Tema 3. DETERMINANTES

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1 Tem. DETERMINNTES Definición de determinnte El determinnte de un mtriz cudrd es un número. Pr l mtriz, su determinnte se denot por det() o por. Pr un mtriz de orden,, se define: Ejemplo: Pr un mtriz de orden,, definimos: Si clculmos cd determinnte de orden y ordenmos por signos, se obtiene: Resultdo que puede recordrse fácilmente con l regl de Srrus, que esquemtizmos sí: Productos con signo positivo Productos con signo negtivo Ejemplo: ( ) ( ) () () plicndo l regl de Srrus, se tendrí:. José Mrí Mrtínez Medino

2 Menor complementrio y djunto de un elemento El menor complementrio, M ij, del elemento ij de l mtriz ( ij ) n n es el determinnte de l mtriz de orden n, que result l suprimir l fil i y l column j de l mtriz. El djunto del elemento ij de l mtriz ( ij ) n n i j es ij ( ) M ij. Pr l mtriz, los menores complementrios de los elementos de l primer fil son: M ; M ; M Pr l mism mtriz, los djuntos de los elementos de l segund fil son: ; ; NOTS:. El djunto es el menor con signo más o menos. Los signos de los djuntos se vn lternndo, como indicmos en l tbl djunt:. Los determinntes se pueden desrrollr por l fil o column que se desee. Su vlor es l sum de los elementos de es fil o column por sus respectivos djuntos. Determinntes de orden y superior Teniendo en cuent l definición de menor complementrio, y lo hecho pr determinntes de orden, el cálculo de un determinnte de orden se hce como sigue: Generlizndo, el cálculo de un determinnte de orden n se hce medinte clculndo determinntes de orden n. Ddo que este proceso es muy engorroso convendrá desrrollr por l fil o column que teng más ceros. Ejemplo: ( ) () (). José Mrí Mrtínez Medino

3 José Mrí Mrtínez Medino Determinntes que vlen Un determinnte vle si todos los elementos de un fil son ceros. Ejemplo. Un determinnte vle si tiene dos fils o dos columns igules. Ejemplo. ( ) Un determinnte vle si tiene dos fils o columns proporcionles. Ejemplo. ( ) Un determinnte vle si un fil o column es combinción linel de otrs. Ejemplo. ( ) lguns propieddes de los determinntes. El determinnte de un mtriz es igul l de su trspuest: t. Est propiedd permite plicr todo lo dicho pr fils columns. Ejemplo.. Si se intercmbin entre sí dos fils de un determinnte, su vlor es el mismo cmbido de signo. Ejemplo., pero. Un determinnte no vrí si un fil se le sum o rest otr fil culesquier. Ejemplo. NOT: l hcer los cmbios nteriores hemos conseguido que prezcn ceros en l primer column; est estrtegi fcilit mucho los cálculos del determinnte.

4 OJO: Un ERROR frecuente puede ser el siguiente: El error consiste en sustituir l por. sí se multiplic l primer fil por, lo que multiplic por el resultdo del determinnte.. Si los elementos de un fil se multiplicn por un número, el determinnte de l mtriz qued multiplicdo por ese mismo número. Esto es: det(,,..., n) det(,,..., n) Est propiedd permite scr fctor común por fils en un determinnte. Ejemplo. (-) ( ) ( sle de ; de ). Si ( ij ) n n Ejemplo: Si, entonces:. n. Es fácil ver que y. Esto es:. El determinnte de un producto de mtrices es el producto de sus determinntes: B B álculo práctico de determinntes L plicción de ls propieddes nteriores fcilit el cálculo del determinnte de un mtriz. omo y hicimos en lgún ejemplo nterior, lo más interesnte es hcer en lgun fil o column el máximo número de ceros. Pr ello es conveniente pivotr sobre lgún elemento fácil de multiplicr ( o son los más cómodos). Ejemplo:. El último determinnte es más cómodo de clculr; le seguimos plicndo el método: José Mrí Mrtínez Medino

5 José Mrí Mrtínez Medino Rngo de un mtriz Hy tres definiciones (equivlentes) de rngo de un mtriz: ª. Es el número de vectores fil linelmente independientes de es mtriz. (El rngo de un mtriz es el número de fils no nuls que tiene dich mtriz.) ª. Es el número de vectores column linelmente independientes de es mtriz. ª. Es el orden del myor menor no nulo. El rngo puede clculrse emplendo culquier de ls definiciones nteriores, pero, pr myor fcilidd, conviene mezclrls y seguir un proceso similr l que indicmos continución: ) Eliminr fils o columns proporcionles o que dependn linelmente de otrs. b) Hcer el máximo número de ceros en lgun fil o column. sí se descubren más fácilmente ls posibles dependencis lineles entre fils o columns. c) Buscr un menor distinto de cero y del myor orden posible. Ejemplos:. Vemos que el rngo de l mtriz es. (Puedes intentr ver combinciones lineles entre sus fils y columns). Pr eliminr ls fils o/y columns sobrntes hremos ceros en l primer column: omo rngo () Hy fils linelmente independientes.. Determinemos el rngo de según los vlores del prámetro :. Trnsformmos l mtriz inicil: se rest l column ª ls demás, como se indic. Obvimente hy menores de orden que son distintos de cero. Por ejemplo. Vemos los menores de orden :, que es nulo si ;, que vle si Por tnto, el rngo de siempre será. (Si, el º menor es distinto de cero; si, el primer menor es distinto de cero; si ±, mbos menores son no nulos.)

6 Invers de un mtriz Un mtriz es invers de si I, siendo I l identidd del mismo orden. L mtriz invers se clcul plicndo l siguiente fórmul: ( ) t ij, ( ) L mtriz ( ) ij es l djunt de l mtriz ( ) complementrio del elemento ij. i ij, siendo j ij ) M ij ( y M ij el menor Ejemplos:. Pr l mtriz se tiene que ; en consecuenci, existe. Los djuntos son: ; ; ; ; ; ; L mtriz djunt es: ( ) t Luego: ( ) ij ij omprobmos que I y. Vmos comprobr que l mtriz ( y) y no tiene invers pr ningún y vlor rel de y. Un mtriz no tiene invers cundo su determinnte vle. Por tnto, hbrá que ver que ( y). En efecto, plicndo ls propieddes de los determinntes: y y y ( y) y y fils igules. y y y y, pues tiene dos José Mrí Mrtínez Medino

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