Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales I: Bases y coordenadas. Aplicaciones lineales.

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1 UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUEA POITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 009/10 PRÁCTICA Nº9 Espcios vectoriles y Aplicciones ineles I: Bses y coordends. Aplicciones lineles. Recordemos que llmmos vector un elemento de un espcio vectoril. En el cso en que dicho espcio se n, los vectores serán n-upls y los introduciremos en Mthemtic como un list formd por n elementos de. Así, por ejemplo el vector v = (1,, 3) de 3, lo escribiremos: v={1,-,3}; Pr culquier otro espcio vectoril V sobre, de dimensión n, utilizremos su identificción con n trvés de ls coordends respecto de un determind bse. Por ejemplo, el polinomio p(x) = 3x + x + de P () lo identificmos con (,1,3) pues ésts son sus coordends respecto de l bse cnónic {1, x, x }. 1. BASES Y COORDENADAS 1.1. INDEPENDENCIA INEA En un espcio vectoril V, un conjunto finito de vectores se dice linelmente independiente si el vector cero se escribe de form únic como combinción linel de dichos vectores y, por tnto, con esclres cero. Pr espcios de dimensión finit, esto puede trducirse en el estudio de los sistems homogéneos que tienen como mtriz de coeficientes quell en l que sus columns son ls coordends, respecto de un determind bse (elegiremos siempre que se posible l cnónic), de los vectores que estmos estudindo. El teorem de Rouché-Frobenius nos permite deducir que un conjunto de r vectores es linelmente independiente si y sólo si el rngo de l mtriz cuys columns son ls coordends de los vectores respecto de un bse, es igul l número de vectores. Por ejemplo, si queremos estudir l dependenci o independenci linel de los vectores de 3 v = (1, 0, 0) y w = ( 1, 1, 0), escribiremos: {{1,0,0},{-1,1,0}}; MtrixForm[RowReduce[Trnspose[]]] Out[]= i 1 0y 0 1 j z k 0 0{ Así, el rngo es, igul l número de vectores, y el conjunto es linelmente independiente. 1.. BASE Y COORDENADAS RESPECTO DE UNA BASE Sbemos que un bse de un espcio vectoril V es un conjunto de vectores linelmente independiente y que demás es un sistem de generdores de dicho espcio. Durnte est práctic tomremos como ejemplo V = 3 cuyos elementos son terns (x, y, z) con cd un de sus componentes en. Como ejemplo consideremos l siguiente bse de 3 : - 1 -

2 B 1 = {(1, 0, 1), ( 1, 1, 0), (0, 1, 1)} PRÁCTICAS DE ÁGEBRA INEA DE ÁGEBRA II s bses ls introducimos en Mthemtic como mtrices, es decir, como list de lists siendo cd un de sus componentes uno de los vectores de l bse: b1={{1,0,0},{-1,1,0},{0,1,-1}}; Pr probr si dichos vectores formn bse de 3 y como conocemos l dimensión del espcio que es 3, nos bstrá con ver que son linelmente independientes, pues como sbemos tres vectores linelmente independientes en un espcio de dimensión 3 formn bse. Pr ver que son linelmente independientes bst con clculr su determinnte, si es distinto de cero formn bse y si es cero son linelmente dependientes y no formn bse. Det[b1] Out[]= -1 Por tnto, B 1 es bse de 3. s coordends de un vector respecto de un bse se pueden clculr medinte l resolución de un sistem de ecuciones. Consideremos el vector v de 3 con coordends (4, 1, ) respecto de l bse cnónic, vemos cuáles son sus coordends respecto de l bse B 1. s coordends buscds serán los números x, y, z tles que: (4, 1, ) = x(1, 0, 0) + y( 1, 1, 0) + z(0, 1, 1) es decir, l solución del sistem: x 4 1 y = 1 1 z con mtriz de coeficientes quell cuys columns son ls coordends de los vectores de l bse y cuyo vector de términos independientes es el vector v. En Mthemtic: v={4, 1, -}; vb1=inersolve[trnspose[b1], v] Out[]= {3,-1,} Comprobemos que ésts son ls coordends del vector v respecto de l bse B 1 : Out[]= v==sum[vb1[[i]]b1[[i]],{i,3}] 1.3. CAMBIO DE BASE Supongmos que tenemos dos bses B 1 y B de un espcio vectoril, nos proponemos encontrr l mtriz del cmbio de bse B 1 B, que nos permite clculr ls coordends de culquier vector respecto de B, conocids ls coordends de dicho vector respecto de B 1. Como sbemos l mtriz del cmbio de bse es l mtriz regulr que tiene por columns ls coordends de los vectores de l primer bse, B 1 respecto l segund bse, B. Como ejemplo consideremos ls bses de 3 B 1 = {(1,0,1),(-1,1,0),(0,1,-1)} B = {(1,0,-1),(,1,0),(-1,1,1)} En primer lugr introducimos ls bses en el Mthemtic y comprobmos que relmente lo son: - -

