LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b.

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1 Tem 4 Integrción 4.. Primitivs LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es un función continu y no negtiv definid en el intervlo x [, b], entonces l integrl definid f(x) represent el áre bjo l gráfic de l función f(x) y sobre el eje x en el intervlo x [, b]. Si f(x) es un función generl, l integrl definid represent l sum de áres con signo entre l función y el eje x. L ide pr clculr l integrl definid es dividir el intervlo en n subintervlos y proximr l función por un constnte (el menor o el myor vlor, el vlor del punto medio o culquier vlor de l función en el intervlo). Entonces, clculmos el áre de n rectángulos, que es mucho más sencillo. Si proximmos f f(x i ) en el intervlo i-ésimo, con todos los intervlos de l mism longitud, x, entonces podemos proximr l integrl como f(x) f(x ) x + f(x 2 ) x + + f(x n ) x. Si proximmos l función en el intervlo por los siguientes vlores, obtenemos los que se llm, pr dich prtición del intervlo El menor vlor en cd subintervlo El myor vlor en cd subintervlo Culquier vlor en cd subintervlo sum inferior de f sum superior de f sum de Riemnn de f Al tomr el límite x 0 si tods ls sums coinciden, decimos que l función es integrble Riemnn. Not. Culquier función continu trozos es integrble. Tenemos l siguiente definición de integrl definid:

2 2 Integrción Definición 4.. Dd un función integrble f(x) en el intervlo [, b], se dividimos el intervlo en n subintervlos de igul longitud x, eligiendo culquier punto x i en cd subintervlo, entonces se define l integrl definid o l integrl de Riemnn de f(x) de b como n f(x)dx = lím f(x n i ) x. Not. Los métodos numéricos se bsn en este concepto de clculr un integrl proximndo el vlor de l función en cd subintervlo por un constnte o por un polinomio, mucho más sencillo de integrr. Propieddes de l integrl i= c f + c 2 g = c f + c 2 g f = c f = f = 0 fg f + b f f c g f 6. f g 7. f 0 8. si f 0 f f f 0 f f 0 9. m f(x) M, x [, b] m(b ) f(x) M(b ) g LA INTEGRAL INDEFINIDA Geométricmente, l derivd surge l hllr l pendiente de un curv y l integrl l clculr el áre bjo un curv, pero Newton descubrió, demás, que derivr e integrr son procesos inversos: Derivción: dd un función F (x), hll un función f(x) que stisfg df (x) dx = f(x). Integrción: dd un función f(x), hll un función F (x) que stisfg df (x) dx = f(x). Un función F (x) que resuelve el último problem se llm un primitiv, ntiderivd o integrl indefinid de f(x). El problem de derivción siempre tiene solución pero el de integrción no siempre tiene solución y, en generl, suele ser mucho más complicdo.

3 4.. Primitivs 3 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN Aquí veremos l técnics más comunes pr clculr l integrl (definid o indefinid) de un función. Primitivs básics x n = xn+ + c, n n + dx = ln x + c x e x = ex + c sen x = cos x + c cos x = sen x + c cos 2 x = tn x + c sen 2 x = cot x + c x = ( x rctn ( x 2 x = rcsen 2 senh x = cosh x + c cosh x = senh x + c ) + c ) + c Integrción medinte cmbio de vribles o por substitución (CV) Integrl definid Integrl indefinid g(b) g() f(x)dx = f(g(t))g (t)dt f(x)dx = f(g(t))g (t)dt l finl, hy que deshcer el cmbio Integrl definid Integrción por prtes (IPP) f(x)g (x)dx = f(x)g(x) b b f (x)g(x)dx Integrl indefinid f(x)g (x)dx = f(x)g(x) f (x)g(x)dx udv = uv vdu

4 4 Integrción Integrción de funciones rcionles: descomposición en frcciones simples P (x) dx P, Q polinomios. Q(x) Si el grdo de P grdo de Q debemos dividir los polinomios: P (x) = Q(x)C(x) + R(x) P (x) R(x) Q(x) dx = C(x) + Q(x) dx. R(x) dx con grdo(r(x)) < grdo(q(x)): Q(x) i) Primero, debemos comprobr que l integrl no se inmedit, es decir, si es del tipo: 2x + 3 tipo ln x 2 + 3x + 8 dx = ln x2 + 3x c. dx tipo rctn x = rctn x + c. 8 8 ii) Si no lo es Hremos descomposición en frcciones simples: Fctor en el denomindor x b Término en l descomposición en frcciones simples A x b (x b) k A x b + A 2 (x b) 2 + A k, k =, 2, 3, (x b) k (x ) 2 + b 2 Ax + B (x ) 2 + b 2 ( (x ) 2 +b 2) k A x + B (x ) 2 + b 2 + A 2x + B 2 ( (x )2 + b 2) A kx + B k ( (x )2 + b 2), k =, 2, 3, k Pr cd fctor en el denomindor debemos ñdir el término correspondiente de l tbl y clculr ls incógnits (A, B, A, B, A 2, B 2, ) igulndo los denomindores. Después hy que clculr l integrl de cd término. A prtir de quí, R = P Q polinomios. denot un función rcionl en sus rgumentos, P, Q son

