LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b.

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b."

Transcripción

1 Tem 4 Integrción 4.. Primitivs LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es un función continu y no negtiv definid en el intervlo x [, b], entonces l integrl definid f(x) represent el áre bjo l gráfic de l función f(x) y sobre el eje x en el intervlo x [, b]. Si f(x) es un función generl, l integrl definid represent l sum de áres con signo entre l función y el eje x. L ide pr clculr l integrl definid es dividir el intervlo en n subintervlos y proximr l función por un constnte (el menor o el myor vlor, el vlor del punto medio o culquier vlor de l función en el intervlo). Entonces, clculmos el áre de n rectángulos, que es mucho más sencillo. Si proximmos f f(x i ) en el intervlo i-ésimo, con todos los intervlos de l mism longitud, x, entonces podemos proximr l integrl como f(x) f(x ) x + f(x 2 ) x + + f(x n ) x. Si proximmos l función en el intervlo por los siguientes vlores, obtenemos los que se llm, pr dich prtición del intervlo El menor vlor en cd subintervlo El myor vlor en cd subintervlo Culquier vlor en cd subintervlo sum inferior de f sum superior de f sum de Riemnn de f Al tomr el límite x 0 si tods ls sums coinciden, decimos que l función es integrble Riemnn. Not. Culquier función continu trozos es integrble. Tenemos l siguiente definición de integrl definid:

2 2 Integrción Definición 4.. Dd un función integrble f(x) en el intervlo [, b], se dividimos el intervlo en n subintervlos de igul longitud x, eligiendo culquier punto x i en cd subintervlo, entonces se define l integrl definid o l integrl de Riemnn de f(x) de b como n f(x)dx = lím f(x n i ) x. Not. Los métodos numéricos se bsn en este concepto de clculr un integrl proximndo el vlor de l función en cd subintervlo por un constnte o por un polinomio, mucho más sencillo de integrr. Propieddes de l integrl i= c f + c 2 g = c f + c 2 g f = c f = f = 0 fg f + b f f c g f 6. f g 7. f 0 8. si f 0 f f f 0 f f 0 9. m f(x) M, x [, b] m(b ) f(x) M(b ) g LA INTEGRAL INDEFINIDA Geométricmente, l derivd surge l hllr l pendiente de un curv y l integrl l clculr el áre bjo un curv, pero Newton descubrió, demás, que derivr e integrr son procesos inversos: Derivción: dd un función F (x), hll un función f(x) que stisfg df (x) dx = f(x). Integrción: dd un función f(x), hll un función F (x) que stisfg df (x) dx = f(x). Un función F (x) que resuelve el último problem se llm un primitiv, ntiderivd o integrl indefinid de f(x). El problem de derivción siempre tiene solución pero el de integrción no siempre tiene solución y, en generl, suele ser mucho más complicdo.

3 4.. Primitivs 3 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN Aquí veremos l técnics más comunes pr clculr l integrl (definid o indefinid) de un función. Primitivs básics x n = xn+ + c, n n + dx = ln x + c x e x = ex + c sen x = cos x + c cos x = sen x + c cos 2 x = tn x + c sen 2 x = cot x + c x = ( x rctn ( x 2 x = rcsen 2 senh x = cosh x + c cosh x = senh x + c ) + c ) + c Integrción medinte cmbio de vribles o por substitución (CV) Integrl definid Integrl indefinid g(b) g() f(x)dx = f(g(t))g (t)dt f(x)dx = f(g(t))g (t)dt l finl, hy que deshcer el cmbio Integrl definid Integrción por prtes (IPP) f(x)g (x)dx = f(x)g(x) b b f (x)g(x)dx Integrl indefinid f(x)g (x)dx = f(x)g(x) f (x)g(x)dx udv = uv vdu

4 4 Integrción Integrción de funciones rcionles: descomposición en frcciones simples P (x) dx P, Q polinomios. Q(x) Si el grdo de P grdo de Q debemos dividir los polinomios: P (x) = Q(x)C(x) + R(x) P (x) R(x) Q(x) dx = C(x) + Q(x) dx. R(x) dx con grdo(r(x)) < grdo(q(x)): Q(x) i) Primero, debemos comprobr que l integrl no se inmedit, es decir, si es del tipo: 2x + 3 tipo ln x 2 + 3x + 8 dx = ln x2 + 3x c. dx tipo rctn x = rctn x + c. 8 8 ii) Si no lo es Hremos descomposición en frcciones simples: Fctor en el denomindor x b Término en l descomposición en frcciones simples A x b (x b) k A x b + A 2 (x b) 2 + A k, k =, 2, 3, (x b) k (x ) 2 + b 2 Ax + B (x ) 2 + b 2 ( (x ) 2 +b 2) k A x + B (x ) 2 + b 2 + A 2x + B 2 ( (x )2 + b 2) A kx + B k ( (x )2 + b 2), k =, 2, 3, k Pr cd fctor en el denomindor debemos ñdir el término correspondiente de l tbl y clculr ls incógnits (A, B, A, B, A 2, B 2, ) igulndo los denomindores. Después hy que clculr l integrl de cd término. A prtir de quí, R = P Q polinomios. denot un función rcionl en sus rgumentos, P, Q son

