CAPÍTULO. Continuidad

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1 CAPÍTULO 4 Continuidad. Comprender el concepto de continuidad de una función en un punto.. Determinar clasificar las discontinuidades de una función.. Bosquejar la gráfica de funciones continuas discontinuas. OBJETIVOS PARTICULARES 4. Determinar los valores apropiados de ciertos parámetros que aseguran la continuidad en un punto para una función definida por partes. 5. Comprender el concepto de continuidad de una función en intervalos. 6. Aplicar el teorema del Valor Intermedio para la eistencia de raíces de una función continua. 4. Continuidad en un punto Consideremos la gráfica de cierta función D f./: 4 D f./ canek.azc.uam.m: / 5/ 008

2 Cálculo Diferencial e Integral I Obsérvese lo siguiente:.! f./ D! C f./ D 4, por lo cual! f./ D 4. El ite eiste.. f./ no está definida para D. Esto es, f./ no eiste.. La gráfica de f tiene una interrupción en el punto de abscisa D. Decimos que la función no es continua en D. Consideremos ahora la siguiente gráfica: 5 4 D f./ Obsérvese lo siguiente:.! f./ D! C f./ D 4, por lo cual! f./ D 4. El ite eiste.. f./ D 5 para D. Esto es, f./ D 5; D está en el dominio de f./.. La gráfica de f tiene una interrupción en el punto de abscisa D. Decimos que la función no es continua en D. Cuando una función f es continua en un punto? Una función f es continua en 0 R si f./ D f. 0 / :! 0 Es decir, para que una función f sea continua en un punto 0 necesariamente 0 debe pertenecer al dominio de f, debe eistir el!0 f./ precisamente tiene que ser f. 0 /. Observemos que si una función f es continua en 0 tomamos, D f cerca de 0, entonces f. / f. / están cerca de f. 0 / por lo tanto próimos entre sí, lo que se verbaliza diciendo: un cambio pequeño en produce un cambio pequeño en f./.

3 4. Continuidad en un punto f. / f. / cerca de f. 0 / f. / f. 0 / f. / 0 cerca de 0 La continuidad es pues una ausencia de cambios bruscos. Como se dice tradicionalmente: una función es continua en un punto si en dicho punto la gráfica de la función no presenta interrupciones o saltos, esto es, cerca del punto se puede dibujar la gráfica de la función sin levantar el lápiz del papel. C 4 si < I si D I Ejemplo 4.. Dada la función f./ D si < < I si D I si > : H. a. Pertenece 0 D al dominio de f? b. Eiste! f./? c. Es! f./ D f. /? Es f continua en 0 D?. a. Pertenece 0 D al dominio de f? b. Eiste! f./? c. Es! f./ D f./? Es f continua en 0 D? Graficamos primero la función D f./

4 4 4 Cálculo Diferencial e Integral I. a. f. / D, por lo cual 0 D sí pertenece al dominio de f. b. Como la regla de correspondencia es distinta si < o bien si >, calculamos los ites laterales en 0 D.! ) ( ) f./ D! C 4 D C 4 D C 4 D!. / D. / D 4 D f./ D! C )! f./ D D f./ ) f./ D, el ite eiste.! C! c. Como f./ D como f. / D, entonces sí se cumple que! Por lo tanto f es continua en 0 D. f./ D f. /:!. a. f./ D, por lo cual 0 D sí está en el dominio de f. b. Análogamente al inciso.(b) anterior, calculamos los ites laterales en 0 D. )!! f./ D!. / D D 0 f./ D. / D D 0! C! f./ D 0 D f./ ) f./ D 0, el ite eiste.! C! c. Como! f./ D 0 como f./ D, entonces! f./ f./. Por lo tanto la igualdad f./ D f./! no se cumple por ende f no es continua en 0 D. } ) Ejemplo 4.. Dada la función g./ D { C si < < I 9 si < < 6 :. Pertenece al dominio de g?. Eiste! g./?. Es g continua en 0 D? 4. En caso de no ser continua g en 0 D eiste alguna manera de definir a la función g de manera que sea continua en 0 D? H Graficamos primero la función

