CAPÍTULO. La derivada

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1 CAPÍTULO 5 L derivd 5. L derivd de un función A continución trtremos uno de los concetos fundmentles del cálculo, que es el de l derivd. Este conceto es un ite que está estrecmente ligdo l rect tngente, l velocidd instntáne y en generl l rzón de cmbio de un vrible con resecto otr. f./ f. 0 / Cundo eiste el ite, lo denominmos l derivd de l función f en el unto 0!0 0 y decimos que l función f es derivble en el unto 0. Al ite!0 f./ f. 0 / 0 lo denotmos or f 0. 0 /. Es decir f 0. 0 /!0 f./ f. 0 / 0 Alterntivmente si cemos 0 [un trnslción de coordends en que el nuevo origen es el unto. 0 ; 0/] o se 0 C, odemos escribir f 0 f. 0 C / f. 0 /. 0 /!0 A veces se us (incremento de ) en lugr de ; tmbién se us en lugr de f. 0 C / f. 0 / en cuyo cso f 0. 0 /!0 cnek.zc.um.m / 5/ 008

2 Cálculo iferencil e Integrl I Si no eiste f 0. 0 /, firmmos que l función f no es derivble en 0 o bien que l función f no tiene derivd en 0 Otrs notciones r f 0. 0 / son df./ d, df 0 d, dy 0 d, y 0. 0 / 0 A l rzón def f./ f. 0/ f. 0 C / f. 0 se le denomin cociente diferencil. 0 Ejemlo 5.. emostrr que l función f./ es derivble en 0. H emostrremos l eistenci de f 0. 0 / f 0./ f 0 f. 0 C / f. 0 /. 0 /!0 ) f 0./!0 f. C / f./ ) Œ3. C / 4. C / 5 Œ3./ 4./ 5!0 3.4 C 4 C / C 8 C 5!0 C C C 3!0!0.8 C 3/.8 C 3/ 8 C 3.0/ 8 I!0!0 f 0./ 8 Luego f 0./ eiste, or lo cul f es un función derivble en 0. Además l derivd de f en 0 es f 0./ 8. Ejemlo 5.. Si f./ 4, usndo l definición de derivd, clculr f 0./. Clculr tmbién, usndo lo nterior, f 0. / y comrobr que f 0./. H Clculmos el cociente diferencil f./ f./.4 /.4 / 4 4 C. /. /. C / C. C / si 0, esto es, si Así f 0 f./ f././ Œ. C /!! Hemos demostrdo or lo tnto que, en todo unto Œ; f./.; 4 /, l función es derivble y su derivd es f 0./. Concluimos con esto que f 0./ r R.

3 3 5. L derivd de un función 3 Usndo este resultdo, tenemos que f 0. / 4I f 0./ Ejemlo 5..3 Se f./ C. Encontrr f 0./ con f H [ ) ; C. Clculmos el cociente diferencil del cul obtendremos el ite f./ f./ C C C C C C C C C C. C /. C /. /. C C C /. /. /. C C C / si 0, esto es, si. C C C Así f 0 f././! f./ C C C! C C C C C Est últim eresión sólo tiene sentido si C > 0, es decir, si >. Vemos que f, ero í l función f no es derivble; de eco ni siquier está definid l izquierd de. Ejemlo 5..4 emostrr que l función g./ j j no es derivble en el origen. H emostrremos l no eistenci de g 0. 0 / en 0 0. Clculmos los ites lterles!0 Límites, ejemlo??. g 0. 0 /!0 g./ g. 0 / 0 ) ) g 0 g./ g.0/ j j j 0 j.0/!0 0!0.! 0 ) < 0 ) j j ) j j!0 j j & j j. Recuerde que y lo icimos en el cítulo!0 C!0 j j!0!0. /.! 0 C ) > 0 ) j j ) j j!0 C!0!0

4 4 4 Cálculo iferencil e Integrl I Entonces, j j!0 j j j j ) no eiste )!0 C!0 ) g 0.0/ no eiste ) l derivd de g en 0 0 no eiste. Por lo tnto l función g no es derivble en 0 0. En 0 l gráfic de l función tiene un ico. En culquier otro unto sí es derivble. g 0./ si > 0. Pues Por lo que g./ g./ j j j j g 0 g././! si está cerc de ero g./!. g 0./ si < 0. Pues g./ g./ j j C j j. /. / si está cerc de ero. Por lo que g 0 g././! g./! Conocemos l gráfic de g./ j j y g./ j j g 0./ g 0./ g 0.0/ no eiste Ejemlo 5..5 Si g./ g 0. 3/ y g 0./. C, clculr g 0./ r R. Clculr tmbién, usndo lo nterior,

