1. DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN DE MATRICES

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Andrés Miguélez Araya
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1 Mtrices.

2 . DEFINICIÓN Y CLSIFICCIÓN DE MTRICES Ls mtrices son utilizds por primer vez hci el ño por Jmes Joseph Sylvester. El desrrollo inicil de l teorí mtricil se debe l mtemático británico Willim Rown Hmilton en. En el mtemático rthur Cyley introduce l notción mtricil como un form brevid de escribir un sistem de m ecuciones lineles con n incógnits. Ls mtrices se utilizn en cálculo numrico, solución de sistems de ecuciones lineles, ecuciones diferenciles y derivds prciles. demás de su utilidd pr el estudio de sistems de ecuciones lineles, ls mtrices precen de form nturl en geometrí, estdístic, economí, informátic, físic, etc.

3 L utilizción de mtrices (rreglos, rrys) constituye ctulmente un prte esencil en los lengujes de progrmción, y que l myorí de los dtos se introducen en ls computdors como tbls orgnizds en fils y columns : hojs de cálculo, bses de dtos, etc. Se denomin mtriz de orden m n todo conjunto rectngulr de elementos ij dispuestos en m línes horizontles (fils) y n verticles (columns): i... m i... m ij m-n-... n n in... mn

4 En nomencltur mtricil, ls mtrices se les denot con un letr myscul, []( ij ), con i,,..., m, j,,..., n. Los subíndices indicn l posición del elemento dentro de l mtriz, el primero denot l fil (i) y el segundo l column (j). El elemento, por ejemplo, es el elemento de l fil y column. Dos mtrices son igules cundo tienen l mism dimensión y los elementos que ocupn el mismo lugr en mbs son igules. tendiendo su form, ls mtrices se clsificn en: Mtriz fil: Es un mtriz que solo tiene un fil, m y por tnto es de orden n. [... ]... n [ - 9 ]

5 Mtriz column: Es un mtriz que solo tiene un column, es decir, n y por tnto es de orden m. -,... m m -

6 Mtriz cudrd: Es quell que tiene el mismo nmero de fils que de columns, es decir m n. En estos csos se dice que l mtriz cudrd es de orden n, y no n n.... n... n n n... nn Los elementos ij con i j, o se ii formn l digonl principl de l mtriz cudrd.

7 tendiendo los elementos, se pueden identificr los siguientes tipos de mtrices: Mtriz nul: es quell que todos sus elementos son. [ ] Mtriz digonl: Es un mtriz cudrd, en l que todos los elementos no pertenecientes l digonl principl son nulos. -

8 Mtriz esclr: Es un mtriz digonl cuyos elementos pertenecientes l digonl principl son igules. Mtriz unidd o identidd: Es un mtriz esclr con los elementos de l digonl principl igules.

9 Mtriz tringulr: Es un mtriz cudrd cuyos elementos que están un mismo ldo de l digonl principl son cero. Pueden ser de dos tipos: - 9 Tringulr superior: Si los elementos que están por debjo de l digonl principl son todos nulos. Es decir, ij " i<j. Tringulr inferior: Si los elementos que están por encim de l digonl principl son todos nulos. Es decir, ij "j<i

10 Mtriz trnspuest: L mtriz trnspuest de ( es un mtriz culquier), se represent por t. Est se obtiene cmbindo fils por columns. L primer fil de es l primer column de t, l segund fil de es l segund column de t, etc. De l definición se deduce que si es de orden m x n, entonces t es de orden n m. x - 9 t x - 9

11 Mtriz simtric: Un mtriz cudrd es simtric si t, es decir, si ij ji " i, j Mtriz ntisimtric: Un mtriz cudrd es ntisimtric si t, es decir, si ij ji " i, j.

12 . OPERCIONES CON MTRICES. Trnsposición de mtrices. Dd un mtriz de orden m x n, ( ij ), se llm mtriz trspuest de, y se represent por t, l mtriz que se obtiene cmbindo ls fils por ls columns (o vicevers) en l mtriz. - 9 Propieddes de l trnsposición de mtrices. Dd un mtriz, siempre existe su trnspuest y demás es nic.. ( t ) t. - 9 t

13 Sum y diferenci de mtrices. L sum de dos mtrices ( ij ), B(b ij ), es otr mtriz S(s ij ) del mismo orden que los sumndos y con trmino genrico s ij ij b ij. Por tnto, pr poder sumr dos mtrices ests deben ser del mismo orden o dimensión. L sum de ls mtrices y B se denot por B B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B

14 Propieddes de l sum de mtrices. ( es l mtriz nul). Propiedd conmuttiv: B B. Propiedd socitiv: (B C) ( B) C. Mtriz opuest: Es l mtriz que se obtiene cmbindo todos los signos de l mtriz, se denot con. L sum de un mtriz con su opuest es cero, (-). L diferenci de mtrices y B se represent por B, y se define como: B ( B).