5 5 4. Continuidad en un punto D g./ 7. g./ sólo está definida para. ; / para.; 6/, por lo cual g./ no está definida para D.. Calculamos los ites laterales en 0 D. )!! g./ D. C / D./ C D 5!.9 / D 9./ D 5! g./ D! C g./ D 5 D g./ ) g./ sí eiste g./ D 5:! C!!. Como g./ no eiste, entonces la igualdad! g./ D g./ no se puede cumplir. Por lo tanto g no es continua en 0 D. 4. Debido a la eistencia de g./, podemos definir a g./ de manera que se cumpla la igualdad! g./ D g./. Cómo? Ya que g./ D 5, si definimos g./ D 5, aseguramos el cumplimiento de la igualdad g./ D g./.!!! Esto es, una nueva función g./ continua en D quedaría definida por: C si < < I g./ D 5 si D I 9 si < < 6 : } ) 6 si I Ejemplo 4.. Dada la función h./ D 9 c si D :. Pertenece al dominio de h?. Eiste! h./?. Cuánto debe valer c para que h sea continua en 0 D?

6 6 6 Cálculo Diferencial e Integral I H. Ya que h./ D c para D, entonces h./ D c por lo que D f. Observe que la ordenada c es arbitraria. Así el punto.; c/ se puede situar en cualquier posición de la recta D.. Calculamos h./ cuando!. C 6 D 6 h./ D!! 9 D!. / D!. /. C / D! Es decir, h./ D sí eiste.! C D C D 6 D :. La función h es continua en 0 D si sólo si! h./ D h./, D c. Por lo tanto, la función h es continua en 0 D si c D c.; c/. Gráficamente: ; «D h./ D h./ j C j si I Ejemplo 4..4 Dada la función./ D 9. C / k si D :. Pertenece al dominio de?. Eiste!./?. Eiste algún valor de k para el cual sea continua en 0 D? H La gráfica de es:. ; k/ 9 k 9

7 7 4. Continuidad en un punto 7. Ya que./ D k para D, entonces. / D k & D.. Por definición de valor absoluto se tiene que j C j D { C si C 0I. C / si C < 0 : D { C si I. C / si < : Entonces,!./ D! j C j 9. C / D! j C j./ D! C! C 9. C / D! )!. La función es continua en 0 D si sólo si ( ). C / 9. C / D D! ( ) 9 9. C / 9. C / D D! 9 9././ )./ no eiste.! C!./ D. /,./ D k :!! ) Debido a la no eistencia de./, podemos afirmar que no eiste valor alguno de k que! asegure el cumplimiento de la igualdad. Esto es, no eiste k para el cual sea continua en 0 D. Ejemplo 4..5 Sea f la función definida por a C b si < I f./ D si D I 4a b si > : Determinar los valores de las constantes a, b para que la función f sea continua en D. H Para que f sea continua en D, debe cumplirse que f./ D f./; como f./ D,! entonces se debe cumplir que f./ D.!! f./ D!.a C b/ D a./ C b./ D a C bi f./ D.4a b/ D 4a./ b D 4a b :! C! Para que f./ D, se debe cumplir que!! { a C b D I 4a b D : f./ D D! C f./, lo cual sucede si

