ÍNDICE GENERAL. Índice de Símbolos 37. Bibliografía 39

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1 Índice generl. L Integrl Indenid.. Antiderivd e Integrl Indenid Integrles inmedits Regl de l Cden Sustitución o Cmbio de Vrible Integrción por Prtes Integrles Trigonométrics Potencis enters del seno o del coseno Producto entre potencis enters de seno con coseno Productos de senos y cosenos con rgumento diferente Potencis enters de l tngente/cotngente Potencis enters pres de l secnte/cosecnte Potencis enters impres de l secnte/cosecnte Producto entre potencis enters de tngente/cotngente con secnte/cosecnte Sustitución Trigonométric Integrles medinte frcciones prciles Sustitución Universl L Integrl Denid 3.. Postuldos de áres de regiones poligonles Notción Sigm Áre de un región Sum de Riemnn

2 ÍNDICE GENERAL.5. L Integrl Denid Propieddes de l Integrl Denid Teorems Fundmentles del Cálculo Integrles Impropis Funciones continus en intervlos no cotdos Funciones no cotds en intervlos cerrdos Otros csos de integrles impropis Índice de Símbolos 37 Bibliogrfí 39

3 Cpítulo L Integrl Indenid.. Antiderivd e Integrl Indenid Denición.. (Antiderivd) Se f un función denid en lgún intervlo I. Se dice que F es un ntiderivd de f en I si y sólo si F (x) = f(x) pr todo x en I. Es decir, F es un ntiderivd de f en I si su primer derivd es f en I. A l ntiderivd de un función se le llm tmbién función primitiv. Ejemplo.. Identique cuál(es) de ls siguientes funciones es ntiderivd de f(x) = x cos(x) + 3 en R: () F (x) = x 3 sen(x) + 3x (b) G(x) = x3 3 sen(x) + 3x (c) H(x) = x3 3 sen(x) + 3x Notemos que en este ejemplo, existen dos ntiderivds pr f ls cules dieren de un constnte rel. L rzón esto se fundment en el siguiente teorem y corolrio, respectivmente. Teorem.. Se F un función denid en un intervlo I tl que F (x) = en I. Entonces F es constnte en I.

4 CAPÍTULO. LA INTEGRAL INDEFINIDA Demostrción: Sen x < x elementos de I. Del Teorem del Vlor Medio pr derivds se tiene que existe c (x, x ) tl que F (c) = F (x ) F (x ) x x. Por hipótesis F (c) = y por tnto F (x ) = F (x ). Como x y x fueron tomdos de mner rbitrri se obtiene que F es constnte en I. Corolrio.. Sen F y G dos funciones tles que F (x) = G (x) en lgún intervlo I. Entonces G = F + K pr lgun constnte rel K. Demostrción: Se H = F G. Luego H = F G y de l hipótesis sigue que H (x) = pr todo x en I. Del teorem precedente se tiene que H es constnte en I. Es decir, dos ntiderivds de un mism función dieren únicmente por un constnte rel. Dich constnte puede determinrse con lgun informción dicionl. Ejemplo.. L velocidd de un objeto en un dimensión está dd en función del tiempo por v(t) = sen(t) + t; t [m/s]. Si l posición inicil del objeto es de 8m, determine l función posición x(t). Observción: Un ecución de l form x (t) = f(t) es un tipo de ecución diferencil que puede resolverse por integrción direct del segundo miembro. Denición.. (Integrl Indenid) Se f un función denid en lgún intervlo I con ntiderivd F. Se dice que l integrl indenid de f en I está dd por fdx = F (x) + K; K R. Es decir, l integrl indenid es un fmili de ntiderivds. De quí en delnte se denominrá l integrl indenid simplemente como integrl.

5 .. INTEGRALES INMEDIATAS Teorem.. (Propieddes de l Integrl Indenid) Sen f y g dos funciones que dmiten ntiderivds en lgún intervlo I. Entonces:. (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx.. c R, cf(x)dx = c f(x)dx. Demostrción:. Sen F y G un ntiderivd pr f y g respectivmente en I. Es conocido que (F + G) = F + G y por hipótesis (F + G) = f + g. De l denición de integrl indenid se tiene que (f(x) + g(x))dx = F (x) + G(x) + K = f(x)dx + g(x)dx.. (Tre) Ejemplo..3 Clculr (5e x x)dx... Integrles inmedits. dx = x + K.. x p dx = x(p+) p+ + K; p Q. 3. dx = ln( x ) + K. x 4. e x dx = e x + K. 5. x dx = x ln() + K; R+ {}. 6. sen(x)dx = cos(x) + K. 7. cos(x)dx = sen(x) + K. 8. sec (x)dx = tn(x) + K. 3

6 CAPÍTULO. LA INTEGRAL INDEFINIDA 9. csc (x)dx = cot(x) + K.. sec(x)tn(x)dx = sec(x) + K.. csc(x)cot(x)dx = csc(x) + K.. cosh(x)dx = senh(x) + K. 3. senh(x)dx = cosh(x) + K. (Tre: completr l tbl) Ejemplo.. Clculr ls siguientes integrles:. ( x 3 x 5 + x /5 ) dx.. 3. (φ sec φ ) dφ. ( t t ) dt..3. Regl de l Cden Teorem.3. Sen f y g dos funciones tles que f og está denid en lgún intervlo I y g es diferencible en I. Si F es un ntiderivd de f entonces f(g(x))g (x)dx = F (g(x)) + K. Demostrción: Por Regl de l Cden pr l derivd de F (g(x)) sigue que (F (g(x))) = F (g(x))g (x) = f(g(x))g (x). De l denición de integrl indenid se obtiene l conclusión del teorem. Ejemplo.3. Clculr ls siguientes integrles:. x( + x ) 9 dx. 3. 4x + 5dx. 5. xe x dx. 4. xcos(x )dx. 4. 4x ( 8x 3 ) 4 dx. 6. tn(x)dx.