3 PRÁCTICAS DE ÁGEBRA INEA DE ÁGEBRA II b1={{1,0,0},{-1,1,0},{0,1,-1}}; Det[b1] Out[]= -1 b={{1,0,-1},{,1,0},{-1,1,1}}; Det[b] Out[]= - Teniendo en cuent lo nterior, l mtriz del cmbio de bse de B 1 B se puede construir como sigue: P = Trnspose[Tble[inerSolve[Trnspose[B],B1[[i]]],{i,1,3,1}]]; MtrixForm[P] Out[]= Un vez construid l mtriz del cmbio de bse es inmedito obtener ls coordends del vector v = (4, 1, -) respecto de l bse B conocids ls coordends del mismo respecto de B 1. Por l práctic nterior introducimos el vector y clculmos sus coordends respecto de B 1 : v = {4, 1, -}; vb1 = inersolve[trnspose[b1], v] Out[]= {3,-1,} Pr clculr ls coordends respecto de l nuev bse, utilizremos el cmbio de bse, con lo que bst con multiplicr dich mtriz por el vector vb1: vb= P.vb1 Out[]= {,1,0} Podemos comprobr que el cmbio de bse se h relizdo stisfctorimente trnsformndo mbos vectores sus coordends respecto de l bse cnónic de 3 pr lo cul solo hy que sumr los productos de cd un de ls componentes del vector v1 por el respectivo elemento de l bse: Sum[v1[[i]]*b1[[i]],{i,1,3}] == Sum[v[[i]]*b[[i]],{i,1,3}]. APICACIONES INEAES Ddos V y V dos espcios vectoriles sobre un cuerpo, un plicción f: V V se dice que es un plicción linel si verific: 1. f(u + v) = f(u) + f(v), u, v V.. f(αu) = αf(u), α, u V. En Mthemtic trbjremos con ls coordends de los vectores respecto de un bse y no con los vectores. Pr definir un plicción linel debemos de seguir ls regls hbitules de Mthemtic: nombre[vrible_]:= expresión - 3 -

