MATE Dr. Pedro V squez UPRM. P. V squez (UPRM) Conferencia 1/ 25

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1 Dr. Pedro V squez UPRM P. V squez (UPRM) Conferencia 1/ 25

2 IntegraciÛn Aproximada MATE 3032 Hay dos situaciones en las que es imposible encontrar el valor exacto de la integral deönida. La primera situaciûn se deriva del hecho de que a Ön de evaluar R b a f (x) dx usando el teorema Fundamental del c lculo, se necesita conocer la antiderivada de f. Sin embargo, a veces, es difìcil, o incluso imposible, para encontrar un antiderivada. Por ejemplo, es imposible evaluar las siguientes integrales: R 1 0 cos " x 3# dx R 1!1 3p 1! x 4 dx La segunda situaciûn se plantea cuando la funciûn se determina a partir de un experimento cientìöco con las lecturas de los instrumentos o colecciûn de datos. Quiz s no puede haber ninguna fûrmula para la funciûn. En ambos casos tenemos que encontrar valores aproximados de integrales deönidas. Ya conocemos uno de esos mètodos. P. V squez (UPRM) Conferencia 2/ 25

3 Recuerde que una integral deönida se deöne como el lìmite de la suma de Riemann, entonces cualquier suma de Riemann se puede usar como una aproximaciûn a la integral. Si se divide [a, b] en n subintervalos de igual longitud Dx = b!a n, y se tiene: R b a f (x) dx #  n f (x i $ ) Dx i=1 donde x $ i es cualquier punto del i-èsimo intervalo [x i!1, x i ] y se tiene: R b a f (x) dx # L n = n  f (x i!1 ) Dx R b a f (x) dx # R n = n  f (x i ) Dx i=1 i=1 P. V squez (UPRM) Conferencia 3/ 25

4 Regla del punto medio R b a f (x) dx # M n =  n f (x i ) Dx i=1 = Dx [f (x 1 ) + f (x 2 ) + %%%+ f (x n )] donde: Dx = b!a n y x i = 1 2 (x i!1 + x i ) R b a f (x) dx # M n =  n f (x i ) Dx i=1 Otra regla de aproximaciûn, resulta de tomar el promedio de los extremos izquierdos y extremos derechos: $ R b nâ a f (x) dx # 1 2 (L n + R n ) = 1 2 = Dx 2 n  i=1 [f (x i!1 ) + f (x i )] f (x i!1 ) Dx +  n f (x i ) Dx i=1 i=1 = Dx 2 [(f (x 0) + f (x 1 )) + (f (x 1 ) + f (x 2 )) + %%%+ (f (x n!1 ) + f (x n ))] P. V squez (UPRM) Conferencia 4/ 25 %

5 T n = Dx 2 [f (x 0) + 2f (x 1 ) + 2f (x 2 ) + %%%+ 2f (x n!1 ) + f (x n )] Regla del trapecio R b a f (x) dx # T n donde: Dx = b!a n y x i = a + idx Errores Suponga que jf 00 (x)j ( K para a ( x ( b. Si E T y E M son los errores de las reglas del trapecio y punto medio, respectivamente, entonces: je T j ( K (b! a)3 K (b! a)3 12n 2 y je M j ( 24n 2 P. V squez (UPRM) Conferencia 5/ 25

6 Ejemplo MATE Aproxime el valor de la integral R 2 1 dt, n = 6, usando las reglas del 0 t 6 +1 punto medio y trapecio. P. V squez (UPRM) Conferencia 6/ 25

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8 2. Aproxime el valor de la integral R ln x dx, n = 10, usando las reglas del punto medio y trapecio. P. V squez (UPRM) Conferencia 8/ 25

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10 3. a. Aproxime el valor de la integral R 2 1 e1/x dx, n = 10, usando las reglas del punto medio y trapecio. b. Estime los errores en la aproximaciûn de la parte (a). c. Determine el valor de n para que las aproximaciones T n y M n a la integral de la parte a, tengan una aproximaciûn de P. V squez (UPRM) Conferencia 10 / 25