7 .4. SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE Corolrio.3. Se F un ntiderivd de f, R {} y b R. F (x + b) Entonces f(x + b)dx = + K. Ejemplo.3. Clculr: (sen(x) 5 x ) dx; ( ) x 3tn(4x) dx..4. Sustitución o Cmbio de Vrible Medinte l sustitución decud de lgun expresión de l función integrr, se puede reescribir l integrl en términos de un nuev vrible que fcilite el cálculo de l integrl. Luego de obtener l integrl indenid se restituye l vrible originl. Lem.4. Se u = h(x) un función biyectiv y diferencible en lgún intervlo I tl que h (x) en I. Entonces f(x)dx = g(u)du, hciendo ls sustituciones respectivs de x y dx en términos de u. Ejemplo.4. Emplendo un sustitución decud, clculr ls siguientes integrles (identique cuál(es) se puede(n) resolver por regl de l cden):. 3x x dx. 6. e t e et dt tn(x)sec (x)dx. rctn(x) dx. + x x( x) 3 dx. x x dx. (x + 5) rctn( x) ( + x) x dx. ( + x) x dx. dx (e x + e x ). dx xln(x)ln(ln(x)). 5

8 CAPÍTULO. LA INTEGRAL INDEFINIDA.5. Integrción por Prtes Teorem.5. Sen u = f(x) y v = g(x) dos funciones diferencibles en lgún intervlo I. Entonces udv = uv vdu. Demostrción: Por propieddes de l diferencil del producto, d(uv) = vdu + udv y luego udv = d(uv) vdu. Aplicndo l linelidd de l integrl se tiene que udv = d(uv) vdu y luego udv = uv vdu. A continución se resuelven lguns integrles clásics de est técnic. Ejemplo.5. Clculr ls siguientes integrles:. ln(x)dx. 4.. log (x)dx; R + {} rcsen(x)dx. 6. rctn(x)dx. xe x dx. xcos(x)dx. En generl, funciones inverss y productos de polinomios con exponenciles/trigonométrics suelen resolverse con integrción por prtes. Dependiendo del grdo del polinomio o como se el producto de ls funciones, veces es necesrio empler de form reiterd l técnic. Ejemplo.5. Clculr ls siguientes integrles emplendo integrción por prtes. En cso de ser necesrio utilice de mner reiterd l técnic.. x 3 e x dx. 4. (3x 5x) x dx. 7. cos 4 (x)dx.. x n ln(x)dx; n N. 5. x 3 cos(x)dx. 8. e x sen(x)dx. ( ) ln(t) 3. x rctn(x)dx. 6. dt. 9. sen(ln(x))dx. t 6

9 .6. INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS.6. Integrles Trigonométrics.6.. Potencis enters del seno o del coseno Además de l técnic de integrción por prtes, ls integrles sen n (x)dx pueden resolverse de cuerdo los siguientes csos. cos n (x)dx o Si n es pr, utilizr ls identiddes del ángulo doble: sen (x) = cos(x) cos (x) = + cos(x) Si n es impr, se descompone l potenci en un fctor linel y otro n. Este último es de exponente pr y puede expresrse en términos de l otr función (seno o coseno) pr luego plicr regl de l cden con el fctor linel. Ejemplo.6. Clculr:. cos 4 (x)dx.. sen 3 (5x)dx..6.. Producto entre potencis enters de seno con coseno Ls integrles cos n (x)sen m (x)dx se resuelven de cuerdo los siguientes csos. Si n y m son pres, se expres todo en función de seno o coseno y luego se resuelve cd potenci pr que se obteng. Si n o m es impr, l función con exponente impr se descompone en un fctor linel y l potenci restnte, que result ser pr, se expres en términos de l otr función. Luego se plic regl de l cden. Ejemplo.6. Clculr:. cos (x)sen (x)dx.. cos(x)sen 3 (x)dx. 7

10 CAPÍTULO. LA INTEGRAL INDEFINIDA.6.3. Productos de senos y cosenos con rgumento diferente Si, b R {}, ls integrles sen(x)cos(bx)dx cos(x)cos(bx)dx sen(x)sen(bx)dx se resuelven emplendo ls siguientes identiddes, respectivmente: sen(x)cos(bx) = (sen(( b)x) + sen(( + b)x)). cos(x)cos(bx) = (cos(( b)x) + cos(( + b)x)). sen(x)sen(bx) = (cos(( b)x) cos(( + b)x)). Ejemplo.6.3 Resolver sen(3x)cos(7x)dx Potencis enters de l tngente/cotngente Si l potenci es myor o igul que, se descompone en un fctor cudrático el cul se expres en términos de l secnte/cosecnte, luego se plic regl de l cden o se repite el procedimiento nterior, según se el cso. Ejemplo.6.4 Clculr:. tn 3 dx.. cot 4 (x)dx Potencis enters pres de l secnte/cosecnte Si l potenci es myor o igul que, se descompone en un fctor cudrático y l potenci restnte se expres en términos de l tngente/cotngente, luego se plic regl de l cden término término. Ejemplo.6.5 Clculr csc 4 (x)dx. 8

11 .6. INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS.6.6. Potencis enters impres de l secnte/cosecnte Cso bse: sec(x)dx = ln sec(x) + tn(x) + K csc(x)dx = ln csc(x) cot(x) + K Si l potenci es myor o igul que 3, se emple integrción por prtes tomndo un fctor linel como u. L prte restnte dv se integr como en el cso nterior. Ejemplo.6.6 Demostrr sec(x)dx = ln sec(x) + tn(x) + K. Luego, clculr sec 3 dx. (Tre: Demostrr csc(x)dx = ln csc(x) cot(x) + K) Producto entre potencis enters de tngente/cotngente con secnte/cosecnte Ls integrles tn n (x)sec m (x)dx o cuerdo los siguientes csos. cot n (x)csc m (x)dx se pueden resolver de Si m es pr, se descompone un fctor cudrático de l secnte/cosecnte y l potenci restnte se expres en términos de l tngente/cotngente. Luego se plic regl de l cden. Si n y m son impres, se descompone un fctor linel de l secnte/cosecnte y otro linel de l tngente/cotngente. L potenci restnte de l tngente/cotngente se expres en términos de l secnte/cosecnte. Luego se plic regl de l cden. Si n es pr y m es impr, se expres l tngente/cotngente en términos de l secnte/cosecnte. Luego plicr potencis impres de l secnte/cosecnte. Ejemplo.6.7 Clculr:. tn 4 (x)sec (x)dx.. cot 3 (x)csc 5 (x)dx. 3. tn (x)sec(x)dx. 9

