Capítulo 5. Medición de la Distancia por Medio de Triangulación

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Luz Elena Valenzuela Montoya
hace 6 años
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1 Cpítulo 5. Medición de l Distnci por Medio de Tringulción 5.1 Introducción Hemos visto cómo medir l distnci de un objeto un cámr cundo dicho objeto es cptdo por un sol cámr; sin embrgo, cundo el objeto es cptdo por dos o más cámrs, entonces surge otr posibilidd de medir l distnci. Este es el segundo cso que se enunció en l sección 1.4 y el ctul cpítulo explic un procedimiento pr evlur l distnci hci culquier de ls dos cámrs o l distnci equivlente l ltur del triángulo que se form con los vértices donde se encuentrn posicionds ls cámrs y el objeto. El nálisis se hrá pr el cso en el que se usn dos cámrs, no más, y que son ls necesris pr que funcione. Si son más de dos cámrs ls que detectn un objeto, entonces se escogerín dos de ells pr trbjr. 5.2 Ley de los senos y tringulción L ley de los senos, tmbién conocid como fórmul de los senos o regl de los senos, es en trigonometrí un firmción que se plic culquier triángulo, donde los ldos del mismo son, b y c, y los ángulos opuestos esos ldos son A, B y C. Si esto se cumple entonces l ley de los senos firm que ls siguientes cntiddes son igules: sena b c = = = 2R Ecución 5.1 senb senc 1

2 se prte de dibujr l ltur h del triángulo con vértices A, B y C, prtiendo de C hci el ldo que cort c, como se muestr en l Figur 5.

2 donde R es el rdio de l circunferenci circunscrit del triángulo en cuestión [20]. De culquier form, l ley de los senos siempre puede ser escrit como: sena b c = = Ecución 5.2 senb senc Pr llegr l ecución 5.2 se prte de dibujr l ltur h del triángulo con vértices A, B y C, prtiendo de C hci el ldo que cort c, como se muestr en l Figur 5.1 Figur 5.1 Altur h del triángulo Esto equivle cortr el triángulo en dos triángulos rectángulos. Al relizr est cción, entonces es posible observr que: y h sena = Ecución 5.3 b h senb = Ecución 5.4 Por lo tnto: 2

3 h = bsena = senb Ecución 5.5 y sena b = Ecución 5.6 senb Relizndo el mismo procedimiento, pero trzndo l ltur entre el vértice A y el ldo, se obtiene l prte restnte pr llegr l ecución Tringulción y cálculo de distncis En trigonometrí y en geometrí, l tringulción es el proceso de ubicr un punto determindo medinte l medición de los ángulos hci éste desde los extremos de un líne fij (del ldo opuesto de ese punto), en vez de hcer ls mediciones directmente. El punto ubicr puede ser visto tmbién como el tercero de los vértices que formn un triángulo que tiene un ldo y dos ángulos conocidos [21]. Ls coordends o ls distncis un punto pueden ser encontrds clculndo l longitud de un ldo de un triángulo cundo se conocen el ldo opuesto dicho punto y los ángulos que se formn en ls terminciones de ese ldo. Es quí donde prece el uso de l ley de los senos y que prtir de l ecución 6.2 se puede fácilmente deducir que: c sena = Ecución 5.7 senc y c senb b = Ecución 5.8 senc 3

4 Ls ecuciones 5.7 y 5.8 pueden ser utilizds pr clculr los ldos y b cundo se conoce l longitud c y los dos ángulos de los extremos de este ldo, es decir los ángulos A y B Se not que en mbs ecuciones es necesrio tmbién sber el ángulo C en orden de plicr l fórmul; sin embrgo, l conocer los otros dos ángulos del triángulo y sbiendo que l sum de los ángulos interiores del mismo sumn en totl 180º, entonces es sencillo encontrr el ángulo C: C = 180 A B Ecución 5.9 Además es posible que ls fórmuls de ls ecuciones 5.7 y 5.8 dependn únicmente en los ángulos conocidos, sin necesidd de hcer el cálculo de C. Esto se bs en l identidd trigonométric que dice que: sen ( θ ) = sen(180 θ ) Ecución 5.10 De est mner: senc = sen( A + B) Ecución 5.11 y l sustituir l equivlenci de l ecución 5.11 en culquier de ls ecuciones 5.7 ó 5.8, entonces ls fórmuls y sólo dependen de los ángulos A y B, y no de C. Adicionlmente ls distncis y b, tmbién es posible clculr l ltur h del triángulo hciendo uso de identiddes. Vése l Figur 5.2. Pr clculr h surge un sistem de dos ecuciones: h = b sena, Ecución

5 h = senb Ecución 5.13 y resolviendo el sistem por igulción se lleg l resultdo: c sena senb h = Ecución 5.14 senc Figur 5.2 Triángulo con ltur h 5.3 Uso de cámrs pr tringulción y medición de distncis Cundo un objeto es detectdo por dos cámrs y demás se conoce l posición de mbs entonces es posible medir l distnci entre ésts y el objeto, o l distnci correspondiente l ltur del triángulo que se form con los tres vértices. El uso de est técnic se prest perfectmente pr el fin que se busc en est tesis, y que l conocer l ubicción de dos cámrs, es decir, sus coordends, entonces es posible medir l distnci que hy entre ells. Además, medir los ángulos de giro que hy entre est líne y el objeto no es un tre complicd. 5

6 De est mner justmente se conoce uno de los ldos del triángulo y los dos ángulos correspondientes los extremos de este ldo pudiendo ciertmente plicr ls fórmuls de l tringulción pr encontrr culquier distnci restnte. De est mner, sólo rest elegir desde cuál de ls cámrs se dese sber l distnci l objeto y que puede ser de culquier. O en su defecto, si se dese sber l distnci correspondiente l ltur del triángulo Algoritmo en MATLAB pr el cálculo de distncis medinte tringulción Como se puede intuir, este pso consiste únicmente de introducir tods ls fórmuls finles ls que se llegron en ls secciones nteriores del presente cpítulo pr probr su funcionlidd y plicrls en un sistem utónomo en un futuro. En el Cpítulo 6 se mostrrán lguns pruebs que se relizron y se verá l efectividd del lgoritmo. Pr este cso se utilizó un sistem mnul muy sencillo pr comprr ls distncis medids físicmente con respecto los cálculos rrojdos por el progrm. En el péndice A se incluye el código de MATLAB que se escribió pr ejecutr ls fórmuls. 6

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