LA RECTA DEL PLANO P O L I T E C N I C O 1 ECUACIÓN VECTORIAL Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS

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1 L Rect del Plno Mtemátic 4º Año Cód P r o f. M r í d e l L u j á n M r t í n e z P r o f. J u n C r l o s B u e P r o f. M i r t R o s i t o P r o f. V e r ó n i c F i l o t t i Dpto. de Mtemátic

2 LA RECTA DEL PLANO ECUACIÓN VECTORIAL Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS L rect en el plno como lugr geométrico Ddos un punto un vector no nulo, l rect T prlel u que ps por p es el lugr geométrico de los puntos p p tles que p o p // u o p p o o. u Recordr: Lugr geométrico (L.G.) es el conjunto de todos los puntos solo quellos puntos, que stisfcen un o más condiciones dds. T p p o u De l definición nterior, podemos concluir: p T pp //u o pp o pp u; R A l epresión () ecución vectoril de l rect T prlel u Observción: () que ps por p. Pr distintos vlores reles de se obtienen distintos puntos p rect. En prticulr pr obtenemos el punto. p pertenecientes l Fijdo un sistem o; i; j, en él un punto u u ; u, pr todo p ; un vector no nulo punto u p ; perteneciente l rect T prlel que ps por pp p result: u; R T p u ; u ; u ; u ; u j de donde: u ; R u i p P O L I T E C N I C O

3 L rect del plno, el plno l rect del espcio. Mtemátic Es decir: u T) u ; R () Coordends del punto de pso Prámetro Componentes esclres del vector dirección A l epresión () l llmmos ecuciones prmétrics de l rect T que ps por p es prlel l vector u. Ejemplo: Ddos el punto b(-; 3) el vector u ( ; 4), determin: ) l ecución vectoril de l rect A que tiene l dirección de u ps por b. b) ls ecuciones prmétrics de A c) los puntos de l mism pr los siguientes vlores del prámetro: ; ; 3 d) si t(4 ;5) pertenece A e) pr que vlores de se obtendrán los puntos simétricos de los nteriores con respecto b Solución: ) l ecución vectoril es ; 3 ;4 con R b) Ls ecuciones prmétrics de A son : 3 4 ; R 5 c) Si = b ( 3; 7); si = b ; 5 si =- 3 b ; d) Reemplzndo el punto en l rect A, result = 6 4 ; R por lo tnto el punto t no pertenece l 5 34 = rect A. P O L I T E C N I C O

4 e) Pr ; ; 3 se obtendrán los puntos simétricos del prtdo nterior; que si b b bb. ' b es el simétrico de b, con respecto b, entonces ECUACIÓN CANÓNICA Se un rect T dd por sus ecuciones prmétrics: u u () ; (b) R Suponiendo u u u u Igulndo () (), obtenemos: distintos de cero, despejndo () ; R () de () de (b), result: u u A est últim epresión l llmmos ecución cnónic de l rect T. PROBLEMAS ) Determin l ecución cnónic de l rect que: u ; 5 ) es prlel l vector contiene l punto 6; 4 b) ps por los puntos 5; 4 b 3; c) es perpendiculr l vector n 8; -3 ps por el origen de coordends ) Dds ls rects R) ; R T), determin: ) un vector prlelo T b) si son prlels c) un punto de R otro de T d) l distnci del punto ; l rect T ECUACIÓN CARTESIANA Se l rect T dd por su ecución cnónic (3) u u P O L I T E C N I C O 3

5 L rect del plno, el plno l rect del espcio. Mtemátic Trbjndo lgebricmente en (3) result: u u u u u u u u u u u u u u (4) Si reemplzmos en (4) u por ; u por b u u por c, obtenemos: b c A est últim epresión l llmmos ecución crtesin de l rect T dd por los coeficientes directores b. Notemos que: el vector ;u b; l rect. u es el que d l dirección de l rect, pues es prlelo el vector verific que ;b b; b b, por lo tnto es perpendiculr b;. Entonces en l ecución crtesin de un rect, los coeficientes de e, en ese orden, dn ls componentes de un vector perpendiculr l mism. En prticulr: ;b Si u ;u o se u // j. Ls distints ecuciones de un rect prlel u ;u (prlel l eje ) que pse por ; son: prmétrics: ; R u u, result que crtesin ;b 4 P O L I T E C N I C O