12 CAPÍTULO. LA INTEGRAL INDEFINIDA.7. Sustitución Trigonométric Se >. Pr resolver integrles con rdicles de l form: x, se emple l sustitución x = sen φ; π φ π. x +, se emple l sustitución x = tn φ; π < φ < π. x, se emple l sustitución x = sec φ; φ < π π φ < 3π. Ejemplo.7. Integrles clásics: x dx. + x dx. x x dx. Ejemplo.7. Con ls integrles clásics resuelv:.. 9 x dx. 4x x dx x + x + 3 dx. x x 6 dx. Ejemplo.7.3 Clculr:.. 3. x + dx. dx. (6 x ) 3/ x + x + x + dx x 3 x dx. 9 x dx. x rcsen(x) dx. x

13 .8. INTEGRALES MEDIANTE FRACCIONES PARCIALES.8. Integrles medinte frcciones prciles p(x) Pr integrles de l form dx; p(x) polinomio de grdo n, q(x) polinomio q(x) de grdo m, n < m, se descompone q en fctores lineles o cudráticos (quellos que no poseen ceros reles) y se sumn ls frcciones correspondientes de cuerdo los siguientes csos. q(x) tiene lgún fctor linel de l form (x + b) p ;p N Por cd fctor se escribe l sum: A x + b + A (x + b) A p (x + b). p Est form permite integrr ls frcciones medinte regl de l cden. q(x) tiene lgún fctor cudrático de l form (x + bx + c) p ;p N Por cd fctor se escribe l sum: A x + B x + bx + c + A x + B (x + bx + c) A px + B p (x + bx + c) o tmbién: p A (x + b) + B x + bx + c + A (x + b) + B (x + bx + c) A p(x + b) + B p (x + bx + c) p. Est últim form permite integrr lguns frcciones con regl de l cden. Pr ls restntes se puede empler lgun sustitución. Los coecientes A i, B j ; i, j p, se resuelven hciendo l sum de tods ls frcciones obtenids e igulndo con l función rcionl originl. Ejemplo.8. Medinte un descomposición decud en frcciones prciles, clculr:.. 5x x 3 4x dx. x 3 + x + 7x + dx x x 3 (x )(x + x + ) dx. x x(x 4x + 5) dx. Ejemplo.8. Medinte lgun trnsformción decud, clculr:. dx.. x 4 + tn(x) dx.

14 CAPÍTULO. LA INTEGRAL INDEFINIDA.9. Sustitución Universl Pr integrr funciones rcionles de l form f(sen(x), cos(x)) dx, puede em- g(sen(x), cos(x)) plerse l siguiente sustitución: ( x ) z = tn ; π < x < π De quí se deducen ls siguientes expresiones pr sen(x), cos(x) y dx. ( x ) cos(x) = cos = = + z = z + z sec ( ) = x ( x ) ( x ) ( x ) ( x sen(x) = sen cos = sen cos = z + z dz = sec ( x ) dx + tn ( ) x ) ( cos x ) cos ( ) = tn x ( x ) ( x ) cos dx = dz sec ( ) x dx = dz + z Luego de l sustitución, se obtiene l integrl de un función rcionl en términos de z, l mism que se resuelve con lgun de ls técnics nteriores, generlmente se emple frcciones prciles. Ejemplo.9. Emplendo sustitución universl, clculr: dx. sen(x) + cos(x).. sen(x) + cos(x) dx. + sen(x)

15 Cpítulo L Integrl Denid.. Postuldos de áres de regiones poligonles. Tod región poligonl se corresponde con un único número positivo denomindo áre de l región.. El áre de l unión de dos o más regiones poligonles que no se trslpn (intersección de los interiores es vcí), es igul l sum de ls áres de cd un de ls regiones poligonles. 3. Si dos regiones poligonles son congruentes, entonces tiene l mism áre. 4. Si un región poligonl está contenid en otr, entonces el áre de l primer no puede exceder el de l segund. 5. El áre de un rectángulo es igul l producto de l longitud de l bse por l de l ltur... Notción Sigm Sen n, m Z {} tles que m n. Denotremos por x i l sum dd por x m + x m x n ; n y m se denominn índice superior e inferior de l sum, respectivmente, i es l vrible índice y i R es el término generl de l sum. i=m 3

16 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DEFINIDA Si el límite superior es nito, l sum está siempre denid. Por otr prte, si el límite superior es innito, l sum no necesrimente existe y pr clculrl se pueden empler ls siguientes propieddes... c = cn; pr tod c R. i= cx i = c x i ; pr tod c R. i= i= 3. (x i + y i ) = x i + y i. i= i= i= b x i = i= b x i = i= n c i= c n+c i=+c x i+c ; pr tod c Z. x i c ; pr tod c Z. 6. i = i= n(n + ). 7. i = i= n(n + )(n + ) i= i= i 3 = n (n + ). 4 i 4 = n(n + )(6n3 + 9n + n ). 3 Ejemplo.. Desrrolle y clcule ls siguientes sums.. (3i + ). i= 5 i= i Ejemplo.. Exprese ls siguientes sums con índice inferior igul.. i=3 (i ). 5 i= i 4