8 8 8 Cálculo Diferencial e Integral I Lo anterior es un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas. Operando tenemos: 5a D 6 ) a D 6 5 I a C b D ) b D a D 6 5 D D 9 5 : Entonces, debe suceder que a D 6 5 que b D 9 5 para que la función f sea continua en D. Ejemplo 4..6 Se define la función si < I a si D I f./ D b C si < < I si :. Determinar los valores de las constantes a, b que hacen de f una función continua en D.. Reescriba la función f con los valores calculados de a, b. Estudie la continuidad o discontinuidad de f en D. H. Primero aseguramos la eistencia de! f./ eigiendo la igualdad de los ites laterales:! f./ D./ D./ D I! f./ D.b C / D b./ C D b C I! C! f./ D f./, D b C, b D :!! C Entonces con b D aseguramos que f./ D.! Luego eigimos que f./ D f./ para asegurar la continuidad de f en D.! Ya que f./ D & f./ D a, entonces f./ D f./, D a, es decir, a D.!! Luego con a D & b D aseguramos la continuidad de f en D.. La función f con los valores a & b calculados, continua en D es si < I si D I f./ D C si < < I si :

9 9 4. Continuidad en un punto 9 Es continua f en D? Veamos: Nótese que!! f./ D./ D 6 I f./ D!. C / D C D 0 I f./ D./ D./ D 6 :! C! f./ 6D! C f./, por lo cual! f./ no eiste. Por lo tanto la función f no es continua en D. Ejemplo 4..7 Determinar los valores de a, b para los cuales la siguiente función es continua en D en D. Bosquejar la gráfica. C C si < I f./ D a C b si I 4 si > : H Para que la función sea continua en se debe cumplir que f./ D f. /.! En particular el ite debe eistir por lo tanto los ites laterales deben ser iguales. Igualando obtenemos! f./ D!. C C / D. / C. / C D I f./ D.a C b/ D a C b :! C! C (*) a C b D : También para que la función sea continua en se debe cumplir que! f./ D f./. En particular el ite debe eistir por lo tanto los ites laterales deben ser iguales. Igualando obtenemos! f./ D!.a C b/ D a C b I f./ D. 4/ D :! C! C (**) a C b D : Resolviendo el sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas, formado por./ por./ obtenemos a D & b D :

10 0 0 Cálculo Diferencial e Integral I Al sustituir estos valores, obtenemos la función de la que se nos pide bosquejar su gráfica C C si < I f./ D si I 4 si > : Esta función consta de tres partes:. La parábola D C C. Tenemos C C D C C 4 ( 4 C D C ) C 4 : Es decir, es la parábola D desplazada a la izquierda levantada 4. Pasa por los puntos. ; /. ; /.. La recta D. Ésta es una recta de pendiente ordenada en el origen. Pasa por los puntos. ; /.; /. Esta recta corta a la parábola en. ; /.. La recta D 4. Ésta es una recta de pendiente ordenada en el origen 4. Pasa por los puntos.; /.; 0/. Esta recta corta a la anterior en el punto.; /. Con esta información, un bosquejo de la gráfica de la función f./ es D f./

11 4. Continuidad en un punto Como vemos la función es continua en D en D. Ejemplo 4..8 Sea c si I 9 f./ D p si < < I 4 C 7 d si : Encuentre los valores de c, d que hacen continua la función f en D en D. H Para que la función sea continua en D se tiene que cumplir que f./ D f. /, esto! es, que f./ D f./ D f. / D c:!! C Se sabe que Calculemos Racionalizando el denominador:! f./ D! c D c: 9 f./ D p! C! C 4 C 7 : 4 9 p C 7 D.9 /.4 C p C 7/ p.4 C 7/.4 C p C 7/ D.9 /.4 C p C 7/ 6. C 7/ D.9 /.4 C p C 7/ 9 D 4 C C 7: D Lo anterior si 9 0, es decir, si 9 o bien j j, esto es,. Entonces,! 4 9 p C 7 D.4 C C 7/ D 4 C p 9 C 7 D 4 C p 6 D 4 C 4 D 8:! Luego, la función f./ será continua en D si c D 8. Análogamente para que f./ sea continua en D se requiere que! f./ D f./, esto es, que! f./ D! C f./ D d: Se sabe que así como también que! Luego, f./ será continua en D si d D 8. f./ D d D d! C! C f./ D!.4 C C 7/ D 8:

