INTEGRALES INDEFINIDAS INTEGRALES DEFINIDAS: CÁLCULO DE ÁREAS

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1 INTEGRALES INDEFINIDAS INTEGRALES DEFINIDAS: CÁLCULO DE ÁREAS Mtemátics º de Bchillerto Ciencis y Tecnologí Profesor: Jorge Escribno Colegio Inmculd Niñ Grnd

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3 TEMA 7.- INTEGRALES INDEFINIDAS.- FUNCIÓN PRIMITIVA Hst hor hemos estudido el proceso de cómo clculr l función derivd de otr. Ahor vmos dedicrnos l proceso inverso, es decir, dd un función, encontrr otr cuy derivd se dich función. A este proceso se le llm integrción, y es, en ciert medid, el proceso recíproco l de derivción. Sen f() y F() dos funciones definids en un mismo dominio D. Se dice que F() es un primitiv de f() F '()() f, D Por ejemplo, un primitiv de l función f () será l función F() Ahor bien. Ls funciones F() ;() F ;() F5 ;() 9F.. tmbién son primitivs de f (). Teorem Sen F() y G() dos primitivs de l función f() F() = G() + C Es decir, tods ls primitivs de un función (que son infinits) son igules slvo un constnte. Se llm integrl indefinid de un función f() l conjunto de tods sus primitivs: f ()() d / F '()() C F f El término d, llmdo diferencil de, indic que l derivd de l función F() se h hecho respecto l vrible. (En nuestro cso es lo norml, unque si l vrible tuviese otro nombre, se cmbirí tmbién el término del diferencil) Así, por ejemplo: 5d 5 C 6 d C cos d sen C Gráficmente, el hecho de que tods ls primitivs de un función se diferencien en un constnte signific que son trslciones de l mism función. - - Mtemátics II: Integrles Indefinids

4 Ejemplo: Clculr l primitiv de l función f() = 4 que ps por el punto (,5) Como 4 d C, tods sus gráfics serán de l form: De tods ells buscmos l que ps por (,5), es decir, F() 5 C 5 C Luego l primitiv que buscábmos es F () Ejercicio: Clculr l primitiv de l función f () que pse por el punto (e,).- PROPIEDADES LINEALES DE INTEGRACIÓN Ls propieddes que enuncimos continución son consecuenci direct de ls propieddes de derivción. k f d k f d. f g ()()() d f d f d. ()() De l obtención conjunt de ests propieddes se obtiene:. f b g ()()() d f d b f d.- INTEGRALES INMEDIATAS De ls regls de derivción se obtienen de form direct un serie de regls de integrción que se llmn integrles inmedits. Ésts son: - - Mtemátics II: Integrles Indefinids

5 Integrles Inmedits. d C. d C n n d C, n n d Ln C e d e C 6. d C Ln 7. send cos C 8. cos d sen C sec cos 9. tg d d d tg C sec sen. cotg d d co d cotg C. d rcsen C rccos C. d rctg C Aplicndo ests regls y l propiedd de integrción (llmdo método de descomposición) podemos empezr hcer lguns integrles. - - Mtemátics II: Integrles Indefinids

6 Ejemplos: C d d d d d C e sen d 5e d send 5 e d send 5e cos C d d d C d d C Ejercicio: Clculr ls siguientes integrles: ) 5 d b) 5 d c) d e) d) cos 5cos g) 4 d j) sec h) d f) d i) d k) d m) l) sen 5 d tg d n) d 5 d 5 d d A prtir de ests regls se puede plicr, l revés, l regl de l cden pr derivds, y obtenemos ls regls de integrción en form compuest, llmds integrles cusiinmedits fundmentles pr el mnejo del cálculo integrl: Mtemátics II: Integrles Indefinids

7 Integrles Inmedits (Form Compuest).. n n f f f ' d C, n n f ' d Ln f C f f f. e f ' d e C f f 4. f ' d C Ln 5. senf f ' d cos f C 6. cos f f ' d senf C f ' tg f f d d f f d tgf C cos f 7. ' sec ' f ' cotg f f d d co fd gf C sen f 8. ' sec cot 9. f ' f d rcsenf C rccos f C f '. d rctgf C f Ejemplos: e d e C (Regl : f () ) cos ( d ) sen C (Regl 6: f () ) d Ln C (Regl : f () 5 ) 5 d d rctg 4 C (Regl : f () ) Mtemátics II: Integrles Indefinids

