La Derivada Definición Ejemplos de derivadas usando la definición. Interpretación geométrica de la derivada.

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1 SESIÓN 16 CONTENIDOS: La Derivada Definición Ejemplos de derivadas usando la definición. Interpretación geométrica de la derivada. Profesor: Víctor Manuel Reyes F. Asignatura: Matemática Básica - Segundo Semestre 2010 OBJETIVO: Determina derivadas por definición. Usando derivadas, determina la ecuación de la recta tangente y la recta normal a una curva en cualquier punto, y en puntos específicos. 1

2 LA DERIVADA Sea y f ( una función dada. La primera derivada de la función f con respecto a la variable: x, que se escribe por:, se define mediante el siguiente límite, si este existe: f ( f ( c) '( x c x c f Fórmula para conocer la derivada en un punto determinado Si en la definición de derivada, acemos el cambio de variable x c sesigueque tiendea0cuando xtiendeacyobtenemos f '( 0 f ( x + ) f ( Fórmula para conocer la derivada de la función Interpretación Geométrica: Sea funafunciónderivableen c.lasiguientefiguranosmuestrala gráfica delafunción ydelarecta(llamadasecante) quepasa porlos puntos (c, f(c)) y (x, f()con x ]a, b[. La pendiente de la recta secante que pasa por los puntos (c, f(c)) y (x, f()es f ( f ( c) x c 2

3 Aora mantendremos fijo el punto (c, f(c)) y acercaremos x a c, la situación geométrica se muestra como sigue Cuando x está suficientemente próximo de c la recta secante está muypróximaaloquellamaremosrectatangentealgráficode fenel punto (c, f(c)). De lo anterior tenemos la siguiente definición Definición Sea f es una función derivable en c. Llamaremos recta tangenteen calarectaque pasa por elpunto (c, f(c)) con pendiente De esta forma, geométricamente f (c) es la pendiente de la recta tangente al gráfico de f en el punto (c, f(c))

4 Conociendoladerivadade fen cyelpunto (c, f(c))esposibleusando la forma punto-pendiente establecer la ecuación de la recta tangente: y f(c) f (c) (x c) Nota: La Diferenciabilidad implica la Continuidad: Si una curva tiene tangente en un punto, la curva no puede dar un salto. Sin embargo la continuidad no garantiza la derivabilidad Ejemplo: Dada la función: f ( x obtener: a) La derivada de la función, es decir 0 ( x + ) x 0 f ( x + ) f ( ( ( x + ) x )( ( x + ) + 0 ( ( x + ) + x ) x ) ( x + ) (x ) 0 ( ( x + ) + x ) 0 ( ( x + ) + x ) 0 ( ( x + ) + x ) 2 x Por lo tanto sí: f ( x, entonces 2 x

5 b) El valor de la pendiente de la función en el punto: (1,f(1)), es decir, se debe de calcular: m(1)f `(1) donde: f ( f (1) m(1) 1) x 1 x 1 f ( f (1) x 2 es decir: lim x 1 x 1 x 1 x 1 ( x 2)( x + 2) x 1 ( x 1)( x + 2) x x 1 ( x 1)( x + 2) ( x 1) x 1 ( x 1)( x + 2) x 1 ( x + 2) Entonces la pendiente de la recta tangente a la función fen el punto (1, f (1)) es m / Sabiendo la pendiente y utilizando un punto de esta podemos conocer la ecuación de la recta tangente a la curva a través de la ecuación punto-pendiente. Ejemplo: Dada la función: f ( x obtener la ecuación de la recta tangente en el punto de coordenadas: (1, f (1)). Como: (1, f (1)) (1, 2), y al calcular: m(1) f `(1) se obtuvo: m /,entonceslaecuaciónpedidaes: y 2 ( x 1) y 2 x 5 y x 5

6 Ejemplo: Dada la función: x f ( 2 x obtener: a) La derivada de la función, es decir ( x + ) x 2 x 2 x 0 (( x + ) )(2 (2 x )(x ) (2 x )(2 lim 0 0 f ( x + ) f ( (x + ) )(2 (2 x )(x ) lim 0 (2 x )(2 lim (2 x )(2 0 x ) (2 x )(2 x 0 2 (2 ) x 2 x (2 Por lo tanto sí: f (, entonces 2 b) Para determinar la ecuación de la recta tangente a la función f en el punto: (1, f (1) ), debemos calcular el valor de la pendiente que corresponde a: m(1) f (1), o sea: f (1) 2 (2 1), y además saber cual es el punto, que es en 1 este caso: (1,8), ya que: f (1) 8 Por lo tanto, 2 1 utilizando la ecuación punto - pendiente de la línea recta dadapor: y y 0 m(x x 0 ),seobtieneque: y 8 (x 1) y x + 8 y x 6

7 Nota: Recordemos que dos rectas son perpendiculares, si el producto desuspendientesesiguala -1,esdecirsi: m 1 x m 2-1. x 2 Ejemplo: Dada la función: f ( x la ecuación de la recta Normal 1 en el punto: (1, f (1)) esta dada por: y 8 ( x 1) de donde 1 89 y x + es la ecuación pedida Como se calcula la derivada de una función por definición: El siguiente método o proceso de los cuatro pasos es útil en el cálculo de la derivada de una función por definición: Paso 1: Evaluar la función fen x +, o sea se calcula: f ( x + ) Paso 2: Restar f ( a la expresión anterior, es decir obtener: f ( x + ) f ( 7

8 Paso : Forma el cociente de incrementos, dividiendo por f ( x + ) f ( Paso : Simplifique algebraicamente el cociente de incrementos. Tomar el límite para: 0, o sea aga que tienda a cero en el cociente de incrementos simplificado. La expresión resultante será la derivada lim 0 f ( x + ) f ( 8