la posición óptima de los nodos son los ceros de un polinomio de Chebyshev) Polinomios de Chebyshev Los polynomios de Chebyshev son una secuencia de polinomios T n (x), n = 0, 1, 2,, donde el grado de T n (x) es n Los primeros polinomios en la secuencia son: T 0 (x) = 1 T 1 (x) = x T 2 (x) = 2x 2 1 T 3 (x) = 4x 3 3x T 4 (x) = 8x 4 8x T 5 (x) = 16x 5 20x 3 + 5x T 6 (x) = 32x 6 48x x 2 1 T 7 (x) = 64x 7 112x x 3 7x

26 III26 CAPÍTULO III INTERPOLACIÓN POLINÓMICA Propiedades Los polinomios de Chebyshev tienen las siguientes propiedades 1 Relación de recurrencia: T 0 (x) = 1, T 1 (x) = x y para k = 2, 3, 4,, se satisface la recurrencia T k (x) = 2xT k 1 (x) T k 2 (x) Se puede verificar que los polinomios arriba se puden obtener usando esta fórmula de recurrencia MATLAB El código a continuación hace uso de esta relación de recurrencia para calcular los polinomios de Chebyshev (note que aquí también se usa convolución para calcular el producto de polinomios): function [T] = cheby_poly_2 (k) T=zeros(k+1,k+1); T(1,:) = [zeros(1,k) 1]; T(2,:) = [zeros(1,k-1) 1 0]; for i = 3:k+1 T(i,:)= conv([2 0], T(i-1,2:k+1)) - T(i-2,:); end; figure; hold on; grid on; for i=1:k+1 fplot(@(x) polyval(t(i,:),x), [-1 1]) end >> cheby_poly_2(6) ans = Figura III4: T 0 (x) a T 6 (x) 2 Coeficientes del término de mayor orden: el coeficiente de x n en T n (x) es 2 n 1, para n 1 3 Simetría y antisimetría: Para n = 2m (par) y n = 2m + 1 (impar) se tiene respectivamente que T 2m ( x) = T 2m (x); T 2m+1 ( x) = T 2m+1 (x)

27 III7 MÉTODO DE CHEBYSHEV (OPCIONAL) III27 4 Representación geométrica en [ 1, 1]: T n (x) = cos(n arc cos(x)) 5 Ceros: T n (x) tiene n ceros en [ 1, 1]: De la representación geométrica se observa que T n (x) = 0 para ( ) (2k + 1)π x = z k cos con k = 0, 1, 2,, n 1 2n x= 1 x= x= Figura III5: Ceros de T 8 (x): se divide la semicircunferencia unidad en 8 intervalos iguales, y se proyectan los puntos medios de éstos sobre el eje x Note que otros valores (enteros) de k resultan en los mismos ceros MATLAB El código a continuación hace uso de estos ceros para obtener un método alternativo para calcular los polinomios de Chebyshev Un polinomio es el producto de los factores (x z k ) donde los z k son los ceros (raíces) Se necesita en este caso el factor 2 i 1 para transformar el polinomio mónico obtenido en el deseado T i (x) function [T] = cheby_poly_1 (n) figure; hold on; grid on; for i=1:n roots= cos((2*(0:1:i-1)+1)*(pi/(2*i))); T(i,:) = [zeros(1,n-i) (2^(i-1))*poly(roots)]; fplot(@(x) polyval(t(i,:),x), [-1 1]); end >> cheby_poly_1(6) ans = En la tabla y gráfica resultantes es aparente que por el manejo numérico de las raíces, los polinomios resultantes no tienen valores extremos exactamente 1 (Matlab automáticamente aumenta la escala vertical hasta valor absoluto 1,5, y da 4 cifras decimales para los coeficientes)

28 III28 CAPÍTULO III INTERPOLACIÓN POLINÓMICA Figura III6: T 1 (x) a T 6 (x) 6 Valores extremos: T n (x) 1 para 1 x 1 y el valor extremo 1 se tiene en n + 1 puntos ( ) ( ) 2kπ kπ x = z k cos = cos donde T n (z 2n n k) = ( 1) k con k = 0, 1, 2,, n Recordemos que Q n (x) = (x x 0 )(x x 1 ) (x x n ) donde los x i son los nodos de interpolación Así que el coeficiente de x n+1 en Q n (x) es 1, por lo cual se dice que Q n (x) es mónico Sea ˆT n+1 (x) = 1 2 n T n+1(x) Esta normalización es tal que ˆT n+1 (x) también es mónico Note que los valores extremos de ˆT n+1 son entonces 1/2 n y 1/2 n Teorema III4 Para cualquier conjunto de nodos x 0, x 1,, x n [ 1, 1] y Q n (x) = n (x x i ) i=0 se tiene que máx ˆT n+1 (x) máx Q n(x) x [ 1,1] x [1,1] Es decir, el polinomio mónico ˆT n+1 (x) minimiza máx x [ 1,1] Q n (x) sobre todas las posibles elecciones de x 0, x 1,, x n [ 1, 1]