ÍNDICE GENERAL. Índice de Símbolos 37. Bibliografía 39

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "ÍNDICE GENERAL. Índice de Símbolos 37. Bibliografía 39"

Transcripción

1 Índice generl. L Integrl Indenid.. Antiderivd e Integrl Indenid Integrles inmedits Regl de l Cden Sustitución o Cmbio de Vrible Integrción por Prtes Integrles Trigonométrics Potencis enters del seno o del coseno Producto entre potencis enters de seno con coseno Productos de senos y cosenos con rgumento diferente Potencis enters de l tngente/cotngente Potencis enters pres de l secnte/cosecnte Potencis enters impres de l secnte/cosecnte Producto entre potencis enters de tngente/cotngente con secnte/cosecnte Sustitución Trigonométric Integrles medinte frcciones prciles Sustitución Universl L Integrl Denid 3.. Postuldos de áres de regiones poligonles Notción Sigm Áre de un región Sum de Riemnn

2 ÍNDICE GENERAL.5. L Integrl Denid Propieddes de l Integrl Denid Teorems Fundmentles del Cálculo Integrles Impropis Funciones continus en intervlos no cotdos Funciones no cotds en intervlos cerrdos Otros csos de integrles impropis Índice de Símbolos 37 Bibliogrfí 39

3 Cpítulo L Integrl Indenid.. Antiderivd e Integrl Indenid Denición.. (Antiderivd) Se f un función denid en lgún intervlo I. Se dice que F es un ntiderivd de f en I si y sólo si F (x) = f(x) pr todo x en I. Es decir, F es un ntiderivd de f en I si su primer derivd es f en I. A l ntiderivd de un función se le llm tmbién función primitiv. Ejemplo.. Identique cuál(es) de ls siguientes funciones es ntiderivd de f(x) = x cos(x) + 3 en R: () F (x) = x 3 sen(x) + 3x (b) G(x) = x3 3 sen(x) + 3x (c) H(x) = x3 3 sen(x) + 3x Notemos que en este ejemplo, existen dos ntiderivds pr f ls cules dieren de un constnte rel. L rzón esto se fundment en el siguiente teorem y corolrio, respectivmente. Teorem.. Se F un función denid en un intervlo I tl que F (x) = en I. Entonces F es constnte en I.

4 CAPÍTULO. LA INTEGRAL INDEFINIDA Demostrción: Sen x < x elementos de I. Del Teorem del Vlor Medio pr derivds se tiene que existe c (x, x ) tl que F (c) = F (x ) F (x ) x x. Por hipótesis F (c) = y por tnto F (x ) = F (x ). Como x y x fueron tomdos de mner rbitrri se obtiene que F es constnte en I. Corolrio.. Sen F y G dos funciones tles que F (x) = G (x) en lgún intervlo I. Entonces G = F + K pr lgun constnte rel K. Demostrción: Se H = F G. Luego H = F G y de l hipótesis sigue que H (x) = pr todo x en I. Del teorem precedente se tiene que H es constnte en I. Es decir, dos ntiderivds de un mism función dieren únicmente por un constnte rel. Dich constnte puede determinrse con lgun informción dicionl. Ejemplo.. L velocidd de un objeto en un dimensión está dd en función del tiempo por v(t) = sen(t) + t; t [m/s]. Si l posición inicil del objeto es de 8m, determine l función posición x(t). Observción: Un ecución de l form x (t) = f(t) es un tipo de ecución diferencil que puede resolverse por integrción direct del segundo miembro. Denición.. (Integrl Indenid) Se f un función denid en lgún intervlo I con ntiderivd F. Se dice que l integrl indenid de f en I está dd por fdx = F (x) + K; K R. Es decir, l integrl indenid es un fmili de ntiderivds. De quí en delnte se denominrá l integrl indenid simplemente como integrl.

5 .. INTEGRALES INMEDIATAS Teorem.. (Propieddes de l Integrl Indenid) Sen f y g dos funciones que dmiten ntiderivds en lgún intervlo I. Entonces:. (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx.. c R, cf(x)dx = c f(x)dx. Demostrción:. Sen F y G un ntiderivd pr f y g respectivmente en I. Es conocido que (F + G) = F + G y por hipótesis (F + G) = f + g. De l denición de integrl indenid se tiene que (f(x) + g(x))dx = F (x) + G(x) + K = f(x)dx + g(x)dx.. (Tre) Ejemplo..3 Clculr (5e x x)dx... Integrles inmedits. dx = x + K.. x p dx = x(p+) p+ + K; p Q. 3. dx = ln( x ) + K. x 4. e x dx = e x + K. 5. x dx = x ln() + K; R+ {}. 6. sen(x)dx = cos(x) + K. 7. cos(x)dx = sen(x) + K. 8. sec (x)dx = tn(x) + K. 3

6 CAPÍTULO. LA INTEGRAL INDEFINIDA 9. csc (x)dx = cot(x) + K.. sec(x)tn(x)dx = sec(x) + K.. csc(x)cot(x)dx = csc(x) + K.. cosh(x)dx = senh(x) + K. 3. senh(x)dx = cosh(x) + K. (Tre: completr l tbl) Ejemplo.. Clculr ls siguientes integrles:. ( x 3 x 5 + x /5 ) dx.. 3. (φ sec φ ) dφ. ( t t ) dt..3. Regl de l Cden Teorem.3. Sen f y g dos funciones tles que f og está denid en lgún intervlo I y g es diferencible en I. Si F es un ntiderivd de f entonces f(g(x))g (x)dx = F (g(x)) + K. Demostrción: Por Regl de l Cden pr l derivd de F (g(x)) sigue que (F (g(x))) = F (g(x))g (x) = f(g(x))g (x). De l denición de integrl indenid se obtiene l conclusión del teorem. Ejemplo.3. Clculr ls siguientes integrles:. x( + x ) 9 dx. 3. 4x + 5dx. 5. xe x dx. 4. xcos(x )dx. 4. 4x ( 8x 3 ) 4 dx. 6. tn(x)dx.

7 .4. SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE Corolrio.3. Se F un ntiderivd de f, R {} y b R. F (x + b) Entonces f(x + b)dx = + K. Ejemplo.3. Clculr: (sen(x) 5 x ) dx; ( ) x 3tn(4x) dx..4. Sustitución o Cmbio de Vrible Medinte l sustitución decud de lgun expresión de l función integrr, se puede reescribir l integrl en términos de un nuev vrible que fcilite el cálculo de l integrl. Luego de obtener l integrl indenid se restituye l vrible originl. Lem.4. Se u = h(x) un función biyectiv y diferencible en lgún intervlo I tl que h (x) en I. Entonces f(x)dx = g(u)du, hciendo ls sustituciones respectivs de x y dx en términos de u. Ejemplo.4. Emplendo un sustitución decud, clculr ls siguientes integrles (identique cuál(es) se puede(n) resolver por regl de l cden):. 3x x dx. 6. e t e et dt tn(x)sec (x)dx. rctn(x) dx. + x x( x) 3 dx. x x dx. (x + 5) rctn( x) ( + x) x dx. ( + x) x dx. dx (e x + e x ). dx xln(x)ln(ln(x)). 5

8 CAPÍTULO. LA INTEGRAL INDEFINIDA.5. Integrción por Prtes Teorem.5. Sen u = f(x) y v = g(x) dos funciones diferencibles en lgún intervlo I. Entonces udv = uv vdu. Demostrción: Por propieddes de l diferencil del producto, d(uv) = vdu + udv y luego udv = d(uv) vdu. Aplicndo l linelidd de l integrl se tiene que udv = d(uv) vdu y luego udv = uv vdu. A continución se resuelven lguns integrles clásics de est técnic. Ejemplo.5. Clculr ls siguientes integrles:. ln(x)dx. 4.. log (x)dx; R + {} rcsen(x)dx. 6. rctn(x)dx. xe x dx. xcos(x)dx. En generl, funciones inverss y productos de polinomios con exponenciles/trigonométrics suelen resolverse con integrción por prtes. Dependiendo del grdo del polinomio o como se el producto de ls funciones, veces es necesrio empler de form reiterd l técnic. Ejemplo.5. Clculr ls siguientes integrles emplendo integrción por prtes. En cso de ser necesrio utilice de mner reiterd l técnic.. x 3 e x dx. 4. (3x 5x) x dx. 7. cos 4 (x)dx.. x n ln(x)dx; n N. 5. x 3 cos(x)dx. 8. e x sen(x)dx. ( ) ln(t) 3. x rctn(x)dx. 6. dt. 9. sen(ln(x))dx. t 6

9 .6. INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS.6. Integrles Trigonométrics.6.. Potencis enters del seno o del coseno Además de l técnic de integrción por prtes, ls integrles sen n (x)dx pueden resolverse de cuerdo los siguientes csos. cos n (x)dx o Si n es pr, utilizr ls identiddes del ángulo doble: sen (x) = cos(x) cos (x) = + cos(x) Si n es impr, se descompone l potenci en un fctor linel y otro n. Este último es de exponente pr y puede expresrse en términos de l otr función (seno o coseno) pr luego plicr regl de l cden con el fctor linel. Ejemplo.6. Clculr:. cos 4 (x)dx.. sen 3 (5x)dx..6.. Producto entre potencis enters de seno con coseno Ls integrles cos n (x)sen m (x)dx se resuelven de cuerdo los siguientes csos. Si n y m son pres, se expres todo en función de seno o coseno y luego se resuelve cd potenci pr que se obteng. Si n o m es impr, l función con exponente impr se descompone en un fctor linel y l potenci restnte, que result ser pr, se expres en términos de l otr función. Luego se plic regl de l cden. Ejemplo.6. Clculr:. cos (x)sen (x)dx.. cos(x)sen 3 (x)dx. 7

