Para Grados en Ingeniería. Capítulo 4: Integración en una variable. Domingo Pestana Galván José Manuel Rodríguez García

Transcripción

1 TEOÍA DE CÁLCULO I Pr Grdos en Ingenierí Cpítulo 4: Integrción en un vrible Domingo Pestn Glván José Mnuel Rodríguez Grcí 1

2 TEMA 4. Integrción en un vrible 4.1 Cálculo de primitivs Preliminres - Geométricmente, el problem de l derivción surge l buscr l pendiente de un curv y el problem de l integrción prece cundo se pretende clculr el áre bjo un curv. Newton encontró, en el S.XVIII, que estos dos problems están relciondos, y que de hecho son inversos. Veremos con el Teorem Fundmentl del Cálculo que ls integrles definids se pueden obtener clculndo un primitiv. Definición: Se dice que un función g es un primitiv de f si g = f. Aunque en ese cso, si c es un constnte culquier l función g + c tmbién es un primitiv de f, omitiremos ls constntes ditivs y escribiremos f = g, o tmbién f(x) dx = g(x). Técnics de integrción - Integrles inmedits: x n dx = xn+1 n + 1, n 1 dx = log x x e x dx = 1 ex sen x dx = cos x cos x dx = sen x sec 2 x dx = tg x dx ( x ) 2 x = rc sen 2 dx x = 1 ( x ) rc tg -Integrción por cmbio de vrible f(x) dx = f(g(t))g (t) dt (y después deshcer el cmbio.) 2

3 - Integrción por prtes f(x)g (x) dx = f(x)g(x) f (x)g(x) dx o lo que es lo mismo, u dv = uv v du. -Integrción de funciones rcionles: descomposición en frcciones simples 1. Si grdo(p ) grdo(q) dividimos. P (x) dx con P, Q polinomios. Q(x) P (x) = Q(x)C(x) + R(x) P (x) Q(x) dx = R(x) C(x) + Q(x) dx. 2. R(x) dx con grdo(r) < grdo(q). Descomponemos el denomindor en producto de Q(x) fctores simples. Q(x) = (x α 1 ) k 1 (x α 2 ) k2 ((x r 1 ) 2 + s 2 1) m 1 ((x r 2 ) 2 + s 2 2) m2 Un fctor por cd ríz rel, contndo su multiplicidd, y un fctor por cd pr de ríces complejs conjugds, tmbién con su multiplicidd. 3. Descomponemos el cociente en sum de frcciones simples. Fctor en el denomindor x α Términos en l descomposición A x α (x α) k A 1 x α + A 2 (x α) 2 + A k (x α) k (x r) 2 + s 2 Cx + D (x r) 2 + r 2 ( (x r) 2 + s 2) m C 1 x + D 1 (x r) 2 + s 2 + C 2 x + D 2 ( (x r) 2 + s 2) C m x + D m ( (x r) 2 + s 2) m 3

4 Por cd fctor del denomindor Q(x), ñdimos el correspondiente término de l tbl y clculmos ls constntes A i, B i, C i, D i igulndo los denomindores. 4. Integrmos. Los términos correspondientes ríces reles se integrn de mner inmedit. Los correspondientes ríces complejs requerirán un cmbio trigonométrico, x r = s tg t. -Integrles trigonométrics sen 2n x dx, cos 2n x dx fórmuls del ángulo doble: cos 2x = cos 2 x sen 2 x sen 2n+1 x dx = sen 2n x sen x dx = (1 cos 2 x) n sen x dx cos 2n+1 x dx = cos 2n x cos x dx = (1 sen 2 x) n cos x dx sen mx cos nx dx fórmuls del seno y coseno de l sum R(sen x, cos x) dx R impr en sen x t = cos x R impr en cos x t = sen x R pr en sen x y cos x t = tg x. -Cmbios de vribles trigonométricos R(x, 2 x 2 ) x = sen t R(x, x 2 2 ) x = sec t R(x, x ) x = tg t 4

