TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)

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Eva López Espejo
hace 7 años
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1 .. Problems de plicciones de máimos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores etremos en los llmdos: problems de plicciones o problems de optimizción. Aunque los ejemplos son esencilmente geométricos, ellos ilustrn un procedimiento generl. Antes de enumerr los psos que se deben seguir l bordr problems que incluyen etremos bsolutos, se enunci sin demostrción, un teorem, conocido como el criterio de l segund derivd, el cul permite, en lgunos csos, determinr, de un mner ms fácil, si un punto crítico ddo corresponde un máimo o un mínimo reltivo. TEOREMA (Criterio de l segund derivd pr etremos reltivos) Se f un función dos veces derivble en un intervlo bierto I, se c un punto de I, tl que f ' ( c ). Entonces: i. Si f ' ' ( c ), entonces, f present un máimo reltivo en c. ii. Si f ' ' ( c ), entonces, f present un mínimo reltivo en c. Observción: Si f ' ' ( c ), entonces, l nturlez del punto crítico c no qued determind, como lo ilustrn los siguientes csos: L función, f () =, stisfce: f () = y f () =. Sin embrgo, f () present un mínimo reltivo en = (fig.. ()).

2 fig..

3 Igulmente, l función: g () = -, stisfce: g () = y g () =. Sin embrgo, g () present un máimo reltivo en = (fig.. (b)). Tmbién, l función, h () =, stisfce: h () = y h () =, pero h () es creciente en todo el eje rel y no present etremo reltivo en = (fig.. (c)). En lo que sigue se considerrán lgunos problems cuy solución es un etremo bsoluto de un función definid en un intervlo cerrdo. Se hce uso del teorem de l sección. (Teorem de los vlores etremos), el cul grntiz l eistenci de un vlor máimo bsoluto y de un vlor mínimo bsoluto de un función continu en un intervlo cerrdo. Se enumern continución lgunos psos que son útiles l bordr un problem de est nturlez.. Hcer hst donde se posible un dibujo indicndo ls vribles que intervienen en el problem.. Determinr l función mimizr o minimizr si como el intervlo en el cul está definid.. Utilizr l informción del problem pr epresr l función obtenid en el pso., en términos de un sol vrible.. Utilizr l regl práctic dd en l observción l teorem de l sección pr encontrr etremos bsolutos. Se ilustr el procedimiento nterior con lgunos ejemplos. Ejemplo. Los puntos A y B están situdos uno frente l otro y en ldos opuestos de un rio recto de mts. de ncho. El punto D está mts. de B y en su mism orill. (fig..). Un compñí de teléfonos dese tender un cble desde A hst D. Si el costo por metro de cble es el % ms cro bjo el gu que por tierr. Cómo se debe tender el cble, pr que el costo totl se mínimo?.

4 fig.. Solución: Se Q el punto sobre l mism orill y un distnci de B donde termin el trmo de cble bjo el gu. Se puede definir hor ls constntes y vribles del problem: : distnci de B Q; y: distnci de A Q; (longitud de cble bjo el gu). : distnci de Q D; (longitud de cble por tierr). (const): costo por metro de cble por tierr. (const): costo por metro de cble por gu.. P : costo totl (función minimizr). De cuerdo l teorem de Pitágors, y (). Ahor, l función costo totl viene dd por:

5 ) ( y C (). Sustituyendo () en (), l función costo totl puede escribirse en términos solmente de l vrible sí: ) ( ) ( C ; con (dominio de C ()). ) ( ) ( / C () Como C () es un función continu en un intervlo cerrdo, C () lcnz un vlor máimo y un vlor mínimo en [, ]. Al derivr en () e igulr cero, se obtienen los puntos críticos: ) ( ) ( ' / C / y como /. De donde =. Asi que = es el único punto crítico y de cuerdo l criterio de l segund derivd, corresponde un mínimo reltivo (verifíquelo). En consecuenci, el mínimo bsoluto es el menor entre los siguientes vlores: C (), C () y C (). C 97 ( ) Esto signific geométricmente, que el cble se tir desde A hst B bjo el gu y desde B hst D por tierr, implicndo un gsto de 97 pesos. (fig.. ())

7 fig.. C ( ) Esto indic geométricmente, que el punto Q coincide con D, y en este cso el cble se tiende directmente desde A hst D por gu, demndndo un gsto totl de pesos.. (fig.. (b)). C ( ) 8. Esto signific que si el punto Q está mts. de B y se tiende el cble bjo el gu desde A hst Q y por tierr desde Q hst D, demndrí un gsto de 8 pesos, menor, pr l compñí que los dos nteriores. (fig.. (c)). Ejemplo. Un lmbre de cm. de longitud, se cort en dos prtes formndo con un de ells un círculo y con l otr un cudrdo. Cómo debe ser cortdo el lmbre pr que:. L sum de ls áres de ls dos figurs se máim. b. L sum de ls áres de ls dos figurs se mínim.