4 PRÁCTICAS DE ÁGEBRA INEA DE ÁGEBRA II Teniendo en cuent que en este cso tendremos como vrible un vector y como expresión otro vector: Ejemplo. Definir en Mthemtic l plicción linel f: 3 4 dd por f(x, y, z) = (x, x + y, 3x + y z, y + 5z) y clculr f(3,,1): f[{x_,y_,z_}]:={x,x+y,3x+y-z,y+5z}; f[{3,,1}] {6, 5, 10, 7} En l práctic pr estudir si f es plicción linel se suele usr l definición l siguiente crcterizción: plicción f: V V es linel si, y solo si, Estudimos si l plicción nterior es linel. f(αu + βv) = αf(u) + βf(v), α, β ¼, u, v V. f[{x_,y_,z_}]:={x,x+y,3x+y-z,y+5z}; Simplify[f[*{x1,y1,z1}+b*{x,y,z}]]== Simplify[*f[{x1,y1,z1}]+b*f[{x,y,z}]] Ejemplo. Estudir si l plicción g: 3 dd por g(x, y, z) = (xy, x + y) es linel. g[{x_,y_,z_}]:={x*y,x+y}; Simplify[g[*{x1,y1,z1}+b*{x,y,z}]] == Simplify[*g[{x1,y1,z1}] + b*g[{x,y,z}]] {(x + b x1), (x + b x1 + y + b y1)} == { x + b x1, x + b x1 + y + b y1}.1. EXPRESIÓN MATRICIA DE UNA APICACIÓN INEA Se f: V V un plicción linel y se B = {e 1, e,..., e n } un bse de V. Entonces f está totlmente determind por ls imágenes de los vectores de B, es decir, f(e 1 ), f(e ),..., f(e n ), pues ddo un vector x de V de coordends x ª (x 1,...,x n ) B, entonces, f(x) = f(x 1 e x n e n ) = x 1 f(e 1 ) x n f(e n ) Se hor B ={u 1,..., u m } bse de V y consideremos ls coordends de los vectores f(e 1 ),..., f(e n ) respecto de B : De est form se tiene: f(e 1 ) ª ( 11,, m1 ) B f(e ) ª ( 1,, m ) B f(e n ) ª ( 1n,, mn ) B f(x) ª ( 11 x n x n, 1 x n x n,..., m1 x mn x n ) B Ahor bien, si denotmos ls coordends de f(x) por f(x) ª (y 1,..., y m ) B, entonces se obtiene: y 1 = 11 x n x n - 4 -

5 PRÁCTICAS DE ÁGEBRA INEA DE ÁGEBRA II y = 1 x n x n y m = m1 x mn x n o mtricilmente: y y M y 1 m 11 1 = M m1 1 M m O 1n x1 n x M M mn xn Est expresión recibe el nombre de ecución mtricil de un plicción linel f respecto de ls bses B y B. mtriz 11 1 A = M m1 1 M m O 1 n n, M mn recibe el nombre de mtriz socid f respecto de ls bses B y B que denotremos por A = M B,B (f). (Notr que el número de columns es igul l dimensión de V y su número de fils igul l dimensión de V ). Así, pr clculr l mtriz socid podemos dividirlo en dos psos: Pso 1: Clculmos ls imágenes de los vectores de l bse B de V: f(e 1 ),..., f(e n ). Pso : Clculmos ls coordends de lo obtenido en el pso nterior respecto de l bse B de V. Recordemos que si f es un endomorfismo, V =V, l bse B de V se tom como B. Ejemplo. Clculr l expresión mtricil de l plicción linel f: 3 4 dd por f(x, y, z) = (x, x + y, 3x + y z, y + 5z) respecto de ls bses B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} y B = {(1,, 3, 0), (, 4, 6, 1), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)}. f[{x_,y_,z_}]:={x,x+y,3x+y-z,y+5z} B= {{1,1,1},{1,1,0},{1,0,0}}; Bp={{1,,3,0},{,4,6,1},{1,0,0,0},{0,1,0,0}}; A= Trnspose[Tble[ inersolve[trnspose[bp], f[b[[i]]]],{i,1,3}]]; MtrixForm[A] REACIÓN ENTRE EXPRESIONES MATRICIAES ASOCIADAS A A MISMA APICACIÓN INEA RESPECTO DE DISTINTAS BASES Se f: V V un plicción linel con n = dim(v), m = dim(v ), y consideremos B y B bses de V y B y B bses de V, si A es l mtriz socid f respecto de B y B y C es l mtriz socid f respecto de B y B, se tiene que C y A son mtrices equivlentes, demás C = Q -1 AP, donde P es l mtriz del cmbio de bse en V de B B y Q es l mtriz del cmbio de bse en V de B B. En el cso prticulr de un endomorfismo y tomndo l mism bse en el espcio de prtid y en el de llegd, l relción entre A y C es C = P -1 AP. Dos mtrices cudrds A y C pr ls que existe un mtriz regulr P de form que C = P -1 AP se dice que son semejntes