5 5 5. L derivd de un función 5 H Clculmos el cociente diferencil g. C / g./ C. C / C. C / Œ C. C / Œ C. C /. C /. C /. C C C / Œ C. C /. C / C Œ C. C /. C /. / Œ C. C /. C / Œ C. C /. C / si 0 Œ C. C /. C / Así g 0 g. C / g././!0!0 Œ C. C /. C /. C / ( ) Hemos demostrdo, or lo tnto, que en todo unto Œ; g./ ; de l gráfic de l C función g, l endiente de l rect tngente vle g 0./. C /. Concluimos con esto que g 0./ Usndo este resultdo. C / r R. g 0. 3/. 3/ Œ C. 3/ 6 I g 0./ Est tngente tiene endiente g 0. 3/ 6 y Est tngente tiene endiente g 0./

6 6 6 Cálculo iferencil e Integrl I 5.. L regl de los cutro sos Considerndo l definición de l derivd de y f./ en 0 f 0 f./ f. 0 / f. 0 C / f. 0 /. 0 /!0 0!0!0 ; se uede decir que, r obtener l derivd de f en 0, tenemos que clculr. f./ o bien f. 0 C / demás de f. 0 /.. El incremento de l función f./ f. 0 / f. 0 C / f. 0 / 3. El cociente de incrementos o cociente diferencil 4. El ite del cociente diferencil f./ f. 0/ f. 0 C / f. 0 / 0!0 f./ f. 0 / f. 0 C / f. 0 /! 0 0!0 A este roceso r clculr l derivd de un función lgunos utores lo denominn l regl de los cutro sos". Ejemlo 5..6 Utilizndo l regl de los cutro sos, clculr l derivd de l función H f./ C 7 en Utilizmos l iguldd f 0./!0!. f./ C 7. f./ f./.. f./ f./ C 7/ C 7/ / 5. / 6. / 3. f./ f./ / 5. / 6. / 4. /. C C / 5. /. C / 6. /. / 4. C C / 5. C / 6 r

7 7 5. L derivd de un función 7 4.!0 f./ f./! Œ4. C C /! 5. C / 6 4. C C / 5. C / / 5./ Entonces, f 0./!0 0 6 r culquier R. Ejemlo 5..7 Medinte l regl de los cutro sos, clculr f 0./ r f./. H Pr clculr f 0./ en un f rbitrrio utilizremos l iguldd. f. C / C. f 0./!0!0 f. C / f./. f. C / f./ C. 3. f. C / f./ C. 4.!0!0 f. C / f./ C!0 ( C!0. C /. /!0. C C /!0!0!0. C /. /. C C / C C. C C /. C C /!0 C C C C C C C )

8 8 8 Cálculo iferencil e Integrl I Entonces, Por lo tnto,!0!0 f 0./ f. C / o bien d d f./ y y y f./ y = f 0./ Est derivd eiste r cd >. Aunque f Œ; C/, observe que f no está definid l izquierd de y or lo tnto no tiene sentido clculr l derivd de f en 0, ues no tiene sentido clculr el ite!0 Ejercicios 5.. Soluciones en l ágin 0!0 f. C / f./. Se./ 3 3 C. Usndo l definición de l derivd, clculr 0./. Clculr tmbién, usndo lo nterior, 0.0/ sí como 0.8/.. Utilizndo l regl de los cutro sos, clculr l derivd de l función f./ 4 3 en.. b.. c. 3. Obtener demás d. L ecución de l rect tngente l gráfic de f en el unto P de bscis ; e. L ecución de l rect norml l gráfic de f en el unto Q de bscis Pr l función g./, y medinte l regl de los cutro sos, determinr. g 0./. b. g 0 ( 5 ).

9 9 5. L derivd de un función 9 c. g 0.3/. Obtener demás d. L ecución de l rect tngente l curv y en el unto P de bscis 5 ; e. L ecución de l rect norml l curv y en el unto Q de bscis 3.

10 0 0 Cálculo iferencil e Integrl I Ejercicios 5.. L derivd de un función, ágin 8. 0./ 9 ;.3 C / / 4 ; 0.8/ f 0./ 4 3 ; b. f 0./ 3 ; c. f 0. 3 / 3; d. rect tngente y 3 C 4 3 ; e. rect norml y g 0./ b. g 0. 5 / ; c. g 0.3/ 5 ; ; d. rect tngente y C 3 4 ; e. rect norml y 5 C 4 5.

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