8 5 d C (Regl : f () ) 5 A veces hy que preprr ls integrles pr poder plicr ls regls introduciendo o scndo números (propiedd linel de integrción ). Así: 4 s en d (flt un multiplicndo pr poder plicr l regl 5, sí que introducimos un y scmos otro dividiendo) = s en d cos C Ejercicio: Clculr ls siguientes integrles: 7 d b) ) 6 cos d sen d c) d) e d e) 5 sen cosd f) d g) d h) 4 d i) e d e sen d k) j) 5 e d l) Ln d m) d n) e d ñ) cos d o) sen cos d p) sen cos d q) cos Ln d e r) d s) e d t) sen cos d u) Ln d v) sen() tg d cos d w) 8 ) d y) d z) d Mtemátics II: Integrles Indefinids

9 4.- MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Además del método de descomposición y visto y de ls regls inmedits y compuests, eisten otros métodos de integrción según el tipo de función que hy en el integrndo: 4. Método de Integrción Por Prtes Este método sirve pr clculr l primitiv de un producto de funciones. Supongmos dos funciones derivbles u y v. Usndo l derivd de un producto, tenemos que: d u v u dv v du Si integrmos en los dos miembros de l ecución: d u v u dv v du u v u dv v du Y despejndo obtenemos l fórmul de integrción por prtes: u dv u v v du Est es populrmente conocid como Regl de l Vc: Un Dí Vi Un Vc Vestid De Uniforme Ejemplo: Vmos clculr send Llmmos u du d Llmmos dv send Integrndo dv send v cos Y plicndo l fórmul: send cos cos d cos sen C Es importnte elegir bien que prte del producto llmmos u y qué prte llmmos dv, lo cul eige un poco de intuición y otro poco de entrenmiento. Puede que l plicr l fórmul, l nuev integrl que nos qued se más complicd que l de prtid, lo que nos indic que nos hemos equivocdo en l elección Mtemátics II: Integrles Indefinids

10 Ejercicio: Clculr ls siguientes integrles: ) e d b) Lnd c) d) Lnd e) g) sen () d h) send e d f) rctgd e d i) cos e d j) e cos d k) e d l) d m) e send n) cos d 4..- Método de Sustitución o Cmbio de Vrible Consiste en sustituir un función o prte de ell por otr vrible y epresr todo el integrndo en función de es nuev vrible, de mner que l integrl que resulte se inmedit o l podmos resolver por otro método. Al terminr el proceso, hy que epresr de nuevo el resultdo en función de l vrible originl. Si l integrl resultnte es más complicd que l originl, es obvio que el cmbio elegido no es el decudo y hbrá que buscr, por tnto, otro cmino. Vemos un ejemplo: d Hcemos el cmbio t Tenemos que poner todo el integrndo en función de l nuev vrible t. En primer lugr diferencimos y despejmos d: t dt d d dt tdt Todví nos qued despejr : t t t Y hciendo el cmbio: d tdt dt rctgt t t t deshciendo el cmbio = rctg C Mtemátics II: Integrles Indefinids

11 En ocsiones puede que hy más de un cmbio válido. Es sólo cuestión de probr. Tmbién es posible que l integrl se inmedit unque se difícil de ver y por sustitución se más sencillo. Es posible tmbién que l plicr sustitución slg un integrl por prtes o por culquier otro método, o vicevers. Ejercicio: Clculr ls siguientes integrles: ) d b) cos d c) Ln d d) d e) cos()ln d f) d g) Lnd h) Ln( ) d i) () sen Ln d 4..- Integrción de Funciones Rcionles P() Son del tipo d, siendo P() y Q() polinomios.. Q() Distinguiremos dos csos, según el grdo de dichos polinomios: ) Grdo P() < Grdo Q() En primer lugr hy que descomponer el polinomio Q() (por ejemplo por Ruffini) del tipo: Q() n P() A continución descomponemos l frcción en frcciones simples, de modo que Q() cd uno de los denomindores de dichs frcciones serán los fctores clculdos ntes, es decir: P() A A A An... Q() Un vez clculdos los vlores de A, A, A,... A n (veremos cómo se hce con un ejemplo), l integrl se puede descomponer en integrles sencills, tods ells inmedits de tipo logrítmico: P() A A A An... Q() n n Mtemátics II: Integrles Indefinids