5 4.. Primitivs 5 Funciones irrcionles o integrles con ríces Hremos un cmbio de vribles pr eliminr ls ríces. [ (x + b ) p /q, ( x + b ) ] pr /q r R, t m = x + b cx + d cx + d cx + d, m = mcm(q,, q r ). mcm mínimo común múltiplo. Integrles de funciones trigonométrics sen 2n x, cos 2n x fórmuls de ángulo doble: cos 2x = cos 2 x sen 2 x sen 2n+ x = sen 2n x sen x = ( cos 2 x) n sen x cos 2n+ x = cos 2n x cos x = ( sen 2 x) n cos x sen mx cos nx fórmuls trigonométrics R(sen x, cos x) R impr en sen x R impr en cos x R pr en cos x y sen x Resto de problems ( sen x = 2t t2, cos x = + t2 + t 2, dx = 2 ) + t 2 dt t = cos x t = sen x t = tn x t = tn x/2, R(x, x ) x = tn t R(x, x 2 2 ) x = Algunos cmbios de vribles cos t R(x, 2 x 2 ) x = sen t

6 6 Integrción 4.2. El Teorem Fundmentl del Cálculo Se f integrble en [,b], F (x) = x f(t)dt es un primitiv de f(x) definid en [, b]. Teorem 4.2. f integrble en [, b] F continu en [, b] Teorem (El Teorem Fundmentl del Cálculo, TFC) Se f integrble en [, b] y F (x) = x f(t)dt, definid x [, b]. Si f es continu en c [, b] F es derivble en c y F (c) = f(c). Si f es continu x [, b] F es derivble x [, b] y F (x) = f(x). Teorem (Regl de Brrow) Sen f y g continus en [, b] y g derivble en (, b), de form que g (x) = f(x), x (, b), entonces f = g = g(b) g(). Teorem (TFC generlizdo) Se F (x) = Se H(x) = F (g(x)) = Se H(x) = g(x) l(x) g(x) x f, con f integrble f, entonces si g es derivble, tenemos que H (x) = F (g(x))g (x) = f(g(x))g (x). f, entonces si g y l son derivbles, tenemos que H (x) = f(g(x))g (x) f(l(x))l (x).

7 4.3. Aplicciones de l Integrl Aplicciones de l Integrl ÁREAS Áre entre l gráfic de un función y el eje x, entre y b: A = f dx Áre entre ls gráfics de dos funciones f, g, entre y b: A = f g dx Áre con ecuciones prmétrics: el áre entre l gráfic de x = x(t), y = y(t) y el eje x entre t = t 0 y t = t es: t A = y(t)x (t)dt t 0 Áre en coordends polres: el áre de l gráfic de r = r(θ) entre θ = α y θ = β es β A = 2 r2 (θ)dθ α VOLÚMENES Volumen por secciones prlels: si A(x) es el áre de ls secciones prlels lo lrgo de tod l longitud de un sólido, el volumen del sólido sí definido entre x = y x = b es V = A(x)dx El método de discos: el volumen de un sólido de revolución obtenido l rotr f(x) lrededor del eje x entre x = y x = b es V = π(f(x)) 2 dx El método de cps: el volumen de un sólido de revolución obtenido l rotr f(x) 0 lrededor del eje y es V = 2π xf(x)dx

8 8 Integrción LONGITUDES L longitud del rco de curv f(x) entre x = y x = b es L(f) = + (f (x)) 2 dx Si l curv viene dd en form prmétric, l longitud es L = t t 0 (x (t)) 2 + (y (t)) 2 dt Definición 4.3. L siguiente integrl INTEGRAL IMPROPIA N f(x) = lím f(x), N se llm un integrl impropi de f. Si el límite es finito decimos que l integrl converge en otro cso, diremos que l integrl diverge. Teorem (Criterio integrl pr series) Consideremos f 0 un función monóton decreciente definid en x. Se n = f(n), entonces n= n y f(x) dx, tienen el mismo comportmiento, o mbs convergen o mbs divergen.

LA INTEGRAL DE RIEMANN

LA INTEGRAL DE RIEMANN LA INTEGRAL DE RIEMANN En este tem se introduce el Cálculo Integrl que demás de permitir clculr longitudes, áres y volúmenes, tiene multiples plicciones en l Ciencis, Ingenierí, etc... En primer lugr,

Más detalles

5.2 Integral Definida

5.2 Integral Definida 80 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 5.2 Integrl Definid Definición de Integrl Definid El concepto de integrl definid se construye prtir de l ide de psr l límite un sum cundo el número de sumndos

Más detalles

TEMA 5: INTEGRACIÓN. f(x) dx.

TEMA 5: INTEGRACIÓN. f(x) dx. TEMA 5: INTEGRACIÓN. L integrl indefinid En muchos spectos, l operción llmd integrción que vmos estudir quí es l operción invers l derivción. Definición.. L función F es un ntiderivd (o primitiv) de l

Más detalles

La Integral de Riemann

La Integral de Riemann Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función

Más detalles

TEMA 4. Cálculo integral

TEMA 4. Cálculo integral TEMA 4. Cálculo integrl En este tem considerremos el cálculo integrl, que es un complemento nturl del cálculo diferencil y tiene múltiples plicciones en otrs ciencis. 4.. Introducción l cálculo integrl

Más detalles

5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN.