5 4.2 Teorem Fundmentl del Cálculo Preliminres - Si f(x) es un función continu positiv en el intervlo x [, b], entonces l integrl definid b f = b f(x) dx represent el re bjo l gráfic de l función f(x), sobre el eje X, en el intervlo [, b]. Definición: Dd un función integrble f(x) en [, b], dividimos el intervlo en n subintervlos { = x 0 < x 1 < < x n 1 < x n = b}, elegimos un punto culquier x i de cd intervlo, definimos l integrl de Riemnn de f(x) entre y b como b n f(x)dx = lím f(x n i )(x i x i 1 ). Si f(x i ) = máx f(x), ls sums nteriores se denominn sums superiores. x [x i 1,x i ] Si f(x i ) = mín f(x) se llmn sums inferiores. x [x i 1,x i ] - Propieddes de l integrl: i= b b b b b b c 1 f + c 2 g = c 1 f + c 2 g f = f = 0 c f = fg f + b b f f b c b g f 6. f g = 7. f 0 = 8. b b si f 0 = b f b f b f 0 f b f 0 9. m f(x) M, x [, b] = m(b ) b g f(x) M(b ) - Vlor medio: Se denomin vlor medio de un función f en el intervlo [, b] l número V M(f) = 1 b b f(x) dx Clrmente, si m f M en [, b], se tiene m V M(f) M. Función integrl 5

6 Se f integrble en [,b], y consideremos l función F (x) = en [, b]. Entonces F es continu en [, b]. x f(t)dt Teorem Fundmentl del Cálculo Si f es continu en c [, b], entonces F es diferencible en c con F (c) = f(c). - Regl de Brrow: Si g (x) = f(x), x (, b), entonces b f(x) dx = b g (x) dx = g(b) g(). -Cmbio de vribles en l integrl definid b f(g(t))g (t) dt = g(b) g() - TFC generlizdo: Supongmos que ls funciones involucrds son derivbles. Se H(x) = F (g(x)) = Se H(x) = g(x) l(x) g(x) f(t) dt, entonces f(x) dx. H (x) = F (g(x))g (x) = f(g(x))g (x). f(t) dt, entonces H (x) = f(g(x))g (x) f(l(x))l (x). 6

7 4.3 Aplicciones de l integrl Áres Áre entre l gráfic y = f(x) y el eje horizontl, pr x en el intervlo [, b], A = b f(x) dx Áre entre ls gráfics de dos funciones, y = f(x) e y = g(x), pr x en el intervlo [, b], A = b f(x) g(x) dx Áre usndo ecuciones prmétrics: áre entre l gráfic {x = x(t), y = y(t), t [t 0, t 1 ]} y el eje horizontl, t1 A = y(t)x (t) dt t 0 Áre usndo coordends polres: áre entre l gráfic {r = r(θ), θ [α, β]} y el eje horizontl, Volúmenes A = 1 2 β α r 2 (θ) dθ Volumen por secciones: si A(x) es el áre de l sección pr cd x [, b], V = b A(x) dx Volumen por el método de discos: volumen del sólido obtenido l girr l región entre l gráfic y = f(x) y el eje horizontl, lrededor de éste, pr x [, b], V = π b (f(x)) 2 dx Volumen por el método de cps: volumen del sólido obtenido l girr l región entre l gráfic y = f(x) y el eje horizontl, lrededor del eje verticl, pr x [, b], V = 2π b xf(x) dx 7

8 Longitudes Longitud del rco de curv y = f(x) pr x [, b], L(f) = b 1 + (f (x)) 2 dx Longitud usndo ecuciones prmétrics: longitud del rco de curv {x = x(t), y = y(t), t [t 0, t 1 ]} t1 L = (x (t)) 2 + (y (t)) 2 dt t 0 Longitud usndo coordends polres:: longitud del rco de curv {r = r(θ), θ [α, β]} L = β α r 2 (θ) + (r (θ)) 2 dθ 8