12 Ejemplo : Vmos clculr d Descomponiendo el denomindor: A B Luego el cociente quedrá descompuesto como: Vemos cómo clculr los números A y B: A B A( )( B) Summos ls dos frcciones simples: ( )( ) ( )( A ) B Igulmos l frcción originl: ( )( ) Y como los denomindores son igules, igulmos los numerdores, obteniendo l ecución: ( A )( ) B Si le dmos dos vlores culesquier l, obtendremos un sistem de donde scr los vlores de A y B. Los mejores vlores pr son justmente los que se hn obtenido l descomponer el polinomio Q(): Si A A Si 5 B 5 Luego: Y por tnto l integrl quedrá: 5 d d d Ln 5Ln C Importnte: l frcción debe descomponerse en tnts frcciones simples como grdo teng el denomindor Q() Si el denomindor tiene lgun ríz múltiple (por ejemplo, el se repite dos veces), el polinomio Q() se descompondrí como Q()( ), y el fctor (-) tendrá que precer como denomindor en dos frcciones simples: en un como (-) y en otr como ( ). Mejor vemos un ejemplo: - - Mtemátics II: Integrles Indefinids

13 Ejemplo : Vmos clculr d Si descomponemos el denomindor: Aprece el como solución doble, luego l frcción debemos descomponerl como: A B C Si summos e igulmos qued: A B C Ddo tres vlores : Si A Si C Si 4A B C 8 B B Y por tnto: De donde: d d d d Aquí hy que tener cuiddo porque l últim integrl que prece no es logrítmic, sino que es un potenci, con lo que resolviendo l integrl se obtiene: d Ln Ln C b) Grdo P() Grdo Q() En este cso se puede relizr l división (repsr división de polinomios) y utilizr el lgoritmo de l división: P()() Q P()()()()() Q C R R P()()()()() Q C R C R()() C Q()()() Q Q Y por tnto: P()() R d C() d d Q()() Q Donde l segund integrl es del tipo estudido nteriormente (Grdo R()<Grdo Q()) - - Mtemátics II: Integrles Indefinids

14 Ejercicio propuesto: Clculr d Ejercicio: Clculr ls siguientes integrles: ) 5 6 d b) d c) 4 6 d d) 6 7 d e) ( )( )( ) 4 7 d f) d d h) d i) g) e d e Integrción de Funciones Trigonométrics En relidd pr resolver ests integrles no se us ningún método nuevo, sino que el método utilizdo es el de sustitución. No obstnte, los cmbios de vrible relizr no suelen ser muy intuitivos, por lo que conviene conocer los más usules dependiendo del tipo de función trigonométric que hy en el integrndo: ) El integrndo es un función producto o cociente de potenci impr en el coseno En este cso el cmbio relizr es t = sen Ejemplo: dt sen t cos d dt d Como sen cos cos sen t 4 sen cos d cos 4 dt t cos t cos dt t t dt t t dt cos t t sen sen C Mtemátics II: Integrles Indefinids

15 b) El integrndo es un función producto o cociente de potenci impr en el seno En este cso el cmbio relizr es t = cos Hcer como ejercicio sen d cos c) El integrndo es un función producto o cociente de potenci pr tnto en el seno como en el coseno En este cso el cmbio relizr es t = tg Hy que tener en cuent ls fórmuls de trigonometrí que relcionn l tngente con el seno o con el coseno: tg cos cos tg t tg t cot g s s en tg t en tg Ejemplo: 4 t 4 sen 6 t dt d cos 6 cos dt tg t tg d dt d t cos t t 4 t 4 t s en s en t t t dt t tg t dt C t t Mtemátics II: Integrles Indefinids

16 d) El cmbio tg t Es un cmbio hbitul cundo precen cocientes de polinomios con senos y cosenos. Al relizr este cmbio hy que tener en cuent que, por trigonometrí: tg tg t t sen ; cos t t tg tg Ejemplo: t tg dt tg d sen cos d dt dt cos d t tg t t t t dt dt t t t t t dt t t t t t t Ahor se h convertido en un integrl rcionl cuyo numerdor y denomindor tienen el mismo grdo. Dividiendo: t t dt dt dt dt t Ln t rctgt t t t tg Ln tg rctg tg tg Ln tg C e) Otros cmbios En otrs ocsiones conviene utilizr fórmuls trigonométrics pr convertir l integrl en otr más sencill. Ls fórmuls más usules son: Mtemátics II: Integrles Indefinids