5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN. 5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN. COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2010-2011 5.4.1. El áre de un círculo medinte proximción por polígonos regulres. 5.4.1. El áre

Más detalles

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID. Departamento de Matemáticas CAPÍTULO 4 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID. Departamento de Matemáticas CAPÍTULO 4 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Deprtmento de Mtemátics MATEMÁTICAS CAPÍTULO 4 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 2010 2011 Elbordo por Elen Romer Índice generl 4. Cálculo

Más detalles

Integración de funciones reales de una variable real. 24 de octubre de 2014

Integración de funciones reales de una variable real. 24 de octubre de 2014 Cálculo Integrción de funciones reles de un vrible rel 24 de octubre de 2014 c Dpto. de Mtemátics UDC Integrción de funciones reles de un vrible rel L integrl indefinid. Cálculo de primitivs L integrl

Más detalles

Sean dos funciones f y g de variable real definidas en un dominio DŒÑ Definición g es una primitiva de f si f(x)=g (x) "x D

Sean dos funciones f y g de variable real definidas en un dominio DŒÑ Definición g es una primitiva de f si f(x)=g (x) x D INTEGRAL DE RIEMANN 1- Primitivs e integrl indefinid - Integrl de Riemnn 3- Interpretción geométric de ls integrles de Riemnn 4- Propieddes de ls integrles de Riemnn 5- Cmio de vrile en ls integrles de

Más detalles

CÁLCULO ELEMENTAL APUNTES. Valor absoluto. Definición 1. El valor absoluto del número real a, que se designa por a, se define por. a si a < 0.

CÁLCULO ELEMENTAL APUNTES. Valor absoluto. Definición 1. El valor absoluto del número real a, que se designa por a, se define por. a si a < 0. CÁLCULO ELEMENTAL APUNTES Vlor bsoluto Definición 1. El vlor bsoluto del número rel, que se design por, se define por { si 0, = si < 0. Definición 2. L distnci entre los números x 1 y x 2 de l rect rel

Más detalles

Cálculo integral de funciones de una variable

Cálculo integral de funciones de una variable Lino Alvrez - Aure Mrtínez CÁLCULO II Cálculo integrl de funciones de un vrible 1 L integrl de Riemnn Se f : [, b] R R un función cotd en [, b]. Definición 1.- Un prtición P = {t 0, t 1,..., t n } del

Más detalles

PRIMITIVA E INTEGRACIÓN INDEFINIDA

PRIMITIVA E INTEGRACIÓN INDEFINIDA TEMA CÁLCULO DE PRIMITIVAS. - PRIMITIVA E INTEGRACIÓN INDEFINIDA PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN f(): F() es un primitiv de f() si F () = f() Ejemplos: función: f() Primitiv: F() sen - cos Not: Un función tiene

Más detalles

Teorema fundamental del Cálculo.

Teorema fundamental del Cálculo. Sesión Teorem fundmentl del Cálculo (TFC) Tems Teorem fundmentl del Cálculo. Cpciddes Conocer y comprender el TFC. Aplicr el TFC en el cálculo de derivds e integrles definids.. Introducción I. Brrow Inglés.

Más detalles

Matemáticas Empresariales I. Integral Definida

Matemáticas Empresariales I. Integral Definida Mtemátics Empresriles I Lección 8 Integrl Definid Mnuel León Nvrro Colegio Universitrio Crdenl Cisneros M. León Mtemátics Empresriles I 1 / 31 Construcción de l integrl definid Se f un función definid

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 6 Curso preprtorio de l prueb de cceso l universidd pr myores de 5 ños curso 1/11 Nuri Torrdo Robles Deprtmento de Estdístic Universidd Crlos III de Mdrid

Más detalles

5. Integral y Aplicaciones

5. Integral y Aplicaciones Métodos Mtemáticos (Curso 203 204) Grdo en Óptic y Optometrí 29 5. Integrl y Aplicciones Primitiv de un función Un función F es un primitiv de f, en un intervlo I, si F (x) = f(x) pr todo x en I. Observción

Más detalles

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Mtemátics II LE.Tem 4: Introducción l teorí de integrción Integrles inmedits MÉTODOS DE INTEGRACIÓN x α = xα+ α+ + C, si α - (f(x)) α f '(x) = (f(x))α+ + C, si α - α + x = x + C f '(x) = f(x) + C f(x)

Más detalles

f(x) dx = F (x) + C, siendo F (x) una antiderivada de f(x), es decir, siendo F (x) tal que F (x) = f(x)

f(x) dx = F (x) + C, siendo F (x) una antiderivada de f(x), es decir, siendo F (x) tal que F (x) = f(x) Cálculo de primitivs: f(x) dx = F (x) + C, siendo F (x) un ntiderivd de f(x), es decir, siendo F (x) tl que F (x) = f(x) L constnte C se denomin constnte de integrción; es un constnte rbitrri porque se

Más detalles

Integración de funciones de una variable real

Integración de funciones de una variable real Cpítulo 5 Integrción de funciones de un vrible rel 5.1. Introducción Los inicios del Cálculo Integrl se remontn Arquímedes, mtemático, físico e ingeniero griego del S.III A.C., quién clculó el áre de numeross

Más detalles

La Integral Definida

La Integral Definida Nivelción de Mtemátic MTHA UNLP ID Introducción Prtición L Integrl Definid Un prtición del intervlo [, b] es un sucesión de números = x x x x n = b, entre y b, tl que x i x i+ (i =,,, n ) Ejemplo: se llm

Más detalles

Tema 11: Integrales denidas

Tema 11: Integrales denidas Tem : Integrles denids My 9, 7 Denición y propieddes Denición. Si f ) es un función continu en un intervlo [, b] y denid positiv, f ), l integrl denid en ese intervlo l denimos como: f ). Si f ) > l integrl

Más detalles

2. Cálculo de primitivas

2. Cálculo de primitivas 5. Cálculo de primitivs Definición. Se dice que un función F () es un primitiv de otr función f() sobre un intervlo (, b) si pr todo de (, b) se tiene que F () f(). Por ejemplo, l función F () es un primitiv