10 CAPÍTULO. LA INTEGRAL INDEFINIDA.6.3. Productos de senos y cosenos con rgumento diferente Si, b R {}, ls integrles sen(x)cos(bx)dx cos(x)cos(bx)dx sen(x)sen(bx)dx se resuelven emplendo ls siguientes identiddes, respectivmente: sen(x)cos(bx) = (sen(( b)x) + sen(( + b)x)). cos(x)cos(bx) = (cos(( b)x) + cos(( + b)x)). sen(x)sen(bx) = (cos(( b)x) cos(( + b)x)). Ejemplo.6.3 Resolver sen(3x)cos(7x)dx Potencis enters de l tngente/cotngente Si l potenci es myor o igul que, se descompone en un fctor cudrático el cul se expres en términos de l secnte/cosecnte, luego se plic regl de l cden o se repite el procedimiento nterior, según se el cso. Ejemplo.6.4 Clculr:. tn 3 dx.. cot 4 (x)dx Potencis enters pres de l secnte/cosecnte Si l potenci es myor o igul que, se descompone en un fctor cudrático y l potenci restnte se expres en términos de l tngente/cotngente, luego se plic regl de l cden término término. Ejemplo.6.5 Clculr csc 4 (x)dx. 8

11 .6. INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS.6.6. Potencis enters impres de l secnte/cosecnte Cso bse: sec(x)dx = ln sec(x) + tn(x) + K csc(x)dx = ln csc(x) cot(x) + K Si l potenci es myor o igul que 3, se emple integrción por prtes tomndo un fctor linel como u. L prte restnte dv se integr como en el cso nterior. Ejemplo.6.6 Demostrr sec(x)dx = ln sec(x) + tn(x) + K. Luego, clculr sec 3 dx. (Tre: Demostrr csc(x)dx = ln csc(x) cot(x) + K) Producto entre potencis enters de tngente/cotngente con secnte/cosecnte Ls integrles tn n (x)sec m (x)dx o cuerdo los siguientes csos. cot n (x)csc m (x)dx se pueden resolver de Si m es pr, se descompone un fctor cudrático de l secnte/cosecnte y l potenci restnte se expres en términos de l tngente/cotngente. Luego se plic regl de l cden. Si n y m son impres, se descompone un fctor linel de l secnte/cosecnte y otro linel de l tngente/cotngente. L potenci restnte de l tngente/cotngente se expres en términos de l secnte/cosecnte. Luego se plic regl de l cden. Si n es pr y m es impr, se expres l tngente/cotngente en términos de l secnte/cosecnte. Luego plicr potencis impres de l secnte/cosecnte. Ejemplo.6.7 Clculr:. tn 4 (x)sec (x)dx.. cot 3 (x)csc 5 (x)dx. 3. tn (x)sec(x)dx. 9

12 CAPÍTULO. LA INTEGRAL INDEFINIDA.7. Sustitución Trigonométric Se >. Pr resolver integrles con rdicles de l form: x, se emple l sustitución x = sen φ; π φ π. x +, se emple l sustitución x = tn φ; π < φ < π. x, se emple l sustitución x = sec φ; φ < π π φ < 3π. Ejemplo.7. Integrles clásics: x dx. + x dx. x x dx. Ejemplo.7. Con ls integrles clásics resuelv:.. 9 x dx. 4x x dx x + x + 3 dx. x x 6 dx. Ejemplo.7.3 Clculr:.. 3. x + dx. dx. (6 x ) 3/ x + x + x + dx x 3 x dx. 9 x dx. x rcsen(x) dx. x

13 .8. INTEGRALES MEDIANTE FRACCIONES PARCIALES.8. Integrles medinte frcciones prciles p(x) Pr integrles de l form dx; p(x) polinomio de grdo n, q(x) polinomio q(x) de grdo m, n < m, se descompone q en fctores lineles o cudráticos (quellos que no poseen ceros reles) y se sumn ls frcciones correspondientes de cuerdo los siguientes csos. q(x) tiene lgún fctor linel de l form (x + b) p ;p N Por cd fctor se escribe l sum: A x + b + A (x + b) A p (x + b). p Est form permite integrr ls frcciones medinte regl de l cden. q(x) tiene lgún fctor cudrático de l form (x + bx + c) p ;p N Por cd fctor se escribe l sum: A x + B x + bx + c + A x + B (x + bx + c) A px + B p (x + bx + c) o tmbién: p A (x + b) + B x + bx + c + A (x + b) + B (x + bx + c) A p(x + b) + B p (x + bx + c) p. Est últim form permite integrr lguns frcciones con regl de l cden. Pr ls restntes se puede empler lgun sustitución. Los coecientes A i, B j ; i, j p, se resuelven hciendo l sum de tods ls frcciones obtenids e igulndo con l función rcionl originl. Ejemplo.8. Medinte un descomposición decud en frcciones prciles, clculr:.. 5x x 3 4x dx. x 3 + x + 7x + dx x x 3 (x )(x + x + ) dx. x x(x 4x + 5) dx. Ejemplo.8. Medinte lgun trnsformción decud, clculr:. dx.. x 4 + tn(x) dx.

14 CAPÍTULO. LA INTEGRAL INDEFINIDA.9. Sustitución Universl Pr integrr funciones rcionles de l form f(sen(x), cos(x)) dx, puede em- g(sen(x), cos(x)) plerse l siguiente sustitución: ( x ) z = tn ; π < x < π De quí se deducen ls siguientes expresiones pr sen(x), cos(x) y dx. ( x ) cos(x) = cos = = + z = z + z sec ( ) = x ( x ) ( x ) ( x ) ( x sen(x) = sen cos = sen cos = z + z dz = sec ( x ) dx + tn ( ) x ) ( cos x ) cos ( ) = tn x ( x ) ( x ) cos dx = dz sec ( ) x dx = dz + z Luego de l sustitución, se obtiene l integrl de un función rcionl en términos de z, l mism que se resuelve con lgun de ls técnics nteriores, generlmente se emple frcciones prciles. Ejemplo.9. Emplendo sustitución universl, clculr: dx. sen(x) + cos(x).. sen(x) + cos(x) dx. + sen(x)

15 Cpítulo L Integrl Denid.. Postuldos de áres de regiones poligonles. Tod región poligonl se corresponde con un único número positivo denomindo áre de l región.. El áre de l unión de dos o más regiones poligonles que no se trslpn (intersección de los interiores es vcí), es igul l sum de ls áres de cd un de ls regiones poligonles. 3. Si dos regiones poligonles son congruentes, entonces tiene l mism áre. 4. Si un región poligonl está contenid en otr, entonces el áre de l primer no puede exceder el de l segund. 5. El áre de un rectángulo es igul l producto de l longitud de l bse por l de l ltur... Notción Sigm Sen n, m Z {} tles que m n. Denotremos por x i l sum dd por x m + x m x n ; n y m se denominn índice superior e inferior de l sum, respectivmente, i es l vrible índice y i R es el término generl de l sum. i=m 3

16 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DEFINIDA Si el límite superior es nito, l sum está siempre denid. Por otr prte, si el límite superior es innito, l sum no necesrimente existe y pr clculrl se pueden empler ls siguientes propieddes... c = cn; pr tod c R. i= cx i = c x i ; pr tod c R. i= i= 3. (x i + y i ) = x i + y i. i= i= i= b x i = i= b x i = i= n c i= c n+c i=+c x i+c ; pr tod c Z. x i c ; pr tod c Z. 6. i = i= n(n + ). 7. i = i= n(n + )(n + ) i= i= i 3 = n (n + ). 4 i 4 = n(n + )(6n3 + 9n + n ). 3 Ejemplo.. Desrrolle y clcule ls siguientes sums.. (3i + ). i= 5 i= i Ejemplo.. Exprese ls siguientes sums con índice inferior igul.. i=3 (i ). 5 i= i 4

17 .3. ÁREA DE UNA REGIÓN Ejemplo..3 Determine de ser posible:. lim n +. lim n + 3. lim n + i= (i ) n3 (i ) 3 i= n 4 (x i x i ) i=.3. Áre de un región Denición.3. (Prtición) Se I = [, b] un intervlo cerrdo. Se denomin prtición P de I l conjunto nito P = {x, x,..., x n } tl que = x < x <... < x n < x n = b. Se dene l norm de un prtición como P = mx i n {x i x i }. Notemos que un prtición de I contiene los extremos del intervlo. Ejemplo.3. Un prtición del intervlo [, ] es P = {,, 3 5, 9, 6 5, 7 4 ; }. Otrs prticiones son P = {, 4,, 3 4,, 5 4, 3, 7 4, } y P 3 = {, 8, 4, 3 8,, 5 8, 3 4, 7 8,, 9 8, 5 4, 8, 3, 3 8, 7 4, 5 8, } En este ejemplo notemos que P P 3. Cundo P y Q son dos prticiones de un intervlo cerrdo I tles que P Q, se dice que Q es un renmiento de P. Es de notr que tod prtición induce un colección de sub-intervlos cerrdos de [, b] los cules denotremos por [x i, x i ]; i n. Denición.3. (Sum inferior y sum superior) Supong que f es un función continu no negtiv en [, b]. Se P un prtición de [, b]. Denotemos por R l región limitd por l curv y = f(x), ls rects x =, x = b y el eje X. Denotemos por A R el áre de R. Se x i = x i x i y sen m i = min {f(x); x [x i, x i ]}; M i = mx {f(x); x [x i, x i ]}. 5

