Estabilidad de los sistemas en tiempo discreto

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1 Estbilidd de los sistems en tiempo discreto En tiempo discreto tmbién se puede hblr de estbilidd de estdo y de estbilidd de entrd slid de form similr l empled pr los sistems en tiempo continuo. Podemos probr: Estbilidd de estdo Estbilidd de entrd slid

2 Estbilidd de estdo de los sistems en tiempo discreto Con u =, podemos observr que pr que el sistem se estble sintóticmente de estdo según Lypunov, l mtri Φ debe extinguirse sintóticmente cundo A d. x A d x A d B d u Esto es l norm Φ A d debe tender cero cundo. Φ

3 con ˆ A V Vdig V Φ V d L condición será stisfech cundo todos los modos i se extinguen. Lo nterior implic que todos los vlores propios i de l mtri A d deben ser menores que lo que se expres en l condición. i condición necesri y suficiente pr estbilidd sintótic en tiempo discreto λ i i,,..., n

4 Criterios de estbilidd de estdo prtir de los coeficientes de l e. c. p Método de Jury det I - Ad p n n n n Se bs en el rreglo de Jury, que tiene n-3 fils donde n es el orden del polinomio crcterístico en tiempo discreto. Los coeficientes i se rregln dos fils Se clculn ls fils por pres hst obtener un fil con solo tres coeficientes. Se comprn ls mgnitudes de los coeficientes determinr l estbilidd del sistem.

5 Tbl pr evlur el criterio de estbilidd de Jury Arreglo de Jury Fil... n- n- n... n- n- n n n- n b b b... b n- b n- 4 b n- b n- b n-3... b b 5 c c c... c n- 6 c n- c n-3 c n-4... c n-5 r r r r 3 n-4 r 3 r r r n-3 s s s

6 Criterio de estbilidd de Jury Todos los ceros del polinomio crcterístico tienen mgnitud menor que uno exctmente si ls siguientes condiciones son stisfechs: El polinomio crcterístico evludo en es myor que cero p El polinomio crcterístico evludo en - es positivo pr polinomios de orden pr y negtivo pr polinomios de orden impr. - n p 3 El coeficiente n del polinomio crcterístico debe ser positivo y myor que el vlor bsoluto del coeficiente. n

7 4 Todos los coeficientes clculdos de l column iquierd en ls fils impres del rreglo deben tener un mgnitud myor que el coeficiente más l derech de l mism fil. b c b n c n s s

8 Psos pr l prueb de Jury Pruebe primero ls condiciones, y 3. Clcule los coeficientes del rreglo de Jury de l siguiente form y evlúe l condición 4 con ellos. det b n n det b n n n n b det det b b b b c n n n n b b b b c det NOTA: Y que el coeficiente s del rreglo de Jury no se emple pr determinr l estbilidd, no es necesrio clculrlo.

9 Eemplo : Probr l estbilidd de estdo del sistem. p Procedemos probr ls tres primers condiciones p n p n Ls tres condiciones primers fueron stisfechs por lo que procedemos clculr los coeficientes del rreglo de Jury y probr l condición 4.

10 Eemplo : Arreglo de Jury Fil Pruebs X L condición 4 no es stisfech pues no se cumple que s s en l últim fil del rreglo. Por lo tnto el sistem es inestble.

11 Método de estbilidd de Routh- Hurwit en tiempo discreto Se reli un trnsformción bilinel del plno l plno w, que es similr l plno s. L trnsformción l plno w se efectú l sustituir cd ocurrenci de l vrible en el polinomio crcterístico. w w Se plic l polinomio en w el criterio de Routh-Hurwit.

12 Estbilidd de entrd slid de los sistems en tiempo discreto SISO x = u T y Slid y pr un entrd u con condiciones iniciles cero. Si l entrd u es itd entonces l slid y debe estr itd. u y u y

13 Sumtori de convolución Si hcemos el estdo inicil cero, l slid será. u u y d T d B Φ c u g y Tomndo el vlor bsoluto u g y

14 Reemplndo los vlores bsolutos de y y u por sus límites u g y u g y y u g y g Conclusión: Pr tener estbilidd de entrd slid l sumtori de g debe tener un límite.

15 L condición pr estbilidd de entrd slid en sistems continuos g t dt Conclusión: Pr probr l estbilidd de entrd slid en tiempo discreto podemos usr los mismos criterios que pr probr l estbilidd de estdo en tiempo discreto. Método: Se reempl l vrible por en l fil superior del rreglo de Jury y en el polinomio crcterístico, que es el polinomio denomindor de l función de trnsferenci G y se procede l prueb de estbilidd de estdo

16 Eemplo : Encuentre el vlor de K pr grntir l estbilidd de E/S. T Y R K K K p.37 K K Ddo que se trt de un sistem de segundo orden, n-3 =, con n > ; ls condiciones de estbilidd pueden simplemente escribirse como: p p p n

17 Eemplo : cont. Probmos entonces l estbilidd de entrd slid pr el sistem. p.64 K K p.74. K K K 5.7 K. 33 n Conclusión: Pr que el sistem en tiempo discreto se estble K.33

18 Eercicio Con un controldor proporcionl de gnnci vrible K, se cre un sistem reentdo unitrimente pr l plnt G, con T =.s. Pruebe l estbilidd de estdo. Solución : -.6 < K <.58 G =

19 Error de estdo estcionrio en tiempo discreto Aplicmos el teorem del vlor finl en tiempo discreto l trnsmitnci de error T E o l trnsmitnci equivlente direct G E. e r y E T R e r y T E D G E R + E - D G Y Sistem en tiempo discreto con reentción unitri.