Más detalles

Complementos de Matemáticas, ITT Telemática

Complementos de Matemáticas, ITT Telemática Complementos de Mtemátics, ITT Telemátic Tem 3. Deprtmento de Mtemátics, Universidd de Alclá Índice 1 básic 2 Obtención de ls regls de cudrtur 3 Error de cudrtur 4 Regls compuests Introducción Integrl

Más detalles

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de

Más detalles

La integral de Riemann

La integral de Riemann L integrl de Riemnn 1 Vmos dr un definición precis de l integrl de un función definid en un intervlo. Este tiene que ser un intervlo cerrdo y cotdo, es decir [,] con < R, y l definición que dremos de integrl

Más detalles

El Teorema Fundamental del Cálculo

El Teorema Fundamental del Cálculo del Cálculo Deprtmento de Análise Mtemátic Fcultde de Mtemátics Universidde de Sntigo de Compostel Sntigo, 2011 L Regl de Brrow: un resultdo sorprendente Recordemos que f es integrble en I = [, b] y su

Más detalles

TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN. 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Partición de un intervalo

TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN. 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Partición de un intervalo TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Prtición de un intervlo Se f :, y fx K x,. Definición: Un prtición de, es un conjunto ordendo y finito de números reles y distintos P x 0,...,x

Más detalles

Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio.

Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio. Grdo en Biologí Tem Integrción Sección.: Aproximción numéric de integrles definids. Hy funciones de ls que no se puede hllr un primitiv en términos de funciones elementles. Esto sucede, por ejemplo, con

Más detalles

6.1 Sumas de Riemann e integral definida

6.1 Sumas de Riemann e integral definida Tem 6 Integrción Definid 6.1 Sums de Riemnn e integrl definid Supongmos que estmos interesdos en clculr el áre que se encuentr bjo un curv y = f(x) en un intervlo [, b] (pr simplificr, consideremos el

Más detalles

Integración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua.

Integración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua. Integrción indefinid y definid. Aplicciones de l integrl: vlor medio de un función continu. Jun Ruiz 1 Mrcos Mrvá 1 1 Deprtmento de Mtemátics. Universidd de Alclá de Henres. Contenidos Introducción 1 Introducción

Más detalles

Cálculo de áreas de figuras planas. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Cálculo de áreas de superficies de revolución.

Cálculo de áreas de figuras planas. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Cálculo de áreas de superficies de revolución. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Cálculo de áres de figurs plns. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Cálculo de longitud de rco de curv. Cálculo de áres de superficies de revolución. Cálculo

Más detalles

Cálculo de primitivas

Cálculo de primitivas Cálculo de primitivs Cmbio de vrible Cálculo de primitivs Utilizremos l notción f (x) pr denotr un primitiv de l función f. Además, busndo del lenguje, menudo hblremos de integrl de l función cundo deberímos

Más detalles

AREA DE CIENCIAS BÁSICAS - CÁLCULO INTEGRAL INTEGRAL DEFINIDA

AREA DE CIENCIAS BÁSICAS - CÁLCULO INTEGRAL INTEGRAL DEFINIDA GUIA DE INTEGRALES DEFINIDAS INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Teorem Fundmentl del Cálculo Áre jo l curv de un región Áre entre dos regiones COMPETENCIA: Resolver integrles plicndo

Más detalles

dx x 2 dx 22. x2 +x-2 dx cos 2 x+cosx senx

dx x 2 dx 22. x2 +x-2 dx cos 2 x+cosx senx Integrles Clculr l integrl: +e + -+ + sen(+) 6-7 - 8 9 - + ln - 9- + (-)cos 6 ln 7 e 8 sen 9 e - + + + +- +- -6 - ++ () Describir el método de integrción por cmbio de vrible () Usndo el cmbio de vrible

Más detalles

Z ξ. g(t)dt y proceda como sigue:

Z ξ. g(t)dt y proceda como sigue: Prolems Prolem.9. Sen f(x) y g(x) funciones continus en [,] y f (x) continu y de signo constnte en [,]. demuestre que (,) tl que f(x)g(x)dx = f() g(x)dx+ f() g(x)dx. R Pr esto considere l función G(x)

Más detalles

Métodos Numéricos: Resumen y ejemplos Tema 3: Integración numérica

Métodos Numéricos: Resumen y ejemplos Tema 3: Integración numérica Métodos Numéricos: Resumen y ejemplos em 3: Integrción numéric Frncisco Plcios Escuel Politécnic uperior de Ingenierí de Mnres Universidd Politécnic de Ctluñ Mrzo 8, versión.4 Contenido. Fórmuls de cudrtur.

Más detalles

Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas

Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas Mtemático Tem: L integrl Integrl Herrmients digitles de uto-prendizje pr Mtemátics, Grupo de Innovción Didáctic Deprtmento de Mtemátics Universidd de Extremdur Mtemático Tem: L integrl Integrl Mtemático

Más detalles

Aplicaciones de la Integral.