15 Ejercicio : dds ls mtrices, B y C clculr ls siguientes operciones: C B ) B b) -B-C c) B-C 9

16 Producto de un mtriz por un nmero. El producto de un mtriz ( ij ) por un nmero rel k es otr mtriz B (b ij ) de l mism dimensión que y tl que cd elemento b ij de B se obtiene multiplicndo ij por k, es decir, b ij k ij. Si k y Bk, 9 B ( ) ( ) ( 9) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) El producto de l mtriz por el nmero rel k se design por k. l nmero rel k se le llm tmbin esclr, y este producto, producto de esclres por mtrices.

17 Propieddes del producto de un mtriz por un esclr. Propiedd distributiv: k ( B) k k B (k h) k h (k y h son esclres). Propiedd socitiv mixt: k [h ] (k h). Elemento unidd: Propieddes simplifictivs. C B C Û B.. k k B Û B si k es diferente de.. k h Û h k si es diferente de.

18 Producto de mtrices. Dds dos mtrices y B, su producto es otr mtriz P cuyos elementos se obtienen multiplicndo ls fils de por ls columns de B elemento elemento. Es evidente que el nmero de columns de debe coincidir con el nmero de fils de B. Es más, si tiene dimensión m n y B dimensión n r, l mtriz P será de orden m r. p ij n å k ik b kj i,... m j,... r x - B x 9

19 å \ k kj ik ij x x x b c B C b b b b c k k k å b b b b c k k k å ( ) ( ) ( ) 9 c ( ) ( ) ( ) 9 - c C, j i - 9-9

20 Result más sencillo comprender el producto de mtrices prtir de vrios ejemplos: ) 9 ( ) ( ) ( 9 x x x ) ( ) ( ) ( ) ( x x x

21 Propieddes del producto de mtrices. (B C) ( B) C. El producto de mtrices en generl no es conmuttivo ¹ Si es un mtriz cudrd de orden n se tiene I n I n (I n es l mtriz identidd de orden n).. Dd un mtriz cudrd de orden n, no siempre existe otr mtriz B tl que B B I n. Si existe dich mtriz B, se dice que es l mtriz invers de y se represent por.. El producto de mtrices es distributivo respecto de l sum de mtrices, es decir: (B C) B C

22 Consecuencis de ls propieddes. Si B no implic que ó B.. Si B C no implic que B C. 9. En generl (B) ¹ B B,y que B ¹ B.. En generl (B) ( B) ¹ B, y que B ¹ B.

23 Ejercicio: ver todos los productos posibles con ls siguientes mtrices y clculrlos:, B, C M x, B M x, C M x, solo posibles los siguientes productos: B x x x C 9 x x x C B x x x

24 Ejercicio : multiplicr B y B, Qu ocurre? 9 B B 9 B 9

25 Mtrices invertibles. Un mtriz cudrd que posee invers se dice que es invertible. Propieddes de ls mtrices invertibles..l mtriz invers, si existe, es nic I.( B) - B - -.( - ) -.(k) - (/k - ).( t ) ( - ) t Observción. Existen mtrices que cumplen B I, pero que B ¹ I, en tl cso, se dice que es l invers de B por l izquierd o que B es l invers de por l derech.

26 El mtodo más sencillo pr el cálculo de l invers lo veremos en el tem siguiente, cundo definmos el determinnte de ls mtrices. Pr mtrices x podemos clculr l invers prtir de l definición: Ejemplo: t y z x t y z x t z y x t z y x Tenemos ecuciones con incógnits, que podemos gruprls en dos sistems de dos ecuciones con dos incógnits: () xz () yt () xz () yt Ls soluciones son x/, y-/, z-/ y t/, con lo que

27 Ejercicio - - c b d I

28 ) t z y x! () z b) t z y x! c) t z y x! Solución xt y/ z! / / Luego l mtriz no tiene invers, No es invertible

29 Resolución de ecuciones. Tenemos que obtener l mtriz incógnit, que generlmente se denot como X, emos despejándol que de l obtener iguldd. Pr conseguirlo l mtriz tenemos incógnit ls siguientes regls: ) Si un mtriz está sumndo un ldo de l iguldd ps restndo l otro ldo de l iguldd y l revs. XBC! XC-B X-BC! XCB ) Si multiplicmos un mtriz por l izquierd un ldo de l iguldd tmbin lo tenemos que hcer en el otro ldo de l iguldd por l izquierd. Igul por l derech. XB! - X - B!Id X - B! X - B X B! X - B -! X IdB -! XB -

33 Resumen de propieddes. Multiplicción de mtrices:. ( B C) B C. ( B) C C BC. ( BC) ( B) C. α( B) ( α) B ( αb).. n n n n n Sum de mtrices y multiplicción de un esclr por un mtriz:. B B B C B C. ( ) ( ). α( B) α αb. ( α β) α β. α( β) ( αβ).. ( ) BI I B B. En generl, B B (l multiplicción no es conmuttiv). B no implic necesrimente que ó B 9. B C no implic necesrimente que B C Donde es l mtriz nul

34 ) Propieddes de l invers:.. ( ) es nic. ( ) B B. ( ) α. ( n ) ( ) α α n. ( T ) ( ) T Propieddes de l trnspuest:. ( T ) T. ( ) T T T B B. ( ) T T T B B. ( ) T T α α

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