El método de los trapecios es muy simple y se puede explicar fácilmente a partir de la siguiente figura.

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Sebastián Revuelta Villanueva
hace 7 años
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1 REGLA DEL TRAPECIO El método de los trapecios es muy simple y se puede explicar ácilmente a partir de la siguiente igura. REGLA DEL TRAPECIO SIMPLE I ( b a) ( a) 2 ( b) Eligiendo un espaciado se divide el intervalo [a, b] por medio de puntos igualmente espaciados tenemos que, las ordenadas de dichos puntos son

REGLA DEL TRAPECIO SIMPLE I ( b a) ( a) 2 ( b) Eligiendo un espaciado se

2 REGLA DEL TRAPECIO Una orma de mejorar la precisión de la regla del trapecio consiste en dividir el intervalo de integración de a a b en varios segmentos, y aplicar el metodo a cada uno de ellos, según se muestra; (x) (x) X0 X1 X2 X X0 X1 X2 X0 X1 X2 X X4 X0 X1 X2 X X4 X5

en varios segmentos, y aplicar el metodo a cada uno de ellos, según

3 REGLA DEL TRAPECIO El área total aproximada es la suma de las áreas de los n pequeños trapecios de anchura h o bien, agrupando términos Cuanto mayor sea el número de divisiones del intervalo [a, b] que hagamos, menor será h, y más nos aproximaremos al valor exacto de la integral. Sin embargo, no podremos disminuir h tanto como queramos, ya que el ordenador maneja números de precisión limitada.

que hagamos, menor será h, y más nos aproximaremos al valor exacto de la integral.

4 REGLA DEL TRAPECIO Las áreas de los segmentos se suman después para obtener la integral en todo el intervalo. Las ecuaciones resultantes se llaman ormulas de integración, de aplicación múltiple o compuestos. La ormula general de la integral se presenta como: I ( b a) 0 n1 ) 2 ) ) i1 2n i n Se puede calcular el error con la regla del trapecio de aplicación múltiple al sumar los errores individuales de cada segmento, la ecuación general es: E t b a 12n n i1 '' i

La ormula general de la integral se presenta como: I ( b a) 0 n1 ) 2 ) ) i1 2n i n Se puede calcular el error con

5 Ejemplo de Trapecio Múltiple 5 ln xdx x Para n = 4 I ( b a) 0 n1 ) 2 ) ) i1 2n i n ( a ) o+ h ) o+ 2h ) o+ h ) ( b ) 0, ,6696 0, , ,71976 Integral = ,9 1 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0, 0,2 0,1 0 (x),5 4 4,5 5 (x)

) 0,64284 0,6696 0,69147 0,709029 0,71976 Integral = 1.

6 REGLA DE SIMPSON 1/ La Regla de Simpson de 1/ proporciona una aproximación más precisa, ya que consiste en conectar grupos sucesivos de tres puntos sobre la curva mediante parábolas de segundo grado, y sumar las áreas bajo las parábolas para obtener el área aproximada bajo la curva. Por ejemplo, el área contenida en dos ajas, bajo la curva (X) en la ig., se aproxima mediante el área sombreada bajo una parábola que pasa por los tres puntos: (Xi, Yi) (Xi+1, Yi+1) (Xi+2, Yi+2) Simpson 1/ Simple h I o ) 4 b a dondeh 2 1 ) 2 ) I ( b a) 0 Simpson 1/ Múltiple n1 n2 ) 4 ) 2 ) ) i j n i1,,5 i2,4,6 n

Por ejemplo, el área contenida en dos ajas, bajo la curva (X) en la ig.

7 Regla de Simpson 1/ La orma general de la ecuación de la parábola de segundo grado que conecta los tres puntos es: La siquiente ec. se llama Regla de Simpson de un Tercio para determinar el área aproximada bajo una curva. Se puede utilizar cuando el área se divide en un número par de ajas de ancho. Designando a y b como X0 y X2, 2(x) se representa por un polinomio de Lagrange de segundo grado, obtendremos la integral I ( b a) Error, ) 4 ) ) ( b a) (4) Et E ( )

Se puede utilizar cuando el área se divide en un número par de ajas de ancho.

8 Ejemplo, Regla de Simpson 1/, para n =4 4 2 x ln xdx ( li ) ( h ) ( 2h ) ( h ) ( ls ) 5, , ,6625 5, ,72284 Sum. Par = 59,2506 Sum. Impar = 272, Serie1 Integral = 70, ,5,5 4

29,6625 5,71221 88,72284 Sum. Par = 59,2506 Sum.

9 REGLA DE SIMPSON /8 La derivación de la Regla de los Tres Octavos de Simpson es similar a la regla de un tercio, excepto que se determina el área bajo una parábola de tercer grado que conecta 4 puntos sobre una curva dada. La orma general de la parábola de tercer grado es: I h 8 o ) 1 ) 2 ) ) donde h b a

una parábola de tercer grado que conecta 4 puntos sobre una curva dada.

10 REGLA DE SIMPSON /8 Investigar: Simpson /8 Multiple Metodo de Romberg

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