MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES.

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1 DP. - AS Mteátics ISSN: X 5 6 MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES. () Define rngo de un triz. () Un triz de tres fils y tres coluns tiene rngo tres, cóo vrí el rngo si quitos un colun? Si supriios un fil y un colun, podeos segurr que el rngo de l triz resultnte vldrá dos? Rzon ls respuests. Dd l ecución se pide: () Rzon que es polinóic de grdo. () Otener, sin desrrollr el deterinnte, sus soluciones. Rzonr ls respuests. () Producto de trices: definición, condiciones pr su relizción. Si A M n (triz de fils y n coluns), B M np y C M qr, qué condiciones deen de cuplir p, q y r pr que ls operciones que se indicn continución puedn ser efectuds y cuál es el orden de l triz resultnte? () ACB () A(B+C) () Siendo A = B con A y B trices cudrds de orden, dee ser necesriente A = B? (i) Definir rngo de un triz eplicndo cd concepto que interviene en l definición. (ii) Se A un triz cudrd de orden cuyo rngo es, se lterrá el rngo de dich triz si los eleentos de un de sus coluns se les sun los correspondientes de otr de sus coluns? Rzon l respuest. Aplicndo propieddes de los deterinntes (y sin desrrollr ni plicr l regl de Srrus) responder rzondente ls siguientes pregunts: (i) Cóo vrirá el deterinnte de un triz de orden sí se ultiplic cd eleento ij de l triz por l epresión i j? (ii) L triz, de orden, A = ( ij ) con ij = i + j, tiene invers? ( ij es el eleento de l triz A, perteneciente l fil i y colun j ) Aplicndo ls propieddes de los deterinntes y sin utilizr l regl de Srrus, clculr rzondente ls ríces de l ecución polinóic. Enuncir ls propieddes utilizds. P() = = J99 S99 J995 S995 J996 S Dds ls trices: M = 7 8, N = k (i) Averigur pr qué vlores de k eiste lgun triz P que cupl: N = PM (ii) Tiene sentido hlr de l eistenci de l triz invers de MN t, pr todo k R? Si eiste pr k =, hllrl. (N t = trspuest de N). (i) Si A es un triz tl que A = I, se deduce que A = I? En cso firtivo, prorlo, y en cso negtivo, proponer un ejeplo clrtorio. (ii) Si A = I, deostrr que A es inversile, y clculr, en función de A, su invers. (iii) Pror que si AB = A y BA = B, entonces A = A. (I es l triz unidd) J997 S997

2 Ael Mrtín Dd l identidd tricil X = (i) Cuáles son ls diensiones de un triz solución de l identidd nterior? (ii) Clculr su solución. (iii) Es únic l solución? Rzon ls respuests. 5 6 (i) Define triz tringulr superior y clcul su deterinnte (ii) Hllr tods ls trices tringulres superiores, de orden dos, que verificn que su cudrdo es l triz identidd. (i) Deterin un triz A pr que el siste hoogéneo AX = se equivlente l ecución tricil: (, y, z) = (, ) (ii) Clcul ls soluciones de ódulo uno. Justific ls respuests. Se A = (i) Cuándo el deterinnte de A es el seno de lgún núero rel? (ii) Clculr l invers de A cundo eist. (iii) Deterin todos los pres (, ) pr los que A coincide con su invers. λ Se A = λ donde λ es un núero rel. (i) Hll los vlores de λ pr los cules A no tiene invers. (ii) Clcul el vlor de R pr el que l triz A tiene deterinnte. (i) Clcul tods ls trices digonles de orden dos que coincidn con su invers. (ii) Si A es un de ess trices, clcul su cudrdo. Se A = c d (i) Clcul ls trices que verificn l relción A = A + I, (donde I es l triz identidd y A represent el deterinnte de A. (ii) Clcul tods ls trices digonles, que no tengn invers y que verificn l relción nterior. (iii) Se verific pr culquier pr de trices B y C l relción B + C = B + C? Si no es cierto, pon un contrejeplo. Justific tods ls respuests. Se A un triz n () Eiste un triz B tl que BA se un triz fil? Si eiste, qué orden tiene? () Se puede encontrr un triz B tl que AB es un triz fil? Si eiste, qué orden tiene? (c) Busc un triz B tl que BA = ( ) siendo A = J998 S998 J999 J999 S999 J S J Mtrices. Mtriz invers. Deterinntes.