18 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DEFINIDA Se dene l Sum Inferior de f respecto P, como S f (P ) = l Sum Superior de f respecto P como S f (P ) = M i x i. i= m i x i y i= Culquier se l prtición P, se veric que S f (P ) A R S f (P ). Denición.3.3 (Áre con rectángulos inscritos y rectángulos circunscritos) En l denición nterior, S f (P ) = m i x i proxim A R medinte rectángulos inscritos y S f (P ) = A R existe si y sólo si i= M i x i medinte rectángulos circunscritos. Diremos que i= lim S f(p ) = lim S f(p ). P P Ejemplo.3. Aproximr el áre de l región limitd por y = x ; x = ; x = ; el eje X, medinte rectángulos inscritos y rectángulos circunscritos, emplendo l prtición P = {, 4,, 3 4,, 5 4, 3, 7 4, } Teorem.3. Si f es continu y no negtiv en [, b], entonces el áre de l región que limit y = f(x), x =, x = b y el eje X, existe. Ejemplo.3.3 Aplique el teorem pr clculr el vlor excto de A R del ejemplo nterior. Notemos que f(x) = x es continu y no negtiv en [, ]. Por tnto el límite de ls sums inferiores y superiores coinciden pr tod prtición, en prticulr si tommos x i =, siendo n el número de sub-intervlos requerido. n Ahor, usndo el hecho que f es monóton en [, ], se escogen los vlores mínimo y máximo de f en cd sub-intervlo inducido por P = {, n, 4 n,..., }. Finlmente expresmos l sum inferior y superior y tommos límite cundo n +. Ambos límites deben coincidir por el teorem precedente y este vlor represent el áre A R. 6

19 .4. SUMA DE RIEMANN Demostrción del Teorem: Mostrremos que pr f continu en [, b], ddo ε > existe un prtición P tl que pr todo renmiento P de P se tiene que S f (P ) S f (P ) < ε. Por hipótesis f es continu en [, b] y por tnto es uniformemente continu en ε [, b]. Esto implic que ddo existe δ > tl que si x, y [, b] y x y < δ, b entonces f(x) f(y) < ε b. Denmos l prtición P tl que P < δ, luego S f (P ) S f (P ) = < ε b M i x i i= x i = ε. i= m i x i = i= (M i m i ) x i i= Pero culquier renmiento P de P stisfce l desiguldd precedente y por tnto lim P [S f(p ) S f (P )] =. Finlmente cd sum tiende A R cundo P pues S f (P ) A R S f (P ). Notemos que l demostrción no requiere que f se no negtiv, por tnto es válid pr culquier función continu en [, b], solmente hy que tener presente que el signicdo geométrico de A R es cundo f es no negtiv..4. Sum de Riemnn En l sección precedente denimos ls sums inferior y superior, de un función continu denid en [, b] respecto un prtición P de [, b]. Se hizo el supuesto que f es continu y no negtiv pr drle un signicdo geométrico ests sums, el cul es l proximción de A R medinte rectángulos inscritos y rectángulos circunscritos l región. 7

20 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DEFINIDA Ahor vmos generlizr el concepto de sum de f respecto un prtición P, puesto que f no necesrimente es continu en [, b] y en este cso, los vlores m i y M i son reemplzdos por f(c i ); donde c i es tomdo rbitrrimente de [x i, x i ]. Por ejemplo, f(x) = x ; < x no es continu en [, ] y el máximo en el ; x = primer sub-intervlo, de culquier prtición P, no está denido. Aún más, podemos generlizr ls sums superior e inferior de f respecto un prtición P, tomndo el supremo M i y el ínmo m i en [x i, x i ], respectivmente. Denición.4. (Sum de Riemnn) Se f un función denid y cotd en [, b]. Se P un prtición de [, b]. Sen c i [x i, x i ] rbitrrios; i n. Se dene l sum de Riemnn de f respecto P como: S f (P ) = f(c i ) x i. Obs. Ddo que m i f(c i ) M i ; i n, sigue que i= m i x i i= f(c i ) x i i= M i x i, es decir, S f (P ) S f (P ) S f (P ). i= Ejemplo.4. Escrib l sum de Riemnn pr l función f(x) = x en el intervlo [, ], respecto l prtición equiespcid con x i = 4, tomndo c i como el punto medio de cd sub-intervlo. Ejemplo.4. Escrib l sum de Riemnn pr l función f(x) = x en el intervlo [, ], respecto l prtición equiespcid formd por n sub-intervlos, tomndo c i como el punto medio de cd sub-intervlo. Ejemplo.4.3 Determine si l siguiente sum represent un sum de Riemnn. Identique l función f y los vlores c i tomdos. Además justique si l prtición empled en equiespcid. ( ) xi + x i cos (x i x i ) 8 i=

21 .5. LA INTEGRAL DEFINIDA.5. L Integrl Denid Denición.5. (Integrl denid) Se f un función denid y cotd en [, b]. Se dice que l integrl denid de f en [, b], denotd por dd por: b f(x)dx = lim S f (P ), si y sólo si este límite existe. P En este cso, diremos que f es Riemnn integrble en [, b]. b f(x)dx, está b Obs. Sin tomr límite en l sum de Riemnn, es usul escribir f(x)dx f(c i ) x i ; pr lgun prtición P de [, b] y lgun selección i= rbitrri de c i [x i, x i ]; i n. Corolrio.5. Tod función continu en [, b] es Riemnn integrble en dicho intervlo. Demostrción: Por l denición de l sum de Riemnn, sbemos que S f (P ) S f (P ) S f (P ). Por Teorem nteriormente mostrdo, sbemos que si f es continu en [, b], los límites de ls sums superior e inferior son igules cundo P, por tnto el límite de l sum de Riemnn existe y es igul tles límites. Ejemplo.5. Verique el corolrio con el ejemplo de l región limitd por y = x en [, ], pr un prtición equiespcid que induce n sub-intervlos en [, ] y c i como el punto medio del i-ésimo sub-intervlo. Clcule el límite cundo n +. Compre con los límites de l sum inferior y superior obtenidos en ejercicios nteriores. Es de resltr que no siempre existe l integrl denid de un función cotd en [, b]. Hy funciones cotds denids en intervlos cerrdos, tles que el límite de l sum de Riemnn no existe. 9

22 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DEFINIDA Ejemplo.5. Demuestre que l función de Dirichlet denid por ; x Q f(x) =, no es Riemnn integrble en [, ]. ; x / Q Solución: Tomndo culquier prtición P de [, ], en cd subintervlo inducido por P sigue que existe un innidd de números rcionles y un innidd de números irrcionles. Si se tomn c i rcionles, S f (P ) = pero si se tomn c i irrcionles, se obtiene S f (P ) =. Por tnto l respuest dependerá de los vlores c i tomen en el i-ésimo sub-intervlo. Esto prueb que lim S f (P ) no existe. P que se El siguiente corolrio es útil pr clculr integrles denids emplendo prticiones equiespcids. b Corolrio.5. Si f es continu en [, b], f(x)dx = lim n + n lgun selección rbitrri de c i [x i, x i ]; i n. b f(c i ); pr Además de estos corolrios, existe un teorem que d condiciones sucientes pr l integrbilidd de un función cotd en [, b]. Teorem.5. Se f un función cotd y denid en [, b]. Si f es continu en [, b] excepto en un cntidd numerble de puntos de [, b], entonces f es Riemnn integrble en [, b]. De quí podemos rmr que ls funciones cotds, con un cntidd nit de puntos de discontinuidd, son Riemnn integrbles en intervlos cerrdos. Por ejemplo, 3 [ x ]dx existe. Notemos que un función continu en [, b] tmbién stisfce este teorem pues en este cso, el conjunto de puntos de discontinuidd de f es vcío. i= Pr evlur l integrl denid de un función continu en [, b], excepto en un cntidd nit de puntos, es necesrio empler ls propieddes de l integrl denid.

23 .6. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA.6. Propieddes de l Integrl Denid Teorem.6. (Teorem I) f es Riemnn integrble en [, b] si y sólo si pr cd ε > existe un prtición P tl que S f (P ) S f (P ) < ε. Demostrción: Por hipótesis f es Riemnn integrble en [, b]. Se ε > ddo. Pr culquier sum de Riemnn, en prticulr pr l superior y l inferior, existen prticiones P y P tles que S f (P ) b b f(x)dx < ε y f(x)dx S f (P ) < ε. Se P un renmiento común de P y P ddo por P = P P. Entonces de ls desigulddes precedentes se deduce que: S f (P ) S f (P ) < ε b + f(x)dx < S f (P ) + ε S f (P ) + ε. Por hipótesis, ddo ε > existe un prtición P tl que S f (P ) S f (P ) < ε. Puesto que S f (P ) lim S f(p ) lim S f(p ) S f (P ) sigue que P P lim S f(p ) lim S f(p ) < ε. P P Puesto que ε fue rbitrrio, se tiene que lim S f(p ) = P S f (P ) S f (P ) S f (P ), se tiene que lim S f(p ) existe. P Esto prueb que f es Riemnn integrble en [, b], es decir, lim S f(p ). Como P b f(x)dx existe.

24 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DEFINIDA Teorem.6. (Teorem II) Sen f y g funciones Riemnn integrbles en [, b]. Entonces:. f +g es Riemnn integrble en [, b] y b (f +g)(x)dx =. Pr todo c R, cf es Riemnn integrble en [, b] y 3. Si f g en [, b], entonces 4. Si c b, c c f(x)dx =. b f(x)dx b b f(x)dx+ b (cf)(x)dx = c b b g(x)dx. g(x)dx. f(x)dx. 5. Si < c < b, entonces f es Riemnn integrble en [, c] y en [c, b]. Además b f(x)dx = c f(x)dx + b c f(x)dx. 6. Si f(x) = K en [, b], K constnte rel, entonces b f(x)dx = K(b ). 7. Si m f(x) M en [, b], entonces m(b ) b f(x)dx M(b ). 8. Si m f(x) M en [, b] y φ es continu en [m, M], entonces h(x) = φ(f(x)) es Riemnn integrble en [, b]. 9. fg es Riemnn integrble en [, b].. f es Riemnn integrble en [, b] y Obs. f (x) = f(x). b b f(x)dx f (x)dx. Ejemplo.6. Justique si ls siguientes funciones son Riemnn integrbles en el intervlo ddo b π (x + e x )dx. sen(x)dx. x + dx. x dx b π π + sgn(x)dx. cos(x) dx. tn(x)dx. ln(x)dx.

