2.3.1 Cálculo de primitivas

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1 Mtemátics I.3 Lists de ejercicios de Cálculo Integrl.3 Lists de ejercicios de Cálculo Integrl.3. Cálculo de primitivs 75. Encontrr l epresión de ls siguientes integrles indefinids: ) p) tg b) e sen cos e) ( +5) h) k) e n) sen q) (3 +) 4 c) f) + 4 (+5) i) + + l) ln() ln(4) o) rctg r) ( +5) sen 3 cos ln 76. Encontrr l epresión de ls siguientes integrles indefinids: ) (+)( + ) b) (+)( ++) e) (+) ( +) h) 3 + ( +) c) 6 + f) 8 ( ) 5 i) ( +) + ( +4) Encontrr l epresión de ls siguientes integrles indefinids: ) cos cos (3) b) cos cos 3 c) tg (5) (tg 3 4 +tg4 ) 4 e) sen 5 f) sen 3 cos5 cos 5 sen 3 h) cos 6 (3) i) sen 4 (sen cos ) cos k) l) cos 6 sen 6 3 sen + cos n) +3 cos sen +3 cos o) cos + sen Encontrr l epresión de ls siguientes integrles indefinids: ) e + b) e) sh +ch ++ (+) + h) + 3 ( ) 5 4 k) n) ch 4 c) cotg 4 f) + i) +4 4 l) 4 ( + ) o) sh 3 ch th() ( ) I.T.I. en Electricidd 3

2 Mtemátics I.3 Lists de ejercicios de Cálculo Integrl.3. Integrl Definid 79. Comprobr que l función f() = k, donde k es constnte, es integrble en culquier intervlo [, b] de IR y clculr el vlor de l integrl. {, si [, ] 8. Comprobr que l función f() =, si (, ] l condición de integrbilidd de Riemnn.) es integrble Riemnn en [, ]. (Utilizr 8. Justificr rzondmente l flsedd de ls siguientes firmciones: ) U(f,P ) = 4 pr P = {,, 3, } y U(f,P ) = 5 pr P = {, 4,, 3, }. b) L(f,P ) = 5 pr P = {,, 3, } y L(f,P ) = 4 pr P = {, 4,, 3, }. c) Tomndo P P[, ], (i) L(f,P) =3 y U(f,P) =. (ii) L(f,P) =3 y U(f,P) =6 y (iii) L(f,P) =3 y U(f,P) =6 y f() =. f() =. 8. Se sbe que f() =6, ls siguientes integrles: f() =4 y 5 f() =. Hllr el vlor de cd un de ) 5 f() b) f() c) 5 f(). 83. Considerr l gráfic de l función f() =+ en [, ]. Construir, prtir de ell, l función F :[, ] IR definid medinte F () = f(t) dt. 84. Se f() = F () = {, si [, ], si (, 3] f(t) dt y F () =. Considerr ls funciones F,F :[, 3] IR dds por f(t) dt. ) Obtener epresiones pr F y F. Son continus en [, 3]? b) Estudir l derivbilidd de F y F. En los puntos donde dmiten derivd, es cierto que F () =f()? y que F () =f()? c) F F, pero en qué se diferencin?, si <, si [, ] 85. Sen f() = y g() = f(t) dt., si <, si > ) Hllr el dominio de g. b) Encontrr un epresión pr g y dibujr ls gráfics de mbs funciones. c) Estudir l continuidd y derivbilidd de mbs funciones. Comprobr que g () =f(), pr cd Dom(g ). 86. Se f() = +sen t dt. Clculr f() yf (), indicndo sus dominios de definición. I.T.I. en Electricidd 3

3 Mtemátics I.3 Lists de ejercicios de Cálculo Integrl 87. Hllr f (), indicndo su dominio de definición, pr ) f() = c) f() = 3 ( ) 3 +sen t dt. b) f() = +sen t dt. ( sen ) +sen t dt. f() = +sen dt t +sen t dt. 88. Hllr el dominio y l epresión de f () pr cd un de ls siguientes funciones: ) f() = Sen f derivble y F () = t dt b) f() = ln f(t) dt. Es cierto que F () = 9. Si f es continu, clculr F (), siendo F () = cos t dt c) f() = sen(t ) dt f(t) dt. 9. Probr que si f:ir IR es continu y periódic de periodo T, entonces 3 f (t) dt? Por qué? +T f() = T f() IR. 9. Demostrr que se verific l iguldd b f() = b f( + b ). 93. Se f:ir IR estrictmente creciente y continu, con f() =. Clculr los etremos de l función (+3)( ) f(t) dt. 94. Dd l función f estrictmente creciente en IR, con f() =, y continu, estudir el crecimiento, decrecimiento y los etremos de F () = Encontrr los vlores de pr los que l función F () = f(t) dt. 96. Sen f y g funciones reles continus en [, b] que verificn que b f() = b g(). Demostrr que eiste un punto c [, b] tl que f(c) =g(c). 97. Se define l función bet por B(n, = ) Probr que B(n, =B(m, n). b) Probr que B(n, ) = B(,n)= n = (n )!! n!. c) Probr que si n, m, B(n, = n m de ello que B(n, = (n )! (m )! (n+m )!. te t dt lcnz lgún etremo. n ( ) m pr n, m IN, n, m >. B(n,m+)= m n B(n +,m ) y deducir I.T.I. en Electricidd 33