12 Cálculo Diferencial e Integral I Otra notación para la continuidad Es usual hacer D 0 C h o bien h D 0. f. 0 C h/ D f./ f. 0 / f. 0 C h/ D f./ D 0 C h 0 D 0 C h h < 0 h > 0 Nótese que está cerca de 0, h está cerca de 0. Entonces la continuidad de la función f en el punto 0 ocurre si: f./ D f. 0 / o bien si! 0 f. 0 C h/ D f. 0 / : h!0 Ejemplo 4..9 Utilizando la igualdad f. 0 C h/ D f. 0 /, verificar la continuidad de f./ D 4 en 0 D. h!0 H Tenemos: f. 0 / D f. / D. /. / 4 D D. 8/ C 6 4 D 6 C 6 4 D 4 I f. 0 C h/ D f. C h/ D f.h / D.h /.h / 4 D D.h 6h C h 8/.h / 4 D D h h C 4h 6 h C 6 4 D D h h C h 4 : Vemos que 0 C h/ D.h h!0 h!0 h C h 4/ D 4 ) ) f. 0 C h/ D f. 0 / : h!0 Entonces f es continua en 0 D :

13 4. Continuidad en un punto C si < I Ejemplo 4..0 Dada la función g./ D 4 si D I 8 5 si > : Utilizar la igualdad g. 0 C h/ D g. 0 / para mostrar que g no es continua en 0 D. h!0 H La gráfica de g es: 4 D g./ 8 5 g. 0 / D g./ D 4. Para calcular g. 0 C h/ debemos notar que h!0 h! 0 ) h < 0 ) 0 C h < 0 ) D C h < ) g./ D C I h! 0 C ) h > 0 ) 0 C h > 0 ) D C h > ) g./ D 8 5 : Entonces: h!0 g. 0 C h/ D h!0 g. C h/ D Œ. C h/ C D C D I h!0 g. 0 C h/ D g. C h/ D Œ8 5. C h/ D 8 5./ D : ) h!0 C h!0 C h!0 debido a que g. 0 / D 4: ) h!0 g. 0 C h/ D D h!0 C g. 0 C h/ ) h!0 g. 0 C h/ D I g. 0 C h/ g. 0 / : h!0 Por lo tanto no se cumple la igualdad g. 0 C h/ D g. 0 /, lo que permite afirmar que la función g h!0 no es continua en 0 D.

14 4 4 Cálculo Diferencial e Integral I Continuidad lateral Una función es continua por la izquierda en 0 si Una función es continua por la derecha en 0 si! 0 f./ D f. 0 /. f./ D f. 0 /.! C 0 De aquí que una función sea continua en un punto 0 si solamente si es continua por la izquierda por la derecha en 0. Ejemplo 4.. Sea la función f./ D p. H Su dominio es D f D. ;. Se tiene f./ D 0 D f. /. Esto es, f es continua por la izquierda en 0 D.! D f./! Ejemplo 4.. Sea la función f./ D p C. H Su dominio es D f D Œ; C/. Se obtiene f./ D 0 D f./. Esto es f es continua por la derecha en 0 D.!t C D f./! C Ejemplo 4.. C si < I Dada la función f./ D 4 si D I 9 6 si > :

15 5 4. Continuidad en un punto 5. Es f continua por la izquierda en 0 D?. Es f continua por la derecha en 0 D?. Es f continua en 0 D? H Notamos que f./ D 4 si D ( ) ) f D 4..! ( ) f./ D. C / D C D C D 4 )!! f./ D f ( ) ) f es continua por la izquierda en 0 D..! C ( ) f./ D.9 6/ D 9 6! continua por la derecha en 0 D. D 9 4 D 5 )! C f./ f ( ) ) f no es. Por no ser f continua por la derecha en 0 D, se comprueba que f no es continua en 0 D. Lo anterior se ve en la gráfica de f : 5 4 D f./ - Ejemplo 4..4 Dada la función g./ D p 5.. Es g continua por la izquierda en 0 =5?. Es g continua por la derecha en 0 D 5?. Es g continua en 0 D 5?