25 .6. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Ejemplo.6. Exprese ls siguientes integrles denids en términos de funciones elementles. En cso de ser posible, utilice principios de congruenci entre áres.. 4 x dx [ x ]dx.. 3. π π cos(x) dx. sen(x)dx. 5. x 3 ; x f(x)dx, si f(x) =. x ; x > Ejemplo.6.3 Clique como verdders o flss ls siguientes proposiciones. En cso de ser verdders demuéstrels y en cso de ser flss muestre un contrejemplo.. Se f un función denid en [, b] tl que c b. Si f(c) y f(x) = pr x c, entonces b f(x)dx =.. Se f un función continu en [, b] tl que en [, b]. b 3. Se f un función continu y no negtiv en [, b]. Si f(x) = en [, b]. f(x)dx =, entonces f(x) = b f(x)dx =, entonces Demostrción del Teorem:. Por hipótesis f y g son Riemnn integrbles. Pr ε, existen prticiones P y P, pr f y g respectivmente, tles que pr todo renmiento P de P y b de P, se cumple que S f(p ) f(x)dx < ε b y S g (P ) g(x)dx < ε. Tomndo P = P P y plicndo desiguldd tringulr, sigue que f + g es Riemnn integrble en [, b] y b (f + g)(x)dx = b f(x)dx + b g(x)dx.. Si c = l propiedd se cumple por cunto cf es l función nul y culquier sum de Riemnn es nul. Se c. Por hipótesis f es Riemnn integrble. Pr ε c, existe un prtición P tl que pr todo renmiento P de P, se b cumple que S f(p ) f(x)dx < ε. Multiplicndo por c l desiguldd, c sigue que cf es Riemnn integrble en [, b] y b (cf)(x)dx = c b f(x)dx. 3

26 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DEFINIDA 3. Pr tod prtición P de [, b] sigue que S f (P ) S g (P ) por cunto f g en [, b]. Est desiguldd tmbién es válid pr los límites, sí b g(x)dx. 4. Si c b, c c b f(x)dx f(x)dx = por cunto l únic prtición posible tiene un único punto. Luego, el único sub-intervlo es [c, c] y su longitud es nul. 5. Se < c < b. Como f es Riemnn integrble en [, b], por Teorem nterior sigue que ddo ε >, existe un prtición P tl que S f (P ) S f (P ) < ε. Sin pérdid de generlidd consideremos los renmientos de P que contienen c. Podemos seprr cd sum en dos sums: un que incluy los sub-intervlos de [, c] denotd por S y otr pr los de [c, b] denotd por S. Se cumple que S f(p ) S f(p ) < ε y que S f(p ) S f(p ) < ε. Por Teorem nterior esto equivle que f es Riemnn integrble en [, c] y en [c, b], respectivmente. Además tod sum de Riemnn puede seprrse en dos sums de Riemnn, similr l rgumento nterior. Tomndo límite cundo P sigue que b f(x)dx = c f(x)dx + b c f(x)dx. 6. Si f(x) = K en [, b], K constnte rel, entonces tod sum de Riemnn puede expresrse como K x i = K(b ). Tomndo límite sigue l propiedd. i= 7. Si m f(x) M en [, b], entonces m(b ) plicndo propieddes 3 y 6. b f(x)dx M(b ) 8. Se m f(x) M en [, b] y φ es continu en [m, M]. Por l continuidd uniforme de φ en [m, M], pr todo ε > existe < δ < ε tl que si s, t [m, M] y s t < δ, entonces φ(s) φ(t) < ε. Como f es Riemnn integrble, por teorem nterior, pr δ existe un prtición P de [, b] tl que S f (P ) S f (P ) < δ (*). Consideremos los siguientes subconjuntos disjuntos de i denotdos por A y B, respectivmente; i n: 4

27 .6. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Si M i m i < δ, i A. En este cso notemos que φ(t ) φ(t ) < ε pr todo t, t [m i, M i ] por l continuidd uniforme de φ. () Si M i m i δ, i B. En este cso δ x i i m i ) x i < δ i B i B(M. Est últim desiguldd es por (*). Por tnto, x i < δ. () i B Por otr prte, φ es continu en [m, M] y por tnto φ(t ) φ(t ) K; donde K = mx { φ(t) ; t [m, M]}. (3) Se h(x) = φ(f(x)). Sigue que S h (P ) S h (P ) = (Mi m i ) x i + i i A i B(M m i ) x i, donde Mi y m i denotn los vlores máximo y mínimo de h en [x i, x i ], respectivmente. Por (), (), (3) y ddo que δ < ε, se tiene que S h (P ) S h (P ) < ε(b ) + Kδ < ε(b ) + Kε = ε(b + K). Por Teorem precedente, h es Riemnn integrble en [, b]. 9. Aplicndo l propiedd precedente f + g y φ(t) = t sigue que (f + g) es Riemnn integrble en [, b]. Similrmente (f g) es Riemnn integrble en [, b]. Por otr prte 4fg = (f + g) (f g) y ddo que fg result ser un combinción linel de funciones Riemnn integrbles en [, b], por ls propieddes y sigue que fg es Riemnn integrble en [, b].. Por l propiedd 8 plicd f y φ(t) = t, sigue que f es Riemnn integrble en [, b]. Por otr prte, f f f y de l propiedd 3 sigue que b b b f (x)dx f(x)dx b f(x)dx f (x)dx. b f (x)dx. Por propiedd de vlor bsoluto 5

28 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DEFINIDA Teorem.6.3 (Teorem del Vlor Medio pr Integrles) Se f continu en [, b]. Entonces existe c [, b] tl que Demostrción: b f(x)dx = f(c)(b ). Por hipótesis f es continu en [, b]. Por Teorem de Weierstrss f lcnz su vlor máximo M y mínimo m en [, b]. Entonces m f(x) M pr todo x [, b]. Por propiedd del Teorem II sigue que m(b ) f(x)dx M(b ). b Dividiendo pr b sigue que m f(x)dx M. Por el Teorem del vlor b b intermedio pr funciones continus existe c [, b] tl que f(x)dx = f(c). b Luego, existe c [, b] tl que b f(x)dx = f(c)(b ). b En el teorem precedente, f(c) recibe el nombre de vlor promedio de f en [, b]. Ejemplo.6.4 Determine el número c que stisfce el Teorem del vlor medio pr f(c) = x dx. Solución: De un ejercicio nterior es conocido que b f(x)dx b x dx = 8. Por Teorem, 3 =.8 3, luego, c = 4. Esto implic que c = o c = Pero este último vlor se descrt por no pertenecer l intervlo de integrción. Así c = 3. Ejemplo.6.5 Supong que l velocidd de un objeto en un dimensión está dd t t en m/s por v(t) =. Determine l velocidd promedio en el 4 t < t 4 intervlo de tiempo ddo y en qué instnte de tiempo se lcnz dich velocidd. 6

29 .7. TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO.7. Teorems Fundmentles del Cálculo Teorem.7. (Primer Teorem Fundmentl del Cálculo) Se f continu en [, b]. Se l función F (x) = (, b) y d dx F (x) = d dx x x f(t)dt = f(x). f(t)dt; x b. Entonces F es derivble en L función F denid en el Teorem precedente se denomin función de cumulción de f y represent el áre net que cumul f entre y x. Demostrción: Se x (, b). Se h > tl que x + h (, b). Por denición F (x + h) F (x) = x+h f(t)dt x f(t)dt = x x+h f(t)dt. Como f es continu en [x, x+h] existe c [x, x+h] tl que x+h x f(t)dt = f(c)h. F (x + h) F (x) Luego = f(c). Tomndo límite cundo h + sigue que h F (x) + = f(x). Con un trbjo similr en [x h, x], sigue que F (x) = f(x). De mbos límites se concluye que F (x) = f(x) pr todo x (, b). Ejemplo.7. Determine d dx x + t4 dt. Vrintes del Teorem: Pr g y h diferencibles en (, b) con imgen en [, b], determine: d dx d dx g(x) g(x) h(x) f(t)dt. f(t)dt. 7

30 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DEFINIDA Ejemplo.7. Clcule lim x + x sen(3t)dt. x Teorem.7. (Segundo Teorem Fundmentl del Cálculo) Si f es continu en [, b] y F es un ntiderivd de f, entonces Demostrción: b f(x)dx = F (b) F (). Se dene G(x) = x f(t)dt l función cumulción como el teorem nterior. Por este mismo teorem tenemos que G (x) = f(x) en (, b). Luego G es otr ntiderivd de f y sí F = G + K, pr lgun constnte rel K. Por tnto, F (b) F () = G(b) + K G() K = Notción: Si F es un ntiderivd de f, b b f(t)dt f(t)dt = b f(t)dt. f(x)dx = F (x) b = F (b) F (). Ejemplo.7.3 Verique el teorem con x dx. Ejemplo.7.4 Determine el vlor promedio de f(x) = e x en el intervlo [, ] y determine el punto donde se lcnz dicho vlor. Teorem.7.3 (Teorem de Sustitución) Se f continu en [, b] y x = φ(u) un función biyectiv con derivd continu y no nul en [φ (), φ (b)]. Entonces b Demostrción: f(x)dx = φ (b) φ () f(φ(u))φ (u)du. Supondremos que f tiene un ntiderivd F. En este cso notemos que por el Teorem de l Regl de l Cden pr integrles y del do T. F. del Cálculo, φ (b) φ () b f(φ(u))φ (u)du = F (φ(u)) φ (b) φ () = F (b) F () = f(x)dx. 8