6 Si, l rect es prlel l eje sus ecuciones son: u prmétrics: ; R u crtesin Definición: Dds ls constntes ; b; c R con no simultánemente nuls, se llm ecución linel en dos vribles e l epresión: b c donde b son los coeficientes c es el término independiente. Teniendo en cuent l definición nterior, result: Ejemplos: L ecución de un rect es un ecución linel en dos vribles. ) Ddo el punto p; 4 el vector v 8; 6, determin l ecución crtesin de l rect R que ps por p es prlel l vector v. Solución: Como v 8; 6 // R (6; 8) R, es decir (; b) = (6;8) reemplzndo en l ecución: b c result b 6 8 c pero p R 6. 8.(-4) c c, luego : 6 8 es l ecución de l rect R, o lo que es lo mismo, su equivlente : 3 4 P O L I T E C N I C O 5

7 L rect del plno, el plno l rect del espcio. Mtemátic b) Hll l ecución crtesin de l rect T perpendiculr l vector n ; 3 contiene l origen de coordends. Solución: Como n ; 3 T, reemplzndo en: b c result que - 3 c como (; ) T - 3. c c, luego : - 3 es l ecución crtesin de l rect T, o su equivlente - 3 PROBLEMAS 3) L rect M tiene como ecuciones prmétrics: ; R, determin. 3 ) Un punto perteneciente M. b) Un vector prlelo dich rect. c) El gráfico de M. d) Ls coordends de los puntos de intersección de M con los ejes coordendos. 4) ) Escribe ls ecuciones prmétrics de l rect S que contiene l punto b (-; 4) es prlel l vector u 5;. b) Cómo determinrís un punto q, distinto de b, que pertenezc l rect S?. Justific c) Pertenece el punto de coordends (; -) l rect S? Justific. 5) Ddos los puntos ; 3 ; 4 determinn., obtiene l ecución de l rect que ellos 6) Se R l rect ; R el punto c ; -. Hll ls coordends de los puntos de R que están 5 uniddes de distnci del punto c. 7) Determin ls coordends del punto p, simétrico de p (; ) respecto de l rect de ecución,5 3. Grfic l situción. 6 P O L I T E C N I C O

8 ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS Definición: El ángulo entre dos rects coincide con el ángulo que formn un pr de vectores prlelos cd un de ells o su suplementrio. Simbólicmente: R R R v v R, siendo v // R v // R Recordndo l definición de producto esclr, result: R R R v v rccos v v v. v RR vv v v R DOS POSICIONES MUY PARTICULARES RECTAS PARALELAS Si dos rects R ) b c R ) b c son prlels, debe ocurrir que los vectores que definen l dirección de ls misms sen prlelos, es decir: R //R b ; // b ; b ;. b ; R; b.b b Entonces: con b. b Los cocientes de los coeficientes en dds son directmente proporcionles. e de ls rects Notemos que si lgun de ls componentes de un vector es nul deberá ser nul l correspondiente en el otro vector dirección. P O L I T E C N I C O 7

9 L rect del plno, el plno l rect del espcio. Mtemátic RECTAS PERPENDICULARES Si dos rects R ) b c R ) b c son perpendiculres, debe ocurrir que: cosr R Entonces: v v v v v v cosvv v v v v, siendo v b ; // v b ; // R b; b; bb bb R O lo que es equivlente: b con b b b Notemos que si l primer de ls componentes de uno de los vectores es nul deberá ser nul l segund del otro vector (ls rects perpendiculres en este cso son prlels los ejes coordendos). Piens responde: Qué signific geométricmente que: b c se? b c se se Ejemplos: b c? b c b? b ) Determin l ecución crtesin de un rect T prlel S, no coincidente, siendo S) ; R 3 5 Solución: Como u : 5 es prlelo S, result que T podrí ser: =. b) Si W es l rect de ecución: =, determin l ecución de un rect L tl que L perpendiculr W. 8 P O L I T E C N I C O

10 Solución: El vector ( ; -) es perpendiculr W, por lo tnto dicho vector es prlelo L. L ecución podrí ser: =. PROBLEMAS 8) bcd es un prlelogrmo con b // cd. El vértice tiene coordends (; ), el ldo cd está contenido en l rect de ecución 3 + =. Los otros ldos son prlelos l eje. Se sbe demás que l rect que ps por los puntos (; -6) (-; -) contiene l vértice c. Grfic l situción determin nlíticmente ls coordends de los vértices del prlelogrmo. 9) Dd ls rects T) ; R S) , determin: 3 ) l medid del ángulo que formn b) ls coordends del punto de intersección de ls misms ) Ddo el triángulo bc con vértices (-; ), b (5; ) c (; 3), hll l ecución de l rect que contiene l medin correspondiente l ldo b. ) Los puntos (; ), b(-; 3), c( ; 5) d(5; 5) son los vértices de un cudrilátero. ) Justific que bcd es trpecio rectángulo b) Indic l ecución de l rect que contiene l bse medi del bcd. ECUACIÓN EXPLÍCITA Dd l rect R) b c con b, result: - c b c b -c b De donde: m h c b b m h A est nuev ecución l llmmos ecución eplícit de l rect R. P O L I T E C N I C O 9

