Integración numérica: Regla del trapecio Método de Romberg

Transcripción

1 Clse No. 18: MAT 251 Integrción numéric: Regl del trpecio Método de Romberg Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 14

2 Integrción numéric Dd un función f : [, b] R continu, queremos clculr l integrl definid de f en [, b]: b f (x) dx Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 14

3 Integrción numéric Dd un función f : [, b] R continu, queremos clculr l integrl definid de f en [, b]: Por el teorem fundmentl del cálculo, si F es un primitiv de f, entonces b f (x) dx = F(b) F(). Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 14

4 Integrción numéric Dd un función f : [, b] R continu, queremos clculr l integrl definid de f en [, b]: Por el teorem fundmentl del cálculo, si F es un primitiv de f, entonces b f (x) dx = F(b) F(). No siempre se conoce un primitiv de f. L lterntiv es relizr un estimción del vlor de l integrl. En l práctic, sólo se us el vlor de l función f en lgunos puntos del intervlo [, b] pr relizr el cálculo. Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 14

5 Aproximción por sums de Riemnn (I) Hcemos un prtición P del intervlo P n : = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b Definimos m i = min{f (x) : x i x x i+1 } M i = mx{f (x) : x i x x i+1 } n 1 n 1 L(f, P n ) = m i (x i+1 x i ), U(f, P n ) = M i (x i+1 x i ) c( 0.2, 2.5) b c( 0.2, 2.5) b Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 14

6 Aproximción por sums de Riemnn (II) Se tiene que L(f, P n ) U(f, P n ). Si n ument, L(f, P n ) debe umentr, mientrs que U(f, P n ) deberí decrecer. Tenemos que b L(f, P n ) f (x) dx U(f, P n ). Pr simplicr, podemos usr un prtición uniforme de modo que x i = + b i pr i = 0, 1,..., n. n Podemos proximr el vlor de l integrl como b f (x) dx 1 2 [L(f, P n) + U(f, P n )] El error más grnde que se comete con est proximción es 1 2 [U(f, P n) L(f, P n )] Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 14

7 Aproximción por sums de Riemnn (III) El problem de usr este enfoque es que necesitmos clculr el máximo y el mínimo de l función en cd subintervlo [x i, x i+1 ], lo cul no es práctico. Ejemplo: Al clculr l integrl de sin x de 0 π/2 se obtienen los siguientes resultdos: n L(f, P n ) U(f, P n ) Así, necesitmos otro tipo de proximciones de l integrl: que no requiern hcer cálculos complicdos sobre l función f, que dependn de evlur l función f en lgunos puntos, y que ese número de puntos no se demsido grnde. Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 14

8 Regl del trpecio (I) L regl del trpecio proxim l integrl por el áre del trpecio: xi+1 x i f (x) dx c( 0.2, 2.5) x i x i+1 I i = xi f (x) dx 1 c( 0.2, 2.2) x i 2 [f (x i) + f (x i+1 )](x i+1 x i ) Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 14

9 Regl del trpecio (II) Si tenemos l prtición = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b, Si definimos h = b n, entonces b n 1 f (x) dx = I i = Lo podemos reescribir como n 1 xi+1 b f () + f (b) f (x) dx h 2 x i = + b i pr i = 0, 1,..., n. n f (x) dx h n 1 [f (x i ) + f (x i+1 )] x i 2 n 1 + i=1 f (x i ) Ejemplo n L(f, P n ) U(f, P n ) Trpecio Aproximción de π/2 sin x dx Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 14

10 Regl del trpecio (III) Pr estimr el error que se comete con l regl del trpecio, se p i (x) el polinomio de grdo lo más 1 que interpol los puntos (x i, f (x i )) y (x i+1, f (x i+1 )). Entonces T i = xi+1 x i p i (x) dx = h 2 [p i(x i+1 ) p i (x i )] = h 2 [f (x i+1) f (x i )] De lo visto en l prte de interpolción, el error entre p i (x) y f (x) pr x [x i, x i+1 ] es f (x) p i (x) = 1 2 f (ξ x )(x x i )(x x i+1 ), pr lgún ξ x [x i, x i+1 ] xi+1 xi+1 I i T i = [f (x) p i (x)] dx = 1 x i 2 x i f (ξ x )(x x i )(x x i+1 ) dx Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 14