31 .7. TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO Obs. El Teorem tmbién es válido unque no se conozc un ntiderivd de f. En este cso se demuestr comprndo ls sums de Riemnn de mbs integrles y usndo el hecho que φ es uniformemente continu en [, b]. Ejemplo.7.5 Verique el teorem de sustitución pr x x dx. Ejemplo.7.6 Demuestre que si f es continu en [, b], b f(x)dx = b f(x)dx. Sugerenci: Utilice el hecho que l sum de Riemnn de f(x) en [, b] es igul que l de f( x) en [ b, ]. Luego emplee l sustitución x = u. Ejemplo.7.7 (Propieddes de simetrí) Demuestre que si f es continu y pr, f(x)dx = f(x)dx. Sugerenci: Sepre en dos integrles y en un de ells emplee l sustitución x = u. Luego plique el teorem. Con un procedimiento similr, demuestre que si f es continu e impr, entonces f(x)dx =. Ejemplo.7.8 (Ejercicio Resumen) Clculr: El vlor promedio de f(x) = x + 3x en [, ] y determinr el punto donde se lcnz dicho vlor. De ser posible el vlor k R tl que el áre de l región limitd [ por l curv y = kcos(πx) se igul unidd de áre, en el intervlo de, ]. 4 Usndo propieddes de simetrí, ( x 4 cos(x) ) dx. xe x dx. 9

32 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DEFINIDA.8. Integrles Impropis Cundo un función no es cotd o el intervlo de integrción no es cerrdo, no se puede segurr l existenci de l integrl de Riemnn. En estos csos se denen ls integrles impropis de cuerdo su nturlez..8.. Funciones continus en intervlos no cotdos Denición.8. Se f continu pr todo x. L integrl si y sólo si lim b + límite. b + f(x)dx existe, f(x)dx existe. En ese cso el vlor de l integrl es igul l del Denición.8. Se f continu pr todo x b. L integrl si y sólo si límite. b lim b f(x)dx existe, f(x)dx existe. En ese cso el vlor de l integrl es igul l del Denición.8.3 Se f continu en R. L integrl si c f(x)dx existe y + c vlor de l integrl es igul l sum de mbos límites. + f(x)dx existe, si y sólo f(x)dx existe, pr culquier c R. En este cso, el Ejemplo.8. Anlice l existenci de ls siguientes integrles.. + e x dx x dx. (4 x) dx 4. + xdx Ejemplo.8. Evlur l existenci de ls siguientes integrles.. + x ( + x ) 4 dx 3. xe x dx 5. + e x dx. + xln(x) dx 4. + x(x + ) dx Ejemplo.8.3 Se p >. Determine los vlores pr los cules y pr los que converge. + dx diverge xp 3

33 .8. INTEGRALES IMPROPIAS En todos estos ejemplos fue posible hllr l primitiv y evlur luego el límite pr estblecer l existenci de l integrl impropi. No en todos los csos esto es posible, por lo que bjo cierts hipótesis, se puede segurr l existenci de l integrl unque no se pued clculr el límite. Teorem.8. Se f creciente en [, + ). Si f es cotd superiormente, entonces lim f(x) existe. x + Ejemplo.8.4 Anlice l existenci de + e x dx. Solución: por denición, hy que mostrr que Pr que + Denmos G(b) = e x dx exist, lim b + b b e x dx y e x dx debe existir. + e x dx existen. e x dx, tenemos que est función es continu, pues del I T.F. del cálculo es diferencible en (, b), demás es creciente pues es un función cumuldor de un función positiv. Por tnto, sólo flt probr que es cotd superiormente pr plicr el teorem precedente y concluir que lim G(b) existe. b + Pr mostrr que es cotd superiormente tenemos que: x x + = (x ). Luego, x x y sí x x. Por l monotoní de l función exponencil nturl, sigue que e x e x. De l monotoní de l integrl denid sigue que b e x dx integrl de l derech existe de [, + ), se concluye que G(b) es cotd. b e x dx. Como l + Análogmente e u du. e x dx existe, pues con l sustitución x = u se obtiene 3

34 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DEFINIDA.8.. Funciones no cotds en intervlos cerrdos Denición.8.4 Se f continu en (, b] y se lim +f(x) = + ( ). L integrl b f(x)dx existe si y sólo si lim t + es igul l del límite. b t x f(x)dx existe. En este cso el vlor de l integrl Denición.8.5 Se f continu en [, b) y se lim f(x) = + ( ). L integrl b f(x)dx existe si y sólo si lim t b es igul l del límite. t x b f(x)dx existe. En este cso el vlor de l integrl Denición.8.6 Se f continu en [, b] excepto en c (, b), y se limf(x) = + ( ). L integrl x c b c b f(x)dx existe si y sólo si c f(x)dx y f(x)dx existen. En este cso el vlor de l integrl es igul l sum de los límites. Denición.8.7 Se f continu en (, b). Se lim +f(x) = + ( ) y lim f(x) = + ( ). L integrl x b b c b x f(x)dx existe si y sólo si c f(x)dx y f(x)dx existen pr culquier c (, b). En este cso el vlor de l integrl es igul l sum de los límites. Ejemplo.8.5 Evlur l existenci de ls siguientes integrles.. 4 x dx. x dx 3. dx 4. x x dx.9. Otros csos de integrles impropis En generl se pueden combinr culquier de los csos nteriormente visto. Es de observr los puntos del intervlo de integrción donde f tiende + o y si es necesrio, seprr l integrl en vris integrles. Pr f y g continus, tmbién son útiles los siguientes criterios de comprción simple: 3

35 .9. OTROS CASOS DE INTEGRALES IMPROPIAS Si f g y Si f g y + + g(x)dx = +, entonces g(x)dx =, entonces + + Similres comprciones son válids en (, ]. f(x)dx = +. f(x)dx =. Ejemplo.9. Evlur l convergenci de Ejemplo.9. Anlice l convergenci de Ejemplo.9.3 Anlice l convergenci de x x dx. x x5 + dx. e x x dx. 33

36

37 Apéndice Lem.9. Se l función f : I R R estrictmente monóton, con I intervlo. Si f(i) es un intervlo, entonces f es continu. Lem.9. Se l función f : I R J R biyectiv y monóton creciente (decreciente). Entonces f : J I es monóton creciente (decreciente). Demostrción: Por contrdicción supongmos que f no es monóton creciente. Entonces existen y, y J tles que y < y pero f (y ) > f (y ). Por l biyectividd, existen x, x I tles que x = f (y ), x = f (y ). Luego, x > x. Por l monotoní de f sigue que f(x ) f(x ), equivlentemente, y y lo que es un contrdicción. Lem.9.3 f : I R R inyectiv y continu. Entonces f es estrictmente monóton en I. Demostrción: Se g : IxI R denid por g(x, y) = f(x) f(y). Por l continuidd de f se tiene que g es continu. Como IxI es conexo, sigue que su imgen por g es conex. Ahor notemos que f se nul únicmente en l digonl de IxI por l inyectividd de f. En ls dos subregiones que divide l digonl l cudrdo IxI, notemos que f tiene signos opuestos. 35

38 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DEFINIDA Pr l sub-región donde x < x, tenemos que f(x ) < f(x ) ó f(x ) > f(x ), dependiendo del signo que tome f en dich sub-región. Estos lems muestrn el siguiente Teorem: Teorem.9. f : I R J R biyectiv y continu. Entonces f : J I es continu. 36

39 Índice de Símbolos R Conjunto de los Números Reles Q Conjunto de los Números Rcionles N Conjunto de los Números Nturles C(X) Funciones Continus R vluds en X Unión Disjunt 37

40

41 Bibliogrfí [] J. Aguyo, Cálculo Integrl y Series, Qud/Grphics, Chile. [] W. Rudin, Principios de Análisis Mtemático, McGrw Hill, México 977. [3] S. Solís, Apuntes de Mgíster de Mtemátic, Universidd de Concepción, Chile 3-5. [4] Apuntes de Cálculo I y Cálculo II, Universidd de Concepción, Chile 4. 39

LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b.

LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b. Tem 4 Integrción 4.. Primitivs LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es un función continu y no negtiv definid en el intervlo x [, b], entonces l integrl definid f(x) represent el áre bjo l gráfic de l función

Más detalles

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades Cpítulo 7 Integrles impropis 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes El concepto de integrl se etiende de mner csi espontáne situciones más generles que ls que hemos emindo hst hor. Consideremos,

Más detalles

La Integral de Riemann

La Integral de Riemann Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función

Más detalles

TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN. 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Partición de un intervalo

TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN. 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Partición de un intervalo TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Prtición de un intervlo Se f :, y fx K x,. Definición: Un prtición de, es un conjunto ordendo y finito de números reles y distintos P x 0,...,x

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición

Más detalles

Integrales impropias

Integrales impropias Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección

Más detalles

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de

Más detalles

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias CURSO DE MATEMÁTICA 1. Fcultd de Ciencis Reprtido Teórico 1 Mrzo de 2008 1. Conceptos Básicos de Funciones Definiciones 1. Si A y B son conjuntos no vcíos, un función de A en B es un correspondenci tl

Más detalles

2. Cálculo de primitivas

2. Cálculo de primitivas 5. Cálculo de primitivs Definición. Se dice que un función F () es un primitiv de otr función f() sobre un intervlo (, b) si pr todo de (, b) se tiene que F () f(). Por ejemplo, l función F () es un primitiv

Más detalles

CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS

CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS SECCIONES A. Integrles impropis de primer especie. B. Integrles impropis de segund especie. C. Aplicciones l cálculo de áres y volúmenes. D. Ejercicios propuestos. 9