11 L rect del plno, el plno l rect del espcio. Mtemátic Interpretción de m h Si m h h ; es decir, el punto pertenece l rect es el punto de intersección de l mism con el eje de ls ordends (eje ). Al número h lo llmmos ordend l origen. p ;h p Si tommos dos puntos culesquier de l rect, result: p ; p ; h p m m h tg h m h m h m m De lo nterior podemos concluir que el número m es l tngente trigonométric del ángulo que l rect form con el sentido positivo del eje de ls bsciss (eje ). Ejemplo: Determin l ecución de l rect que ps por el punto q( ; -3) form un ángulo de 35 con el sentido positivo del eje. Solución: L rect buscd será de l form: = m + h Como h = -3 = m - 3, demás m = tg 35 = -, luego su ecución es: = ECUACIÓN SEGMENTARIA Dd un rect R) b c con ; b c, es decir, no prlel los ejes ni que pse por el origen de coordends, result: b c De donde: () b P O L I T E C N I C O -c b () c c (3) c c b p q p q () Sumndo (-c) mbos miembros. () Multiplicndo por mbos miembros. (3) Definición de división. c

12 Est últim epresión es l ecución segmentri de l rect R. Observción: Si p el punto es el punto de intersección de l p rect con el eje l número p lo denominmos bscis l origen Si q el punto es el punto de intersección de l q rect con el eje l número q lo denominmos ordend l origen p; ; q Es evidente l utilidd de epresr l ecución de un rect, no prlel los ejes ni que pse por el origen de coordends, en su form segmentri que fcilit enormemente su representción gráfic PROBLEMAS 4 ) Se l rect T) ; R 3 ) Represent de ell sólo los puntos correspondientes = = - b) Pertenece El punto p( ; 3) T? Justific. c) Clcul el ángulo formdo por ls rects T S siendo S S) 3 d) Escribe l ecución crtesin de T grfícl. e) Hll el punto de bscis 8 que pertenece T., ls rects R ) R ) ; R, determin: 3 ) Ls coordends de p tl que R eje p b) L ecución de l rect R 3, en form segmentri, tl que R3 R que conteng l punto (; 3) c) L ecución de l rect R 4, en form eplícit, tl que R 4 // R su bscis l origen es -. 3) Ddos en un ; i; j P O L I T E C N I C O

13 L rect del plno, el plno l rect del espcio. Mtemátic 4) L rect, un rect prlel ell que ps por el punto (; 5) determinn, junto con los ejes de coordends, un trpecio isósceles. Cuál es su áre? DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA Anlizremos continución el problem de cómo clculr l distnci desde un punto culquier un rect R ( no perteneciente R). Pr ello te proponemos lguns estrtegis de solución. p p Procedimiento Ubic R en un gráfico luego reliz los siguientes psos: p i. ubic un punto p culquier de R. ii. determin iii. consider un vector n norml (perpendiculr) R iv. l distnci de p R est dd por p p dist(p ;R) pro n pp Procedimiento Ubic R psos: p en un gráfico luego reliz los siguientes i. determin l ecución de un rect R, perpendiculr R que pse por p ii. hll R R p iii. l distnci de p R est dd por dist(p ;R) dist(p ;p ) pp PROBLEMAS 5) Ddos l rect R) b c desde el punto ; el punto p ;, demuestr que l distnci b p l rect de ecución R es dist p;r b c P O L I T E C N I C O

