Métodos Numéricos (SC 854) Solución de ecuaciones no lineales. 1. Definición del problema: raíces de ecuaciones no lineales

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1 Solución de ecuaciones no lineales c M. Valenzuela (5 de mayo de 008) 1. Definición del problema: raíces de ecuaciones no lineales Dada una ecuación de una variable independiente x, f(x) =0, (1) se desea encontrar el valor o valores de x que hacen que se cumpla la igualdad, donde en general, f es una función no lineal de x, es decir, que no puede expresarse como f(x) = c 0 +c 1 x donde c 0 y c 1 son constantes. A los valores de x que hacen que se cumpla la igualdad se les denomina raíces de la ecuación 1.. Método de bisecciones sucesivas El método de bisecciones sucesivas comienza con un intervalo x 1,x donde se sabe que existe una raíz de la ecuación, y por lo tanto se debe cumplir que Este intervalo se divide a la mitad calculando f(x 1 )f(x ) < 0. () x nueva = x 1 + x. (3) Si f(x 1 ) f(x nueva ) < 0 se sabe que una raíz se encuentra en el intervalo (x 1,x nueva )yse puede continuar el algoritmo sustituyendo x por x nueva. En caso contrario, la raíz debe caer en el intervalo (x,x nueva ) y el algoritmo puede continuarse sustituyendo x 1 por x nueva. En la figura 1 se muestra un ejemplo de la forma en que trabaja el método de bisecciones sucesivas. 3. Punto fijo (iteración simple) En el método de punto fijo, la ecuación f(x) = 0 se transforma a la forma g(x) =x, y ésta se utiliza como una regla recursiva, es decir, x(t +1)=g (x(t)). (4) oloqueeslomismo x g(x) (5) En la figura 3 se muestra un ejemplo de la forma en que trabaja el método de punto fijo. El método de iteración simple converge converge a una raíz r de la ecuación g(x) =x si g(x) yg (x) son continuas en un intervalo alrededor de r, si g (x) < 1, (6) para todo ese intervalo, y si x 1 se escoge en ese intervalo. Nótese que ésta es una condición suficiente, pero no necesaria.

2 Solución de ecuaciones no lineales f(x) f(x ) f(x nueva ) f(x 1 ) x 1 x nueva x x Figura 1: Método de bisecciones sucesivas. Function Bisecciones(f,x 1,x ) repeat x nueva x 1 + x ; if f(x 1 )f(x nueva ) < 0 then x x nueva ; else x 1 x nueva ; x 1 x until x nueva <εó f(x nueva) =0; return x nueva Figura : Implementación en pseudocódigo del método de bisecciones sucesivas. c M. Valenzuela, (5 de mayo de 008) Página

3 Solución de ecuaciones no lineales y y = x g(x 1 ) x = g(x 1 ) x 3 = g(x ) g(x ) y = g(x) x 1 x 3 x 5 x 6 x 4 x x Figura 3: Método de punto fijo. Function PFijo(g,x) repeat x ant x ; x g(x) ; x x ant until x <ε; return x Figura 4: Implementación en pseudocódigo del método de punto fijo. c M. Valenzuela, (5 de mayo de 008) Página 3

4 Solución de ecuaciones no lineales f(x) f (x(t)) x(t +1) x(t) θ x Figura 5: Explicación del método de Newton-Rapson. 4. Método Newton-Rapson El método de Newton-Rapson se debe inicializar en un valor de x cercano a una raíz. El método asume que la función es aproximadamente lineal en ese valor y por lo tanto, toma como una mejor aproximación a la raíz un la intersección de la linea tangente a f(x) ysu intersección con el eje x como se muestra en la figura 5. De la figura podemos ver que tan θ = f (x(t)) = de donde obtenemos la regla recursiva f (x(t)) x(t) x(t +1), (7) x(t +1)=x(t) f (x(t)) f (x(t)), (8) oloqueeslomismo x x f (x) f (x), (9) Tomando la idea de la condición de convergencia de iteración simple, la condición para Newton-Rapson es la siguiente ( d x f(x) ) dx f < 1, (10) (x) que es equivalente a f(x)f (x) f (x) < 1 (11) De nuevo, ésta es una condición suficiente, pero no necesaria. c M. Valenzuela, (5 de mayo de 008) Página 4