Aplicaciones de la Integral. Seminrio 2 Aplicciones de l Integrl. 2.1. Áre de figurs plns. Definición 2.1.1. Se f : [, b] R continu y f(x) 0 x [, b]. El áre del recinto {(x, y) R 2 : x b, 0 y f(x)} viene dd por l integrl: A = f(x)

Más detalles

Fundamentos matemáticos. Tema 7 Integración. Aplicaciones

Fundamentos matemáticos. Tema 7 Integración. Aplicaciones Fundmentos mtemáticos Grdo en Ingenierí grícol y del medio rurl Tem 7 Integrción. Aplicciones José Brrios Grcí Deprtmento de Análisis Mtemático Universidd de L Lgun jrrios@ull.es 16 Licenci Cretive Commons

Más detalles

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades Cpítulo 7 Integrles impropis 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes El concepto de integrl se etiende de mner csi espontáne situciones más generles que ls que hemos emindo hst hor. Consideremos,

Más detalles

a x0 x x... x x b, con lo que los (n+1) números reales dividen al intervalo, 1. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA

a x0 x x... x x b, con lo que los (n+1) números reales dividen al intervalo, 1. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA UNIDAD 6: Integrles Definids. Aplicciones. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA Nos plntemos el cálculo de áres de recintos limitdos por curvs que vienen dds por funciones reles,como por ejemplo

Más detalles

1.4. Sucesión de funciones continuas ( )

1.4. Sucesión de funciones continuas ( ) 1.4. Sucesión de funciones continus (18.04.2017) Se {f n } un sucesión de funciones f n, definids en I. Si {f n } converge uniformemente f en I y ls f n son continus en I, entonces f es continu en I. D:

Más detalles

Cálculo Diferencial e Integral - Longitud de una curva. Prof. Farith J. Briceño N.

Cálculo Diferencial e Integral - Longitud de una curva. Prof. Farith J. Briceño N. Cálculo Diferencil e Integrl - Longitud de un curv. Prof. Frith J. Briceño N. Objetivos cubrir Longitud de un curv. Áre de un superficie de revolución. Ejercicios Código : MAT-CDI. resueltos Ejemplo :

Más detalles

Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Tema 9: Cálculo integral de funciones de varias variables Curso

Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Tema 9: Cálculo integral de funciones de varias variables Curso Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 9) Hoj Escuel Técnic Superior de Ingenierí Civil e Industril (Esp. en Hidrologí) Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. Tem 9: Cálculo integrl de funciones de

Más detalles

7.1. Definición de la Integral de Riemann

7.1. Definición de la Integral de Riemann Cpítulo 7 Integrl de Riemnn 71 Definición de l Integrl de Riemnn En este cpítulo supondremos, menos que se indique lo contrrio, que < b y f : [, b] R es un función cotd Definición 71 Un prtición del intervlo

Más detalles

Descomposición elemental (ajustes por constantes)

Descomposición elemental (ajustes por constantes) Descomposición elementl (justes por constntes) OBSERVACIONES. Ls primers integrles que precen se hn obtenido del libro de Mtemátics I (º de Bchillerto) McGrw-Hill, Mdrid 007.. Otros problems se hn obtenido

Más detalles

METODOS NUMERICOS TALLER 7, SEMESTRE Se obtuvieron los siguientes datos de la distancia recorrida por un cohete contra el tiempo:

METODOS NUMERICOS TALLER 7, SEMESTRE Se obtuvieron los siguientes datos de la distancia recorrida por un cohete contra el tiempo: METODOS NUMERICOS 697 TALLER 7, SEMESTRE Tem: Derivción e integrción numérics Se recomiend relizr los ejercicios propuestos en el texto guí, en prticulr los siguientes: Sección :,,, 7, 8,, Sección :, 8

Más detalles

Integral de Riemann. Introducción a la integración numérica.

Integral de Riemann. Introducción a la integración numérica. Cálculo Mtemático (Práctics) M. I. Berenguer Mldondo mribel@ugr.es. 1 Integrl de Riemnn. Introducción l integrción numéric. En est práctic usremos l clculdor ClssPd pr trtr el problem de integrción. Se

Más detalles

Integración Numérica. 18 Regla del Trapecio

Integración Numérica. 18 Regla del Trapecio Integrción Numéric L integrl resuelve el problem de clculr el áre bjo l gráfic de un función positiv definid sobre un intervlo cerrdo. El cálculo elementl de funciones de un vrible rel proporcion un método

Más detalles

Integrales Impropias. Capítulo Introducción Integrales de Funciones No Acotadas

Integrales Impropias. Capítulo Introducción Integrales de Funciones No Acotadas Cpítulo 8 Integrles Impropis 8.. Introducción L integrl de Riemnn tl como l hemos estudido, está definid únicmente pr funciones cotds y definids sobre intervlos cerrdos y cotdos. En este cpítulo estudiremos

Más detalles

Aplicaciones de la integral.

Aplicaciones de la integral. Cpítulo 6 Aplicciones de l integrl. 6.. Cálculo del áre de un figur pln. En generl, pr clculr el áre de un región pln:. L dividimos en frnjs, infinitmente estrechs, de mner horizontl o verticl,. Suponemos

Más detalles

6.1. Integral de Riemann de una función.

6.1. Integral de Riemann de una función. Tem 6 L integrl definid 6.. Integrl de Riemnn de un función. En un principio (Euler), el cálculo integrl se definí como l operción invers l diferencición, sin embrgo, en l primer mitd del siglo XIX se

Más detalles

PROGRAMA. a) Presentar en forma secuencialmente lógica las materias del Cálculo Integral y el estudio de Series.

