Unidad 5. La derivada. 5.2 La derivada de una función
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- Julián Moya Quintero
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1 Unidad 5 La derivada 5. La derivada de una función A continuación trataremos uno de los conceptos fundamentales del Cálculo, que es el de la derivada. Este concepto es un ite que está estrecamente ligado a la recta tangente, a la velocidad instántanea y en general a la razón de cambio de una variable con respecto a otra. Recordemos que la recta tangente a una curva y f() en el punto [ 0,f( 0 )] a sido definida como la recta que tiene por pendiente el número f() f( 0 ) m T 0 0 en el supuesto caso de que este ite eista. Cuando este ite eiste lo llamamos la derivada de la función f en 0 y lo denotamos por f ( 0 ). Es decir: f f() f( 0 ) ( 0 ) 0 0 Si acemos 0 (o sea 0 + ), podemos escribir: f f( 0 + ) f( 0 ) ( 0 ) 0 A veces se usa (incremento de ) en lugar de y en lugar de f( 0 + ) f( 0 ), en cuyo caso: f ( 0 ) 0. Aora sí podemos definir: Si eiste el número: f f() f( 0 ) f( 0 + ) f( 0 ) ( 0 ) Se dice que: La función f es derivable en 0 y que f ( 0 ) es la derivada de f en 0. canek.azc.uam.m: 4/ 3/ 006 0
2 5.. LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN UNIDAD 5. Si no eiste f ( 0 ), podemos afirmar que la función f no es derivable en 0 o bien que la función f no tiene derivada en 0 Otras notaciones para f ( 0 ) son: df () d, df 0 d 0 y dy d 0 Ejemplo Demostrar que la función f() es derivable en 0 Demostraremos la eistencia de f ( 0 )f () f ( 0 ) 0 f( 0 + ) f( 0 ) f () 0 f( + ) f() f () 8 0 [3( + ) 4( + ) 5] [3() 4() 5] 0 3( ) (8 + 3) (8 + 3) 8 + 3(0) 8 Luego f () eiste, por lo cual f es una función derivable en 0. Además la derivada de f en 0 es f () 8 Ejemplo Si f() 4, usando la definición de la derivada, calcular f (a) usando la definición de la derivada. Calcular también, usando lo anterior, f ( ) y f (). Calculamos el cociente diferencial (4 ) (4 a ) 4 4+a ( a ) ()( + a) + a ( + a) si 0., esto es si a Así: f (a) a a [ ( + a)] a. Hemos demostrado por lo tanto que, en todo punto [a, f(a)] (a, 4 a ) la función es derivable y su derivada es f (a) a. Concluimos con esto que f () para R.
3 UNIDAD LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Usando este resultado, tenemos que f ( ) 4; f (). Ejemplo 3 Sea f() +. Aplique la definición de la derivada para encontrar f (a), cona D f [, + ). Calculamos el cociente diferencial del cual obtendremos el ite: + a + + a + ++ a + ++ a + ( +) (a +) ()( ++ a +) () ()( ++ a +) si 0, esto es, si a. ++ a + Así: f (a) a a ++ a + a ++ a + a +. a + Esta última epresión sólo tiene sentido si a + > 0, es decir, si a>. Vemos que D f función f no es derivable, de eco ni siquiera está definida a la izquierda de. pero aí la Ejemplo 4 Demostrar que la función g() no es derivable en el origen. Demostraremos la no eistencia de g ( 0 )en 0 0. g g() g( 0 ) ( 0 ) 0 0 g (0) 0 g() g(0) ? Calculamos los ites laterales 0 &. Recuerda que ya lo icimos en la Introducción a la unidad 0 + sobre Límites.. 0 <0 0 0 ( ) 0 3
4 5.. LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN UNIDAD >0 Entonces Por lo tanto, la función g no es derivable en 0 0. En cualquier otro punto sí es derivable y se tiene: () no eiste 0 g (0) no eiste la derivada de g en 0 0 no eiste.. g (a) sia>0 Pues. g (a) sia<0 Pues a a ( a) Ejemplo 5 Si g() + Usando la definición de la derivada calcular g (a) para a R. Calcular también, usando lo anterior, g ( 3) y g (), si está cerca de a (), si está cerca de a Calculamos el cociente diferencial: g(a + ) g(a) +(a + ) +a ( + a ) [ + (a + ) ] [ + (a + ) ]( + a ) ( + a ) ( + a +a + ) [ + (a + ) ]( + a ) +a a a [ + (a + ) ]( + a ) ( a ) [ + (a + ) ]( + a ) a si 0 [ + (a + ) ]( + a ) Así: g g() g(a) a (a) 0 0 [ + (a + ) ]( + a ) a ( + a ) 4
5 UNIDAD LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Hemos demostrado, por lo tanto, que en todo punto [a, g(a)] pendiente de la recta tangente vale g (a) Concluimos con esto que g () Usando este resultado tenemos que: a ( + a ). ( + ) para R. g ( 3) ( 3) [ + ( 3) ] 6 g () ( ) a, de la gráfica de la función g(), la +a f() Esta tangente tiene pendiente g ( 3) 6 Esta tangente tiene pendiente g () La regla de los cuatro pasos Considerando la definición de la derivada de y f() en 0 : f f() f( 0 ) f( 0 + ) f( 0 ) ( 0 ) se puede decir que para obtener la derivada de f en 0 tenemos que calcular 0. f( 0 ) o bien f( 0 + ) & f( 0 ).. El incremento de la función: f() f( 0 )f( 0 + ) f( 0 ) 3. El cociente de incrementos o cociente diferencial: el cociente f() f( 0) 0 f( 0 + ) f( 0 ) 0 4. El ite del cociente diferencial: 0 f() f( 0 ) f( 0 + ) f( 0 ) 0 Algunos autores a este proceso para calcular la derivada de una función le llaman la regla de los cuatro pasos. 5
6 5.. LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN UNIDAD 5. Ejemplo 6 Utilizando la regla de los cuatro pasos, calcular la derivada de la función f() en a. Utilizamos la igualdad f (a) 0 a. f(a) 4a 3 5a 6a ( ) (4a 3 5a 6a +7) 4( 3 a 3 ) 5( a ) 6() 4(3 a 3 ) 5( a ) 6() 4()( + a + a ) 5()( + a) 6() () 4( + a + a ) 5( + a) 6, para a 0 a a [4( + a + a ) 5( + a) 6] 4(a + a + a ) 5(a + a) 6 4(3a ) 5(a) 6a 0a 6 Entonces f (a) 0 a 0a 6 para cualquier a R Ejemplo 7 Mediante la regla de los cuatro pasos, calcular f () para f() Para calcular f () en un D f arbitrario, utilizamos la igualdad f () 0 f( + ) f() 0. f( + ) +. f( + ) f() + 6
7 UNIDAD LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN 3. f( + ) f() f( + ) f() [ + 0 ( + ) ( ) 0 ( + + ) ( + ) ( ) 0 ( + + ) ( + + ) 0 ( + + ) ] Luego Por lo tanto, 0 f( + ) f() 0 f () o bien d d f() f () Esta derivada eiste para cada >. Aunque D f [, + ), observa que f no está definida a la izquierda de y por lo tanto no tiene sentido calcular 0 f( + ) f() 0 ni 0 f( + ) f() 7
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