5 Function NewtonRapson(f,f,x) repeat x ant x ; x x f(x) f (x) ; x x ant until x <ε; return x Figura 6: Implementación en pseudocódigo del método de Newton-Rapson. Function Secante(f,x,x ant ) repeat x temp x ; x x ant x x f(x) f(x) f(x ant ) ; x ant x temp ; x x ant until x <ε; return x Figura 7: Implementación en pseudocódigo del método de la secante. 5. Método de la secante El método Newton-Rapson requiere evaluar f (x). En el método de la secante, la derivada se aproxima de la siguiente manera: f (x(t)) f (x(t 1)) f (x(t)) x(t 1) x(t) (1) Sustituyendo en la ecuación recursiva de Newton-Rapson se obtiene x(t +1)=x(t) f (x(t)) x(t) x(t 1) f (x(t)) f (x(t 1)), (13) oloqueeslomismo, x x f (x) x x anterior f (x) f (x anterior ). (14) c M. Valenzuela, (5 de mayo de 008) Página 5

6 6. Newton-Rapson para funciones de más de dos variables El método de Newton-Rapson puede generalizarse para funciones de dos variables de la siguiente manera. Supóngase que se desea encontrar los valores de x y y que hagan que se cumplan las siguientes dos ecuaciones no lineales: f(x, y) = 0; (15) g(x, y) = 0. (16) Dado un punto inicial p 0 =(x 0,y 0 ), el método Newton-Rapson toma los planos tangentes a f(x, y) =z y g(x, y) =z, y su intersección con el plano z = 0 como el siguiente punto para continuar el método en la siguiente iteración. La ecuación del plano tangente a z = f(x, y) es la siguiente: donde z =(x x 0 ) f x (x 0,y 0 )+(y y 0 ) f y (x 0,y 0 )+f(x 0,y 0 ), (17) f x = f x, (18) f y = f y. (19) De la misma manera, la ecuación del plano tangente a z = g(x, y) eslasiguiente: donde z =(x x 0 ) g x (x 0,y 0 )+(y y 0 )g y (x 0,y 0 )+g(x 0,y 0 ), (0) g x = g x, (1) g y = g y. () Sustituyendo z = 0 en las ecuaciones 17 y 0 se obtiene el siguiete sistema de ecuaciones: (x x 0 ) f x +(y y 0 ) f y = f(x 0,y 0 ), (3) (x x 0 ) g x +(y y 0 ) g y = g(x 0,y 0 ), (4) donde se ha abreviado f x (x 0,y 0 )comof x, y de la misma manera para f y, g x,yg y.las ecuaciones anteriores pueden expresarse en forma matricial de la siguiente manera: fx f y Δx f(x0,y = 0 ), (5) Δy g(x 0,y 0 ) donde g x g y Δx = x x 0, (6) Δy = y y 0. (7) c M. Valenzuela, (5 de mayo de 008) Página 6

7 De las ecuaciones 5, 6, y 7 se obtiene la regla recursiva para el método Newton- Rapson para dos variables: g x g y x x +Δx, y y +Δy. donde Δx yδy se obtienen de resolver el sistema de ecuaciones fx f y Δx f(x, y) = Δy g(x, y) El método se puede generalizar fácilmente para más de dos variables, por ejemplo, el método Newton-Rapson para un sistema de tres ecuaciones no lineales de la forma está definido por la regla recursiva siguiente: f(x, y, z) = 0, (8) g(x, y, z) = 0, (9) h(x, y, z) = 0, (30) x x +Δx, (31) y y +Δy, (3) z z +Δz, (33) donde Δx, Δy, Δz se obtienen de resolver el sistema de ecuaciones f x f y f z Δx f(x, y, z) g x g y g z Δy = g(x, y, z). (34) h x h y h z Δz h(x, y, z) 6.1. Ejemplo de dos variables Encontremos una raíz del siguiente sistemas de ecuaciones no lineales: Obtenemos las derivadas parciales: f(x, y) = x + y 1 g(x, y) = x y f x =x f y =y g x =1 g y = 1 El sistema de ecuaciones es x y 1 1 Δx Δy = x y +1 x + y Tomemos p 0 =(, 1): Δx Δy = 4 1 c M. Valenzuela, (5 de mayo de 008) Página 7