17 cos() cos() sen cos ; sen ; cos sen sen cos ; cos() cos sen Ejemplo: cos() cos() sen d d d d d cos() d 4 sen() C 4 Ejercicio: Clculr ls siguientes integrles: ) 4 sen cos d b) d c) cos sen cos 5 d d) sen 4 d e) cos sen d cos sen cos d f) 5 e) d Mtemátics II: Integrles Indefinids

18 EJERCICIOS.- Clculr un primitiv de l función f () cuy gráfic pse por el punto (,).- Clcul un función G() de l que se sbe que: G () = 6+ ; G() = ; G() =.- Clcul un función G() de l que se sbe que: G () = ; G() = ; G() = -/4 ; G() = / 4.- Clcul un función G() de l que se sbe que: G () = + ; G() = ; G () =5 ; G () = 5.- Clcul l función f : sbiendo que f ''() y que su gráfic tiene tngente horizontl en el punto P(,) 6.- Clcul l función f :, sbiendo que f() = y que f '() 7.- Hll F() sbiendo que F() = -5, que tiene un mínimo reltivo en el punto de bscis = y que F ()=+ 8.- De tods ls primitivs de l función punto (,) f (), clcul l que ps por el 9.- Teniendo en cuent que () b d rctg b, clcul: d ; d ; d ; d Glori firm que l solución de cos sen d es F() sen C, y Jun dice que l solución es G() cos C. Cuál de ellos h ddo l solución correct? Rzon l respuest Mtemátics II: Integrles Indefinids

19 .- Resuelve ls siguientes integrles:. d. d. d ( + ) d 5. ( + - ) d 6. d d d d 5 d d. ( - sen + 8 cos) d. e + d d ( sec + cos + ) d cos - sen 6. + d 7. d 8. 5 d sen cos 9. - d - +. d sen cos. - sen sen d d d d d d ( - ) d ( + ) ln 8. e + e d 9. d. + d cos d. sen 5 d. 6 cos d. + sen 5 4 (4 4. e d ) d d + d e 7 - d 9. ( e + e ) d + 9 e cos d d 4. sen e 5-9 (rctg ) d 4. ( + 5 ) d sen 5 cos d + cos 46. d 47. sen d ln 48. cos d Mtemátics II: Integrles Indefinids

20 49. cos sen d 5. d e cose d 5. ( + ) + d 5. senln 5. d d - ln e d e d 55. d d e - e tg e 58. d 59. d cos sen cos 6. cos e d sen 6. cos d 6. ln d 6. ln d d 64. sen( ln ) d 65. e d 66. cos 67. sen d 68. d d 69. ( ) d - 7. d d d + d d ( - ) d 77. d 78. d d d d ( + ) - 9 ( - ) ( + ) 6 d d 84. d 4 ( - ) ( + ) ( - 7) d ( + ) d sen cos d ( + ) e 88. send 89. d 9. e d e e 9. e d 9. e 94. d e e 95. d 9 Ln5 () Ln Ln d 96. Ln e d d e d 97. d d () t Mtemátics II: Integrles Indefinids

21 .- Al plicr integrción por prtes pr clculr f () send, donde f() es un ciert función derivble, se obtiene que: f ()()cos send f cos d Sbiendo que f() =, clculr l epresión de f().- Clculr d ) Medinte integrción de funciones rcionles b) Hciendo el cmbio t = Clcul l función f : sbiendo que f ''() Ln e f '(),() f e 4 y que Hciendo el cmbio de vrible t, clculr l integrl: d 6.- Encuentr l función derivble f :, que cumple f() = - y que f '() e 7.- De un función derivble se sbe que ps por el punto A(-,-4) y que su derivd es: f '() ) Hll l epresión de f() b) Obtén l ecución de l rect tngente f() en = Mtemátics II: Integrles Indefinids

