1. Grafica las siguientes funciones junto con sus funciones derivadas en los intervalos indicados y conjetura relaciones entre ellas:

Transcripción

1 1. Función derivada Maple posee un comando para encontrar la función derivada de una función dada, que es el comando diff (exige poner la variable respecto de la cual se desea derivar). Equivalentemente, se puede utilizar la notación de Leibnitz d que se encuentra en la barra de la izquierda Expression: dx Agreguemos algo que necesitaremos para resolver algunos de los ejercicios. Para definir funciones con varias leyes en Maple se usa el comando piecewise. También se puede usar la plantilla establecida en la barra Expression. Recordemos que el operador de asignación es := (asigna el valor de la izquierda al nombre de la derecha). Entonces por ejemplo: 1

2 Ejercicios 1. Grafica las siguientes funciones junto con sus funciones derivadas en los intervalos indicados y conjetura relaciones entre ellas: a) f (x) = senx + cos x, x [ 2π, 2π] 2 b) f (x) = x 3 2x 2 x + 2, x [ 2, 3] c) f (x) = senx x, x [ 2π, 2π] { x 2 x > 0 d) f (x) = x 2, x [ 3, 3] x 0 e) f (x) = sen x, x [ 5, 5] La función derivada no existe en aquellos puntos donde... En los intervalos donde la función es creciente, la función derivada es... En los intervalos donde la función es decreciente, la función derivada es... En los puntos donde hay un extremo (máximo o mínimo) local de la función, la función derivada puede ser... o bien... Atención! Grafica la siguiente función junto con su derivada según la realiza el programa y analiza el resultado: f (x) = sen x, x [ 2π, 2π] x Puedes realizar derivadas de orden superior colocando el orden luego del signo $ en el comando diff: 2

3 2. Considera las funciones del ejercicio anterior y grafica cada una de ellas junto con su derivada segunda. Puedes establecer alguna relación entre el signo de la derivada segunda y la concavidad de la gráfica de la función? Si es así cuál?... Puedes concluir algo acerca de la gráfica de la función en los puntos donde la derivada segunda se anula?... Y si se combina esta información con alguna relativa a la derivada primera? a) Encuentra y grafica la recta tangente a la gráfica de la función f (x) = x 3 4x 2 +x+6 en los puntos de abscisa: x = 1, x = 0, x = 1, x = 2 y x = 3. b) Realiza el gráfico de la función anterior con una secuencia animadade rectas tangentes en los puntos (x i,f (x i )) para 1 < x i < 3. Ayuda: Puedes utilizar el comando seq (con la opción insequence=true) y hacer variar la abscisa del punto donde se calcula la recta tangente de la forma x i = 1 + i 5 para i de 0 a Al hacer las gráficas de una función y su recta tangente en un determinado punto, habrás notado que en general en las cercanías del punto las ordenadas de los puntos sobre la función y sobre la recta tangente son muy próximos. Verás esto con más detalle cuando estudies aproximaciones lineales. En general, si x 0 es la abscisa del punto de tangencia, podemos decir que para x cercano a x 0, f (x) l (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ). Utiliza la ecuación de la recta tangente en el punto que se indica, para aproximar el valor de la función que se pide, y grafica la función junto con la recta en un entorno del punto: a) f (x) = x, x 0 = 4, f (3,5) b) f (x) = x x, x 0 = 1, f (1,2) c) f (x) = x x + 1, x 0 = 1, f (1,3) 5. Las aproximaciones realizadas en el ejercicio anterior pueden mejorar si en lugar de aproximar el valor de cada función en el punto con el valor sobre la recta tangente se utiliza una parábola que coindida con la función en un punto adecuado, tenga la misma recta tangente a la curva en ese punto, y tenga la misma concavidad, cosa que se logra pidiendo que: 3

4 p (x 0 ) = f (x 0 ) p (x 0 ) = f (x 0 ) p (x 0 ) = f (x 0 ) siendo p la función cuya gráfica es la parábola. Encuentra esta parábola para cada uno de los apartados del ejercicio anterior, grafícala y utiliza su ecuación para realizar la aproximación del valor de la función en el punto en cuestión. 6. Repite el ejercicio anterior con una función cúbica c que verifique: c (x 0 ) = f (x 0 ) c (x 0 ) = f (x 0 ) c (x 0 ) = f (x 0 ) c (x 0 ) = f (x 0 ) 7. Averigua sobre los Polinomios de Taylor, por ejemplo en el sitio didacticos/desarrollo serie taylor /Desarrollo en serie de taylor.htm, e investiga el comando TaylorApproximation de Maple en el paquete Student[Calculus1]. 2. Funciones raras Conocemos que la función f (x) = x es un típico ejemplo de una función continua en un punto que no es derivable en ese punto. Existen también funciones continuas en todo punto que no son derivables en ningún punto. Tal es el caso, por ejemplo, de la función blancmange o curva fractal de Takagi. Esta función f : R R se obtiene como el límite de una sucesión de sumas de funciones f n continuas y periódicas cuyas gráficas son poligonales en forma de sierra. Recordando que la función menor entero se define para cada x como el mayor entero menor o igual que x, para x > 0 podemos expresar el resto de la división x/2 con cociente entero x mediante la ley: mod (x) = x 2 (por ejemplo mod (7,15) = 1,15). 2 Para cada n N 0 definamos: f n (x) = 1 2 n (1 mod (2n x) 1 ). Vemos las gráficas de las funciones f 0, f 1, f 2, f 3 : 4

5 f 0 (x) = (1 mod (x) 1 ) f 1 (x) = 1 (1 mod (2x) 1 ) 2 5

6 f 2 (x) = 1 (1 mod (4x) 1 ) 4 f 3 (x) = 1 (1 mod (8x) 1 ) 8 Grafiquemos ahora las sumas: f 0 + f 1, f 0 + f 1 + f 2, f 0 + f 1 + f 2 + f 3 : 6

7 1 1 2 (1 mod n (2n x) 1 ) n=0 2 n=0 1 2 n (1 mod (2n x) 1 ) 7

8 3 1 2 (1 mod n (2n x) 1 ) n=0 Qué sucede con la cantidad de puntos de no derivabilidad a medida que la cantidad de sumandos aumenta? Para discutir: Si la cantidad de puntos de no derivabilidad de f n aumenta a medida que n crece por qué no considerar el lím f n (x) en lugar de lím n n n k=1 f k (x) para pensar en una función que tiene infinitos puntos de no derivabilidad? Ejercicio Grafica la función f (x) = n k=1 sen (k 2 x) k 2 para varios valores de n y observa su comportamiento. Qué sucede a medida que n crece? 8