17 .3. ÁREA DE UNA REGIÓN Ejemplo..3 Determine de ser posible:. lim n +. lim n + 3. lim n + i= (i ) n3 (i ) 3 i= n 4 (x i x i ) i=.3. Áre de un región Denición.3. (Prtición) Se I = [, b] un intervlo cerrdo. Se denomin prtición P de I l conjunto nito P = {x, x,..., x n } tl que = x < x <... < x n < x n = b. Se dene l norm de un prtición como P = mx i n {x i x i }. Notemos que un prtición de I contiene los extremos del intervlo. Ejemplo.3. Un prtición del intervlo [, ] es P = {,, 3 5, 9, 6 5, 7 4 ; }. Otrs prticiones son P = {, 4,, 3 4,, 5 4, 3, 7 4, } y P 3 = {, 8, 4, 3 8,, 5 8, 3 4, 7 8,, 9 8, 5 4, 8, 3, 3 8, 7 4, 5 8, } En este ejemplo notemos que P P 3. Cundo P y Q son dos prticiones de un intervlo cerrdo I tles que P Q, se dice que Q es un renmiento de P. Es de notr que tod prtición induce un colección de sub-intervlos cerrdos de [, b] los cules denotremos por [x i, x i ]; i n. Denición.3. (Sum inferior y sum superior) Supong que f es un función continu no negtiv en [, b]. Se P un prtición de [, b]. Denotemos por R l región limitd por l curv y = f(x), ls rects x =, x = b y el eje X. Denotemos por A R el áre de R. Se x i = x i x i y sen m i = min {f(x); x [x i, x i ]}; M i = mx {f(x); x [x i, x i ]}. 5

18 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DEFINIDA Se dene l Sum Inferior de f respecto P, como S f (P ) = l Sum Superior de f respecto P como S f (P ) = M i x i. i= m i x i y i= Culquier se l prtición P, se veric que S f (P ) A R S f (P ). Denición.3.3 (Áre con rectángulos inscritos y rectángulos circunscritos) En l denición nterior, S f (P ) = m i x i proxim A R medinte rectángulos inscritos y S f (P ) = A R existe si y sólo si i= M i x i medinte rectángulos circunscritos. Diremos que i= lim S f(p ) = lim S f(p ). P P Ejemplo.3. Aproximr el áre de l región limitd por y = x ; x = ; x = ; el eje X, medinte rectángulos inscritos y rectángulos circunscritos, emplendo l prtición P = {, 4,, 3 4,, 5 4, 3, 7 4, } Teorem.3. Si f es continu y no negtiv en [, b], entonces el áre de l región que limit y = f(x), x =, x = b y el eje X, existe. Ejemplo.3.3 Aplique el teorem pr clculr el vlor excto de A R del ejemplo nterior. Notemos que f(x) = x es continu y no negtiv en [, ]. Por tnto el límite de ls sums inferiores y superiores coinciden pr tod prtición, en prticulr si tommos x i =, siendo n el número de sub-intervlos requerido. n Ahor, usndo el hecho que f es monóton en [, ], se escogen los vlores mínimo y máximo de f en cd sub-intervlo inducido por P = {, n, 4 n,..., }. Finlmente expresmos l sum inferior y superior y tommos límite cundo n +. Ambos límites deben coincidir por el teorem precedente y este vlor represent el áre A R. 6

19 .4. SUMA DE RIEMANN Demostrción del Teorem: Mostrremos que pr f continu en [, b], ddo ε > existe un prtición P tl que pr todo renmiento P de P se tiene que S f (P ) S f (P ) < ε. Por hipótesis f es continu en [, b] y por tnto es uniformemente continu en ε [, b]. Esto implic que ddo existe δ > tl que si x, y [, b] y x y < δ, b entonces f(x) f(y) < ε b. Denmos l prtición P tl que P < δ, luego S f (P ) S f (P ) = < ε b M i x i i= x i = ε. i= m i x i = i= (M i m i ) x i i= Pero culquier renmiento P de P stisfce l desiguldd precedente y por tnto lim P [S f(p ) S f (P )] =. Finlmente cd sum tiende A R cundo P pues S f (P ) A R S f (P ). Notemos que l demostrción no requiere que f se no negtiv, por tnto es válid pr culquier función continu en [, b], solmente hy que tener presente que el signicdo geométrico de A R es cundo f es no negtiv..4. Sum de Riemnn En l sección precedente denimos ls sums inferior y superior, de un función continu denid en [, b] respecto un prtición P de [, b]. Se hizo el supuesto que f es continu y no negtiv pr drle un signicdo geométrico ests sums, el cul es l proximción de A R medinte rectángulos inscritos y rectángulos circunscritos l región. 7

20 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DEFINIDA Ahor vmos generlizr el concepto de sum de f respecto un prtición P, puesto que f no necesrimente es continu en [, b] y en este cso, los vlores m i y M i son reemplzdos por f(c i ); donde c i es tomdo rbitrrimente de [x i, x i ]. Por ejemplo, f(x) = x ; < x no es continu en [, ] y el máximo en el ; x = primer sub-intervlo, de culquier prtición P, no está denido. Aún más, podemos generlizr ls sums superior e inferior de f respecto un prtición P, tomndo el supremo M i y el ínmo m i en [x i, x i ], respectivmente. Denición.4. (Sum de Riemnn) Se f un función denid y cotd en [, b]. Se P un prtición de [, b]. Sen c i [x i, x i ] rbitrrios; i n. Se dene l sum de Riemnn de f respecto P como: S f (P ) = f(c i ) x i. Obs. Ddo que m i f(c i ) M i ; i n, sigue que i= m i x i i= f(c i ) x i i= M i x i, es decir, S f (P ) S f (P ) S f (P ). i= Ejemplo.4. Escrib l sum de Riemnn pr l función f(x) = x en el intervlo [, ], respecto l prtición equiespcid con x i = 4, tomndo c i como el punto medio de cd sub-intervlo. Ejemplo.4. Escrib l sum de Riemnn pr l función f(x) = x en el intervlo [, ], respecto l prtición equiespcid formd por n sub-intervlos, tomndo c i como el punto medio de cd sub-intervlo. Ejemplo.4.3 Determine si l siguiente sum represent un sum de Riemnn. Identique l función f y los vlores c i tomdos. Además justique si l prtición empled en equiespcid. ( ) xi + x i cos (x i x i ) 8 i=