22 - - Mtemátics II: Integrles Indefinids

23 TEMA 8.- INTEGRALES DEFINIDAS. CÁLCULO DE ÁREAS.- INTRODUCCIÓN El origen del cálculo integrl se remont l époc de mtemático griego Arquímedes (siglo III. C.), que obtuvo el áre encerrd por lgunos recintos curvos (círculo, segmento de prábol, ). De form similr, Kepler (siglo XVII) obtuvo longitudes de curvs y volúmenes de cuerpos de revolución. Otros muchos mtemáticos resolvieron problems similres, pero cd uno de ellos necesitó un procedimiento específico de resolución. Ls derivds precieron veinte siglos después de Arquímedes y pr resolver problems que en principio nd tenín en común con el cálculo integrl. El descubrimiento más importnte (Newton y Leibniz) fue estblecer l relción eistente entre l derivd y l integrl definid (Teorem Fundmentl del Cálculo Integrl) y su correspondiente plicción práctic (Regl de Brrow), pesr de hber seguido cminos completmente diferentes durnte veinte siglos. L ide tener en cuent pr llegr l concepto de integrl definid es l mism que en esenci utilizó Arquímedes: ddo un región del plno, su áre puede clculrse por medio de regiones poligonles inscrits o circunscrits l mism, tles que l umentr el número de ldos, el áre de esos rectángulos tiende proimrse l áre buscd. L integrl definid es l generlizción práctic y sutil de este proceso..- ÁREA BAJO UNA CURVA. INTEGRAL DEFINIDA Se f :, b un función continu en el intervlo [,b]. Se trt de clculr el áre comprendid entre l curv y = f(), el eje OX y ls dos bsciss = y = b - - Mtemátics II: Integrles Definids. Áres

24 Dividimos el intervlo [,b] en n trozos, no necesrimente igules, formndo lo que se llm un prtición del intervlo:... n b Teorem de Weierstrss Si un función es continu en un intervlo, eisten dos puntos de dicho intervlo donde l función lcnz el máimo y el mínimo Usndo este teorem, llmmos mi l mínimo de l función en el intervlo, i i y tomndo como bse cd uno de estos intervlos formmos rectángulos cuy ltur es ese vlor mínimo: El áre de l región ryd será por tnto l sum de ls áres de todos esos rectángulos: m m m m... n n n Est sum se llm sum inferior y se epres como: obvimente es menor que el áre buscd. n s m n i i i i, que De l mism mner, llmmos Mi l máimo de l función en el intervlo, i i y tomndo como bse cd uno de estos intervlos formmos rectángulos cuy ltur es ese vlor máimo: - - Mtemátics II: Integrles Definids. Áres

25 El áre de l región ryd será hor: M M M M... n n n Est sum se llm sum superior y se epres como: obvimente es myor que el áre buscd. n S m n i i i i Si llmmos A l áre que queremos clculr, hst hor tenemos l relción:, que s A S n n Evidentemente, si hor tommos rectángulos cd vez más finos, es decir, si los puntos i los tommos cd uno más cerc del siguiente, mbs sums superior e inferior se irán proimndo cd vez más entre sí y l áre que queremos clculr. Es decir, si n se hce cd vez más grnde n, tenemos que: lim s lim S A n Definición n n n Dd un función f() continu en [,b], llmremos integrl definid de f() en [,b] l límite común de ls sums superiores e inferiores: b f () d lim s lim S n n n n Llmremos = límite inferior, b = límite superior Not: l integrl definid de un función es un número, y no tiene nd que ver con integrl indefinid, que er un conjunto de funciones Ejercicio: Comprobr que 4 d Mtemátics II: Integrles Definids. Áres

26 .- PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Tods ls propieddes que vemos continución son muy intuitivs y fáciles de entender teniendo en cuent el concepto de integrl definid que cbmos de ver:. f () d b. f ()() d b f d b b b. ()()()() f g d f d g d b b 4. k f ()() d k f d (Ests dos últims propieddes coinciden con ls y vists pr integrles indefinids) 5. Si f es continu en [,b] y < c < b, entonces b c b f ()()() d f d f d c 6. Si ()(),()() f g b f d g d b b b 7. f ()() d b f d 8. Si f es continu en [,b] y f () () f d Si f es continu en [,b] y f () () f d Prestmos especil tención est últim propiedd. Si hemos socido l integrl definid l cálculo de áres, est propiedd nos dice que si l gráfic de f está por debjo del eje OX (f()<), entonces l integrl definid correspondiente es negtiv. Pero, El áre no puede ser negtiv! Somos nosotros los que, cundo pliquemos l integrl definid l cálculo de áres, tendremos que cmbir el signo en quellos trozos en los que l gráfic de l función esté por debjo del eje OX. b b Mtemátics II: Integrles Definids. Áres

27 Es decir, pr l función El áre será A u Pero si no estuviésemos interesdos en el áre sino sólo en l integrl definid serí: b f () d Teorem de l Medi b, /()() Si f es continu en [,b], entonces c b f d f c b Gráficmente: El áre del rectángulo de bse b y ltur f(c) es igul l áre bjo l curv. 4.- LA INTEGRAL Y SU RELACIÓN CON LA DERIVADA Supongmos un función f() continu en [,b]. A prtir de ell podemos definir un nuev función llmd función integrl de f como: F()(), f t dt, b Est función nuev represent, si f es positiv, el áre bjo l curv f entre y un punto vrible. Así, por ejemplo, l función Mtemátics II: Integrles Definids. Áres

