UNI DAD 2 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA. Objetivos

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1 UNI DAD 2 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA Objetivos

2

3 Geometrí nlític Introducción funciones trigonométrics Vribles: dependientes independientes Constnte: numéric bsolut rbitrri, y z., b, c, Funciones: función de un vrible 2.1. Funciones circulres 49

4 funciones circulres y F(u y n n n n Ejemplo 1 F(u y Solución 50

5 Geometrí nlític F(u = F F(u = F( F(u = F( F(u = F( F(u = F(2 F(u = F F(u = F F(u = F F(u = F F(u = F u y F(u y Círculo unitrio Cundo se hbl de círculo unitrio se consider que éste tiene un rdio cuy mgnitud es l unidd. 51

6 El triángulo rectángulo ABC tiene por hipotenus l segmento AB = c; simismo, como ldos dycente y opuesto del ángulo A los segmentos AC = b y BC = respectivmente, demás se observ que A, B y C tmbién representn ls medids de los ángulos del triángulo, donde el ángulo A = u es gudo. Geométricmente se sbe que los ldos y ángulos de este triángulo son mutumente dependientes, pero l trigonometrí muestr l nturlez de dich dependenci y con bse en ls rzones de los ldos define ls funciones trigonométrics. Ls seis funciones trigonométrics del ángulo A, de cuerdo con el triángulo rectángulo, se definen como: (1) (4) (2) (5) (3) (6) Pero como c = 1, entonces se tiene que sen A = y cos A = b, luego entonces F(u) = (b, ) = (cos A, sen A), por lo que el diámetro verticl del círculo unitrio es considerdo el eje de los senos, sí como el diámetro horizontl el eje de los cosenos. Puesto que ls funciones trigonométrics se pueden representr por segmentos rectilíneos relciondos con el círculo trigonométrico o unitrio, se denominn tmbién funciones circulres Funciones circulres directs funciones trigonométrics de culquier ángulo OB XOB, y P 52

7 Geometrí nlític OQ = QP = y OP = r OP rdio. y 2 2 XOB 53

8 circulres directs Ejemplo 2 Solución XOB ángulo gudo c y b OB independiente de l posición P OB OX OX 54

9 Geometrí nlític Signos de ls funciones circulres en los diferentes cudrntes Signos de ls funciones trigonométrics Tomndo en cuent l regl dd en l unidd nterior, pr los signos de ls bsciss y ordends de culquier punto en el plno crtesino y recordndo que l distnci OP = r es siempre positiv, y con bse en ls funciones trigonométrics de l sección 2.1.2, tenemos que: En el segundo cudrnte ls funciones sen y csc son positivs, mientrs que ls restntes son negtivs. En el tercer cudrnte l tn y l cot son positivs y ls restntes son negtivs. En el curto cudrnte el cos y l csc son positivs, pero ls restntes son negtivs. 55

10 Ejemplo 3 Solución F F F F F A A A A A Ángulo sen cos tn cot sec csc 0 y

11 Geometrí nlític Dominio e imgen de ls funciones trigonométrics T T F(t F(t+T Un función es un conjunto de pres ordendos de elementos, en los que ningún pr tiene el mismo primer elemento. El conjunto de los primeros elementos de los pres ordendos se llm dominio de l función, y el de los segundos elementos se llm imgen de l función. En el ejemplo 1 sección 2.1 se dio l regl de correspondenci de ls funciones circulres, en donde se epres que cd número rel le corresponde un punto de l form (, y), es decir, que l rect numéric enrolld sobre l circunferenci es un función. Pr mostrrlo en form sintétic se utiliz l notción F(u) = (, y), donde u es un número rel. El dominio de ls funciones trigonométrics son los números reles, y su imgen son los pres ordendos (, y) socidos cd número rel u. Ejemplo 4 F (u u F 2 (u u F F F Solución u F F F F 2 F F 57

12 Vlores ectos de ls funciones circulres en ángulos especiles Funciones del ángulo de 45 Se puede trzr un triángulo culquier que stisfg l condición de ser rectángulo e isósceles, signándole los ctetos l longitud que se desee, unque en el ejemplo se considerrá que l longitud de los ctetos se l unidd, es decir, = b = 1. Entonces observmos lo siguiente: c b Utilizndo el teorem de Pitágors tenemos que demás los ángulos A y B son de 45. Al plicr ls funciones circulres directs obtenemos: 58