Más detalles

5. Integral y Aplicaciones

5. Integral y Aplicaciones Métodos Mtemáticos (Curso 203 204) Grdo en Óptic y Optometrí 29 5. Integrl y Aplicciones Primitiv de un función Un función F es un primitiv de f, en un intervlo I, si F (x) = f(x) pr todo x en I. Observción

Más detalles

7.1. Definición de la Integral de Riemann

7.1. Definición de la Integral de Riemann Cpítulo 7 Integrl de Riemnn 71 Definición de l Integrl de Riemnn En este cpítulo supondremos, menos que se indique lo contrrio, que < b y f : [, b] R es un función cotd Definición 71 Un prtición del intervlo

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 6 Curso preprtorio de l prueb de cceso l universidd pr myores de 5 ños curso 1/11 Nuri Torrdo Robles Deprtmento de Estdístic Universidd Crlos III de Mdrid

Más detalles

O(0, 0) verifican que. Por tanto,

O(0, 0) verifican que. Por tanto, Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES: Un unción es simétric respecto del origen O, su simétrico respecto de O

Más detalles

Segunda Versión. Integración y Series. Tomo II

Segunda Versión. Integración y Series. Tomo II UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA Deprtmento de Mtemátic y Cienci de l Computción CÁLCULO Segund Versión Integrción y Series Tomo II Gldys Bobdill A. y Rfel Lbrc B. Sntigo de Chile 4

Más detalles

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja Tem 4. Integrción de Funciones de Vrible omplej Prof. Willim L ruz Bstids 7 de octubre de 22 Tem 4 Integrción de Funciones de Vrible omplej 4. Integrl definid Se F (t) un función de vrible rel con vlores

Más detalles

CÁLCULO ELEMENTAL APUNTES. Valor absoluto. Definición 1. El valor absoluto del número real a, que se designa por a, se define por. a si a < 0.

CÁLCULO ELEMENTAL APUNTES. Valor absoluto. Definición 1. El valor absoluto del número real a, que se designa por a, se define por. a si a < 0. CÁLCULO ELEMENTAL APUNTES Vlor bsoluto Definición 1. El vlor bsoluto del número rel, que se design por, se define por { si 0, = si < 0. Definición 2. L distnci entre los números x 1 y x 2 de l rect rel

Más detalles

TEMA 1 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

TEMA 1 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL TEMA INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Funciones.. Incrementos rzones de cmbio. 3. Derivds 4. Derivds de orden superior. 5. Primitivs 6. Integrl definid. Este mteril puede descrgrse desde

Más detalles

6.1 Sumas de Riemann e integral definida

6.1 Sumas de Riemann e integral definida Tem 6 Integrción Definid 6.1 Sums de Riemnn e integrl definid Supongmos que estmos interesdos en clculr el áre que se encuentr bjo un curv y = f(x) en un intervlo [, b] (pr simplificr, consideremos el

Más detalles

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE Cpítulo INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS.. Introducción Si el problem del cálculo de l rect tngente llevó los mtemáticos del siglo XVII l desrrollo de ls técnics de l derivción, otro problem, el del cálculo

Más detalles

Métodos de Integración I n d i c e

Métodos de Integración I n d i c e Métodos de Integrción I n d i c e Introducción Cmbio de Vrible Integrción por prtes Integrles de funciones trigonométrics Sustitución Trigonométric Frcciones prciles Introducción. En est sección, y con

Más detalles

Resumen Segundo Parcial, MM-502

Resumen Segundo Parcial, MM-502 Resumen Segundo Prcil, MM-502 Jose Alvreng 18 de febrero de 2015 1. Integrles de líne ) Definición Se r(t) = f(t)i + g(t)j un función vectoril con dominio D, y L un vector. Decimos que r tiene limite L

Más detalles

Presentación Axiomática de los Números Reales

Presentación Axiomática de los Números Reales Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. 1 Prte I Presentción Axiomátic de los Números Reles 1. Axioms de los Números Reles 1.1. Axioms de Cuerpo Aceptremos l existenci de un conjunto R cuyos elementos

Más detalles

Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio.

Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio. Grdo en Biologí Tem Integrción Sección.: Aproximción numéric de integrles definids. Hy funciones de ls que no se puede hllr un primitiv en términos de funciones elementles. Esto sucede, por ejemplo, con

Más detalles

A modo de repaso. Preliminares

A modo de repaso. Preliminares UNIDAD I A modo de repso. Preliminres Conjuntos numéricos. Operciones. Intervlos. Conjuntos numéricos Los números se clsificn de cuerdo con los siguientes conjuntos: Números nturles.- Son los elementos

Más detalles

El Teorema Fundamental del Cálculo

El Teorema Fundamental del Cálculo del Cálculo Deprtmento de Análise Mtemátic Fcultde de Mtemátics Universidde de Sntigo de Compostel Sntigo, 2011 L Regl de Brrow: un resultdo sorprendente Recordemos que f es integrble en I = [, b] y su

Más detalles

Tema 4: Integrales Impropias

Tema 4: Integrales Impropias Prof. Susn López 1 Universidd Autónom de Mdrid Tem 4: Integrles Impropis 1 Integrl Impropi En l definición de un integrl definid f (x) se exigió que el intervlo [, b] fuese finito. Por otro ldo el teorem

Más detalles

Cálculo integral de funciones de una variable

Cálculo integral de funciones de una variable Lino Alvrez - Aure Mrtínez CÁLCULO II Cálculo integrl de funciones de un vrible 1 L integrl de Riemnn Se f : [, b] R R un función cotd en [, b]. Definición 1.- Un prtición P = {t 0, t 1,..., t n } del

Más detalles

Curvas en el plano y en el espacio

Curvas en el plano y en el espacio Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que

Más detalles

Aproximación e interpolación mediante polinomios

Aproximación e interpolación mediante polinomios LA GACETA DE LA RSME, Vol. 5.3 (2002), Págs. 621 627 621 Aproximción e interpolción medinte polinomios por Miguel Mrno y Mrt Mrcolini En este trbjo se muestr un relción entre los conceptos de interpolción

Más detalles

n f j (x). j=0 f n Los teoremas que hemos obtenido anteriormente para sucesiones de funciones pueden aplicarse a las series de funciones.

n f j (x). j=0 f n Los teoremas que hemos obtenido anteriormente para sucesiones de funciones pueden aplicarse a las series de funciones. Cpítulo 10 Series de Funciones 10.1. Series de Funciones Definición 10.1 Se X R y (f n ) n N un sucesión de funciones reles sobre X. Pr n N definimos S n : X R por S n (x) = f j (x). Llmmos (S n ) n N

Más detalles

Integración en una variable. Aplicaciones

Integración en una variable. Aplicaciones Tem 4 Integrción en un vrible. Aplicciones Ls integrles formlizn un concepto bstnte sencillo e intuitivo, el de áre. Los orígenes del cálculo de áres los podemos encontrr en el método de exhución desrrolldo

Más detalles

Integral de Riemann. Introducción a la integración numérica.

Integral de Riemann. Introducción a la integración numérica. Cálculo Mtemático (Práctics) M. I. Berenguer Mldondo mribel@ugr.es. 1 Integrl de Riemnn. Introducción l integrción numéric. En est práctic usremos l clculdor ClssPd pr trtr el problem de integrción. Se

Más detalles

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción.2 3.2. Límites y continuidd..3 3.3. Derivción de funciones vectoriles y sus

Más detalles

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano 1 Tem. Trigonometrí y geometrí del plno 1. Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Ddo un ángulo culquier, si desde un punto, A, de uno de sus ldos se trz su proyección, A, sobre el otro ldo se obtiene

Más detalles

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112 FACULTAD DE INGENIERÍA - UNJ Unidd : olinomios UNIDAD olinomios Introducción - Epresiones lgebrics - Clsificción de ls epresiones lgebrics - Epresiones lgebrics enters 7 - Monomios 7 - Grdo de un monomio

Más detalles

Integración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua.

Integración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua. Integrción indefinid y definid. Aplicciones de l integrl: vlor medio de un función continu. Jun Ruiz 1 Mrcos Mrvá 1 1 Deprtmento de Mtemátics. Universidd de Alclá de Henres. Contenidos Introducción 1 Introducción

Más detalles

2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange.

2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange. . Derivd: tngente un curv. Los teorems de Rolle y Lgrnge. Se f : x I f( x) un función definid en un intervlo I y se un punto interior del intervlo I. L pendiente de l rect tngente l curv y f( x), f( )

Más detalles

Integral Definida. Aplicaciones

Integral Definida. Aplicaciones Itegrl Defiid. Apliccioes. Itegrl defiid. Defiició Se f(x u fució cotiu e u itervlo cerrdo [, b] y cosideremos el itervlo dividido e prtes igules x < x < x s < < x b. Pr cd subitervlo [x i, x i ], l fució

Más detalles

TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 5.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES 5.1.1. Concepto de tendenci Decimos que " tiende " si tom los vlores de un sucesión que se proim. Se

Más detalles

Notas de Integral de Riemann-Stieltjes

Notas de Integral de Riemann-Stieltjes Nots de Integrl de Riemnn-Stieltjes 1. Definición y propieddes Dds funciones g, F : [, b] R que cumpln ciertos requisitos, definiremos l expresión g(x)df(x) de tl mner que cundo consideremos el cso prticulr

Más detalles

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica Artículo de sección Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet (www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol. 12, N o 1. Agosto Ferero 2012. Fctorizción de polinomios. Sndr Schmidt Q. sschmidt@tec.c.cr Escuel

Más detalles

CÁLCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES

CÁLCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS CÁLCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES Rmón Bruzul Mrisel Domínguez Crcs, Venezuel Julio 25 Rmón