28 F() tdt, represent el áre del triángulo de l figur: Dicho áre será: Luego A F() tdt Lo que nos permitirí clculr el áre de todos los triángulos obtenidos vrindo. Así: Si A F u Si A F 4 u Si ' 5 A F,5 ' 5u Si A F u... Teorem Fundmentl del Cálculo Integrl Si f es un función continu en [,b], entonces l función F()(), f t dt, b es derivble y se verific que F '()() f Este teorem relcion el cálculo de áres (integrles) con l derivción. De hecho, lo que cbmos de ver es que l función áre bjo l gráfic de f es un primitiv de l propi función f. Ejemplos:.- Clcul l derivd de l función F() t Lntdt Como l función f () t t Lnt es continu en el intervlo,, plicndo el Teorem Fundmentl se obtiene que: F '() Ln.- Clcul l derivd de l función F() tdt Como, por ls propieddes, F() tdt tdt Fundmentl se obtiene que: F '(), plicndo el Teorem Mtemátics II: Integrles Definids. Áres

29 .- Clcul l derivd de l función F() Ejercicios: t dt En este cso plicmos el Teorem Fundmentl y l regl de l cden: F '(). Clcul ls derivds de: ) b) () log t F() e dt 5 F t dt c) F() cos tdt.- Indic dónde se lcnzn los etremos reltivos de l función F :, definid por F()( )( t ) t dt 5.- REGLA DE BARROW Si f es un función continu en [,b] y G() es un primitiv de f, entonces: b f ()()() d G b G Este teorem relcion ls integrles definids con ls integrles indefinids y permite clculrls usndo el cálculo de primitivs. Ejemplos:.- d Clculmos un primitiv hciendo l integrl indefinid: G() d Si sustituimos: d 6 4 G() = 6, G() =, y por tnto: Normlmente estos cálculos se epresn sí: d 4 ( ) 4.- send cos cos( cos )( )( ) Mtemátics II: Integrles Definids. Áres

30 Ejercicio: Clculr ls siguientes integrles: 4 d b) ) e d c) d d) sen() d e) cos sen e d f) d g) e d h) d 6.- CÁLCULO DE ÁREAS L integrl definid tiene múltiples plicciones, no sólo en el cálculo, sino tmbién en Físic, Químic, Estdístic, Astronomí, Dentro del cálculo se puede plicr l cálculo de áres, de volúmenes, de longitudes de curvs, etc. En este curso sólo veremos su plicción l cálculo de áres, y distinguiremos en el proceso vrios csos: I. Áre comprendid entre l gráfic de un función (que no cort l eje OX entre y b), el eje OX y ls bsciss = y = b En este cso: b A f () d El vlor bsoluto es por si l función estuviese por debjo del eje OX en lugr de por encim. II. Áre comprendid entre l gráfic de un función (que cort l eje OX entre y b en uno o más puntos), el eje OX y ls bsciss = y = b En este cso: c A f ()() d f d b c Mtemátics II: Integrles Definids. Áres

31 Ponemos el vlor bsoluto en los dos sitios porque si no tenemos el dibujo no sbemos priori en qué trozo es positiv y en cuál es negtiv III. Áre comprendid entre l gráfic de dos funciones entre y b En este cso: c ()()()() A f g d f g d b c Sin tener el dibujo no sbemos en cd trozo cuál de ls dos funciones está por encim y cuál por debjo. De hí los vlores bsolutos En todos los csos lo primero será clculr los puntos de corte (entre l función y el eje OX o entre ls dos funciones) pr descomponer el áre en trozos. Si tenemos que clculr un áre que no correspond ninguno de estos csos, lo primero será hcer el dibujo y después dividir el áre totl en áres más pequeñs que si se puedn clculr según los csos nteriores. Ejemplo : Hllr el áre comprendid entre l curv = y = y, el eje X y ls bsciss En primer lugr clculmos los puntos de corte de l curv con el eje OX:,, De esos puntos de corte nos interesn los que estén dentro del intervlo [,], es decir, sólo el, y por tnto el áre será: A d d Clculmos cd trozo: Mtemátics II: Integrles Definids. Áres