PROGRAMA. a) Presentar en forma secuencialmente lógica las materias del Cálculo Integral y el estudio de Series. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE VALPARAISO INSTITUTO DE MATEMATICAS LUISA ABURTO HAGEMAN, Secretri Acdémic del Instituto de Mtemátics Certific este, PROGRAMA Asigntur MAT 223 CALCULO 2 I DATOS GENERALES

Más detalles

Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral

Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral Aplicciones del Cálculo diferencil e integrl Integrción numéric con Mxim http://euler.us.es/~rento/ Rento Álvrez-Nodrse Universidd de Sevill Rento Álvrez-Nodrse Universidd de Sevill Aplicciones del Cálculo

Más detalles

Integración numérica: Regla del trapecio Método de Romberg

Integración numérica: Regla del trapecio Método de Romberg Clse No. 18: Integrción numéric: Regl del trpecio Método de Romberg MAT 251 Dr. Alonso Rmírez Mnznres CIMAT A.C. e-mil: lrm@ cimt.mx web: http://www.cimt.mx/ lrm/met_num/ Dr. Joquín Peñ Acevedo CIMAT A.C.

Más detalles

ÍNDICE GENERAL. Índice de Símbolos 37. Bibliografía 39

ÍNDICE GENERAL. Índice de Símbolos 37. Bibliografía 39 Índice generl. L Integrl Indenid.. Antiderivd e Integrl Indenid...................... Integrles inmedits........................... 3.3. Regl de l Cden............................ 4.4. Sustitución o Cmbio

Más detalles

INTEGRAL DEFINIDA. 6.1 Aproximación intuitiva al concepto de integral definida. Propiedades con respecto al integrando y al intervalo de integración.

INTEGRAL DEFINIDA. 6.1 Aproximación intuitiva al concepto de integral definida. Propiedades con respecto al integrando y al intervalo de integración. INTEGRAL DEFINIDA Apuntes de A. Cñó Mtemátics II 6. Aproimción intuitiv l concepto de integrl definid. Propieddes con respecto l integrndo y l intervlo de integrción. 6. El teorem fundmentl del cálculo

Más detalles

Aplicaciones del cálculo integral

Aplicaciones del cálculo integral Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2016 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2016 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 06 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserv, Ejercicio, Opción A Reserv, Ejercicio, Opción B Reserv, Ejercicio,

Más detalles

Primitivas e Integrales

Primitivas e Integrales Cpítulo 25 Primitivs e Integrles En este cpítulo vmos trbjr con funciones de un vrible. En él estbleceremos un cso prticulr del Teorem Fundmentl del Cálculo Integrl (ver [3] pr el cso generl), con el que

Más detalles

SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN

SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 08-2 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN 4.6. Teorem Fundmentl

Más detalles

INTEGRAL DEFINIDA. El hallar el área aproximada bajo la curva por suma de n áreas rectangulares de igual ancho x

INTEGRAL DEFINIDA. El hallar el área aproximada bajo la curva por suma de n áreas rectangulares de igual ancho x en INTEGRAL DEFINIDA El concepto de integrl definid está relciondo con el vlor que determin el áre jo l curv dd por un función f (x) el [, ]. (ve l intervlo gráfic) Uno de los primeros psos pr llegr este

Más detalles

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja Tem 4. Integrción de Funciones de Vrible omplej Prof. Willim L ruz Bstids 7 de octubre de 22 Tem 4 Integrción de Funciones de Vrible omplej 4. Integrl definid Se F (t) un función de vrible rel con vlores

Más detalles

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA. A1. Curvas expresadas en forma explícita (Coordenadas Cartesianas)

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA. A1. Curvas expresadas en forma explícita (Coordenadas Cartesianas) ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA CÁLCULO DE ÁREAS Y VOLÚMENES (De revolución) A. Cálculo

Más detalles

1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS

1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS . INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS.. INTEGRAL DEFINIDA Se y = f(x) definid pr todo x [, b]. Consideremos un prtiión P del intervlo [, b] P {x 0 = < x < x 2 < < x n = b} Sen P = máx{x i x i }, s n = n m

Más detalles

Integración en una variable. Aplicaciones

Integración en una variable. Aplicaciones Tem 4 Integrción en un vrible. Aplicciones Ls integrles formlizn un concepto bstnte sencillo e intuitivo, el de áre. Los orígenes del cálculo de áres los podemos encontrr en el método de exhución desrrolldo

Más detalles

LA INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES

LA INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES LA INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES L integrl definid Se y f un función definid en el intervlo,, se llm integrl definid de f en n el intervlo, y se denot por fd lim fc i i i. n i y se llmn límites

Más detalles

Resumen Segundo Parcial, MM-502

Resumen Segundo Parcial, MM-502 Resumen Segundo Prcil, MM-502 Jose Alvreng 18 de febrero de 2015 1. Integrles de líne ) Definición Se r(t) = f(t)i + g(t)j un función vectoril con dominio D, y L un vector. Decimos que r tiene limite L

Más detalles

1. Cálculo de primitivas. 2. Reglas de cálculo de primitivas. (I Integrales inmediatas)

1. Cálculo de primitivas. 2. Reglas de cálculo de primitivas. (I Integrales inmediatas) Tem : L integrl definid. Cálculo de primitivs. Aplicciones.. Cálculo de primitivs. Definición. Dds f, F : D R R, decimos que F es un primitiv de l función f si: F ( f(, D. Está clro que si F es un primitiv

Más detalles

Inecuaciones con valor absoluto

Inecuaciones con valor absoluto Inecuciones con vlor soluto El vlor soluto de un número rel se denot por y está definido por:, si 0 si 0 Propieddes Si y son números reles y n es un número entero, entonces: 1.. 3. n 4. n L noción de vlor