21 .5. LA INTEGRAL DEFINIDA.5. L Integrl Denid Denición.5. (Integrl denid) Se f un función denid y cotd en [, b]. Se dice que l integrl denid de f en [, b], denotd por dd por: b f(x)dx = lim S f (P ), si y sólo si este límite existe. P En este cso, diremos que f es Riemnn integrble en [, b]. b f(x)dx, está b Obs. Sin tomr límite en l sum de Riemnn, es usul escribir f(x)dx f(c i ) x i ; pr lgun prtición P de [, b] y lgun selección i= rbitrri de c i [x i, x i ]; i n. Corolrio.5. Tod función continu en [, b] es Riemnn integrble en dicho intervlo. Demostrción: Por l denición de l sum de Riemnn, sbemos que S f (P ) S f (P ) S f (P ). Por Teorem nteriormente mostrdo, sbemos que si f es continu en [, b], los límites de ls sums superior e inferior son igules cundo P, por tnto el límite de l sum de Riemnn existe y es igul tles límites. Ejemplo.5. Verique el corolrio con el ejemplo de l región limitd por y = x en [, ], pr un prtición equiespcid que induce n sub-intervlos en [, ] y c i como el punto medio del i-ésimo sub-intervlo. Clcule el límite cundo n +. Compre con los límites de l sum inferior y superior obtenidos en ejercicios nteriores. Es de resltr que no siempre existe l integrl denid de un función cotd en [, b]. Hy funciones cotds denids en intervlos cerrdos, tles que el límite de l sum de Riemnn no existe. 9

22 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DEFINIDA Ejemplo.5. Demuestre que l función de Dirichlet denid por ; x Q f(x) =, no es Riemnn integrble en [, ]. ; x / Q Solución: Tomndo culquier prtición P de [, ], en cd subintervlo inducido por P sigue que existe un innidd de números rcionles y un innidd de números irrcionles. Si se tomn c i rcionles, S f (P ) = pero si se tomn c i irrcionles, se obtiene S f (P ) =. Por tnto l respuest dependerá de los vlores c i tomen en el i-ésimo sub-intervlo. Esto prueb que lim S f (P ) no existe. P que se El siguiente corolrio es útil pr clculr integrles denids emplendo prticiones equiespcids. b Corolrio.5. Si f es continu en [, b], f(x)dx = lim n + n lgun selección rbitrri de c i [x i, x i ]; i n. b f(c i ); pr Además de estos corolrios, existe un teorem que d condiciones sucientes pr l integrbilidd de un función cotd en [, b]. Teorem.5. Se f un función cotd y denid en [, b]. Si f es continu en [, b] excepto en un cntidd numerble de puntos de [, b], entonces f es Riemnn integrble en [, b]. De quí podemos rmr que ls funciones cotds, con un cntidd nit de puntos de discontinuidd, son Riemnn integrbles en intervlos cerrdos. Por ejemplo, 3 [ x ]dx existe. Notemos que un función continu en [, b] tmbién stisfce este teorem pues en este cso, el conjunto de puntos de discontinuidd de f es vcío. i= Pr evlur l integrl denid de un función continu en [, b], excepto en un cntidd nit de puntos, es necesrio empler ls propieddes de l integrl denid.

23 .6. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA.6. Propieddes de l Integrl Denid Teorem.6. (Teorem I) f es Riemnn integrble en [, b] si y sólo si pr cd ε > existe un prtición P tl que S f (P ) S f (P ) < ε. Demostrción: Por hipótesis f es Riemnn integrble en [, b]. Se ε > ddo. Pr culquier sum de Riemnn, en prticulr pr l superior y l inferior, existen prticiones P y P tles que S f (P ) b b f(x)dx < ε y f(x)dx S f (P ) < ε. Se P un renmiento común de P y P ddo por P = P P. Entonces de ls desigulddes precedentes se deduce que: S f (P ) S f (P ) < ε b + f(x)dx < S f (P ) + ε S f (P ) + ε. Por hipótesis, ddo ε > existe un prtición P tl que S f (P ) S f (P ) < ε. Puesto que S f (P ) lim S f(p ) lim S f(p ) S f (P ) sigue que P P lim S f(p ) lim S f(p ) < ε. P P Puesto que ε fue rbitrrio, se tiene que lim S f(p ) = P S f (P ) S f (P ) S f (P ), se tiene que lim S f(p ) existe. P Esto prueb que f es Riemnn integrble en [, b], es decir, lim S f(p ). Como P b f(x)dx existe.

24 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DEFINIDA Teorem.6. (Teorem II) Sen f y g funciones Riemnn integrbles en [, b]. Entonces:. f +g es Riemnn integrble en [, b] y b (f +g)(x)dx =. Pr todo c R, cf es Riemnn integrble en [, b] y 3. Si f g en [, b], entonces 4. Si c b, c c f(x)dx =. b f(x)dx b b f(x)dx+ b (cf)(x)dx = c b b g(x)dx. g(x)dx. f(x)dx. 5. Si < c < b, entonces f es Riemnn integrble en [, c] y en [c, b]. Además b f(x)dx = c f(x)dx + b c f(x)dx. 6. Si f(x) = K en [, b], K constnte rel, entonces b f(x)dx = K(b ). 7. Si m f(x) M en [, b], entonces m(b ) b f(x)dx M(b ). 8. Si m f(x) M en [, b] y φ es continu en [m, M], entonces h(x) = φ(f(x)) es Riemnn integrble en [, b]. 9. fg es Riemnn integrble en [, b].. f es Riemnn integrble en [, b] y Obs. f (x) = f(x). b b f(x)dx f (x)dx. Ejemplo.6. Justique si ls siguientes funciones son Riemnn integrbles en el intervlo ddo b π (x + e x )dx. sen(x)dx. x + dx. x dx b π π + sgn(x)dx. cos(x) dx. tn(x)dx. ln(x)dx.