11 Regl del trpecio (IV) En cálculo, tenemos el siguiente resultdo: Si α(x) es continu en [, b] y β(x) es integrble en [, b] y no cmbi de signo, entonces existe c [, b] tl que b b α(x)β(x) dx = α(c) β(x) dx En nuestro cso, (x x i )(x x i+1 ) es no positiv [x i, x i+1 ] en y podemos suponer que f es continu. Entonces I i T i = f (ξ i ) xi+1 pr lgún ξ i [x i, x i+1 ]. Así, en todo el intervlo [, b], el error es n 1 (I i T i ) = h3 x i n 1 12 (x x i )(x x i+1 ) dx = h3 f (b )h2 (ξ i ) = 1 n 1 12 n 12 f (ξ i ) f (ξ i ). Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 14

12 Regl del trpecio (V) El promedio de ls segunds derivds es un vlor que está dentro del intervlo del vlor mínimo y máximo de f en [, b]. Como supusimos que f es continu, debe existir un vlor ξ [, b] tl que f (ξ) = 1 n 1 f (ξ i ). n Así, el error cometido por l regl del trpecio es (b )h2 f (ξ) 12 De este modo, si l discretizción se hce más fin, el error de l proximción se reduce. Pr un discretizción dd, podemos esperr que el error no se muy grnde si el rngo de vlores de f tmbién es pequeño. Ejemplo: Dr un vlor pr h, tl que el error cometido l estimr π/2 sin x dx con l regl de trpecio se menor que Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 14

13 Regl recursiv del trpecio (I) Pr un prtición en el que el número de subintervlos es 2 n, entonces h = (b )/2 n y podemos escribir l regl del trpecio de l siguiente form: b [f () + f (b)] n = 0 2 R(n, 0) = h 2 n 1 [f () + f (b)] + h f ( + ih) n > 0 2 i=1 Podemos dr un fórmul recursiv del método de trpecio: R(n, 0) = 1 2 n 1 2 R(n 1, 0) + h k=1 f ( + (2k 1)h) n > 0 Pr ver esto, prtimos de l identidd R(n, 0) = 1 2 R(n 1, 0) + R(n, 0) 1 2 R(n 1, 0) y entonces clculmos l expresión que está entre corchetes. Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 14

14 Regl recursiv del trpecio (II) Definimos C = h [f () + f (b)]. Entonces 2 2 n 1 R(n, 0) = h f ( + ih) + C i=1 Entonces 2 n 1 1 R(n 1, 0) = 2h f ( + 2jh) + 2C j=1 R(n, 0) 1 2 n 1 2 R(n 1, 0) = h i=1 2 n 1 1 f ( + ih) h j=1 2 n 1 = h f ( + (2k 1)h) k=1 f ( + 2jh) L ventj es que no tenemos que reevlur el integrndo en los puntos en donde y lo hemos evludo. Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 14

15 Método de Romberg (I) Este método produce un rreglo tringulr de l form R(0, 0) R(1, 0) R(1, 1) R(2, 0) R(2, 1) R(2, 2) R(3, 0) R(3, 1) R(3, 2) R(3, 3).... R(n, 0) R(n, 1) R(n, 2) R(n, 3) R(n, n) L primer column está dd por l proximciones de l integrl dd por l regl recursiv de trpecio. El resto de ls columns se obtienen por l fórmul de extrpolción... Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 14

16 Método de Romberg (II) 1 R(n, m) = R(n, m 1) + 4 m [R(n, m 1) R(n 1, m 1)] 1 con n 1, m 1. L expresión nterior se obtiene por l fórmul de extrpolción de Richrdson (no vist en clse). Ejemplo: Estimr π/2 sin x dx con el método de Romberg: 0 R(0, 0) = R(1, 0) = R(1, 1) = R(2, 0) = R(2, 1) = R(2, 2) = R(3, 0) = R(3, 1) = R(3, 2) = R(3, 3) = Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 14