8 Solución: Supóngse que el lmbre se prte un distnci de uno de sus etremos. Si es l longitud de l circunferenci, entonces es el perímetro del cudrdo. (fig..) fig.. Por lo tnto, el rdio de l circunferenci es y el ldo del cudrdo es. Si A () es l función que represent l sum de mbs áres, se tiene entonces: A( ) ( ) ; () Puesto que A () es un función continu en el intervlo [, ], entonces, eiste un vlor máimo y un vlor mínimo de A () en [, ]. Al derivr () e igulr cero, se obtienen los puntos críticos. En efecto:

9 A' ( ) ( )( ) intervlo 8 [, ] (Porqué?). es el único punto crítico y pertenece l Además, por el criterio de l segund derivd, dicho vlor corresponde un mínimo reltivo. Ahor, los vlores máimo y mínimo de A () está entre los vlores: A (), A () y A. Pero, A () ( ) A ( ) ( ) A Como, entonces, desiguldd, se deduce que: y de est últim A A() A( ). De est form, l últim desiguldd indic que el áre máim se obtiene pr =, o se, no prtiendo el lmbre y formndo con el un circunferenci, mientrs que el áre mínim se obtiene prtiendo el lmbre un distnci de uno de sus etremos, y, formndo con est primer prte un circunferenci y con l prte restnte un cudrdo. Ejemplo. Se dispone de un crtulin cudrd de ldo y se quiere hcer un cj sin tp recortndo cudrdos igules en ls esquins y doblndo sus ldos. Cuál debe ser l

10 longitud del ldo del cudrdo que se recort pr que el volumen de l cj se máimo? Cuál es el volumen de l cj?. Solución: Se : longitud del ldo del cudrdo que se recort en cd un de ls esquins (fig.. ()), donde. fig.. Al doblr l prte de crtulin restnte, se form l cj biert que prece en l fig.. (b). Ahor, volumen de l cj = áre de l bse ltur. Esto es, V ( ) ( ) ; (). Puesto que V () (función mimizr) es un función continu en el intervlo,, entonces V () lcnz un vlor máimo y un vlor mínimo en dicho intervlo. Al derivr V () en () e igulr cero, se obtienen los puntos críticos. En efecto: V ' ( ) 8 ( )( )

11 puntos críticos Pr nlizr l nturlez de los puntos críticos, se us el criterio de l segund derivd. Asi, V 8 ) ( ' ' 8 ' ' V, lo cul indic que corresponde un mínimo reltivo. (interprete geométricmente el resultdo). 8 ' ' V, lo cul indic que corresponde un máimo reltivo. En consecuenci, el volumen máimo se obtiene recortndo en ls esquins de l crtulin cudrdos de ldo y se obtiene de est form un cj cuyo volumen viene ddo por: 7 V. Ejemplo. Dos psillos de y 9 pies de ncho están unidos en ángulo recto (Ver fig..). Encuentre l longitud de l brr rect ms lrg que puede psrse horizontlmente de un psillo otro por un esquin. Solución: Supóngse que l brr puede psr horizontlmente, cundo esté en l posición como prece en l figur djunt.

12 Si (rdines) denot el ángulo que form l brr con el psillo menor, entonces será el ángulo que form con el psillo myor. L longitud desed es l longitud L mínim de l brr. L AC AB BC (). En el triángulo APB se tiene: sec AB 9 AB 9 sec () En el triángulo BQC se tiene: csc BC BC csc () Sustituyendo () y () en () se obtiene l función mimizr: L ( ) 9 sec csc () ; / Note que L cundo ó (Porqué?) Luego, L ' ( ) 9 sec. tn csc. cot (R.D. y )

13 L ' ( ) 9 cos sen cos sen cos sen 9 sen cos cos sen tn cos cos sen cos tn sen 9 sen sen () cos cos Asi que L' ( ) tn tn Ahor, el signo de.78 (Rd.) L ' solo depende del signo del fctor tn. Pr ello, considere l gráfic de l función tngente (fig..7 ()) y en l cul se h señldo el vlor de tn pr. 78.

14 fig..7 A l izquierd de. 78, tn, con lo cul, tn tn L'. A l derech de. 78, tn, con lo cul, tn tn L'. Del nálisis nterior, se deduce que. 78 (Rd.) corresponde un mínimo reltivo de L() y cuy gráfic se prece l de l fig..7 (b). Esto signific que el vlor mínimo bsoluto de L (y por lo tnto, l longitud máim de l vrill en cuestión) es: L.78 9 sec.78 csc.78 Un procedimiento lgebráico, pr obtener el vlor ecto de L es el siguiente:

15 Como, sec tn / / / / y, csc cot / / / / Se tiene que: L 9 sec csc 9 / / / / / / / / / / / (fctor común) / / / / / / / / problem. / / es l longitud de l brr que cumple ls condiciones del

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