5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.2. INTEGRACIÓN.

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1 5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.2. INTEGRACIÓN. COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso

2 L integrl como medid de áres. L definición de integrl se hce con un procedimiento de proximción medinte rectángulos. Dd un función f cotd en un intervlo cerrdo [, b], pr un prtición P = { = x 0 < x 1 < x 2 < < x n 1 < x n = b} del intervlo [, b], se definen ls sums inferiores y ls sums superiores de Riemnn medinte: s(f, P) = n m i (x 1 x i 1 ) y S(f, P) = i=1 n M i (x 1 x i 1 ). i=1

3 DEFINICIÓN DE INTEGRAL Se dice que un función cotd es integrble en [, b] si se cumple que sup P P s(f, P) = inf P P S(f, P) y este número común se escribe f (x)dx. NOTA: Si f es integrble en [, b] se tiene que f (x)dx = lim d(p) 0 n f (c i )(x i x i 1 ), i=1 pr culquier que se l elección de c i [x i 1, x i ]. TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES Si f es continu en [, b], existe c [, b] tl que f (x)dx = f (c)(b ).

4 El descubrimiento de Newton y Leibniz: el teorem fundmentl del cálculo. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Si f es continu en [, b], l función integrl F(x) = x f (t)dt es derivble en (, b) y su derivd es F (x) = f (x). REGLA DE BARROW Si f es continu en [, b] y G(x) es un primitiv de f (es decir G (x) = f (x)) se tiene f (x)dx = G(b) G(). CAMBIO DE VARIABLE EN LA INTEGRAL Si f y g son derivbles, prtir de l regl de l cden se demuestr que f (g(x))g (x)dx = g(b) g() f (u)du, lo que se interpret como l sustitución u = g(x), du = g (x)dx.

5 INTEGRACIÓN POR PARTES Si f y g son derivbles, prtir de l derivd de un producto se demuestr que f (x)g (x)dx = [f (x)g(x)] b g(x)f (x)dx. Ejercicio 1. Clcul el áre de un círculo de rdio R usndo integrción. Ejercicio 2. Clcul I = 1 0 x ln(1 + x 2 )dx. Ejercicio 3. Dd l función f (x) = 2x x dt t 4 +t 2 +1, x R estudie ls síntots y l monotoní de f. Dibuje proximdmente l gráfic de f. (Oposición Cstill y León, 2002)

6 L integrl pr clculr longitudes, volúmnes y superficies de cuerpos de revolución. LONGITUD DE UNA CURVA. L longitud de un curv puede proximrse por l longitud de un line quebrd que une los puntos (x i 1, f (x i 1 ) y (x i, f (x i ), i = 1, 2,..., n. L longitud de est líne quebrd es: n i=1 (x i x i 1 ) 2 + (f (x i ) f (x i 1 ) 2 = n (x i x i 1 ) 1 + [f (c i )] 2, i=1 con c i [x i 1, x i ], por el Teorem del vlor medio. LONGITUD DE UNA CURVA DERIVABLE L(f : [, b]) = 1 + [f (x)] 2 dx.

7 Ejercicio 4. Clcul l longitud de un circunferenci de rdio R. Ejercicio 5. Ls ecuciones prmétrics de un cicloide son x(t) = R(t sen t), y(t) = R(1 cos t). Hll l longitud del rco de cicloide entre los puntos A = (0, 0) y B = (2πR, 0).

8 VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN. Por el principio de Cvlieri V (f : [, b]) = π [f (x)] 2 dx. Ejercicio 6. Clcul el volumen de un esfer de rdio R.

9 SUPERFICIE LATERAL DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN. SL(f : [, b]) = 2π f (x) 1 + [f (x)] 2 dx. Ejercicio 7. Clcul l superficie de un esfer de rdio R. Ejercicio 8. Prueb que el volumen del sólido de revolución generdo por l gráfic de y = 1/x en [1, ) es finito, pero su superficie lterl no es finit.

10 Cálculo proximdo de l integrl. L regl del trpecio. Si I(f ) = f (x)dx no puede clculrse medinte primitivs o con regls de integrción, un solución es buscr un proximción. Con l proximcion linel de l figur se obtiene l regl del trpecio: T 1 (f ) = (b ) f (b)+f () 2. Si el intervlo [, b] se divide en n subintervlos igules cd uno de longitud h = (b )/n se consigue l regl del trpecio: T n (f ) = h[ 1 2 f (x 0) + f (x 1 ) + + f (x n 1 ) f (x n)] con x j = + jh, j = 0, 1, 2,..., n. Si f C 2 ([, b]), I(f ) T n (f ) = h2 (b ) 2 f (c n ) con c n [, b].

11 L regl de Simpson (Thoms Simpson, ). Con un proximcion cudrátic como en l figur se obtiene l regl del Simpson: S 2 (f ) = (b ) [f () + 4f ( + b 6 2 ) + f (b)]. Si el intervlo [, b] se divide en 2n subintervlos igules cd uno de longitud h = (b )/2n se consigue l regl de Simpson: S 2n (f ) = h 3 [f (x 0)+4f (x 1 )+2f (x 2 )+4f (x 3 )+ +4f (x 2n 1 )+f (x n ))] con x j = + jh, j = 0, 1, 2,..., 2n. ERROR Si f C 4 ([, b]), I(f ) S 2n (f ) = h4 (b ) 180 f (4) (c n ) con c n [, b].