25 .6. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Ejemplo.6. Exprese ls siguientes integrles denids en términos de funciones elementles. En cso de ser posible, utilice principios de congruenci entre áres.. 4 x dx [ x ]dx.. 3. π π cos(x) dx. sen(x)dx. 5. x 3 ; x f(x)dx, si f(x) =. x ; x > Ejemplo.6.3 Clique como verdders o flss ls siguientes proposiciones. En cso de ser verdders demuéstrels y en cso de ser flss muestre un contrejemplo.. Se f un función denid en [, b] tl que c b. Si f(c) y f(x) = pr x c, entonces b f(x)dx =.. Se f un función continu en [, b] tl que en [, b]. b 3. Se f un función continu y no negtiv en [, b]. Si f(x) = en [, b]. f(x)dx =, entonces f(x) = b f(x)dx =, entonces Demostrción del Teorem:. Por hipótesis f y g son Riemnn integrbles. Pr ε, existen prticiones P y P, pr f y g respectivmente, tles que pr todo renmiento P de P y b de P, se cumple que S f(p ) f(x)dx < ε b y S g (P ) g(x)dx < ε. Tomndo P = P P y plicndo desiguldd tringulr, sigue que f + g es Riemnn integrble en [, b] y b (f + g)(x)dx = b f(x)dx + b g(x)dx.. Si c = l propiedd se cumple por cunto cf es l función nul y culquier sum de Riemnn es nul. Se c. Por hipótesis f es Riemnn integrble. Pr ε c, existe un prtición P tl que pr todo renmiento P de P, se b cumple que S f(p ) f(x)dx < ε. Multiplicndo por c l desiguldd, c sigue que cf es Riemnn integrble en [, b] y b (cf)(x)dx = c b f(x)dx. 3

26 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DEFINIDA 3. Pr tod prtición P de [, b] sigue que S f (P ) S g (P ) por cunto f g en [, b]. Est desiguldd tmbién es válid pr los límites, sí b g(x)dx. 4. Si c b, c c b f(x)dx f(x)dx = por cunto l únic prtición posible tiene un único punto. Luego, el único sub-intervlo es [c, c] y su longitud es nul. 5. Se < c < b. Como f es Riemnn integrble en [, b], por Teorem nterior sigue que ddo ε >, existe un prtición P tl que S f (P ) S f (P ) < ε. Sin pérdid de generlidd consideremos los renmientos de P que contienen c. Podemos seprr cd sum en dos sums: un que incluy los sub-intervlos de [, c] denotd por S y otr pr los de [c, b] denotd por S. Se cumple que S f(p ) S f(p ) < ε y que S f(p ) S f(p ) < ε. Por Teorem nterior esto equivle que f es Riemnn integrble en [, c] y en [c, b], respectivmente. Además tod sum de Riemnn puede seprrse en dos sums de Riemnn, similr l rgumento nterior. Tomndo límite cundo P sigue que b f(x)dx = c f(x)dx + b c f(x)dx. 6. Si f(x) = K en [, b], K constnte rel, entonces tod sum de Riemnn puede expresrse como K x i = K(b ). Tomndo límite sigue l propiedd. i= 7. Si m f(x) M en [, b], entonces m(b ) plicndo propieddes 3 y 6. b f(x)dx M(b ) 8. Se m f(x) M en [, b] y φ es continu en [m, M]. Por l continuidd uniforme de φ en [m, M], pr todo ε > existe < δ < ε tl que si s, t [m, M] y s t < δ, entonces φ(s) φ(t) < ε. Como f es Riemnn integrble, por teorem nterior, pr δ existe un prtición P de [, b] tl que S f (P ) S f (P ) < δ (*). Consideremos los siguientes subconjuntos disjuntos de i denotdos por A y B, respectivmente; i n: 4

27 .6. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Si M i m i < δ, i A. En este cso notemos que φ(t ) φ(t ) < ε pr todo t, t [m i, M i ] por l continuidd uniforme de φ. () Si M i m i δ, i B. En este cso δ x i i m i ) x i < δ i B i B(M. Est últim desiguldd es por (*). Por tnto, x i < δ. () i B Por otr prte, φ es continu en [m, M] y por tnto φ(t ) φ(t ) K; donde K = mx { φ(t) ; t [m, M]}. (3) Se h(x) = φ(f(x)). Sigue que S h (P ) S h (P ) = (Mi m i ) x i + i i A i B(M m i ) x i, donde Mi y m i denotn los vlores máximo y mínimo de h en [x i, x i ], respectivmente. Por (), (), (3) y ddo que δ < ε, se tiene que S h (P ) S h (P ) < ε(b ) + Kδ < ε(b ) + Kε = ε(b + K). Por Teorem precedente, h es Riemnn integrble en [, b]. 9. Aplicndo l propiedd precedente f + g y φ(t) = t sigue que (f + g) es Riemnn integrble en [, b]. Similrmente (f g) es Riemnn integrble en [, b]. Por otr prte 4fg = (f + g) (f g) y ddo que fg result ser un combinción linel de funciones Riemnn integrbles en [, b], por ls propieddes y sigue que fg es Riemnn integrble en [, b].. Por l propiedd 8 plicd f y φ(t) = t, sigue que f es Riemnn integrble en [, b]. Por otr prte, f f f y de l propiedd 3 sigue que b b b f (x)dx f(x)dx b f(x)dx f (x)dx. b f (x)dx. Por propiedd de vlor bsoluto 5

