MATE Dr. Pedro Vásquez UPRM. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1/ 23

Transcripción

1 Dr. Pedro Vásquez UPRM P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1/ 23

2 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 2/ 23 Areas y distancias MATE 3031 En esta sección se tratara de encontrar el área bajo una curva o la distancia recorrida por un carro, y se obtiene a través de límites. El problema de área Se trata de resolver el siguiente problema de área: Halle el área de la región S que está bajo la curva y = f (x) desde a hasta b. S es acotada por la gráfica de la función continua f, las rectas verticales x = a, x = b yelejex

3 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 3/ 23 Recuerde como se determina el área de algunas regiones conocidas por ustedes:

4 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 4/ 23 Sin embargo no es fácil hallar el área de una región plana cuyos lados no son segmentos de recta. Piense en una idea intuitiva de como hallar el área de la primera región. Una idea es aproximar el área dividiendo la región en intervalos como en el siguiente ejemplo: Use rectángulos para estimar el área, A, bajo la parábola y = x 2 desde 0 hasta 1.

5 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 5/ 23 Una aproximación sería hallando el área del cuadrado de lado 1, pero es obvio que no es una buena aproximación. Una mejor aproximación sería dividiendo el segmento [0, 1] en cuatro partes iguales y construyendo cuatro rectángulos como la parte b de la gráfica anterior. La altura de los rectágulos es la imagen de f en el lado derecho de cada subintervalo: [0, 1/4], [1/4, 1/2], [1/2, 3/4] y [3/4, 1], es decir, si se denota por R 4 la suma de las áreas de los rectángulos, se tiene: R 4 = 1 4! 1 " 2! " 2! " (1)2 = De la figura se observa que el área A < R 4 =

6 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 6/ 23 Ahora considere los extremos izquierdos de cada subintervalo y se denota por L 4 la suma de las áreas de los rectángulos. y se tiene: L 4 = 0! " 1 2! " 2! " 2! " = De la figura se observa que el área A > L 4 =

7 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 7/ 23 Es natural pensar que mientras más pequeña es la partición, es decir, se consideran más subintervalos, mejor será la aproximación del cálculo del área A, observe las dos siguiente gráficas:

8 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 8/ 23 Observe que sucede si n el número de subintervalos es más grande: n L n R n es decir, A!

9 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 9/ 23 Asuma que el intervalo [0, 1] se divide en n subintervalos de la misma longitus, donde la longitud de cada uno de ellos es 1"0 n = 1 n y considerando los lados derechos de cada subintervalo se tiene:

10 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 10 / 23 R n = Si n es un número muy grande se tiene: lim R n = lim n! n! De manera similar: lim n! L n = Podemos concluir que: A = lim n! L n = lim n! R n =.

11 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 11 / 23 Si se aplica el ejemplo anterior a una región S, se subdivide S en n franjas S 1, S 2,, S n, de igual ancho, como se observa en la siguiente figura: El ancho del intervalo [a, b] es b " a yelanchodecadafranjaes: x = b " a n

12 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 12 / 23 Las franjas dividen al intervalo [a, b] en n subintervalos: [x 0, x 1 ], [x 1, x 2 ], [x 2, x 3 ],, [x n"1, x n ] donde: a = x 0 y b = x n. x 1 = a + x x 2 = a + 2 x x 3 = a + 3 x Aproximando la i-ésima franja S i por un rectángulo con ancho x y altura f (x i ), el cual es el valor de f en el extremo derecho de cada subintervalo. El área del i-ésimo rectángulo es f (x i ) x. El área aproximada de S se puede pensar como la suma del área de cada rectángulo, es decir: R n = f (x 1 ) x + f (x 2 ) x + + f (x n ) x, en notación de suma: R n = f (x 1 ) x + f (x 2 ) x + + f (x n ) x = n f (x i ) x i=1.

13 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 13 / 23 MATE 3031 Definición. El área A de la región S que está bajo la gráfica de la función continua f es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos: A = lim n! R n = lim n! [f (x 1 ) x + f (x 2 ) x + + f (x n ) x]. Se puede probar que el límite anterior siempre existe, asumiendo que f es continua. De manera similar, se pueden usar los extremos izquierdos de cada subintervalo y se tiene: A = lim n! L n = lim n! [f (x 0 ) x + f (x 1 ) x + + f (x n"1 ) x]. En general, si toma como la altura del i-ésimo rectángulo el valor de la función en cualquier número x # i en el i-ésimo rectángulo [x i"1, x i ]. Alosnúmerosx # 1, x # 2,, x # n se les llama puntos muestrales, ver la siguiente figura:

14 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 14 / 23 La forma general para calcular el área, A, es: A = lim [f (x # n! 1 ) x + f (x 2 #) x + + f (x n # ) x] = lim n! n i=1 f (x i # ) x

15 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 15 / 23 Problema de distancia El objetivo es determinar la distancia que viaja un objeto durante un cierto intervalo de tiempo si la velocidad del objeto se conoce en cada instante del tiempo. Recuerde: distancia = velocidad $ tiempo En general, suponga que que el objeto se mueve con velocidad v = f (t), donde a % t % b y f (t) & 0 y si la velocidad se considera en los tiempos t 0 = a, t 1,, t n = b, de manera que la velocidad es casi constante en cada intervalo, entonces la distancia recorrida en el intervalo [a, b] se puede aproximar por: d ' f (t 0 ) t + f (t 1 ) t + + f (t n"1 ) t = n f (t i"1 ) t o i=1 d ' f (t 1 ) t + f (t 2 ) t + + f (t n ) t = n f (t i ) t n n! i=1 d = lim n n! i=1 f (t i"1 ) t = lim f (t i ) t i=1

16 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 16 / 23 Ejemplos 1. Ejemplo 2, página 369 MATE 3031

17 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 17 / 23

18 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 18 / Ejemplo 4, página 369

19 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 19 / Ejemplo 13, página 370

20 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 20 / Ejemplo 18, página 370

21 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 21 / 23 MATE Use la definición de área para escribir una expresión del área bajo la curva f (x) = 2x en [1, 3] x + 1

22 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 22 / 23 MATE Determine la región cuya área es igual al límite lim n π n! 4n tan i π 4n i=1

23 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 23 / 23