8 De donde Δx = 1 yδy =0porlotanto x x +Δx = 1=1 y y +Δy =1 0=1 Iterando obtenemos los siguientes valores: x y Se puede comprobar que (0.7071, ) es una raíz del juego de ecuaciones no lineales. 7. Raíces reales de polinomios Un caso especial de importancia práctica es encontrar las raíces de la ecuación f(x) = 0 cuando f(x) es un polinomio en x. En esta sección vemos el método Birge-Vieta que encuentra todas las raíces reales de un polinomio Método de Horner (división sintética) Supóngase dos polinomios P (x) y Q(x) de la forma P (x) = a 1 x n + a x n a n x + a n+1 = Q(x) = b 1 x n 1 + b x n + + b n 1 x + b n = donde a 1 0.Silarelación entre P (x) yq(x) está dada por Se tiene que b 1 = a 1, b n+1 = P (x 0 ), y n+1 i=1 n i=1 a i x n i+1 (35) b i x n i (36) P (x) =(x x 0 )Q(x)+b n+1, (37) b k = a k + b k 1 x 0, (38) para k =, 3,...,n+1. Lo anterior puede realizarse mediante una tabla de la siguiente manera x 0 a 1 a a 3 a n a n+1 b 1 x 0 b x 0 b n 1 x 0 b n x 0 b 1 = b = b 3 = b n = b n+1 = a 1 a + b 1 x 0 a 3 + b x 0 a n + b n 1 x 0 a n+1 + b n x 0 El polinomio P (x), P (x) =a 1 x n + a x n a n x + a n+1 = n+1 i=1 a i x n i+1, (39) puede ser representado por el vector de sus coeficientes, a = a 1 a a n a n+1 (40) c M. Valenzuela, (5 de mayo de 008) Página 8

9 Function Horner(a,x 0 ) b 1 a 1 ; for i to n +1do b i a i + b i 1 x 0 ; return b(1 : n), b n Figura 8: Pseudocódigo que implementa el método de Horner (división sintética). de la misma manera Q(x) puede ser representado por el vector b(1 : n) b = b 1 b b n (41) En la figura 8 se muestra el pseudocódigo del método de Horner. Este pseudocódigo se aplica la idea de representar los polinomios como vectores de sus coeficientes. Dado que P (x) =(x x 0 )Q(x)+b n+1, (4) Por lo tanto P (x) =Q(x)+(x x 0 )Q (x). (43) P (x 0 )=Q(x 0 ), (44) es decir, que P (x 0 ) puede evaluarse obteniendo el residuo de la división de Q(x) por(x x 0 ) y evaluando Q(x 0 ). 7.. Ejemplo de división sintética Si P (x) =x 4 3x +3x 4yx 0 = : de donde P (x) =(x + )(x 3 4x +5x 7) + 10 y P ( ) = Método Birge-Vieta Un polinomio de la forma, n P (x) =a 1 x n + a x n a n 1 x + a n = a i x n i+1, (45) i=1 puede ser factorizado en la forma n P (x) =(x p 1 )(x p ) (x p n )= (x p i ), (46) i=1 donde p i es un cero (o raíz) del polinomio porque P (p i )=0. c M. Valenzuela, (5 de mayo de 008) Página 9

10 El método Birge-Vieta aplica Newton-Rapson para encontrar una raíz del polinomio P (x). Dado un punto x k,evalúa P (x k )yp (x k ) mediante división sintética. Cuando encuentra una raíz p i, elimina el factor (x p i ) mediante división sintética y continúa trabajando sobre el polinomio resultante. El proceso se repite hasta encontrar todas las raíces del polinomio Ejemplo de Birge-Vieta Sea P (x) =x 3 x 5x + 6. Valor inicial x = ( 5)/6 = x x = x x = x x 0 6 =1 x = 1 es la primera raíz. Continuamos con el polinomio x x 6. Valor inicial x = ( 1)/( 6) = x x = c M. Valenzuela, (5 de mayo de 008) Página 10

11 x x = x x = x x = x x = x x 0 5 = x = es la segunda raíz. Seguimos con el polinomio P (x) =x 3. La tercera raíz es x =3. c M. Valenzuela, (5 de mayo de 008) Página 11