Más detalles

Integral impropia Al definir la integral definida b

Integral impropia Al definir la integral definida b Mte Univ II, 14 FCE-BUAP CÁLCULO INTEGRAL ALEJANDRO RAMÍREZ PÁRAMO 1. Sucesiones y series Integrl impropi Al definir l integrl definid b f(x)dx, pretendimos que l función f estb definid; demás de cotd,

Más detalles

Funciones de una variable real II Integrales impropias

Funciones de una variable real II Integrales impropias Universidd de Murci Deprtmento Mtemátics Funciones de un vrible rel II Integrles impropis B. Cscles, J. M. Mir y L. Oncin Deprtmento de Mtemátics Universidd de Murci Grdo en Mtemátics 202-203 (22/04/203??/05/203)

Más detalles

7 Integral triple de Riemann

7 Integral triple de Riemann Miguel eyes, pto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM 1 7 Integrl triple de iemnn 7.1 efinición Llmremos rectángulo cerrdo de 3 (prlelepípedo) l producto de tres intervlos cerrdos y cotdos de, es decir = [, b]

Más detalles

2.3.1 Cálculo de primitivas

2.3.1 Cálculo de primitivas Mtemátics I.3 Lists de ejercicios de Cálculo Integrl.3 Lists de ejercicios de Cálculo Integrl.3. Cálculo de primitivs 75. Encontrr l epresión de ls siguientes integrles indefinids: ) p) tg b) e sen cos

Más detalles

Cálculo II. Volúmenes de Sólidos. M. en C. Ricardo Romero. Grupo CTG87 Trimestre 11-P. Departamento de Ciencias Básicas, UAM-A

Cálculo II. Volúmenes de Sólidos. M. en C. Ricardo Romero. Grupo CTG87 Trimestre 11-P. Departamento de Ciencias Básicas, UAM-A Cálculo II Volúmenes de Sólidos M. en C. Ricrdo Romero Deprtmento de Ciencis Básics, UAM-A Grupo CTG87 Trimestre 11-P Grupo CTG87 Trimestre 11-P 1 / Progrm 1 Cálculo de volúmenes prtir de secciones trnsversles

Más detalles

Integración de funciones de una variable

Integración de funciones de una variable Integrción de funciones de un vrible Tem 3 En el cpítulo nterior nos interesmos en el siguiente problem: dd un función, hllr su derivd. Sin embrgo, muchs plicciones importntes del cálculo están relcionds

Más detalles

TRABAJOS DE MATEMATICA

TRABAJOS DE MATEMATICA UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA FACULTAD DE MATEMÁTICA, ASTRONOMÍA Y FÍSICA SERIE C TRABAJOS DE MATEMATICA Nº 36/07 Un segundo curso de Cálculo Crin Boyllin, Elid Ferreyr, Mrt Urciuolo, Cynthi Will Editores:

Más detalles

int(s) o int(s, var) S puede ser una expresión simbólica o el nombre de una expresión simbólica.

int(s) o int(s, var) S puede ser una expresión simbólica o el nombre de una expresión simbólica. Práctic 3: Cálculo Integrl con MtLb Curso 2010-2011 1 1 Introducción Un de los pquetes más útiles pr el cálculo con MtLb lo constituye Symbolic Mth Toolbox, que permite relizr cálculo simbólico vnzdo,

Más detalles

Métodos de Integración I n d i c e

Métodos de Integración I n d i c e Métodos de Integrción I n d i c e Introducción Cmbio de Vrible Integrción por prtes Integrles de funciones trigonométrics Sustitución Trigonométric Frcciones prciles Introducción. En est sección, y con

Más detalles

Integral Definida. Aplicaciones

Integral Definida. Aplicaciones Itegrl Defiid. Apliccioes. Itegrl defiid. Defiició Se f(x u fució cotiu e u itervlo cerrdo [, b] y cosideremos el itervlo dividido e prtes igules x < x < x s < < x b. Pr cd subitervlo [x i, x i ], l fució

Más detalles

Integración numérica: Regla del trapecio Método de Romberg

Integración numérica: Regla del trapecio Método de Romberg Clse No. 18: MAT 251 Integrción numéric: Regl del trpecio Método de Romberg Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) 19.10.2011 1 / 14 Integrción numéric Dd un función f : [, b] R continu, queremos

Más detalles

Notas de Integral de Riemann-Stieltjes

Notas de Integral de Riemann-Stieltjes Nots de Integrl de Riemnn-Stieltjes 1. Definición y propieddes Dds funciones g, F : [, b] R que cumpln ciertos requisitos, definiremos l expresión g(x)df(x) de tl mner que cundo consideremos el cso prticulr

Más detalles

5.5 Integración numérica

5.5 Integración numérica 88 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 5.5 Integrción numéric Métodos de Newton-Côtes De cr clculr l integrl definid: f(x) dx se llmn Métodos de Newton-Côtes los que se bsn en integrr, en lugr de l

Más detalles

b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x) y el eje de abscisas entre x = 1 e y x = e.

b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x) y el eje de abscisas entre x = 1 e y x = e. MsMtescom Integrles Selectividd CCNN Murci [] [EXT-A] ) Clcule l integrl indefinid rctgd, donde rctg denot l función rco-tngente de ) De tods ls primitivs de l función f() = rctg, encuentre l que ps por

Más detalles

D I F E R E N C I A L

D I F E R E N C I A L D I F E R E N C I A L µ dy y = d Si un función y = f() dmite derivd finit en un punto su incremento puede epresrse como y = f () + ε, siendo ε un infinitésimo pr 0. Al primer término se lo llm diferencil

Más detalles

Integración de funciones de una variable

Integración de funciones de una variable Tem 5 Integrción de funciones de un vrible Introducción Este tem está dedicdo l estudio y l relción que existe entre dos problems que, en principio, tienen un nturlez muy distint.. Cálculo de primitivs:

Más detalles

7.10. Calcular el desarrollo de Taylor de grado 2 en x = 0 de la función. Cálculo integral: funciones reales de variable real.

