3º.- Junio i) Producto de matrices: definición, condiciones para su realización. Si A M m n. (la matriz A tiene m filas y n columnas), B M n p
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- María Rosario Ávila Castro
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1 IES EL PILES SELECTIVIDD OVIEDO DPTO. MTEMÁTICS Mtrices deterinntes Mtrices deterinntes. Ejercicios de Selectividd. º.- Junio 99. i) Define rngo de un triz. ii) Un triz de tres fils tres coluns tiene rngo tres, cóo puede vrir el rngo si quitos un colun?. Si supriios un fil un colun, podeos segurr que el rngo de l triz resultnte vldrá dos?. Rzon ls respuests. º.- Septiebre 99. Dd l ecución f ( ). Se pide: i) Rzonr que es polinóic de grdo. ii) Obtener, sin desrrollr el deterinnte, sus soluciones. Rzon ls respuests. º.- Junio 995. i) Producto de trices: definición, condiciones pr su relizción. Si M n (l triz tiene fils n coluns), B M n p C M q r, qué condiciones deben cuplir p, q r pr que ls operciones que se indicn continución puedn ser efectuds cuál es el orden de l triz resultnte?: ) CB ; b) ( B C). ii) Siendo B necesriente B?. con B trices cudrds de orden dos, debe ser º.- Septiebre 995. ) Definir rngo de un triz eplicndo cd concepto que interviene en l definición. b) Se un triz cudrd de orden cuo rngo es, se lterrá el rngo de dich triz si los eleentos de un de sus coluns se les sun los correspondientes de otr de sus colus?. Rzon l respuest. 5º.- Junio 996. plicndo propieddes de los deterinntes ( sin desrrollr ni plicr l regl de Srrus) responder rzondente ls siguientes pregunts: i) Cóo vrirá el deterinnte de un triz de orden si se ultiplic cd eleento ij de l triz por i j?. ii) L triz, de orden, ( ) con ij i j, tiene invers?. ij ( ij es el eleento de l triz perteneciente l fil i colun j ) 6º.- Septiebre 996. i) Definir rngo de un triz eplicndo cd concepto que interviene en l definición. ii) Clculr, según los vlores de, el rngo de l triz
2 IES EL PILES SELECTIVIDD OVIEDO DPTO. MTEMÁTICS Mtrices deterinntes Rzon ls respuests. 7º.- Junio Dds ls trices M ; N. k i) verigur prqué vlores de k eiste lgun triz P que cupl, N PM. t ii) Tiene sentido hblr de l eistenci de l triz invers M N, pr todo k R?. Si eiste pr k, hllrl. t ( N trspuest de N ) 8º.- Septiebre 997. plicndo ls propieddes de los deterinntes sin utilizr l regl de Srrus, probr que z [( z) ]( z ) z indicndo en cd pso ls propieddes que hs utilizdo. z z. 9º.- Junio 998. Dd l identidd tricil X 5 6. Cuáles son ls diensiones de un triz solución de l identidd nterior?.. Clcul un solución.. Es únic l solución?. Rzon ls respuests. º.- Septiebre Define triz tringulr superior clcul su deterinnte.. Hll tods ls trices tringulres superiores, de orden dos, que verificn que su cudrdo es l triz identidd. º.- Junio 999. λ Se λ donde λ es un núero rel. i) Hll los vlores de λ pr los cules no tiene invers. ii) Clcul el vlor de b R pr el que l triz b tiene deterinnte. º.- Septiebre 999.
3 IES EL PILES SELECTIVIDD OVIEDO DPTO. MTEMÁTICS Mtrices deterinntes Se b i) Cuándo el deterinnte de es el seno de lgún núero rel?. ii) Clcul l invers de cundo eist., b pr los que coincide con su invers. iii) Deterin todos los pres ( ) º.- Junio. i. Clcul tods ls trices digonles de orden dos que coinciden con su invers. ii. Si es un de ests trices, clcul su cudrdo. b º.- Septiebre. Se c d i. Clcul ls trices que verificn l relción I. ( I es l triz identidd represent el deterinnte de ). ii. Clcul tods ls trices digonles, que no poseen invers que verificn l relción nterior. iii. Se verific pr culquier pr de trices B C l relción B C B C?. Si no es cierto pon un contrejeplo. 5º.- Junio. Se un triz n ) Eiste un triz B tl que B se un triz fil? Si eiste, qué orden tiene? b) Se puede encontrr un triz B tl que B es un triz fil? Si eiste, qué orden tiene? c) Buscr un triz B tl que B ( ) siendo 6º.- Septiebre Se l ecución tricil B C. ) Qué orden tiene l triz solución B? b) Resuelve l ecución cundo C 7º).- Junio. ) Deterinr l triz X pr que teng solución l ecución C ( X ). B I, donde, B C son trices no singulres de orden n e I l triz identidd de orden n. b) plicr el resultdo nterior pr, B C