14 6) Dd l rect de ecución R), determin: ) L distnci de p ; 3 R. b) L distnci entre R M) 3. PROBLEMAS ADICIONALES 4; 7) Al triángulo bc, donde ; b ; 6 ; 'b'c' c se le plic un S, obteniéndose el c. Reliz el gráfico determin ls coordends de los vértices del triángulo nuevo triángulo. Alguns coordends coinciden con ls del triángulo bc?. Por qué? 8) Determin l ecución de l rect que contiene l punto (-; 5) : ) es prlel l rect de ecución 3 + = b) es perpendiculr l rect de ecución + = c) l origen de coordends. 9) Determin l ecución grfic el lugr geométrico de todos los puntos que equidistn de (3; ) b(; -). ) Determin nlíticmente si los puntos (; ), b(; 3) c(-; -) están linedos. ) Encuentr l ecución crtesin de l rect que cort l eje en (-3; ) form un ángulo de 6º con dicho eje. ) Determin l ecución segmentri de un rect que es prlel l vector 3; 3 ps por el punto (4; ). 3) Justific que los puntos (; 3); b(; ) c(,5;,5) son los vértices de un triángulo rectángulo. Luego determin: ) el punto intersección de ls meditrices de los ctetos b) el punto medio de l hipotenus. qué puedes concluir? 4) Determin en cd cso, l ecución de l rect R tl que p ; R ) es perpendiculr l vector u 5; b) es perpendiculr l eje c) es perpendiculr l eje d) tiene l dirección de l bisectriz del do 4 to cudrnte. 5) Determin de modo que ls rects R ) R ) sen: ) Prlels. b) Secntes 6) Anliz el prlelismo o perpendiculridd de los siguientes pres de rects. En el cso de ser secntes determin el punto de intersección. P O L I T E C N I C O 3

15 L rect del plno, el plno l rect del espcio. Mtemátic ) b) e) c) d) 5 7) Escribe l ecución de l rect R en l form que más se decu los dtos suministrdos en cd uno de los siguientes csos: ) Cort los ejes en los puntos (-; ) (; -). b) Cort l eje en el punto (-; ) form con el sentido positivo del mismo, un ángulo de 45º. c) Cort l eje en el punto (; -) form con el semieje positivo de ls un ángulo de 6º. 8) Dd l ecución de R, en cd cso determin, si es posible, l pendiente, l bscis l ordend l origen de l mism: ) 3 d) b) e) ; R c) f) 3 9) Determin l ecución de l rect R si sbes que intersec los ejes coordendos en los puntos (-3; ) (; -). 3) Demuestr que l rect que ps por los puntos p(;) q(;) tles que tiene por ecución: 3) Coloc V (verddero) o F(flso) justificndo tu respuest: ) El áre del triángulo determindo por ls rects ; es 37, b) Ls rects M) S) ; R tienen l mism ordend l 4 4 P O L I T E C N I C O

16 origen. c) L ecución segmentri de l rect T, que ps por p(-; 3) es perpendiculr l rect es. 6 9 d) L pendiente de l rect que contiene l ltur d del triángulo bc es siendo (-; 5), b(6; ) c (; -4). 3, P O L I T E C N I C O 5

17 L rect del plno, el plno l rect del espcio. Mtemátic Respuests ) 6 4 ) 5 ) 8; 5 3) b) ) b) No son prlels pues vector c) ; 4 R 8; 5 5; 4 T 3; // R d) ) Si, entonces ; 3 M c) ; 8; 5 // T el vector b) u ; 3 3; c) 3 8 no es prlelo l d) El punto de intersección con el eje es ; eje es el punto de intersección con el 3 ; 4) 5 ) ; R 4 b) Si el punto que se obtiene es distinto del punto b. Por ejemplo si, el punto de coordends (-6; 6) pertenece S c) El punto (; -) no pertenece S, pues: 6 si pr dicho vlor de el vlor de serí no ) R ) ; R 6) Los puntos son (3; -3) (; ) 7) (4; -6) 3 8) Ls coordends de los vértices del prlelogrmo son: (; ); b(7;9); c(7; ) d(; 4) 9) ) El ángulo entre ls rects T S es de 7º ; 5 6 b) ) L ecución de l rect es = ) P O L I T E C N I C O

18 ) Pr que bcd se un trpecio rectángulo, debemos probr que bc b dist(p;r) pron pp pp n n () b b b c b b ; ; b. b b bc // d bc ; bc // d d 4; bcd es un trpecio rectángulo bc b ; ; bc b b) L ecución es: = ) ) Si 9; si b) El punto p no pertenece T c) El ángulo formdo por T S es 6º d) L ecución de l rect T es e) Ls coordends del punto son 8; - 3) ) p(3; ) b) L ecución de l rect R3 es 3 3 c) L ecución de l rect R4 es = + 4) El áre del trpecio es 5) Pr demostrr que distp;r 6) Entonces: 3; 5 b c, utilizremos el procedimiento b que º) tommos un punto p; R b c c b () º) determinmos el vector pp ; 3º) rmmos un vector n norml (perpendiculr) l rect R, por ejemplo, n ;b 4º) l distnci de p R est dd por ) 5 b).b P O L I T E C N I C O 7

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