32 4 d d Y por tnto el áre pedid será: A u Gráficmente (unque no hce flt pr resolver el ejercicio): Ejemplo : Hll el áre limitd por ls gráfics de ls funciones g() f () y Como no hy intervlo, el áre se clcul entre los puntos de corte más lejdos entre sí. Clculmos los puntos de corte entre ls dos funciones igulándols: , Luego el áre será: Clculmos l integrl indefinid: A f ()() g d d - - Mtemátics II: Integrles Definids. Áres

33 d d d d d 6 Y por tnto: d (El que hy slido negtiv nos dice de pso que l función f está por debjo de l función g en ese intervlo. El áre será entonces: 4 4 A u Ejemplo : Hll el áre del recinto comprendido entre l prábol y 5 y el eje de bsciss y, l rect Como no corresponde ninguno de los csos hbitules, dibujmos el recinto: - - Mtemátics II: Integrles Definids. Áres

34 Como podemos ver, el recinto se puede dividir en dos prtes cd un de ls cules se puede clculr como áre entre un función y el eje X. Lo primero es clculr los puntos de corte entre ls gráfics: 5 6, En el trozo que nos ocup sólo nos import el. Tenemos que clculr tmbién los puntos de corte de cd función con el eje X, unque en este cso es fácil ver que los puntos que nos interesn son el y el 5. Por tnto el áre será: 5 5 A d d Clculmos cd trozo por seprdo: d d 5 5 Y tenemos entonces: A u Mtemátics II: Integrles Definids. Áres

35 Ejercicios:.- Clcul el áre que determin l curv bsciss - y 4 y con el eje X entre ls.- Hll el áre limitd por ls gráfics de ls funciones: f () ; g().- Hll el áre de l región del plno encerrd por l curv y Ln punto de corte con el eje X y l bscis = e entre su 4.- Hll el áre del recinto limitdo por ls rects y, y y l prábol y - - Mtemátics II: Integrles Definids. Áres

36 EJERCICIOS.- Clcul ls siguientes integrles: ) d b) d c) 4 sen cos d d) d e) d f) e d.- Dd l función: f () 4 Clcul f () d y 4 f () d Represéntl gráficmente e indic si lgun de ls integrles clculds nteriormente represent un áre.. Clcul l derivd de l función F() cos tdt de dos forms: ) Obteniendo primero de form eplícit F() y después derivndo b) Usndo el Teorem Fundmentl del Cálculo 4.- Clcul ls derivds de ls siguientes funciones: ) F() t dt b) F() dt Ln( t ) c) F() sen dt d) F() e) () d F t t dt 5.- De un función f continu se sbe que f () t dt rzondmente f(). Clcul t 6.- Clcul los etremos reltivos de l función f () dt t ; Mtemátics II: Integrles Definids. Áres

37 6 7.- Clcul el áre encerrd ente f () y el eje de bsciss pr, 8.- Clcul el áre comprendid entre ls funciones y e y 9.- Hll el áre limitd por ls gráfics de ls funciones f (),() g.- Clculr m pr que el áre comprendid entre y m e y se 6 u.- Clculr el áre comprendid entre l gráfic de l función y 4 y ls rects tngentes dich curv en los puntos de corte con el eje OX.- Dibuj el recinto limitdo por ls funciones y cos e y cos rects y. Clcul su áre y ls.- Considérese l región cotd que determinn ls curvs rect =. Hll su áre y e e y e y l 4.- Determinr rzondmente y sin clculrls cuál de ls siguientes integrles tiene myor vlor: ) b) e d y e d e d y e d 5.- Estudi l monotoní y hll ls bsciss de los máimos y mínimos reltivos de t. l función: () F t e dt 6.- ) Clcul los etremos bsolutos de l función f : 7, definid por f () 6 49 b) Se el punto en el que f lcnz su máimo bsoluto. Clculr 7 f () d 7.- Siendo f () 4, clculr ()f d 8.- Hll el áre del recinto comprendido entre ls gráfics de ls funciones y e y l rect y e y e, Mtemátics II: Integrles Definids. Áres