Más detalles

TRABAJOS DE MATEMATICA

TRABAJOS DE MATEMATICA UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA FACULTAD DE MATEMÁTICA, ASTRONOMÍA Y FÍSICA SERIE C TRABAJOS DE MATEMATICA Nº 36/07 Un segundo curso de Cálculo Crin Boyllin, Elid Ferreyr, Mrt Urciuolo, Cynthi Will Editores:

Más detalles

7. Integrales Impropias

7. Integrales Impropias Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 08-2 Bsdo en el punte del curso Cálculo (2d semestre), de Roerto Cominetti, Mrtín Mtml y Jorge

Más detalles

Sucesiones de Funciones

Sucesiones de Funciones Cpítulo 9 Sucesiones de Funciones 9.1. Sucesiones de Funciones. En los cpítulos 3 y 4 vimos que un sucesión de números reles es, simplemente, un colección numerble y ordend de números reles. De mner similr,

Más detalles

Integración de Funciones de Varias variables

Integración de Funciones de Varias variables Cpítulo 1 Integrción de Funciones de Vris vribles 1. L σ-álgebr de orel 2. L medid de Lebesgue 3. Funciones medibles Un vez estudid l medid de Lebesgue en R n, vmos desrrollr hor l integrción de funciones

Más detalles

1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS

1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS . INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS.. INTEGRAL DEFINIDA Se y = f(x) definid pr todo x [, b]. Consideremos un prtiión P del intervlo [, b] P {x 0 = < x < x 2 < < x n = b} Sen P = máx{x i x i }, s n = n m

Más detalles

Cálculo integral. Beatriz Campos Sancho Cristina Chiralt Monleon. Departament de matemàtiques. Codi d assignatura 305. Cálculo integral - UJI

Cálculo integral. Beatriz Campos Sancho Cristina Chiralt Monleon. Departament de matemàtiques. Codi d assignatura 305. Cálculo integral - UJI Cálculo integrl Betriz Cmpos Sncho Cristin Chirlt Monleon Deprtment de mtemàtiques Codi d ssigntur 35 Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- Edit: Publiccions de l Universitt Jume I. Servei

Más detalles

Curvas en el espacio.

Curvas en el espacio. Curvs en el espcio. Tod curv en el espcio R n se puede considerr como l imgen de un función vectoril r : [, b] R n, r(t) = (x 1 (t),..., x n (t)), que recibe el nombre de prmetrizción de l curv. Los puntos

Más detalles

3.- Derivada e integral de funciones de variable compleja.

3.- Derivada e integral de funciones de variable compleja. 3.- Derivd e integrl de funciones de vrile complej. ) Derivds, funciones nlítics e interpretción geométric. ) Regls de diferencición. c) Ecuciones de uch-riemnn. d) Funciones rmónics. e) Integrción complej.

Más detalles

Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 4: Lunes 1 - Viernes 5 de Abril. Contenidos

Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 4: Lunes 1 - Viernes 5 de Abril. Contenidos Coordinción de Mtemátic I (MAT01) 1 er Semestre de 013 Semn 4: Lunes 1 - Viernes 5 de Abril Complementos Contenidos Clse 1: Funciones trigonométrics. Clse : Funciones sinusoidles y ecuciones trigonométrics.

Más detalles

Aplicaciones del cálculo integral

Aplicaciones del cálculo integral Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:

Más detalles

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Conceptos preinres TEMA : FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Un función es un relción entre dos mgnitudes, de tl mner que cd vlor de l primer le sign un único vlor de l segund. Si A y B son dos conjuntos,

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE CONCEPTOS CLAVE: FUNCIONES, GRAFICA DE UNA FUNCIÒN, COMPOSICIÒN DE FUNCIONES, INVERSA DE UNA FUNCIÒN, LIMITE DE UNA FUNCIÒN, LIMITES LATERALES, TEOREMAS

Más detalles

REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS

REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS TRIIGONOMETRÍÍA REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS Recuerd que los ángulos los medímos en grdos o en rdines. Además, los grdos podín dividirse en minutos segundos, de form similr como se distribuen

Más detalles

Integración Numérica. 18 Regla del Trapecio

Integración Numérica. 18 Regla del Trapecio Integrción Numéric L integrl resuelve el problem de clculr el áre bjo l gráfic de un función positiv definid sobre un intervlo cerrdo. El cálculo elementl de funciones de un vrible rel proporcion un método

Más detalles

1 VECTORES 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Un mgnitud es un concepto bstrcto. Se trt de l ide de lgo útil que es necesrio medir. Ncen sí mgnitudes como l longitud, que represent l distnci entre

Más detalles

TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES.

TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES. TEMA. LOS NÚMEROS REALES... Repso de números enteros y rcionles - Operciones con números enteros - Pso de deciml frcción y de frcción de deciml - Operciones con números rcionles - Potencis. Operciones

Más detalles

2. Funciones, sucesiones, límites y continuidad en R

2. Funciones, sucesiones, límites y continuidad en R . Funciones, sucesiones, límites y continuidd en R.. Funciones reles de vrible rel Un función f es un regl que sign cd uno de los números x de un conjunto D R un único número rel f (x). A D dom f se le

Más detalles

TRANSFORMADA DE LAPLACE

TRANSFORMADA DE LAPLACE HUGO BARRANTES TRANSFORMADA DE LAPLACE Mteril complementrio ii Revisión filológic Mrí Benvides González Digrmción Hugo Brrntes Cmpos Encrgdo de cátedr Eugenio Rojs Mor Producción cdémic y sesorí metodológic

Más detalles

Cálculo Integral. Métodos de integración

Cálculo Integral. Métodos de integración Unidd Métodos de integrción álculo Integrl Métodos de integrción Universidd iert y Distnci de Méico Unidd Métodos de integrción Índice UNIDD MÉTODOS DE INTEGRIÓN Propósito de l unidd ompetenci especíic

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS A. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Cundo se quiere indicr un número no conocido, un cntidd o un expresión generl de l medid de un mgnitud (distnci, superficie, volumen, etc

Más detalles

MODELOS ALEATORIOS PARA EL TIPO DE INTERÉS REAL

MODELOS ALEATORIOS PARA EL TIPO DE INTERÉS REAL MODELOS ALEATORIOS PARA EL TIPO DE INTERÉS REAL RAFAEL HERRERÍAS PLEGUEZUELO EDUARDO PÉREZ RODRÍGUEZ Deprtmento de Economí Aplicd Universidd de Grnd. INTRODUCCIÓN Se supone que el Sr. Corto dispone de

Más detalles

Teoría de la medida e integral de Lebesgue 1

Teoría de la medida e integral de Lebesgue 1 MATMÁTICA APLICADA II Segundo cutrimestre 2011 Licencitur en Físic, Universidd Ncionl de Rosrio Teorí de l medid e integrl de Lebesgue 1 1. Introducción Un de ls crcterístics más molests de l teorí de

Más detalles

REPASO DE ECUACIONES (4º ESO)

REPASO DE ECUACIONES (4º ESO) TIPOS DE ECUACIONES.- REPASO DE ECUACIONES ( ESO) Eisten diversos tipos de ecuciones, entre ells estudiremos: Polinómics: En ells, l incógnit prece solmente en epresiones polinómics. El grdo de un ecución

Más detalles

Integración en el plano complejo

Integración en el plano complejo Integrción en el plno complejo 4.1. Funciones complejs de vrible rel Un función complej de vrible rel es un función w : [, b] C, donde b. L prte rel y l prte imginri de w son dos funciones reles de vrible

Más detalles

CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES

CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES NOMBRE ID SECCIÓN SALÓN Prof. Evelyn Dávil Tbl de contenido TEMA A. CONJUNTOS NUMÉRICOS... REGLA PARA LA SUMA DE NÚMEROS REALES...

Más detalles

1. Cuales son los números naturales?

1. Cuales son los números naturales? Guí de mtemátics. Héctor. de bril de 015 1. Cules son los números nturles? Los números nturles son usdos pr contr (por ejemplo, hy cinco moneds en l mes ) o pr imponer un orden (por ejemplo,. Es t es l

Más detalles

APUNTES DE VARIABLE COMPLEJA PARA INGENIEROS DE TELECOMUNICACION Elaborados por José Manuel Rodríguez Versión abreviada de Dmitry Yakubovich (2011)

APUNTES DE VARIABLE COMPLEJA PARA INGENIEROS DE TELECOMUNICACION Elaborados por José Manuel Rodríguez Versión abreviada de Dmitry Yakubovich (2011) APUNTES DE VARIABLE COMPLEJA PARA INGENIEROS DE TELECOMUNICACION Elbordos por José Mnuel Rodríguez Versión brevid de Dmitry Ykubovich (20). INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS Se define el conjunto de

Más detalles

LÍMITES CONCEPTO INTUITIVO DE LÍMITE

LÍMITES CONCEPTO INTUITIVO DE LÍMITE Mrí Teres Szostk Ingenierí Comercil Mtemátic II Clse Nº, LÍMITES El concepto de ite, es uno de los pilres en que se bs el Análisis Mtemático, se encontrb en 8 en estdo potencil, ern más principios intuitivos

Más detalles

INTEGRALES IMPROPIAS

INTEGRALES IMPROPIAS NOTAS PARA LOS ALUMNOS DE ANALISIS MATEMATICO III INTEGRALES IMPROPIAS Ing. Jun Scerdoti Deprtmento de Mtemátic Fcultd de Ingenierí Universidd de Buenos Aires V INDICE INTEGRALES IMPROPIAS.- PUNTOS SINGULARES

Más detalles

Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz

Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz Reprtido N 5 Limites ISCAB EMT prof. Fernndo Diz El resultdo de un límite es un vlor de y en un función cundo el vlor de se proim mucho un vlor ddo sin llegr ser igul él. Es cercrse mucho un vlor en pr

