TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA MASSUCCO ARRARAS - MARAÑON DI LEO CALCULO DIFERENCIAL. Integral Indefinida

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1 Integrl Indefinid Estmos costumrdos decir que el producto el cociente son operciones inverss. Lo mismo sucede con l potencición l rdicción. Vmos estudir hor l operción invers de l diferencición. Dd l función f (), llmremos función primitiv de ést l designmos con F () tod función tl que Por ejemplo si ( ) ( ) f ( ) F ' = ( ) f ( )d. df = f =, entonces un función primitiv de f () es: que F ' ( ) = = = f ( ) ( ) F = o ien df ( ) = F' ( ).d = d = f ( )d. Otrs funciones primitivs distints de f() son, por ejemplo: = + ; = ; esto ocurre porque l derivd de un constnte es igul cero. Teorem Fundmentl del Cálculo Integrl: TODAS ls funciones que tienen igul derivd difieren entre sí en un constnte Luego, hlld un primitiv de f (), tods ls primitivs de f () difieren de l clculd en un constnte. L operción de encontrr tods ls primitivs de f() es l ntidiferencición, que simolizmos: ( ) d F( ) f = + C en l cul C es un constnte ritrri, deiendo leerse el miemro de l izquierd integrl de f de, diferencil de. Págin

2 Tl de Integrles. A prtir de ls tls de derivción podemos otener regls pr l integrción: d = + C k d = + C d = + C n+ n d = + C n + cos d = sen + C sen d = cos + C e d = e + C d = ln + C f ( ) g( ) d = f ( ) d g( ) ± ± d Ejemplos: Hllr: 8 / d = + d = + + C ( 8 + ) d = 8 + d = + + C = + + C - = + + C = + + C Págin

3 Actividd. Hllr ls siguientes integrles. ) + d ) ( ) d + d) ( ) d e) d c) ( ) d Integrl Definid Aplicción de l Integrl Definid l Cálculo de Áres Plns. L integrl definid, surgió como un necesidd de clculr el áre de recintos plnos encerrdos por curvs. Por tl motivo generlmente se present l integrl definid trvés del concepto de cálculo de un áre. Este cmino es stnte lógico, especilmente mu intuitivo Supongmos que queremos clculr el áre encerrd por l curv C de l figur, representtiv de l función f(), el eje ls rects de ecución = =. = C = f ( ) = A Págin

4 Un groser proimción de dich áre consistirá en tomr el áre del rectángulo de ldos f( m ) siendo m l scis pr l cul l función f() sume su vlor mínimo en el intervlo considerdo; evidentemente tl áre será menor que el áre que pretendemos medir. Llmemos l áre A m. Ést será el producto de f ( m ) por ( ). Es decir: Am = f ( m ) ( ) Algo similr h de ocurrir si tommos el rectángulo de ldos f( M ) siendo M l scis donde l función sume su vlor máimo; en tl cso el áre clculd super el vlor del áre jo l curv. f ( m ) c = f ( ) A m A m f ( M ) A M M Es decir: A = f ( ) ( ) M M Págin

5 Result evidente que un proimción mejor se otiene hciendo un prtición P n del,, tomndo como áre l sum de ls áres de los rectángulos elementles. A = f t i ( i ) i 6 7 f (t ) f (t ) f (t 6 ) etc. 6 7 t t t t t t 6 t 7 X Como se ve en l figur el áre proimd está dd por l sum A'= 7 i= A i pero Ai = f ( ti ) i entonces A'= 7 i= f ( t i ) i Intuitivmente nos dmos cuent que el áre proimd A se justrá cd vez más l áre A jo l curv medid que mor se el número de intervlos de l prtición. Tmién es intuitivo que en el límite, cundo el número de los rectángulos elementles tiende, l sum drá ectmente el áre A. n A = lim f i i = n i= ( t ) f ( ) d Págin

6 Pr clculr l Integrl definid f ( ) d se plic l Regl de Brrow f ( ) d = F( ) F( ) Recordemos que F() es un primitiv de f (). Est epresión lig el concepto de integrl definid el de ntiderivd, que como semos, se clcul medinte integrción indefinid. El uso de est regl simplific notlemente el cálculo de ls integrles definids. Result cómodo usr l notción: ( ) F( ) F( ) ] F = con ello l regl de Brrow puede escriirse: Ejemplo : Hllr ( ) d F( ) ] f = d d = = 8 = Actividd. Clculr ls siguientes integrles definids. 8 ) d = ) ( ) d = d ) = Págin 6

7 Cálculo de Áres por Integrción Definid. Ls áres, siendo números que representn l medid de un superficie (es decir el número de veces que ce l unidd de superficie en un determindo recinto), no pueden ser negtivs. Ls integrles definids en cmio, sí pueden dr como resultdo un número negtivo. Esto ocurre precismente tod vez que l función sume vlores negtivos en l totlidd del intervlo de integrción. Ejemplo: Hgmos l integrl de l función ( ) = ( ) f entre los vlores. Dentro de ese intervlo l función tom eclusivmente vlores negtivos el vlor resultnte de l integrción es un número negtivo; sin emrgo el áre entre l curv el eje no puede ser negtiv; en consecuenci dee tomrse el vlor soluto del resultdo de l integrl cundo lo que se está clculndo es un áre. El vlor negtivo de l integrl en estos csos lo único que indic es que l curv está por dejo del eje. L verdder dificultd se present cundo lo lrgo del intervlo de integrción l función cmi de signo de modo que prte de l curv qued dejo del eje prte encim de él. Si no se tiene l precución de grficr l curv con ello evidencir este hecho, se cometerá el error de suponer que l integrl está dndo el áre entre l curv el eje, cundo en relidd el resultdo de l integrl estrá dndo l diferenci entre ls áres que están por encim del eje ls que están dejo. Págin 7