4 Mtemátics I.3 Lists de ejercicios de Cálculo Integrl.3.3 Aplicciones de l Integrl 98. Probr que el áre encerrdo por l curv f() =p n, con [,], p IR y n IN es f() n Hllr el áre de l figur limitd por l curv y = ( )( ) y el eje de bciss.. Clculr, de dos mners distints, el áre de l figur limitd por l curv y = 3, l rect y = 8, y el eje OY.. Hllr el áre encerrdo por l elipse + y b =.. Hllr el áre de l figur comprendid entre ls prábols y =, y =, y l rect y =. 3. Clculr el áre de ls dos prtes en que l prábol y = divide l círculo + y =8. 4. Clculr el áre de l figur limitd por l hipérbol y b = y l rect =. 5. Clculr el áre de cd un de ls prtes en que ls curvs y = y = y dividen l círculo + y Clculr el áre limitd por ls curvs f() = e +e y g() = ( ++) cundo [, ]. 7. Clculr el áre encerrd por l curv y = + rcsen y el eje de bciss. (Not: Estudir el dominio y el signo de l función.) 8. L curv que prece en l figur de l derech, llmd stroide, viene dd por l ecución 3 + y 3 = 3 Hllr el áre encerrd por l stroide. (Not: Se sugiere el cmbio = sen 3 t ó = cos 3 t.) 9. Clculr el áre de l figur limitd por l curv y = ( ).. Clculr el áre de l figur comprendid dentro de l curv ( 5 ) +( y 4 ) 3 =.. Comprobr usndo l integrción, que el volumen de un esfer de rdio r es 4 3 πr3. Considerr el sólido V, epresdo nlíticmente como V = { } (, y, z) : + y ; z y y formdo l cortr el cilindro + y por los plnos z = e y + z =. Describir y clculr el áre de ls secciones de V prlels cd uno de los plnos coordendos. 3. Hllr el volumen del elipsoide + y + z =. b c 4. Hllr el volumen encerrdo por el prboloide elíptico y 4 +z 6 = y limitdo por el plno =5. 5. Hllr el volumen del elipsoide, engendrdo por l rotción de l elipse del eje OX. + y b = lrededor 6. Hllr el volumen del cuerpo engendrdo l girr lrededor del eje OY, l prte de l prábol y =, que intercept l rect =3. I.T.I. en Electricidd 34