13 Geometrí nlític Funciones de los ángulos de 30 y 60 Dibujmos un triángulo equilátero ABD. Se trz l perpendiculr BC de B AD y se consider el triángulo ABC, en el que el ángulo A = 60 y el ángulo ABC = 30 Si se tom el ldo más pequeño como unidd, es decir, si b = 1, se tendrá que c = AB = AD = 2; AC = 1; b = 1, como se observ en l figur 2.5: b = Por lo tnto: Análogmente, del mismo triángulo:,,,,,. Si escribimos estos resultdos en form de tbl tenemos: 59

14 Ángulo sen cos tn cot sec csc Gráfic de ls funciones circulres gráfic de l función L gráfic de un función es el conjunto de puntos (, y) en el plno crtesino, en donde está en el dominio de l función F y y = F(). En este cso l gráfic de ls funciones trigonométrics se d como prejs ordends de l form (u, F(u)), donde u es un número rel, y F(u) es un prej ordend (, y). Ejemplo 5 Solución 60

15 Geometrí nlític Ejemplo 6 Solución 61

16 Ejercicio 1 ABC C = 90 0 A b 2.2. Solución de ecuciones trigonométrics Ls ecuciones trigonométrics, lo mismo que ls lgebrics, pueden ser de culquier grdo y simultánes, simismo, l ríz de un ecución trigonométric es el vlor del ángulo que l stisfce. 62

17 Geometrí nlític Un vez resuelt l ecución lgebricmente, qued por resolver l prte trigonométric; es decir, conociendo el vlor de l función trigonométric de un ángulo se determin cuál es ese ángulo. Ls funciones trigonométrics de ángulos que difieren en un número ecto de vuelts son igules, por lo que será necesrio sumr o restr ls soluciones obtenids, un múltiplo culquier de 360. En lgunos csos es necesrio utilizr identiddes trigonométrics pr l solución de ls ecuciones, por lo que ésts se presentn en el péndice A. Ejemplo 7 Solución = = =. Ejemplo 8 Solución 63

18 2.3. Ley de senos y ley de cosenos Ley de los senos Teorem. Los ldos de un triángulo son proporcionles los senos de los ángulos opuestos. Demostrción b b c c CD (h AB AB ACD A CAD BCD 64

19 Geometrí nlític B A Ejemplo 9 ABC B C b c b Solución c c c 65

20 A A A Ley de los cosenos Teorem En un triángulo culquier el cudrdo de un ldo es igul l sum de los cudrdos de los otros dos menos el doble producto de estos dos ldos por el coseno del ángulo que formn. c Demostrción 2 = b 2 + c 2 bc A C b C b b c c

21 Geometrí nlític DB = c AD CAD AD 2 AD = b A = cos A = DAC DAC DAC CAD A AD 2 A = 90 A 2 = b 2 + c 2 A 67

22 Ejemplo 10 ABC B = =, c = b Solución b b b b 68

23 Geometrí nlític Solución de triángulos Cundo l solución de un problem determindo depende de l resolución de un triángulo, se debe considerr que un triángulo está compuesto de seis elementos, tres ldos y tres ángulos. Resolver un triángulo es encontrr los elementos que se desconocen, y puede resolverse si se conocen tres de sus elementos (por lo menos uno de ellos debe ser un ldo). Se supone que ls condiciones dds deben ser comptibles, es decir, que es posible l construcción del triángulo con los elementos ddos. Ejemplo 11 C = 90 A b Solución c c B B B A + B + C C A 69

24 Observción Ejemplo 12 ABC = b c Solución A A A A C C C C B A + B + C B A + C B B B 70

25 Geometrí nlític B B B Problems de plicción Ejemplo 13 C c c =?? b =? Solución A A A A b b b B B B B 71

26 Ejemplo 14 A B C AC BC ACB A B? Solución AB 72

27 Geometrí nlític Ejercicio 2 1. ACB Ejercicios resueltos 1.? Solución 2. Solución: 73

28 BC = CA m m =

29 Geometrí nlític Solución 2 = ,. Solución. 75

30 5. Solución 76

31 Geometrí nlític 6. Solución: 7. Solución 77

32 Solución 78

33 Geometrí nlític C 40 b A c = B B C B b C B B B A A A 79

34 + b +c = 9. Solución 80

35 Geometrí nlític 10. Solución n Solución 81

36 = 82

37 Geometrí nlític Autoevlución h h h h

38 5. 6. BC A AB AC BAC AB AC BAC

39 Geometrí nlític 10. Ejercicios opcionles 1?? L 2. C ABP (AB P C

40

41 Geometrí nlític Respuests los ejercicios 1 c b B A B c 2 2 AC BD b 87

42 Respuests l utoevlución Respuests los ejercicios opcionles L N P 88

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