8 En el ejemplo, ocurrirí esto si integrmos entre 6. Pr evitr este inconveniente deemos dividir el intervlo de integrción en tntos suintervlos como se necesrio fin de tener suintervlos dentro de los cules l función teng un mismo signo; (es decir entre ceros o ríces de l función) integrr entonces seprdmente sore cd intervlo sumr luego los vlores solutos de cd resultdo. [ ] 6 Actividd: Clculr ( ) d Ejemplo : Hllr el áre limitd por = el eje. Hllmos ls intersecciones de l curv con el eje. = ( ) = Clculmos l integrl definid en, result = = A = 8 ( ) d = = = Págin 8

9 Ejemplo : Clculr el áre encerrd entre l rect = l práol = = = El áre deerá otenerse como diferenci entre el áre jo l rect el áre jo l práol, entre los límites que mrcn ls intersecciones de ms gráfics, es decir: = = que tiene como ríces ( ) d = = = 6 Ejemplo : Hllr el áre encerrd por l rect = Hllmos por igulción ls intersecciones entre ms gráfics = + l práol de ecución = + = - - Resolviendo est ecución de segundo grdo otenemos = - = que determinn los etremos de l integrción. Pr hllr el áre encerrd, clculmos l integrl definid de l diferenci de ls ordends de ls dos curvs. A = [( + ) ( ) ] d = ( + + ) d = + + = 6 Págin 9

10 De l gráfic conjunt de ls dos ecuciones puede visulizrse que el áre jo l curv = - entre los puntos de sciss está uicd dejo del eje de ls, deiendo en consecuenci resultr negtiv l integrl entre esos límites. Sin emrgo, dee tenerse en cuent que l efectur l diferenci entre ls áres de l rect l práol, l correspondiente l práol ingresó en el cálculo de l integrl con signo negtivo, es decir restndo, lo que signific que l prte positiv del áre correspondiente se restrá, en tnto que l prte negtiv se sumrá l efectur el cómputo totl. Result entonces que el cálculo que hemos relizdo es equivlente : ) Computr l ( + ) d ) Restr l ( ) d c) Sumr el vlor soluto de l ( ) d (prte de l práol dejo del eje ) Actividd. Ejercicio : Hllr el áre limitd por: ) = el eje. ) = el eje. c) = + = ; = ; = d) = 9 el eje ; = = Ejercicio : Clculr el áre comprendid entre ls curvs. ) = e = ) = e = 6 c) = 9 e = + 7 Págin

11 Integrción Numéric: En ls plicciones práctics, como hemos dicho l comenzr el desrrollo de este cpítulo, son pocs ls veces en que se necesit conocer el resultdo ecto de un integrl. Como l integrl de un función puede otenerse ectmente hllndo el límite de un sucesión, un procedimiento proimdo consiste en empler el mismo procedimiento tomndo un término de l sucesión suficientemente vnzdo. Prtiendo el intervlo [,] en n suintervlos igules de longitud tomndo el vlor de l función en el etremo izquierdo de cd intervlo, l integrl tiene como vlor proimdo: = n f ( ) d = [ f ( ) + f ( + ) + f ( + ) + + f ( + ( n ) ] Ejemplo: Clculr l integrl: d ) método ecto: d = = =, ) método proimdo: hcemos n = pr lo cul result = =, = = d, 9 (el vlor ecto es,) Págin

12 Como hemos dicho, si no se puede clculr en form ect l función F() (función primitiv de f(), lo que sucede con sum frecuenci, será necesrio pelr métodos de cálculo proimdo. Un método de cálculo proimdo que mejor el descripto de tomr rectángulos de igul se lturs correspondientes l vlor de l función en el etremo izquierdo de los suintervlos es el llmdo: Método de los Trpecios: Este método reemplz cd uno de los rectángulos elementles por un trpecio de ltur igul l longitud común de los suintervlos ses respectivmente igules los vlores de l función en los etremos de cd uno de los suintervlos, consiguiéndose, de este modo un mejor proimción l vlor ecto de l integrl. n- n- n A n- A A A n n- n- n Suponemos entonces conocidos los vlores que tom l función en los puntos situdos igul distnci,,..., n siendo = i i-. Un primer vlor proimdo del áre puede otenerse sumndo ls áres de los trpecios inscriptos en cd un de ls superficies prciles. Por ejemplo: Áre (A ) = ½ ( + ); por lo que l sum result: n f ( ) d E ( ) = + P + I n n siendo E = sum de ls ordends etrems; P = sum de ls ordends de suíndices pres; I = sum de ls ordends de índices impres. Págin

13 Ejemplo: Clculr: Brrow) d + (est integrl no puede clculrse fácilmente con l Regl de siendo f ( ) = ; tomndo =, puede construirse l siguiente tl: + X,,,,,,6,7,8,9 f(),77,76,7,7,696,686,67,6,6,6,77 Resultndo E =, 77 +, 77 =, 6 P + I = 6, 6 f ( ) d, 6, 698, 67 Actividd: ) Hllr el vlor proimdo de 6 d plicndo l fórmul de los trpecios con n= ) Clculr el vlor proimdo como en el prolem nterior pr + d c) Si un curv viene dd por l siguiente tl:,8, 7,8 9,, Hllr el áre jo l mism por plicción de ls fórmuls de los trpecios. Págin

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