38 9.- Clcul el áre de l región limitd por ls curvs de ecuciones: y y e.- De l función f () b c d se sbe que tiene un máimo reltivo en =, un punto de infleión en (,) y que 5 f () d. Clcul, b, c y d 4.- Clcul el áre de l región limitd por ls curvs rects = - y = y y, y ls t : t.- Dd l función F() dt ;, ) Clculr F() b) Estudir su monotoní c) Clculr l ecución de l rect tngente F() en el punto de bscis.- Representr el recinto limitdo por ls prábols y 4 y clculr su áre y e 4.- Dd l función f : f 6 () Clculr () f d definid por: 5.- ) Hll el punto de infleión de l función f () e b) Dibuj l región limitd por l gráfic de f(), el eje OX y l rect, donde es l bscis del punto de infleión clculdo nteriormente c) Clcul el áre de dich región 6.- Hz el cmbio = sent pr clculr l integrl cos (Ten en cuent que cos ) 7.- Clculr e Ln d d Mtemátics II: Integrles Definids. Áres

39 8.- Determin el áre limitd por l curv P(,e-) y el eje de ordends y e, su rect tngente en el punto 9.- Estudi l continuidd de l función: sen f () t e dt.- Dd l función y ) Clculr en qué punto de su gráfic l rect tngente tiene pendiente - y clculr l ecución de dich rect tngente b) Dibujr el recinto limitdo por l función, l rect tngente nterior y el eje OY c) Clculr el áre de dicho recinto.- Clculr e d.- Represent gráficmente ls curvs cuys ecuciones son y, y y determin el áre de l región que limitn en el primer cudrnte 4.- Dd l función f () ) Clcul l ecución de l rect tngente f en su punto de infleión b) Clcul el áre del recinto limitdo por l gráfic de f, l rect tngente nterior y el eje OY 4.- Hllr ls coordends de los etremos reltivos de l función () F t dt 5.- Clcul el vlor de pr que el áre limitd por l curv rects = y = se igul. 6.- Se F :, l función definid por F()() Ln t dt. Rzon si ls siguientes firmciones son verdders o flss: ) F() = Ln b) F '() c) F es creciente en todo su dominio f () y ls Mtemátics II: Integrles Definids. Áres

40 9.- Dibujr el recinto limitdo por ls gráfics de ls funciones f () g() y clculr su áre y 4.- Hll el áre de l región cotd comprendid entre l gráfic de l función 5 f () y ls rects e y = 4.- Se sbe que ls dos gráfics del dibujo corresponden l función f : definid por f() = e y su función derivd f ) Indic, rzonndo l respuest, cuál es l gráfic de f y cuál l de f b) Clcul el áre de l región sombred 4.- Indic rzondmente si l función infleión F() Lnt dt, tiene puntos de 4.- Hll el áre del recinto rydo que prece en l figur sbiendo que l prte curv tiene como ecución y Mtemátics II: Integrles Definids. Áres

41 44.- Pr clculr el volumen de un cuerpo de revolución generdo l girr un función (), b, lrededor del eje OX se us l fórmul: f, b V f () d Clculr el volumen del cuerpo de revolución generdo l girr l rect y lrededor del eje X en el intervlo,. Qué figur es? 45.- Clcul el áre del recinto limitdo por ls curvs f () y y represent gráficmente dicho recinto g() 46.- Determin l constnte, >, sbiendo que l figur pln limitd por l prábol y, l rect y = y ls rects = y = tiene de áre 47.- ) Clcul los puntos de corte con los ejes y los etremos reltivos de l 4 función f () y represéntl gráficmente b) Dibuj el recinto limitdo por l gráfic de l función nterior y l prábol y y clcul su áre Dd l función f () b, clculr y b pr que su gráfic pse por el punto (-,-6) y dmit en ese punto tngente horizontl. Clculr tmbién el áre limitd pr l gráfic de f y ls rects =, = e y = 49.- Dd l función cos F() t e dt Estudir su continuidd y derivbilidd y clculr su función derivd Mtemátics II: Integrles Definids. Áres

42 5.- L velocidd de un móvil que prte del origen viene dd en metros/segundo por l siguiente gráfic: ) Clcul l función espcio recorrido (ten en cuent que l velocidd es l derivd del espcio respecto l tiempo) b) Prueb que el áre bjo l curv que d l velocidd coincide con el espcio totl recorrido 5.- Se I d ) Epres I plicndo el cmbio de vrible b) Clcul el vlor de I t 5.- Se f un función derivble en (,) y continu en [,] tl que f() = y '() d. Utiliz l fórmul de integrción por prtes pr hllr f () d 5.- Se sbe que l gráfic de l función en el dibujo: f () b c es l que prece ) Determin l función b) Clcul el áre de l región sombred - - Mtemátics II: Integrles Definids. Áres

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