5 4.. Primitivs 5 Funciones irrcionles o integrles con ríces Hremos un cmbio de vribles pr eliminr ls ríces. [ (x + b ) p /q, ( x + b ) ] pr /q r R, t m = x + b cx + d cx + d cx + d, m = mcm(q,, q r ). mcm mínimo común múltiplo. Integrles de funciones trigonométrics sen 2n x, cos 2n x fórmuls de ángulo doble: cos 2x = cos 2 x sen 2 x sen 2n+ x = sen 2n x sen x = ( cos 2 x) n sen x cos 2n+ x = cos 2n x cos x = ( sen 2 x) n cos x sen mx cos nx fórmuls trigonométrics R(sen x, cos x) R impr en sen x R impr en cos x R pr en cos x y sen x Resto de problems ( sen x = 2t t2, cos x = + t2 + t 2, dx = 2 ) + t 2 dt t = cos x t = sen x t = tn x t = tn x/2, R(x, x ) x = tn t R(x, x 2 2 ) x = Algunos cmbios de vribles cos t R(x, 2 x 2 ) x = sen t

6 6 Integrción 4.2. El Teorem Fundmentl del Cálculo Se f integrble en [,b], F (x) = x f(t)dt es un primitiv de f(x) definid en [, b]. Teorem 4.2. f integrble en [, b] F continu en [, b] Teorem (El Teorem Fundmentl del Cálculo, TFC) Se f integrble en [, b] y F (x) = x f(t)dt, definid x [, b]. Si f es continu en c [, b] F es derivble en c y F (c) = f(c). Si f es continu x [, b] F es derivble x [, b] y F (x) = f(x). Teorem (Regl de Brrow) Sen f y g continus en [, b] y g derivble en (, b), de form que g (x) = f(x), x (, b), entonces f = g = g(b) g(). Teorem (TFC generlizdo) Se F (x) = Se H(x) = F (g(x)) = Se H(x) = g(x) l(x) g(x) x f, con f integrble f, entonces si g es derivble, tenemos que H (x) = F (g(x))g (x) = f(g(x))g (x). f, entonces si g y l son derivbles, tenemos que H (x) = f(g(x))g (x) f(l(x))l (x).

7 4.3. Aplicciones de l Integrl Aplicciones de l Integrl ÁREAS Áre entre l gráfic de un función y el eje x, entre y b: A = f dx Áre entre ls gráfics de dos funciones f, g, entre y b: A = f g dx Áre con ecuciones prmétrics: el áre entre l gráfic de x = x(t), y = y(t) y el eje x entre t = t 0 y t = t es: t A = y(t)x (t)dt t 0 Áre en coordends polres: el áre de l gráfic de r = r(θ) entre θ = α y θ = β es β A = 2 r2 (θ)dθ α VOLÚMENES Volumen por secciones prlels: si A(x) es el áre de ls secciones prlels lo lrgo de tod l longitud de un sólido, el volumen del sólido sí definido entre x = y x = b es V = A(x)dx El método de discos: el volumen de un sólido de revolución obtenido l rotr f(x) lrededor del eje x entre x = y x = b es V = π(f(x)) 2 dx El método de cps: el volumen de un sólido de revolución obtenido l rotr f(x) 0 lrededor del eje y es V = 2π xf(x)dx

8 8 Integrción LONGITUDES L longitud del rco de curv f(x) entre x = y x = b es L(f) = + (f (x)) 2 dx Si l curv viene dd en form prmétric, l longitud es L = t t 0 (x (t)) 2 + (y (t)) 2 dt Definición 4.3. L siguiente integrl INTEGRAL IMPROPIA N f(x) = lím f(x), N se llm un integrl impropi de f. Si el límite es finito decimos que l integrl converge en otro cso, diremos que l integrl diverge. Teorem (Criterio integrl pr series) Consideremos f 0 un función monóton decreciente definid en x. Se n = f(n), entonces n= n y f(x) dx, tienen el mismo comportmiento, o mbs convergen o mbs divergen.