4 IES EL PILES SELECTIVIDD OVIEDO DPTO. MTEMÁTICS Mtrices deterinntes NOT: Mtriz singulr es quell de deterinnte nulo. 8º) Septiebre Se l triz ) Clculr el vlor de su deterinnte en función de. b) Encontrr su invers si eiste, cundo 9º) Septiebre Sen ls trices 5 B ) Clculr ls trices C D tles que CBDI, siendo I l triz identidd de orden. b) Discutir resolver el siste ( ) D C si C D son ls inverss de ls trices C D indicds en el prtdo nterior. º) Junio ) Si es un triz no singulr ( ) C B, siendo l triz nul coprobr que BC b) Según el resultdo del prtdo nterior, cundo 6, l únic triz X que verific l ecución X es l triz nul. Es ciert est firción? Por qué? NOT: Mtriz singulr es quell de deterinnte nulo. º) Septiebre -9- Se. Clculr su invers, si eiste. b. Encontrr l regl de cálculo de ls sucesivs potencis n de. c. Resolver l ecución ( ) X. Junio Dds ls trices C D. Pr qué vlores de l triz posee invers? (,75 puntos) b. Clcul l invers de pr el vlor - (,75 puntos)
5 IES EL PILES SELECTIVIDD OVIEDO DPTO. MTEMÁTICS Mtrices deterinntes 5 c. Qué diensiones debe tener un triz B pr que l ecución tricil D C B teng sentido? Clcul B pr el vlor - ( punto). Septiebre Dds ls trices 6 6 B. Discute el rngo de según los vlores de. ( pto.) b. Qué diensiones h de tener l triz X pr que se posible l ecución XB (,5 pto) c. Clcul X pr.. Junio 5 Resuelve ls siguientes ecuciones en l vrible. (,5 puntos) b. (,5 puntos) 5. Septiebre 5 Si l triz i h g f e d c b tiene deterinnte k Cuáles son los vlores de los siguientes deterinntes?. i h g c b f e d (,5 puntos) b. i h h g f e e d c b b (,5 puntos) 6. Junio 6 Dd l triz donde es un núero rel. Hll:. Los vlores de pr que l triz pose invers. ( punto) b. L invers de pr ( punto) c. Con 5, el vlor de R b pr que l triz b. teng deterinnte. (,5 puntos)
6 IES EL PILES SELECTIVIDD OVIEDO DPTO. MTEMÁTICS Mtrices deterinntes k 7. Septiebre 6 Sen ls trices k, B. Estudi, en función de vlores reles de k, si l triz B. tiene invers ( punto) b. Lo iso pr l triz. B (,5 puntos) 8. Junio 7 Sen ls trices B α α α. Estudi, en función de α el rngo de ls trices B.( punto) b. Clcul, pr α, l triz X que verific X B (,5 puntos) 9. Septiebre de 7 Se l triz. Coprobr que verific I O, con I triz identidd O triz nul ( punto) b. Clcul (,75 puntos) c. Bsándose en los prtdos nteriores sin recurrir l cálculo de inverss hll l triz X que verific l iguldd X I (,75 puntos). Junio 8 Se considern ls trices, B ( α,,) C (,,). z z. Hll los vlores,, z, pr los que no tiene invers (,75 puntos) b. Deterine los vlores de α pr los que el siste B C tiene solución ( punto) c. Resuelv el siste nterior cundo se posible. (,75 puntos). Septiebre 8 Se consider un triz cudrd deorden tres que verific l ecución 6 9I donde I. Eprese coo cobinción linel de I. ( punto) b. Estudie si l triz B 6 verific l ecución B 6B 9I. Deterine si B tiene invers, si l tiene, clcúlel. (,5 puntos) 6
7 IES EL PILES SELECTIVIDD OVIEDO DPTO. MTEMÁTICS Mtrices deterinntes 7. Junio 9 Se considern ls trices P Q. Según los vlores de R, estudie el rngo de P ( punto) b. Pr el cso, Hlle X tl que Q X P (,5 puntos). Septiebre 9 Ddo el núero rel, se consider l triz. Hll los vlores de pr que l triz tiene invers (.75 puntos) b. Pr, clcule el vector X que verifique B X siendo B (.75 puntos). Junio Dd l triz. Clcule los vlores de pr los que l triz I no tiene invers (,5 puntos) b. Clcule, si eiste, l invers de l triz I ( punto) Not: I es l triz identidd de orden 5. Junio Dd l triz. Resuelve l ecución ( ) det. (,5 puntos) b. Clcule el rngo de l triz según los vlores de. ( punto) Not: ( ) det denot el deterinnte de l triz. 6. Septiebre Dd l triz M. Hlle, si eiste, l triz invers de M. ( punto) b. Clcule l triz X que cuple M M M X (,5 puntos) 7. Septiebre Dd l triz
8 IES EL PILES SELECTIVIDD OVIEDO DPTO. MTEMÁTICS Mtrices deterinntes. Clcule el deterinnte de. ( punto) b. Indique los vlores de pr los que tiene triz invers.(,5 puntos) c. Hlle, si eiste, l triz invers de cundo. ( punto) 8
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