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12 Regla de Simpson Esta mètodo utiliza par bolas en vez de segmentos de recta para aproximar una curva. Se procede como en los casos anteriores, dividiendo el intervalo [a, b] en n subintervalos de igual longitud Dx = b!a n y se asume que n es un n mero par. Luego, en cada par de intervalos consecutivos se aproxima la curva y = f (x) ) 0 por una par bola como se muestra en la siguiente Ögura: Si y i = f (x i ), entonces P i (x i, y i ) es un punto sobre la curva P. V squez (UPRM) Conferencia 12 / 25

13 Una par bola pasa por tres puntos consecutivos P i, P i+1 y P i+2. Para simpliöcar los c lculos, cnosidere los casos donde: x 0 =!h, x 1 = 0y x 2 = h, ver la siguiente Ögura: La ecuaciûn de la par bola a travès de P 0, P 1,y P 2 es de la forma y = Ax 2 + Bx + C y representa el rea bajo la par bola desde x =!h a x = h y es: R h!h " Ax 2 + Bx + C # dx = 2 R h " 0 Ax 2 + C # i h dx = 2 ha x 3 3 h i + Cx 0 = 2 A h3 3 + Ch = h " 3 2Ah 2 + 6C # P. V squez (UPRM) Conferencia 13 / 25

14 Como la par bola pasa a travès de P 0 (!h, y 0 ), P 1 (0, y 1 ) y P 2 (h, y 2 ), se tiene que: y 0 = A(!h) 2 + B(!h)+C = Ah 2! Bh + C y 1 = C y 2 = Ah 2 + Bh + C y por lo tanto y 0 + 4y 1 + y 2 = 2Ah 2 + 6C el rea bajo la par bola se puede reescribir como: h 3 (y 0 + 4y 1 + y 2 ) De manera similar el rea de la par bola que pasa por los puntos P 2, P 3 y P 4 desde x = x 2 a x = x 4 es: h 3 (y 2 + 4y 3 + y 4 ) Si se contin a calculando las reas de todas las par bolas, se obtiene: R b f a (x) dx # h 3 (y 0 + 4y 1 + y 2 )+ h 3 (y 2 + 4y 3 + y 4 )+%%%+ h 3 (y n!2 + 4y n!1 + y n ) = h 3 (y 0 + 4y 1 + 2y 2 + 4y 3 + 2y 4 + %%%+ 2y n!2 + 4y n!1 + y n ) P. V squez (UPRM) Conferencia 14 / 25

15 Por lo tanto la regla de Simpson es dada por: R b a f (x) dx # S n = Dx 3 (y 0 + 4y 1 + 2y 2 + 4y 3 + 2y 4 + %%%+ 2y n!2 + 4y n!1 + y n ) donde n es un n mero par y Dx = b! a n. Errores ( Suponga que (f (4) (x)( ( K para a ( x ( b. Si E S es el error de la regla de Simpson, entonces: je S j ( K (b! a)5 180n 4 P. V squez (UPRM) Conferencia 15 / 25

16 4. Aproxime el valor de la integral R ln x dx, n = 10, usando la regla Simpson.y su error correspondiente. P. V squez (UPRM) Conferencia 16 / 25

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18 5. a. Aproxime el valor de la integral R p sin xdx, n = 10, usando la regla 0 de de Simpson. b. Estime el error en la aproximaciûn de la parte (a). c. Determine el valor de n para que la aproximaciûn S n a la integral de la parte a, tengan una aproximaciûn de P. V squez (UPRM) Conferencia 18 / 25

19 P. V squez (UPRM) Conferencia 19 / 25

20 6. Resuelva problema 32, p gina 525 P. V squez (UPRM) Conferencia 20 / 25

21 P. V squez (UPRM) Conferencia 21 / 25

22 P. V squez (UPRM) Conferencia 22 / 25

23 P. V squez (UPRM) Conferencia 23 / 25

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