(Ésta es una versión preliminar de la teoría del tema.)

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "(Ésta es una versión preliminar de la teoría del tema.)"

Cristina Roldán Saavedra
hace 7 años
Vistas:

1 Estudio de funciones periódics Ést es un versión preliminr de l teorí del tem. Un función fx se dice que es periódic de periodo cundo fx = fx +, x. Si se conoce fx en el intervlo [, ] su ciclo, se l conoce en tod l rect rel. A veces, se prefiere trbjr en el intervlo [, π]. Pr ello hy que relizr un cmbio de escl tl que t = πx/. Con este cmbio de escl, tods ls funciones periódics pueden tener un periodo π. Se fx integrble en [, + ]. Se verific entonces que + fxdx = fxdx, bst descomponer l primer integrl en dos: + fxdx = fxdx + + y hcer el cmbio de vrible x = + t en l segund integrl: fxdx + ft + dt = fxdx + Si, prticulrmente, = /, se tiene que: fxdx = / / fxdx 1 ftdt = fxdx fxdx 3 Independientemente de l periodicidd, si un función es impr fx = f x, x, cumple que fxdx, bst con descomponer l integrl en dos: fxdx = fxdx + y hcer el cmbio de vrible x = t en l segund integrl: fxdx f tdt = fxdx + fxdx 4 ftdt = 5 Esto implic que l integrl de un función impr en un intervlo simétrico es nul. Esto no ocurre con un función pr fx = f x, x. Sin embrgo, sí se cumple si fx es impr y periódic: / fxdx = = / fxdx 6 c 9 ecnun University of Nvrr 1

2 Estudio de funciones trigonométrics. Se estudirán hor ls funciones coskπx/ función pr y sinkπx/ función impr, con k N. El periodo A de ests funciones será un mgnitud no nul tl que kπ kπ cos x + A = cos x, x 7 Desrrollndo el primer término e igulndo los coeficientes de coskπx/ y sinkπx/, se lleg que A =. Análogmente pr sinkπx/, se lleg que A =. Alguns propieddes interesntes de ests funciones son que sinkπx/ dx = 8 por ser sinkπx/ un función periódic impr y que coskπx/ dx = 9 lo cul no ocurre como norm generl en ls funciones pres. Además sin kπx cosrπx dx =, k, r 1 por resultr un función impr el producto de un función pr y otr impr. El producto de dos senos: Y si k = r sin kπx sinrπx dx =, k r 11 El producto de dos cosenos: Y si k = r sin kπx dx =, k N 1 cos kπx cosrπx dx =, k r 13 cos kπx dx =, k N 14 Con ello, se h conseguido generr el siguiente conjunto de funciones πx πx 4πx 4πx {1, cos, sin, cos, sin,... } 15 c 9 ecnun University of Nvrr

3 Definiendo el producto esclr como f, g = fxgxdx 16 se tiene que el nterior conjunto de funciones form un bse ortogonl respecto de ese producto esclr, pues el producto esclr de culesquier dos funciones fx y gx, fx gx, d y Polinomio trigonométrico. 1, 1 = 17 kπx kπx cos, cos = 18 kπx kπx sin, sin = 19 Se fx un función periódic de periodo. Se pretende definir un polinomio trigonométrico qx de n términos, que proxime fx: fx qx = n + kπx k cos + kπx b k sin Pr determinr, k, b k, k = 1... n, el error cudrático medio E, k, b k h de ser mínimo, es decir E, k, b k = fx qx dx : mínimo = =, k = 1... n k =, k = 1... n b k 1 Con ello se genern n + 1 ecuciones pr determinr n + 1 incógnits: = = fx gx 1 dx = fxdx c 9 ecnun University of Nvrr 3

4 = = r r = = = b r b r = fx gx cos rπx dx rπx fx cos dx fx gx sin rπx dx rπx fx sin dx 3 4 Se v proceder hor l estudio del comportmiento de los coeficientes, k y b k, k N. / represent el vlor medio de l función fx en el intervlo [, ] y en tod l rect rel teorem del vlor medio: = 1 fxdx 5 Pr estudir el comportmiento de k, se plnte l siguiente integrl: / / Hciendo el cmbio de vrible x /k = u: / /k / /k f x kπx cos dx 6 k kπu f u cos + π du 7 y dándose cuent de que desplzmientos de igul mgnitud en los límites inferior y superior de l integrl en un ciclo de un función periódic no ltern el resultdo de l integrl, se lleg que Es decir: Sumndo: / k = = / k = / / kπu f u cos du = k / / / / f kπx fx cos dx x cos k kπx fx f x cos k dx kπx 8 9 dx 3 c 9 ecnun University of Nvrr 4