3 DP. - AS Mteátics ISSN: X 7 Se l ecución tricil ABA = C. () Qué orden tiene l triz solución B? () Resuelve l ecución cundo A = y C = S 8 9 () Deterinr l triz X pr que teng solución l ecución C(A + X) B = I, donde A, B y C son trices no singulres de orden n e I l triz unidd de orden n. () Aplicr el resultdo nterior pr A = B = C = NOTA: Mtriz singulr es quell de deterinnte nulo. Se l triz A = () Clculr el vlor de su deterinnte en función de. () Encontrr su invers, si eiste, cundo = Sen ls trices A = y B = 5 () Clculr ls trices C y D tles que AC = BD = I, siendo I l triz identidd de orden. () Discutir y resolver el siste (C - - D - ) = y trices C y D indicds en el prtdo nterior. si C - y D - son ls inverss de ls () Si A es un triz no singulr y (B - C)A =, siendo l triz nul, copror que B = C. 6 () Según el resultdo del prtdo nterior, cundo A =, l únic triz X que verific l ecución XA = es l triz nul. Es ciert est firción? NOTA: Mtriz singulr es quell de deterinnte nulo. Se A = () Clcul su invers, si eiste. () Encontrr l regl de cálculo de ls sucesivs potencis A n de A. (c) Resolver l ecución X(A + A A) = Dds ls trices A = C = () Pr qué vlores de l triz A posee invers. () Clcul l invers de A pr el vlor = - D = (c) Qué diensiones dee tener un triz B pr que l ecución tricil A B = C D teng sentido. Clcul B pr el vlor = -. J S S J S J

4 Ael Mrtín Dds ls trices A = 6 6 B = () Discute el rngo de A según los vlores de () Qué diensiones h de tener l triz X pr que se posile l ecución AX = B? (c) Clcul X pr = Resuelve ls siguientes ecuciones en l vrile S 5 () = () = J5 6 Si l triz A= deterinntes? d g e h () c f tiene deterinnte k. Cuáles son los vlores de los siguientes i d g e h f c i () + d + e g + h e h c f i S Dd l triz A = donde es un núero rel. Hll: () Los vlores de pr los que l triz A pose invers. () L invers de A pr =. (c) Con = 5, el vlor de R pr que l triz A teng deterinnte. Sen ls trices A = k k, B = () Estudi, en función de vlores reles de k, si l triz B A tiene invers () Lo iso pr l triz A B Sen ls trices A = y B = + () Estudi, en función de, el rngo de ls trices A y B. () Clcul, pr = -, l triz X que verific A X = B. Se l triz A = () Coprue que verific que A - I =, con I triz Identidd y O triz nul. () Clcul A (c) Bsándose en los prtdos nteriores y sin recurrir l cálculo de inverss hll l triz X que verific l iguldd A X + I = A J6 S6 J7 BC S7 Mtrices. Mtriz invers. Deterinntes.

5 DP. - AS Mteátics ISSN: X y Se considern ls trices A = y y B = (,, ) y C = (,, ) z z () Hlle los vlores de, y, z, pr los que A no tiene invers. () Deterine los vlores de pr los que el siste B A = C tiene solución. (c) Resuelv el siste nterior cundo se posile. Se consider un triz cudrd A de orden tres que verific l ecución A = 6A 9I, donde I = () Eprese A coo coinción linel de I y A. () Estudie si l triz B = 6 verific l ecución B = 6B 9I Deterine si B tiene invers y, si l tiene, clcúlel. J8 S8 Se considern ls trices P = () Según los vlores de R, estudie el rngo de P. () Pr el cso =, hlle X tl que P X = Q. y Q = J9 Ddo el núero rel, se consider l triz A = () Hll los vlores de pr los que l triz A tiene invers. () Pr =, hll, si eiste, l invers de A. (c) Pr =, clcul el vector X que verific AX = B siendo B = S9 5

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