12 8. Raíces complejas de polinomios En esta sección se describe el método Lin-Bairstow encuentra todas las raíces (reales y complejas conjugadas) de un polinomio División sintética para binomios Es posible deducir un algoritmo de división sintética para binomios de la siguiente manera. Supóngase dos polinomios P (x) y Q(x) de la forma P (x) = a 1 x n + a x n a n x + a n+1 = n+1 i=1 Q(x) = b 1 x n + b x n b n x + b n 1 = donde a 1 0.Silarelación entre P (x) yq(x) esyá dada por a i x n i+1 (47) n 1 i=1 b i x n i 1 (48) P (x) =(x rx s)q(x)+b n (x r)+b n+1, (49) los coeficientes b i pueden obtenerse multiplicando e igualando los coeficientes de potencias iguales de x, de donde tenemos que De lo anterior obtenemos la relación siguiente: b 1 = a 1, (50) b = a + rb 1, (51) b 3 = a 3 + rb + sb 1, (5) b 4 = a 4 + rb 3 + sb. (53). b k = a k + rb k 1 + sb k (54) para k =3, 4,...n+1. La división sintética para binomios se puede implementar mediante una tabla de la siguiente manera: a 1 a a 3 a n 1 a n a n+1 r b 1 r b r n n r b n 1 r b n r s b 1 s b n 3 s b n s b n 1 s b 1 b b 3 b n 1 b n b n+1 El método de Lin-Bairstow necesita calcular b n / r, b n / s, b n+1 / r, y b n+1 / s. Éstas pueden obtenerse derivando las ecuaciones 50 53, o en general la ecuación 54, de la c M. Valenzuela, (5 de mayo de 008) Página 1

13 siguiente manera: b 1 r =0 b 1 s =0 b r = b b 1 c 1 s =0 b 3 r = b b 3 + rc 1 c s = b 1 = c 1 b 4 r = b b rc + sc 1 c 3 s = b + rc 1 = c b 5 r = b b rc 3 + sc c 4 s = b 3 + rc = c 3. donde se han definido las constantes c i para simplificar. En general se tiene que para k =3, 4,...,n+1,y c k = b k + rc k 1 + sc k,. b k r b k s = c k 1, = c k. El proceso de calcular las derivadas requeridas por el método Lin-Bairstow puede realizarse mediante una tabla de la siguiente manera: 8.. Lin-Bairstow a 1 a a 3 a n a n 1 a n a n+1 r b 1 r b r b n 3 r b n r b n 1 r b n r s b 1 s b n 4 s b n 3 s b n s b n 1 s b 1 b b 3 b n b n 1 b n b n+1 r c 1 r c r c n 3 r c n r c n 1 r s c 1 s c n 4 s c n 3 s c n s c 1 c c 3 c n c n 1 c n El método de Lin-Bairstow encuentra todas las raíces (reales y complejas) de un polinomio P (x). Dado unos valores iniciales de r y s, realiza una división sintética de P (x) por (x rx s). Utiliza el método de Newton para encontrar los valores de r y s que hagan que el residuo sea cero, es decir, encuentra las raíces del sistema de ecuaciones Utilizando la regla recursiva b n (r, s) = 0, (55) b n 1 (r, s) = 0. (56) r r +Δr (57) s s +Δs (58) c M. Valenzuela, (5 de mayo de 008) Página 13

14 donde cn 1 c n c n c n 1 Δr Δs = bn b n+1 Una vez que se encuentra un factor cuadrático de P (x) se resuelve con la fórmula (59) p 1, = B ± B 4AC A = r ± r +4s (60) ysecontinúa trabajando tomando Q(x) como el nuevo polinomio P (x) Ejemplo de Lin-Bairstow P (x) =x 4 1.1x 3 +.3x +0.5x +3.3 =0 Tomando como valores iniciales s = r = 1, la primera iteración nos da: Resolviendo el sistema c n c n 1 Δr Δs c n = b n b n+1 Δr =0.11 y Δs = La segunda iteración: Resolviendo el sistema Δr = 0.01 y Δs = Por lo tanto, Δr Δs r = s = = c M. Valenzuela, (5 de mayo de 008) Página 14