7.10. Calcular el desarrollo de Taylor de grado 2 en x = 0 de la función. Cálculo integral: funciones reales de variable real. 7.. Clculr el desrrollo de Tylor de grdo en = de l función f () = te t dt, y utilizrlo pr clculr proimdmente, te t dt. Dr un estimción del error cometido. ( 997). 7.. Clculr el siguiente ite funcionl cos

Más detalles

Anexo 3: Demostraciones

Anexo 3: Demostraciones 170 Mtemátics I : Cálculo integrl en IR Anexo 3: Demostrciones Integrl de Riemnn Demostrción de: Propieddes 264 de l págin 142 Propieddes 264.- Se f: [, b] IR un función cotd. ) Pr tod P P[, b], se verific

Más detalles

10.1 Funciones integrables Teorema fundamental del Cálculo Ejercicios

10.1 Funciones integrables Teorema fundamental del Cálculo Ejercicios Integrción Funciones integrbles Integrción. Funciones integrbles 49. Teorem fundmentl del Cálculo 55.3 Ejercicios 58 El áre de un recinto, l longitud de un cble que cuelg entre dos postes, el volumen o

Más detalles

AN ALISIS MATEM ATICO B ASICO.

AN ALISIS MATEM ATICO B ASICO. AN ALISIS MATEM ATICO B ASICO. LONGITUDES, AREAS Y VOL UMENES. Un trtmiento mlio de l integrl ermite el clculo de longitudes de curvs, res de suercies (lns y lbeds) y de volumenes. Con nuestro conocimiento

Más detalles

1 Aproximación de funciones por polinomios.

1 Aproximación de funciones por polinomios. GEODESIA Y FUNCIONES OTOGONALES Enrique Clero Curso GPS en Geodesi y Crtogrfí Crtgen de Indis Aproximción de funciones por polinomios. Consideremos el conjunto de funciones S = ; x; x ; x 3 ; x ; :::::

Más detalles

5.4. Longitud de un Arco de Curva (Rectificación)

5.4. Longitud de un Arco de Curva (Rectificación) Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Diferencil e Integrl 7-2 SEMANA 1: APLICACIONES DE LA INTEGRAL 5.4. Longitud de un Arco de Curv (Rectificción)

Más detalles

Formulario de integrales

Formulario de integrales Formulrio de integrles c -5 Slvdor Blsco Llopis Este formulrio puede ser copido y distribuido libremente bjo l licenci Cretive Commons Atribución. Espñ. Séptim revisión: Febrero 5 Set revisión: Julio 3

Más detalles

CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicación Examen, 7 de Septiembre de 2004 Primera parte

CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicación Examen, 7 de Septiembre de 2004 Primera parte CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicción Exmen, 7 de Septiembre de 24 Primer prte Ejercicio. Clculr ls coordends de los puntos P y Q de l prábol y x 2, tles que el triángulo formdo por el eje

Más detalles

E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos

E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos E... Mins: Métodos Mtemáticos Resumen y ejemplos em 6: Integrción numéric Frncisco Plcios Escuel Politécnic uperior de Ingenierí de Mnres Universidd Politécnic de Ctluñ Octubre 8, Versión.5 Contenido.

Más detalles

EJERCICIOS DE INTEGRALES IMPROPIAS

EJERCICIOS DE INTEGRALES IMPROPIAS EJERCICIOS DE INTEGRALES IMPROPIAS. Integrles impropis de primer especie. Clculr Pr n, n con >. F (b) = b n n+ = n + Si n >, entonces F (b) =, con lo que Si n

Más detalles

Teorema de Green. 6.1 Introducción

Teorema de Green. 6.1 Introducción SESIÓN 6 6.1 Introducción En est sesión se revis el primero de los 3 teorem clves del cálculo vectoril: el. Este teorem estblece que un integrl doble sobre un región del plno es igul un integrl de líne

Más detalles

ANALISIS MATEMATICO II INTEGRAL DEFINIDA - 2 PARTE

ANALISIS MATEMATICO II INTEGRAL DEFINIDA - 2 PARTE ANALISIS MATEMATICO II INTEGRAL DEFINIDA - 2 PARTE Mrí Susn Montelr Fultd de Cienis Exts, Ingenierí y Agrimensur - UNR EXTENSIÓN DEL SÍMBOLO INTEGRAL < b f(x) dx = g(x) dx b = b f(x) dx = 0 PROPIEDADES

Más detalles

SEGUNDA PARTE. ANALÍTICAS Y TEORÍA DE CAUCHY.

SEGUNDA PARTE. ANALÍTICAS Y TEORÍA DE CAUCHY. 42 Funciones de vrible complej. Eleonor Ctsigers. 25 Abril 2006. FUNCIONES SEGUNDA PARTE. ANALÍTICAS Y TEORÍA DE CAUCHY. Resumen Se prueb que tod función holomorf es nlític, y recíprocmente. Se desrroll

Más detalles

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE Cpítulo INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS.. Introducción Si el problem del cálculo de l rect tngente llevó los mtemáticos del siglo XVII l desrrollo de ls técnics de l derivción, otro problem, el del cálculo

Más detalles