16 6 6 Cálculo Diferencial e Integral I H Notamos que el dominio de g es además que g.5/ D p 5 5 D 0. D g D { R 5 0 } D { R 5 } D Œ5; C/. Ya que D g D Œ5; C/, entonces g no está definida para < 5. Por lo tanto no tiene sentido hablar de continuidad para g por la izquierda en 0 D 5. Ésta es la gráfica de g: D g./ 5. Ya que D g D Œ5; C/, entonces g sí esta definida para 5. Ahora sí, p g./ D 5 D. 5/ D p 5 5 D 0 ) g./ D g.5/ )!5 C!5 C!5 C!5 C ) g es continua por la derecha en 0 D 5:. Por no ser g continua por la izquierda en 0 D 5, sucede que g no es continua en 0 D 5. C a si < I Ejemplo 4..5 Dada la función f./ D si D I p k si > : Determinar los valores de las constantes a, k que aseguren la continuidad de f en 0 D. H Para lograr la continuidad de f en 0 D debemos asegurar la continuidad por la izquierda así como por la derecha en 0 D.. Continuidad por la izquierda.!. Continuidad por la derecha. ( ) f./ D f. /,! C a D, C a D, a D :! C f./ D f. /,!.p k / D, p k C D, k C D, k D :

17 7 4. Continuidad en un punto 7 Luego f es continua en 0 D si sólo si! f./ D f. / &! C f./ D f. /, a D & k D : La gráfica de f con estos valores es: D C D f./ D p Como en la definición de continuidad aparece el ite de una función, todos los resultados anunciados para los ites generan resultados para las funciones continuas, por ejemplo: Si f./ es continua en 0 si f. 0 / > 0, entonces f./ > 0 cuando está cerca de 0. Si f./ es continua en 0 si f. 0 / < 0, entonces f./ < 0 cuando está cerca de 0. 0 cerca de 0 f. 0 / > 0 f. 0 / < 0 0 cerca de 0 Álgebra de funciones continuas La suma, diferencia, producto cociente de funciones continuas en un punto 0 es continua en dicho punto, eceptuando en el caso del cociente si 0 es un cero o raíz del denominador.

18 8 8 Cálculo Diferencial e Integral I Continuidad de la composición de funciones continuas Si la función f es continua en 0 la función g es continua en f. 0 /, entonces gıf es continua en 0. Ejercicios 4.. Soluciones en la página. Considere la función a si < I g./ D b si D I p C si > : Determinar los valores de a, b para que la función sea continua en D.. Sea f : R! R una función continua en el punto 4. Se define g: R! R por g./ D f. 0/ C. Es g continua en a D? Diga por qué. C. Dada la siguiente función C 7 si < I a si < I f./ D b si D I C 7 si < : a. Determinar los valores de las constantes a, b que hacen de f una función continua en D. b. Reescriba la función f con los valores calculados de a, b. Estudie la continuidad o discontinuidad de f en D. 4. Considere la función 4 j j g./ D p4 4 C estudie su continuidad en D 0. si < 0I si D 0I si > 0 ; 5. Determinar los valores de a, b para que la siguiente función sea continua en D 0 en D. C a si < 0I p 4 4 C 4 f./ D si 0 & I b si D :