6 PRÁCTICAS DE ÁGEBRA INEA DE ÁGEBRA II Proposición. 1. Dos mtrices son equivlentes si, y solo si, son mtrices socids l mism plicción linel respecto de distints bses.. Dos mtrices son semejntes si, y solo si, son mtrices socids l mismo endomorfismo respecto de distints bses. Ejemplo. Comprobr l relción entre l mtriz socid f respecto de ls bses nteriores y l mtriz socid f respecto de ls bses cnónics. f[{x_,y_,z_}]:={x,x+y,3x+y-z,y+5z} Bc3= IdentityMtrix[3]; Bc4=IdentityMtrix[4]; c= Trnspose[Tble [f[bc3[[i]]],{i,1,3}]]; B= {{1,1,1},{1,1,0},{1,0,0}}; Bp={{1,,3,0},{,4,6,1},{1,0,0,0},{0,1,0,0}}; A= Trnspose[Tble[ inersolve[trnspose[bp], f[b[[i]]]],{i,1,3}]]; P=Trnspose[Tble[inerSolve[Trnspose[B],Bc3[[i]]],{i,3}]]; Q=Trnspose[Tble[inerSolve[Trnspose[Bp],Bc4[[i]]],{i,4}]]; Inverse[Q].A.P==c.3. OPERACIONES CON APICACIONES INEAES Y REACIÓN CON AS MATRICES ASOCIADAS Ddos V y V dos espcios vectoriles sobre un cuerpo, denotremos por Hom (V, V ) l conjunto de tods ls plicciones lineles de V en V. En este conjunto se podemos definir operciones sum y producto por esclr de l form: Dds f, g Hom (V, V ) y λ se define ls plicciones lineles: f + g: V V ; (f + g)(u) = f(u) + g(u) λf: V V ; (λf)(u) = λf(u) Dds plicciones lineles f: V V y g: V V, su composición g ë f: V V definid por (gë f)(x) = g(f(x)) es tmbién linel. Vemos cómo l signción un plicción linel de su mtriz socid se comport bien respecto ls operciones con plicciones lineles: Proposición. Sen V, V y V espcios vectoriles sobre de dimensiones finits, B, B y B bses de V, V y V respectivmente y f, g: V V y h: V V plicciones lineles, entonces se tiene: 1. M B,B (f + g) = M B,B (f) + M B,B (g).. M B,B (λf) = λm B,B (f), pr todo λ. 3. M B,B (h ë f) = M B,B (h) M B,B (f). Ejemplo. Clculr ls mtrices socids f, g y h respecto de ls bses cnónics y comprobr l proposición nterior, siendo: f: 3 3 dd por f(x, y, z) = (x + y, 3x + y z, y + 5z). g: 3 3 dd por g(x, y, z) = (x, y + z, x + y). h: 3 4 dd por h(x, y, z) = (x, x + y, 3x + y z, y + z)

7 PRÁCTICAS DE ÁGEBRA INEA DE ÁGEBRA II f[{x_,y_,z_}]:={x+y, 3x+y-z, y+5z} g[{x_,y_,z_}]:={x, y+z, x+y} h[{x_,y_,z_}]:={x-z, x+y, 3x+y-z, y+z} s[{x_,y_,z_}] = f[{x,y,z}] + g[{x,y,z}]; p[{x_,y_,z_}] = 3*f[{x,y,z}]; c[{x_,y_,z_}] = h[f[{x,y,z}]]; B= IdentityMtrix[3]; Af = Trnspose[Tble [f[b[[i]]],{i,1,3}]]; Ag = Trnspose[Tble [g[b[[i]]],{i,1,3}]]; Ah = Trnspose[Tble [h[b[[i]]],{i,1,3}]]; As = Trnspose[Tble [s[b[[i]]],{i,1,3}]]; Ap = Trnspose[Tble [p[b[[i]]],{i,1,3}]]; Ac = Trnspose[Tble [c[b[[i]]],{i,1,3}]]; Af + Ag ==As 3*Af ==Ap Ah.Af ==Ac - 7 -

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