5 Mtemátics I.3 Lists de ejercicios de Cálculo Integrl 7. L rect = divide l círculo ( ) + y 4 en dos prtes. ) Clculr el volumen generdo l girr lrededor de l rect y = l prte de myor áre. b) Clculr el volumen generdo l girr lrededor de l rect = l prte de menor áre. c) Clculr el volumen generdo l girr lrededor de l rect = l prte de myor áre. Clculr el volumen generdo l girr lrededor de l rect = l prte de myor áre. e) Clculr el volumen generdo l girr lrededor de l rect = l prte de menor áre. 8. Hllr el volumen del cuerpo limitdo por el hiperboloide de un hoj plnos z = y z = h. + y z c = y los 9. Hllr el volumen del cono elíptico recto, cuy bse es un elipse de semiejes y b y cuy ltur es igul h.. Hllr el volumen del cuerpo limitdo por los cilindros: + z = e y + z =.. Hllr el volumen del cuerpo limitdo por ls superficies z = y z = y (ver figur de l derech) prtir de ls áres formds l seccionr el cuerpo por plnos prlelos l plno z =.. Clculr el volumen de cd un de ls prtes en que qued dividido un cilindro circulr recto de rdio y de ltur 8 por un plno que, conteniendo un diámetro de un de ls bses, es tngente l otr bse. 3. Sobre ls cuerds de l stroide 3 + y 3 = 3, prlels l eje OX, se hn construido unos cudrdos, cuyos ldos son igules ls longitudes de ls cuerds y los plnos en que se encuentrn son perpendiculres l plno XY. Hllr el volumen del cuerpo que formn estos cudrdos. 4. El plno de un triángulo móvil permnece perpendiculr l diámetro fijo de un círculo de rdio. L bse del triángulo es l cuerd correspondiente de dicho círculo, mientrs que su vértice resbl por un rect prlel l diámetro fijo que se encuentr un distnci h del plno del círculo. Hllr el volumen del cuerpo (llmdo conoide, ver figur ne engendrdo por el movimiento de este triángulo desde un etremo del diámetro hst el otro. 5. Un círculo deformble se desplz prlelmente l plno XZ de tl form, que uno de los puntos de su circunferenci descns sobre el eje OY y el centro recorre l elipse + y =. Hllr b el volumen del cuerpo engendrdo por el desplzmiento de dicho círculo. 6. Se S el recinto del plno limitdo por l prábol y =4 y el eje de bsciss. Pr cd p> considermos los dos recintos en que l prábol y = p divide S, A(p) ={(, y) S : y p } y B(p) ={(, y) S : y p }. ) Hllr p pr que ls áres de A(p) yb(p) sen igules. b) Hllr p pr que l girr A(p) yb(p) lrededor del eje de ordends obtengmos sólidos de igul volumen. I.T.I. en Electricidd 35

6 Mtemátics I.3 Lists de ejercicios de Cálculo Integrl.3.4 Integrles Impropis 7. Clculr el vlor de 8. Clculr + e y 9. Estudir el crácter de 3. Probr que 3. Probr que e. + y hllr VP α diverge pr culquier α IR sen no es convergente. Eiste VP sen? 3. Estudir el crácter de ls siguientes integrles, según los vlores de IR. ) + sen b) + ln, pr > 33. Responder rzondmente, sobre l vercidd o flsedd de ls siguientes firmciones: ) Si f:[, + ) IR, es continu y lím f() =, entonces f() converge. + b) Si f:[, + ) IR, es derivble, creciente y cotd entonces c) Si Si e) Si f() es convergente, entonces f() +g() converge, entonces f() f() y f(). f () converge. g() son convergentes. f() y g() convergen, entonces f()g() converge necesrimente Probr que si f y g son funciones positivs tles que f() y eiste, cundo, ellímite de un de ls funciones, entonces 35. Estudir el crácter de ls integrles siguientes: g() convergen y f()g() converge. ) p) ( + sen ) b) ch e) e ( 4) h) + 4 k) e sen n) π cos q) + e c) e 4 + f) e ( 4) e i) l) o) ( ) π e e r) sen 3 +cos +e ln (+ ) sen +cos ( ) e sen I.T.I. en Electricidd 36

7 Mtemátics I.3 Lists de ejercicios de Cálculo Integrl 36. Estudir el crácter de ls integrles siguientes: ) sen b) ( ) e) π sen c) ln f) sen h) ln ln( +) i) ln ( 3 +) e e Estudir el crácter de ls integrles siguientes: ) π 4 ( tg ) sen ( π 4 ) 3 3 b) π 4 rcsen c) ( ) 3 e e + e e rctg( ) π 3 ( ) 4 e) ( e cos ) h) sen 3 ( ) ln 3 f) π + 8 +sen 7 i) sen ln(+) sen rctg 3 ( ) ( ) 3 sh. 38. Encontrr los vlores de, pr que ls integrles siguientes sen convergentes. ) π cos b) sen e) sen h) ( ) + + c) ( + sen ) + f) i) e Se define l función gmm por Γ(p) = p e. ) Probr que está definid pr todo p> y se verific que Γ(p +)=pγ(p). b) Clculr, usndo ), Γ(6). 4. Se f:[, + ) IR. Se define l función trnsformd integrl de Lplce de l función f, que denotremos por L{f}, como L{f()} = F (s) = f()e s, siempre que l integrl eist. Probr que: ) Si f() =, F (s) =L{} = s. b) Si F (s) =L{f()} y G(s) =L{g()}, entonces, pr todo λ, µ IR, L{λf()+µg()} = λl{f()} + µl{g()}. c) Si f es derivble y verific que lím + f()e s =, prtir de un cierto s, y eiste L{f ()}, entonces L{f ()} = sl{f()} f(). L{} = s y que L{sen()} = s +, usndo l prte c). I.T.I. en Electricidd 37

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