28 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DEFINIDA Teorem.6.3 (Teorem del Vlor Medio pr Integrles) Se f continu en [, b]. Entonces existe c [, b] tl que Demostrción: b f(x)dx = f(c)(b ). Por hipótesis f es continu en [, b]. Por Teorem de Weierstrss f lcnz su vlor máximo M y mínimo m en [, b]. Entonces m f(x) M pr todo x [, b]. Por propiedd del Teorem II sigue que m(b ) f(x)dx M(b ). b Dividiendo pr b sigue que m f(x)dx M. Por el Teorem del vlor b b intermedio pr funciones continus existe c [, b] tl que f(x)dx = f(c). b Luego, existe c [, b] tl que b f(x)dx = f(c)(b ). b En el teorem precedente, f(c) recibe el nombre de vlor promedio de f en [, b]. Ejemplo.6.4 Determine el número c que stisfce el Teorem del vlor medio pr f(c) = x dx. Solución: De un ejercicio nterior es conocido que b f(x)dx b x dx = 8. Por Teorem, 3 =.8 3, luego, c = 4. Esto implic que c = o c = Pero este último vlor se descrt por no pertenecer l intervlo de integrción. Así c = 3. Ejemplo.6.5 Supong que l velocidd de un objeto en un dimensión está dd t t en m/s por v(t) =. Determine l velocidd promedio en el 4 t < t 4 intervlo de tiempo ddo y en qué instnte de tiempo se lcnz dich velocidd. 6

29 .7. TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO.7. Teorems Fundmentles del Cálculo Teorem.7. (Primer Teorem Fundmentl del Cálculo) Se f continu en [, b]. Se l función F (x) = (, b) y d dx F (x) = d dx x x f(t)dt = f(x). f(t)dt; x b. Entonces F es derivble en L función F denid en el Teorem precedente se denomin función de cumulción de f y represent el áre net que cumul f entre y x. Demostrción: Se x (, b). Se h > tl que x + h (, b). Por denición F (x + h) F (x) = x+h f(t)dt x f(t)dt = x x+h f(t)dt. Como f es continu en [x, x+h] existe c [x, x+h] tl que x+h x f(t)dt = f(c)h. F (x + h) F (x) Luego = f(c). Tomndo límite cundo h + sigue que h F (x) + = f(x). Con un trbjo similr en [x h, x], sigue que F (x) = f(x). De mbos límites se concluye que F (x) = f(x) pr todo x (, b). Ejemplo.7. Determine d dx x + t4 dt. Vrintes del Teorem: Pr g y h diferencibles en (, b) con imgen en [, b], determine: d dx d dx g(x) g(x) h(x) f(t)dt. f(t)dt. 7

30 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DEFINIDA Ejemplo.7. Clcule lim x + x sen(3t)dt. x Teorem.7. (Segundo Teorem Fundmentl del Cálculo) Si f es continu en [, b] y F es un ntiderivd de f, entonces Demostrción: b f(x)dx = F (b) F (). Se dene G(x) = x f(t)dt l función cumulción como el teorem nterior. Por este mismo teorem tenemos que G (x) = f(x) en (, b). Luego G es otr ntiderivd de f y sí F = G + K, pr lgun constnte rel K. Por tnto, F (b) F () = G(b) + K G() K = Notción: Si F es un ntiderivd de f, b b f(t)dt f(t)dt = b f(t)dt. f(x)dx = F (x) b = F (b) F (). Ejemplo.7.3 Verique el teorem con x dx. Ejemplo.7.4 Determine el vlor promedio de f(x) = e x en el intervlo [, ] y determine el punto donde se lcnz dicho vlor. Teorem.7.3 (Teorem de Sustitución) Se f continu en [, b] y x = φ(u) un función biyectiv con derivd continu y no nul en [φ (), φ (b)]. Entonces b Demostrción: f(x)dx = φ (b) φ () f(φ(u))φ (u)du. Supondremos que f tiene un ntiderivd F. En este cso notemos que por el Teorem de l Regl de l Cden pr integrles y del do T. F. del Cálculo, φ (b) φ () b f(φ(u))φ (u)du = F (φ(u)) φ (b) φ () = F (b) F () = f(x)dx. 8

31 .7. TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO Obs. El Teorem tmbién es válido unque no se conozc un ntiderivd de f. En este cso se demuestr comprndo ls sums de Riemnn de mbs integrles y usndo el hecho que φ es uniformemente continu en [, b]. Ejemplo.7.5 Verique el teorem de sustitución pr x x dx. Ejemplo.7.6 Demuestre que si f es continu en [, b], b f(x)dx = b f(x)dx. Sugerenci: Utilice el hecho que l sum de Riemnn de f(x) en [, b] es igul que l de f( x) en [ b, ]. Luego emplee l sustitución x = u. Ejemplo.7.7 (Propieddes de simetrí) Demuestre que si f es continu y pr, f(x)dx = f(x)dx. Sugerenci: Sepre en dos integrles y en un de ells emplee l sustitución x = u. Luego plique el teorem. Con un procedimiento similr, demuestre que si f es continu e impr, entonces f(x)dx =. Ejemplo.7.8 (Ejercicio Resumen) Clculr: El vlor promedio de f(x) = x + 3x en [, ] y determinr el punto donde se lcnz dicho vlor. De ser posible el vlor k R tl que el áre de l región limitd [ por l curv y = kcos(πx) se igul unidd de áre, en el intervlo de, ]. 4 Usndo propieddes de simetrí, ( x 4 cos(x) ) dx. xe x dx. 9

32 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DEFINIDA.8. Integrles Impropis Cundo un función no es cotd o el intervlo de integrción no es cerrdo, no se puede segurr l existenci de l integrl de Riemnn. En estos csos se denen ls integrles impropis de cuerdo su nturlez..8.. Funciones continus en intervlos no cotdos Denición.8. Se f continu pr todo x. L integrl si y sólo si lim b + límite. b + f(x)dx existe, f(x)dx existe. En ese cso el vlor de l integrl es igul l del Denición.8. Se f continu pr todo x b. L integrl si y sólo si límite. b lim b f(x)dx existe, f(x)dx existe. En ese cso el vlor de l integrl es igul l del Denición.8.3 Se f continu en R. L integrl si c f(x)dx existe y + c vlor de l integrl es igul l sum de mbos límites. + f(x)dx existe, si y sólo f(x)dx existe, pr culquier c R. En este cso, el Ejemplo.8. Anlice l existenci de ls siguientes integrles.. + e x dx x dx. (4 x) dx 4. + xdx Ejemplo.8. Evlur l existenci de ls siguientes integrles.. + x ( + x ) 4 dx 3. xe x dx 5. + e x dx. + xln(x) dx 4. + x(x + ) dx Ejemplo.8.3 Se p >. Determine los vlores pr los cules y pr los que converge. + dx diverge xp 3