5 Cundo k, fx /k fx, es decir, el módulo de continuidd, wδ, x, de l función, definid como wx, δ = sup fx fx 31 x x <δ tiende. Por tnto, cundo k, k. Análogmente, cundo k, b k. Finlmente, se ceptrá sin demostrción que cundo n, fx qx: fx = + kπx kπx k cos + b k sin 3 Éste serí el desrrollo en serie de Fourier de un función periódic, como se verá más delnte. Volviendo l error cudrático medio: fx qx dx 33 si n. Como peculiridd, cbe señlr que ls funciones periódics pres sólo tienen términos en cosenos, k, b k =, mientrs que ls funciones periódics impres sólo tienen términos en senos b k, = k =. Si se plnte q xdx 34 y considerndo que kπx kπx {1, cos, sin, k = 1,,... } 35 formn un bse ortogonl respecto del producto esclr de funciones tl y como se hbí definido nteriormente, se lleg que q xdx = n + k + b k 36 Si se plnte hor fxqxdx 37 y considerndo l definición de, k y b k, se lleg que fxqxdx = n + k + b k q xdx 38 c 9 ecnun University of Nvrr 5

6 Por tnto: fx qx dx = = f xdx fxqxdx + q xdx = = f xdx L desiguldd de Bessel estblece que f xdx q xdx n + k + b k 39 4 Como se h deducido que k, b k cundo k, se puede obetener un vlor de n pr que l desiguldd se lo menor posible tolernci y se obteng un proximción de fx medinte qx mejor. Form exponencil complej de un función periódic. Antes que nd, unos conceptos necesrios: es el periodo; f = 1/, l frecuenci; ω = π/ = πf, l pulsción nturl, que coincide con el primer rmónico; ω es el segundo rmónico y kω es el k-ésimo rmónico. De cuerdo con esto, l expresión de qx es qx = n + k coskω x + b k sinkω x 41 Cunto myor es el orden del rmónico, menor es el vlor del coeficiente socido ese rmónico k, b k si k. Es conocido que coskω x = 1 sinkω x = 1 i e ikω x + e ikωx 4 e ikω x e ikωx 43 Sustituyendo en l expresión de qx y grupndo términos, se tiene que qx = n + e ikωx k ib k + e ikωx k + ib k 44 Llmndo c k = k ib k 45 c 9 ecnun University of Nvrr 6

7 se tiene que Por tnto c k = k + ib k qx = n + c k e ikωx + 46 c k e ikωx 47 Además, k = k y b k = b k, con lo que c k = c k, lo que permite hcer lo siguiente: qx = c k expikω x 48 k= n con c = /. L nterior es l form compct de l form exponencil complej de un función periódic. Además, los coeficientes se clculn como c k = 1 fxe ikωx dx 49 Se puede demostrr que, si fx es pr, c k R b k =, mientrs que si fx es impr, c k I = k =. eorem de Fourier Se fx un función periódic y cotd es decir, puede ser discontinu en [, ]. Entonces, existe un serie de l form hx = + kπx kπx k cos + b k sin 5 que converge los vlores de fx donde l función es continu y fx + + fx / en los puntos donde l función es discontinu. Como y se h menciondo, si un función es pr tendrá un desrrollo en cosenos; si es impr tendrá un desrrollo en senos. Si l función es periódic de periodo y demás verific que fx = fx + /, x, entonces n 1 πx n 1 πx hx = n 1 cos + b n 1 sin n=1 n=1 Espectro de potenci y relción de Prsevl A prtir de l desiguldd de Bessel, se puede obtener que 1 f xdx n 4 + k + b k 51 5 El término /4 proporcion l potenci medi de l función. L potenci del primer rmónico será 1 + b 1/ y sí sucesivmente. Como k, b k cundo c 9 ecnun University of Nvrr 7

8 k, l potenci de rmónicos sucesivos v decreciendo. El espectro de potenci es un representción gráfic de l potenci socid un rmónico en función del orden de dicho rmónico. Con él es más sencillo elegir el orden de rmónico con el que l función está mejor representd tolernci. Si el desrrollo de fx se hce hst el infinito, l desiguldd de Bessel se convierte en l relción de Prsevl: 1 f xdx 4 + k + b k = k= c k 53 c 9 ecnun University of Nvrr 8

Documentos relacionados

Tema 7.- SERIES DE FOURIER Ampliación de Matemáticas. Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Electrónica Industrial.

Tema 7.- SERIES DE FOURIER Ampliación de Matemáticas. Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Electrónica Industrial. em 7.- SERIES DE FOURIER Amplición de Mtemátics. Ingenierí écnic Industril. Especilidd en Electrónic Industril. Índice. Series trigonométrics y series de Fourier. Coeficientes de Fourier. Series de Fourier