20 Error de estdo estcionrio nte un entrd esclón Pr l entrd esclón en tiempo discreto r = A, l entrd esclón en Z es A R. Aplicndo el teorem del vlor finl tenemos: G D A T R E e E G D A G D A e

21 Coeficiente de error de posición K p Hcemos K P D G G E K P es el coeficiente de error de posición y G E es l trnsmitnci direct equivlente. El error de estdo estcionrio normlido nte esclón, utilindo K p es: e SS normlido e A K P

22 Error de estdo estcionrio nte un entrd rmp Pr l entrd rmp en tiempo discreto dd por r = AT; l entrd rmp en Z será T A R. G D T A e G D T A G D T A e

23 Coeficiente de error de velocidd K v Hcemos G T G D T K E V K V es l constnte de error de velocidd; por lo que el error de estdo estcionrio normlido nte un rmp, usndo K v es: V o normlid SS K e

24 Error de estdo estcionrio nte un entrd prbólic L entrd de prueb prbólic en tiempo discreto que vmos plicr es r = ½AT, entonces l entrd prbólic correspondiente en Z es 3 T A R. 3 G D T A e G D T A G D T A e

25 Coeficiente de error de celerción K Hcemos G T G D T K E K es l constnte de error de celerción y en consecuenci, el error de estdo estcionrio normlido, nte un entrd prbólic es: o normlid SS K e

26 Tipo de sistem En tiempo discreto el tipo de sistem se define como el número de fctores - del numerdor de T E o el número de fctores - del denomindor de G E. Si i es el exponente de T pr l entrd de prueb en tiempo discreto, entonces l constnte de error es K i y se clcul de l mner siguiente: G T G D T K E i i i pr i =,,,...

27 Error normlido generlido de estdo estcionrio Error normlido generlido de estdo estcionrio Tipo/entrd Esclón i = r = A K P Rmp i = r = AT K V Prábol i = r =½AT K

28 Eemplo 3: Error de estdo estcionrio nte entrd esclón G E ; T.s Primero verificmos l estbilidd del sistem en lo cerrdo evlundo el polinomio crcterístico + KG E p.597 K K.67 Se trt de un sistem de segundo orden, n-3 =, con n =.597 >.

29 Eemplo 3: cont. Probmos entonces l estbilidd de entrd slid pr el sistem. p K K. 5 p K K K.67 n K.867 Conclusión: Pr que el sistem en tiempo discreto se estble.5 K.867

30 Imginry Axis Eemplo 3: Lugr de ls ríces Grficmos el lugr de ls ríces pr G E.5 Root Locus.5.6/T.5/T.4/T.7/T.3/T...3.8/T.4./T /T.8./T.9 /T /T.9/T./T -.5.8/T./T -.7/T.6/T.5/T.4/T.3/T Rel Axis

31 Eemplo 3: Ess normlido Un ve confirmd l estbilidd de lo cerrdo, procedemos clculr el error de estdo estcionrio pr K =. El sistem es tipo cero y por lo tnto el error estcionrio nte entrd esclón es finito y se clcul el coeficiente de error K P. e SS normlido K P G E Resultdo: e ss = 3.5%

32 Eercicio : Encontrr el error de estdo estcionrio normlido Encuentre el error de estdo estcionrio nte esclón y rmp pr el sistem ddo G E.385 ; T.s Primero verificmos l estbilidd del sistem en lo cerrdo evlundo el polinomio crcterístico + KG E 3 p. 3473* * K*. 949K Se trt de un sistem de orden 3, n-3 = 3, con n = >.

33 Probmos entonces l estbilidd de entrd slid pr el sistem. p -.e * K K 3 p K K K.4493 n.867 K 4.94 Como el sistem es de orden tres debemos hor relir el rreglo de Jury

34 Arreglo de Jury pr el eercicio Fil 3.949K K K K s s s Conclusión: Pr que el sistem en tiempo discreto se estble, tomndo en cuent tods ls condiciones tenemos que: K.687 Ahor se de l lector resolver el problem de error de estdo estcionrio pr un vlor de K =.4.

35 Eercicio 3: Encontrr el e ss pr l plnt del eercicio Se hn determindo los límites de l gnnci K, pr grntir l estbilidd del sistem reentdo unitrimente pr l plnt G, con T =.. Encuentre el error de estdo estcionrio nte entrds normlids de prueb esclón y rmp pr los vlores de gnnci K = y K = 5. Solución: G = Gnnci/Entrd Esclón Rmp K = e ss = + G =.375 K = 5 No existe No existe

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