33 .8. INTEGRALES IMPROPIAS En todos estos ejemplos fue posible hllr l primitiv y evlur luego el límite pr estblecer l existenci de l integrl impropi. No en todos los csos esto es posible, por lo que bjo cierts hipótesis, se puede segurr l existenci de l integrl unque no se pued clculr el límite. Teorem.8. Se f creciente en [, + ). Si f es cotd superiormente, entonces lim f(x) existe. x + Ejemplo.8.4 Anlice l existenci de + e x dx. Solución: por denición, hy que mostrr que Pr que + Denmos G(b) = e x dx exist, lim b + b b e x dx y e x dx debe existir. + e x dx existen. e x dx, tenemos que est función es continu, pues del I T.F. del cálculo es diferencible en (, b), demás es creciente pues es un función cumuldor de un función positiv. Por tnto, sólo flt probr que es cotd superiormente pr plicr el teorem precedente y concluir que lim G(b) existe. b + Pr mostrr que es cotd superiormente tenemos que: x x + = (x ). Luego, x x y sí x x. Por l monotoní de l función exponencil nturl, sigue que e x e x. De l monotoní de l integrl denid sigue que b e x dx integrl de l derech existe de [, + ), se concluye que G(b) es cotd. b e x dx. Como l + Análogmente e u du. e x dx existe, pues con l sustitución x = u se obtiene 3

34 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DEFINIDA.8.. Funciones no cotds en intervlos cerrdos Denición.8.4 Se f continu en (, b] y se lim +f(x) = + ( ). L integrl b f(x)dx existe si y sólo si lim t + es igul l del límite. b t x f(x)dx existe. En este cso el vlor de l integrl Denición.8.5 Se f continu en [, b) y se lim f(x) = + ( ). L integrl b f(x)dx existe si y sólo si lim t b es igul l del límite. t x b f(x)dx existe. En este cso el vlor de l integrl Denición.8.6 Se f continu en [, b] excepto en c (, b), y se limf(x) = + ( ). L integrl x c b c b f(x)dx existe si y sólo si c f(x)dx y f(x)dx existen. En este cso el vlor de l integrl es igul l sum de los límites. Denición.8.7 Se f continu en (, b). Se lim +f(x) = + ( ) y lim f(x) = + ( ). L integrl x b b c b x f(x)dx existe si y sólo si c f(x)dx y f(x)dx existen pr culquier c (, b). En este cso el vlor de l integrl es igul l sum de los límites. Ejemplo.8.5 Evlur l existenci de ls siguientes integrles.. 4 x dx. x dx 3. dx 4. x x dx.9. Otros csos de integrles impropis En generl se pueden combinr culquier de los csos nteriormente visto. Es de observr los puntos del intervlo de integrción donde f tiende + o y si es necesrio, seprr l integrl en vris integrles. Pr f y g continus, tmbién son útiles los siguientes criterios de comprción simple: 3

35 .9. OTROS CASOS DE INTEGRALES IMPROPIAS Si f g y Si f g y + + g(x)dx = +, entonces g(x)dx =, entonces + + Similres comprciones son válids en (, ]. f(x)dx = +. f(x)dx =. Ejemplo.9. Evlur l convergenci de Ejemplo.9. Anlice l convergenci de Ejemplo.9.3 Anlice l convergenci de x x dx. x x5 + dx. e x x dx. 33

36

37 Apéndice Lem.9. Se l función f : I R R estrictmente monóton, con I intervlo. Si f(i) es un intervlo, entonces f es continu. Lem.9. Se l función f : I R J R biyectiv y monóton creciente (decreciente). Entonces f : J I es monóton creciente (decreciente). Demostrción: Por contrdicción supongmos que f no es monóton creciente. Entonces existen y, y J tles que y < y pero f (y ) > f (y ). Por l biyectividd, existen x, x I tles que x = f (y ), x = f (y ). Luego, x > x. Por l monotoní de f sigue que f(x ) f(x ), equivlentemente, y y lo que es un contrdicción. Lem.9.3 f : I R R inyectiv y continu. Entonces f es estrictmente monóton en I. Demostrción: Se g : IxI R denid por g(x, y) = f(x) f(y). Por l continuidd de f se tiene que g es continu. Como IxI es conexo, sigue que su imgen por g es conex. Ahor notemos que f se nul únicmente en l digonl de IxI por l inyectividd de f. En ls dos subregiones que divide l digonl l cudrdo IxI, notemos que f tiene signos opuestos. 35

38 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DEFINIDA Pr l sub-región donde x < x, tenemos que f(x ) < f(x ) ó f(x ) > f(x ), dependiendo del signo que tome f en dich sub-región. Estos lems muestrn el siguiente Teorem: Teorem.9. f : I R J R biyectiv y continu. Entonces f : J I es continu. 36

39 Índice de Símbolos R Conjunto de los Números Reles Q Conjunto de los Números Rcionles N Conjunto de los Números Nturles C(X) Funciones Continus R vluds en X Unión Disjunt 37

40

41 Bibliogrfí [] J. Aguyo, Cálculo Integrl y Series, Qud/Grphics, Chile. [] W. Rudin, Principios de Análisis Mtemático, McGrw Hill, México 977. [3] S. Solís, Apuntes de Mgíster de Mtemátic, Universidd de Concepción, Chile 3-5. [4] Apuntes de Cálculo I y Cálculo II, Universidd de Concepción, Chile 4. 39

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