19 9 4. Continuidad en un punto 9 6. Calcule los valores de a & b de modo que la función C si < I f./ D a C b si < I si ; sea continua en D en D. 7. Calcule los valores de a & b que hacen continua a la siguiente función en D. si < I f./ D a si D I b C si < < : 8. Considere la función g./ D. /f./ con 0, donde f es la función máimo entero. Decida, señalando claramente sus argumentos, si g es continua o no en D. 9. Determinar los valores de las constantes a, b & c que hacen continua en todo su dominio la función C si < I a C b si < I f./ D c si D I si > : 0. Dada la función f./ D C 4 7 C 4, encuentre el punto donde esa función no es 4 continua. Cómo definiría la función en ese punto para que ésta resultase continua?. Determine los valores de las constantes c & k que hacen continua la función en D en D 4. si I f./ D c C k si < < 4I si 4 : Dar un bosquejo de la gráfica de esa función con los valores encontrados.. Sea la función: C 4 C 4 si I f./ D a C b si < I 4 C 4 si < : a. Encontrar los valores de a, b para que la función sea continua en D en D. b. Graficar la función con los valores encontrados.

20 0 0 Cálculo Diferencial e Integral I. Determine los valores de a, b para que la siguiente función sea continua en D en D. a si D I f./ D 9 si 6D I b si D : 4. Determine los valores a, b para que la función f./ sea continua en D en D. a C si I f./ D si < I b si > : 5. Una legislación estatal sobre impuestos establece un impuesto eigible de % sobre los primeros $0 000 de ganancias gravables de 6% sobre el resto de las ganancias. Calcular los valores de las constantes A B para que la función de impuestos T./ sea continua para toda. 0 si 0I T./ D A C 0: si 0 < 0 000I B C 0: / si > 0 000: 6. Calcule los valores de a, b que hacen que la siguiente función sea continua en D. a si < I f./ D b si D I C si < < : 7. a. Hallar los valores de las constantes a, b de modo que la siguiente función sea continua en D en D. si I f./ D a C b si < < I si : b. Dibujar la gráfica de f con los valores obtenidos. 8. Sea la función si < I C f./ D a C b si j j I si > : a. Encuentre valores de a, b para que esa función sea continua en D en D. b. Dar un bosquejo de la gráfica con estos valores.

21 4. Continuidad en un punto 9. Considere la función p 40 si j j ; ; f./ D C 4 a si D : 7 I Para qué valores de a la función es continua en D? 0. Sea la función m n si < I f./ D 5 si D I m C n si > : a. Encontrar los valores de m de n de modo que la función sea continua en D. b. Graficar la función continua obtenida.. Sea la función a C si < I g./ D c si Œ ; I C si > : a. Encontrar los valores de a & c que hacen que la función g sea continua en los puntos donde j j D. b. Dar un bosquejo de la gráfica de g con los valores encontrados.. Sea la función si t I g.t/ D at C bt C si < t < I t si t : a. Encontrar las valores de a, b para que la función g sea continua en D en D. b. Con los valores encontrados, gráficar la función.

22 "! "! Cálculo Diferencial e Integral I Ejercicios 4.. Continuidad en un punto, página 8. a D 8 ; b D 8.. c D ; k D 4;. g es continua en ; la composición f. 0/ es continua en D a. a D ; b D 5; C 7 si < I si < I b. f./ D 5 si D I C 7 si < I f no es continua en D ; en D f tiene una discontinuidad esencial de salto. 4. g es una función continua para < 0; g es una función continua para > 0;. D f./ 8 0 a. a D 6 ; b D ; b. g es discontinua en D a D ; b D a D 4 ; b D. 7. a D 5; b D La función g./ es continua en D. 9. a D ; b D ; c D 0.. a D 0; b D a D ; b D A D 0; B D a D 4; b D. 7. a D ; b D. D f./ 0. f./ es continua ecepto en D 4 ; definiendo f D 79, f./ resultaría con- 9 tinua en D 4. ( ) 4 D f./

23 # 4. Continuidad en un punto 8. b D ; a D 0.. c D ; a D ; $ $ D g./ D f./ D f./ D a. 0. m D 0 & n D 5.. a. a D ; b D ; b. % % D g.t/ 5 D f./ 5 t