Métodos Numéricos (SC 854) Integración

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Marcos Lorenzo Navarro Rojo
hace 7 años
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1 c M. Valenzuela (1 de abril de 008) 1. Definición del problema Dada una función f() se desea calcular la integral definida f para valores dados de 0 y f.. Rectángulos 0 f() d (1) Todos los métodos que veremos se basan en evaluar la función f() para valores de y aproimar el área bajo la curva mediante estos puntos. El método más sencillo consiste en aproimar el área bajo la curva mediante rectángulos como se muestra en la figura 1. f() A 1 A A A 4 A 5 A n n n+1 0 f Figura 1: Aproimación mediante rectángulos del área bajo la curva de f(). El área del iésimo rectángulo es A i = f( i )( i i 1 ). () Si asumimos que la función va ser evaluada en puntos uniformemente espaciados, es decir que h = i+1 i es constante para toda i, entonces podemos escribir A i como el área total es entonces igual a A i = hf( i ), () n n A = A i = h f( i ). (4) i=1 i=1

2 f() A 1 A A A 4 A 5 A n n n+1 0 f Figura : Aproimación mediante trapecios del área bajo la curva de f().. Trapecios Podemos obtener una mejor aproimación al valor de la integral definida si aproimamos el área mediante trapecios como se muestr en la figura. El área del iésimo trapecio es A i = f i + f i+1 ( i+1 i ). (5) De nuevo, asumimos que el espaciamiento de los datos es uniforme e igual a h, por lo tanto, A i = h f i + f i+1. (6) El área total es n A = A i = h n (f i + f i+1 ) (7) i=1 i=1 A = h (f 1 +f +f + f n + f n+1 )= h ( ) n f 1 + f n+1 + f i (8) i= 4. Método de Romberg Suponga que se calcula numéricamente la integral de f() para un valor h 1 = h, llamémosle R(1, 1) al valor obtenido. Si después se calcula la integral para h = h 1 /, llamémosle R(, 1), podemos obtener una mejor estimación del valor de la integral asumiendo que el error es proporcional a h : valor estimado = R(1, 1) + Ch i (9) ( ) hi valor estimado = R(, 1) + C (10) c M. Valenzuela, (1 de abril de 008) Página

3 Si eliminamos la constante C podemos despejar el valor estimado para obtener lo siguiente: valor estimado = R(1, ) = 1 (4R(, 1) R(1, 1)), (11) donde le hemos llamado R(1, ) al valor estimado. Ahora, supongamos que obtenemos la integral de f() parah = h/4, llamémosle R(, 1). Podemos calcular un valor estimado de la misma manera, obteniendo que R(, ) = 1 R(, 1) R(1, 1) (4R(, 1) R(1, 1)) = R(, 1) +. (1) Ahora, podemos obtener una mejor estimación del valor de la integral utilizando R(1, ) y R(, ) de la siguiente manera: R(1, ) = 1 15 R(, ) R(1, ) (16R(, ) R(1, )) = R(1, ) +. (1) 15 De lo anterior, podemos deducir el método de Romberg. Dado un valor inicial de h, se calcula la integral de f() para valores de paso de h, h/, h/4, h/8, etc. (que es equivalente aqueelnúmero de trapecios sea igual a n, n, 4n, 8n, etc.).alvalordeestasintegral les llamamos R(1, 1), R(, 1), R(, 1), R(4, 1), etc. Con cada valor de R podemos obtener una estimación mejor asumiendo que el error es proporcional al cuadrado del paso utilizado mediante la fórmula: R(i +1,j) R(i, j) R(i, j +1)=R(i +1,j)+ 4 j. (14) 1 Los valores de R pueden ordenarse en una tabla al estilo de diferencias divididas como se muestra a continuación: R(1, 1) R(1, ) R(1, ) R(1, 4) R(1, 5) R(, 1) R(, ) R(, ) R(, 4) R(, 1) R(, ) R(, ) R(4, 1) R(4, ) R(5, 1) El algoritmo continúa evaluando valores de R(i, 1) hasta que la diferencia del valor absoluto entre las últimas dos estimaciones de mayor orden obtenidas, sea menor que una toleracia que escoge el usuario. El método de Romberg se utiliza junto con el método de trapecios. 5. Parábolas: Método de Simpson 1/ El método de Simpson 1/ aproima el área bajo la curva de f() medianteparábolas como se muestra en la figura. Se hace pasar un polinomio de segundo orden por cada tres puntos. El polinomio definido por los puntos i 1, i,y i+1 puede obtener mediante el polinomio de interpolación de Newton: P () =a 1 + a ( i 1 )+a ( i 1 )( i ) (15) c M. Valenzuela, (1 de abril de 008) Página

4 f() A 1 A A n/ n 1 n n+1 0 f Figura : Método de Simpson 1/. donde a 1 = f i 1 (16) a = f i f i 1 h (17) a = f i 1 f i + f i+1 h (18) Nótese que los coeficientes a 1, a y a varían de segmento a segmento, y por lo tanto, que el polinomio P () es diferente para cada intervalo de tres puntos. Para simplificar el cálcula del área bajo la curva en el intervalo de i 1 a i+1,estoes A i,setrasladalacurvaa = 0 como se muestra en la figura 4. Por lo tanto, el área A j está dadadelasiguientemanera: i+1 i 1 P () d = = h 0 [ (a 1 + a + a ( h)) d (19) a 1 + a + a ( = a 1 h + a h + a ( 8h + h +h )] h 0 ) (0) (1) = a 1 h + a h + a h () = hf i 1 +(f i f i 1 )h + h (f i 1 f i + f i+1 ) () = hf i 1 +hf i hf i+1 + h f i 1 h f i + h f i+1 (4) c M. Valenzuela, (1 de abril de 008) Página 4

5 f() f i+1 f i 1 f i A j i 1 0 i h i+1 h Figura 4: Cálculo del área A j bajo la curva en [ i 1, i+1 ]enelmétodo de Simpson 1/. = h f i 1 +4 h f i + h f i+1 (5) = h (f i 1 +4f i + f i+1 ) (6) El área total es A = j A j = h n/ f j 1 + f j + f j+1 (7) 6. Simpson /8 A = h (f 1 +4f +f +4f 4 +f 5 + +f n 1 +4f n + f n+1 ) (8) = h n/ n/ 1 f 1 + f n+1 +4 f j + f j+1 (9) El método de Simpson /8 aproima el área bajo la curva de f() mediante polinomios cúbicos. Por cada cuatro puntos se hace pasar un polinomio de tercer orden. Para los puntos i, i+1, i+, i+ el área bajo la curva es i+ i P () d = h 8 (f i +f i+1 +f i+ + f i+ ) (0) Área total: A = h 8 n/ (f j +f j 1 +f j + f j+1 ) (1) c M. Valenzuela, (1 de abril de 008) Página 5

6 = h 8 (f 1 +f +f +f 4 +f 5 +f 6 + +f n +f n 1 +f n + f n+1 ) () = h n/ n/ 1 f 1 + f n+1 + (f j 1 + f j )+ f j () 8 c M. Valenzuela, (1 de abril de 008) Página 6

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