Más detalles

CAPÍTULO 3. PROCEDIMIENTOS DE INTEGRACIÓN 3.1. Integración por cambio de variable 3.2. Integración por partes 3.2.1. Producto de un polinomio por una

CAPÍTULO 3. PROCEDIMIENTOS DE INTEGRACIÓN 3.1. Integración por cambio de variable 3.2. Integración por partes 3.2.1. Producto de un polinomio por una CAPÍTULO. PROCEDIMIENTOS DE INTEGRACIÓN.. Integrción por cmbio de vrible.. Integrción por prtes... Producto de un polinomio por un eponencil... Producto de un polinomio por un seno o un coseno... Producto

Más detalles

int(s) o int(s, var) S puede ser una expresión simbólica o el nombre de una expresión simbólica.

int(s) o int(s, var) S puede ser una expresión simbólica o el nombre de una expresión simbólica. Práctic 3: Cálculo Integrl con MtLb Curso 2010-2011 1 1 Introducción Un de los pquetes más útiles pr el cálculo con MtLb lo constituye Symbolic Mth Toolbox, que permite relizr cálculo simbólico vnzdo,

Más detalles

Tema 1.3: Concepto de derivada. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. De nición y primeras propiedades de las funciones holomorfas

Tema 1.3: Concepto de derivada. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. De nición y primeras propiedades de las funciones holomorfas Tem 1.3: Concepto de derivd. Ecuciones de Cuchy-Riemnn. De nición y primers propieddes de ls funciones holomorfs Fcultd de Ciencis Experimentles, Curso 2008-09 E. de Amo L estructur de cuerpo pr C tiene

Más detalles

Aplicaciones de la integral

Aplicaciones de la integral 5 Mtemátics I : Cálculo integrl en I Tem 4 Aplicciones de l integrl 4. Áres de superficies plns 4.. Funciones dds de form explícit A l vist del estudio de l integrl definid relizdo en el Tem 3, prece rzonle

Más detalles

El conjunto de los números naturales tiene las siguientes características

El conjunto de los números naturales tiene las siguientes características CAPÍTULO Números Podemos decir que l noción de número nció con el homre. El homre primitivo tení l ide de número nturl y prtir de llí, lo lrgo de muchos siglos e intenso trjo, se h llegdo l desrrollo que

Más detalles

E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos

E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos E... Mins: Métodos Mtemáticos Resumen y ejemplos em 6: Integrción numéric Frncisco Plcios Escuel Politécnic uperior de Ingenierí de Mnres Universidd Politécnic de Ctluñ Octubre 8, Versión.5 Contenido.

Más detalles

La Geometría de las Normas del Espacio de las Funciones Continuas

La Geometría de las Normas del Espacio de las Funciones Continuas Divulgciones Mtemátics Vol. 11 No. 1(2003), pp. 71 82 L Geometrí de ls Norms del Espcio de ls Funciones Continus The Geometry of the Norms of the Spce of Continuous Functions Arístides Arellán (ristide@ciens.ul.ve)

Más detalles

10.1 Funciones integrables Teorema fundamental del Cálculo Ejercicios

10.1 Funciones integrables Teorema fundamental del Cálculo Ejercicios Integrción Funciones integrbles Integrción. Funciones integrbles 49. Teorem fundmentl del Cálculo 55.3 Ejercicios 58 El áre de un recinto, l longitud de un cble que cuelg entre dos postes, el volumen o

Más detalles

5.5 Integración numérica

5.5 Integración numérica 88 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 5.5 Integrción numéric Métodos de Newton-Côtes De cr clculr l integrl definid: f(x) dx se llmn Métodos de Newton-Côtes los que se bsn en integrr, en lugr de l

Más detalles

Integral de una función real. Tema 08: Integrales Múltiples. Integral definida. Aproximación de una integral simple

Integral de una función real. Tema 08: Integrales Múltiples. Integral definida. Aproximación de una integral simple Integrl de un función rel Tem 08: Integrles Múltiples Jun Igncio Del Vlle Gmbo Sede de Guncste Universidd de Cost ic Ciclo I - 2014 Ls integrles definids clculn el áre bjo un curv y = f (x) pr un región

Más detalles

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}.

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}. UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 28/9 PRÁCTICA Nº Espcios vectoriles y Aplicciones Lineles II: Núcleo e imgen. Digonlizción. NÚCLEO E IMAGEN

Más detalles

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN http://www.cepmrm.es ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. de Polinomios: Teorí ejercicios. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN Tnto en mtemátics, como en físic, en economí, en químic,... es corriente el

Más detalles

DETERMINANTES K K. A cada matriz n-cuadrada A = (a ij ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det (A), A o = K

DETERMINANTES K K. A cada matriz n-cuadrada A = (a ij ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det (A), A o = K DETERMINANTES A cd mtriz ncudrd A ( ij ) se le sign un esclr prticulr denomindo determinnte de A, denotdo por det (A), A o n n n n nn K Un tbl ordend n n de esclres situd entre dos línes verticles, llmd

Más detalles

Clase del Miércoles 13 de Junio de 2012: Ecuaciones Integrales.

Clase del Miércoles 13 de Junio de 2012: Ecuaciones Integrales. Clse del Miércoles 3 de Junio de 22: Ecuciones Integrles. Introducción En est clse estudiremos ls ecuciones integrles de Fredholm y de Volterr. -+ - Empezremos por considerr l ecución de Fredholm de segund

Más detalles

10.- Teoremas de Adición.

10.- Teoremas de Adición. Trigonometrí 10.- Teorems de Adición. Rzones trigonométrics de los ángulos A + B y A B. Hy que tener cuiddo de no confundir l rzón trigonométric de l sum de dos ángulos, con l sum de dos rzones trigonométrics.

Más detalles

MATRICES DE NÚMEROS REALES

MATRICES DE NÚMEROS REALES MTRICES. MTURITS Luis Gil Guerr.- DEFINICIÓN MTRICES DE NÚMEROS RELES Llmmos mtriz de números reles de orden m x n un conjunto ordendo de m. n números reles dispuestos en m fils y en n columns i m i m

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES

LÍMITES DE FUNCIONES LÍMITES DE FUNCIONES Se dice que un función y f() tiene límite "L" cundo l tiende "" y lo representmos por: f() L cundo pr tod sucesión de números reles que se proime "" tnto como quermos, los vlores correspondientes

Más detalles

Capítulo 4 INTEGRACIÓN

Capítulo 4 INTEGRACIÓN pítulo 4 INTEGRAIÓN En el primer curso de álculo, se prendió el concepto de integrl indefinid y definid de funciones reles de vrible rel, y se dedujeron vris propieddes de ls misms: linelidd, monotoní,

Más detalles

Introducción a la integración numérica

Introducción a la integración numérica Tem 7 Introducción l integrción numéric Versión: 13 de ril de 009 7.1 Motivción L integrl definid de un función continu f : [, ] R R en el intervlo [, ], If) = fx) dx 7.1) es el áre de l región del plno

Más detalles

PROGRESIONES ARITMETICAS

PROGRESIONES ARITMETICAS PROGRESIONES ARITMETICAS. Hllr l sum de los primeros cien enteros positivos múltiplos de 7. L sum de n términos de un progresión ritmétic viene dd por l expresión: + n Sn n Aplicndo pr 00 términos: + 00

Más detalles

Los Números Racionales

Los Números Racionales Cpítulo 12 Los Números Rcionles El conjunto de los números rcionles constituyen un extesión de los números enteros, en el sentido de que incluyen frcciones que permiten resolver ecuciones del tipo x =

Más detalles

Funciones de Variable Compleja - Clase 27-28/08/2012 ( ) 4) Acotación del módulo de la integral. Demostrar

Funciones de Variable Compleja - Clase 27-28/08/2012 ( ) 4) Acotación del módulo de la integral. Demostrar Funciones de Vrile omplej - lse 7-8/08/01 [ ] ω : I =, R t I ω Donde : ω = u + iv( y) L derivd de ω se define como: [ ] ω : I =, R t I ω Donde : ω = u + iv L integrl definid de funciones ω sore t, se define

Más detalles

Universidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales

Universidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales Universidd Centrl de Venezuel Fcultd de Frmci Mtemátic - Físic Prof J R Morles Guí de Vectores (Resumen de l Teorí) 1 En físic distinguiremos dos tipos de cntiddes: vectoriles esclres Ls cntiddes vectoriles

Más detalles

3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: Log a a m = m, ya que a m =a m

3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: Log a a m = m, ya que a m =a m LOGARITMOS Ddo un número rel positivo, no nulo y distinto de 1, ( > 0; 0; 1), y un número n positivo y no nulo (n > 0;n 0), se llm ritmo en bse de n l exponente x l que hy que elevr dich bse pr obtener

Más detalles

Curvas en el plano y en el espacio

Curvas en el plano y en el espacio Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que

Más detalles

Familiarizarse con las propiedades y las principales técnicas de integración.

Familiarizarse con las propiedades y las principales técnicas de integración. Capítulo 7 Integración Objetivos Familiarizarse con las propiedades y las principales técnicas de integración. 7.1. Definición y propiedades Sea f(x) una función real. Una primitiva o integral indefinida

Más detalles

M A T E M Á T I C A S. Números Reales. Fraccionarios Positivos Negativos MIXTOS: 3 ¼ 1

M A T E M Á T I C A S. Números Reales. Fraccionarios Positivos Negativos MIXTOS: 3 ¼ 1 M A T E M Á T I C A S Números Reles Enteros Rcionles Positivos Negtivos Nturles (,,,4,5,6... α) Primos (,,5,7,,,7) Pres (... 4,-,0,,4,6,..., ) Impres ( -...,-,-,0,,,5,..., ) Dígitos ( 0,,,,4,5,6,7,8,9

Más detalles