Derivación e integración

Transcripción

1 Cpítulo Derivción e integrción. Fórmuls de tipo interpoltorio En est sección nlizmos el problem de evlur cierto funcionl linel, L, prtir del conocimiento de funcionles lineles prticulres sobre f. Más precismente, se L : F R un funcionl rel sobre un conjunto de funciones y sen L i : F R i = 0,,, n funcionles conocidos ddos. Entonces, llmmos Fórmul Numéric pr L (f l expresión: L (f = donde R (f represent el error de l fórmul. α i L i (f. Así, podemos escribir, α i L i (f + R (f (. Como csos prticulres de nuestro interés son ls fórmuls de derivción e integrción numérics (D.N. e I.N.. Tenemos un problem de D.N. cundo pretendemos evlur l derivd de un orden ddo de un función en un punto prtir del conocimiento de ciertos dtos conocidos de l función. Más concretmente, un F.D.N. pr clculr l derivd primer en un punto de f(x conocidos los vlores de ést en puntos x 0, x,..., x n es un expresión del tipo: f ( = α i f (x i + R (f (. Aquí, L (f = f ( y los funcionles L i (f = f (x i i = 0,,..., n. Los funcionles utilizdos en (0. son los más usules en un problem de derivción numéric y suelen denominrse de tipo lgrngino. Otro ejemplo clásico de fórmuls del tipo (. es l Integrción Numéric. Así, tenemos un fórmul de I.N. cundo pretendemos evlur ciert integrl definid prtir de ciertos dtos conocidos de un función. De form similr l cso de D.N. si se conocen los vlores de f en x 0, x,..., x n entonces un fórmul de I.N. clásic es del tipo: f (x dx = (hor, el funcionl es L (f = f (x dx y L i (f = f (x i i = 0,,..., n. α i f (x i + R (f (.3

2 Derivción e integrción. Resumen. En el cso de l I.N. es, tmbién, hbitul utilizr funcionles lineles prticulres diferentes los de tipo lgrngino; p.e. vlores de l derivd en nodos ddos; sber, f (x dx = ( αi f (x i + β i f (x i + R (f Ahor bien, cómo se obtienen fórmuls prticulres que tengn propieddes de interés? Un respuest es utilizr criterios de interpolción, exctitud en cierto espcio de funciones elementles, etc,.. Pues bien, nos ocupremos de ls llmds fórmuls de tipo Interpoltorio. Definición. Se dice que l fórmul (. es de tipo Interpoltorio Clásico si es obtenid prtir del polinomio interpolnte de f; es decir, es del tipo: ( L (f = L (p + R (f α i L i (f = L (p (.4 donde, p P n tl que L i (p = L i (f i = 0,,..., n Además, usndo l fórmul de interpolción de Lgrnge, se obtiene: α i = L (l i (x i = 0,,..., n donde l i (x i = 0,,..., n son los polinomios básicos de Lgrnge. Definición. Diremos que l fórmul (. es exct pr ϕ sii R (ϕ = 0. Se dice que un fórmul tiene grdo de exctitud m sii l fórmul es exct pr {, x,..., x m } y R ( x m+ 0. Teorem. Un fórmul (. es de tipo interpoltorio si, y sólo si, tiene grdo de exctitud l menos n (l fórmul es exct en P n Este resultdo nos indic cómo podemos obtener fórmuls del tipo (.4 sin más que resolver el sistem linel (n + (n + que result de imponer exctitud pr ls funciones {, x,..., x n }. En (.4 es sencillo obtener un expresión del error, R(f, prtir del error de interpolción. Así, si E I (f = f p es el error de interpolción, entonces: R (f = L (f L (p = L (f p = L (E I (f por l linelidd es decir, el error de l fórmul es el operdor L plicdo l error de interpolción.

3 Apuntes de J. Lorente 3. Derivción numéric. Sensibilidd de ls fórmuls de derivción numéric Supongmos que desemos obtener un fórmul de D.N. de tipo interpoltorio pr clculr f (; entonces, ést será de l form: f ( = los coeficientes de l fórmul se pueden obtener como sigue: α i f (x i + R (f (.5 Si tommos los polinomios de Lgrnge, l i (x = α i = l i ( n j=0 j i x x j x i x j, socidos los nodos{x i }; entonces: Si usmos exctitud de l fórmul pr{, x,..., x n }; entonces, los coeficientes α i son l solución del sistem linel: x 0 x x n x n 0 x n x n n α 0 α. α n = 0. n n cuy solución existe y es únic si los nodos usdos son distintos. Otr form de determinr los coeficientes de l fórmul es usndo desrrollos de Tylor; sber, en cd nodo l función se puede escribir como: donde h i = x i. f (x i = f ( + f ( h i + f ( h i! + + f k ( hk i k! + + f m (θ i hm i m! desde est expresión deducimos l expresión socid l fórmul multiplicndo por los coeficientes y hciendo ls sums con,,,n dndo: α i f (x i = f ( α i + f ( α i h i + + f k ( k! α i h k i + + f m (θ i m! α i h m i Así, pr conseguir los coeficientes de l fórmul bst hcer cero los términos que corresponden derivds sucesivs slvo l de primer orden que se igul. Si lo que se dese es un fórmul de derivción numéric pr f k (, cómo procederímos? El método descrito en el epígrfe us l fórmul de interpolción de Lgrnge pr dr un expresión teóric sencill de los coeficientes pero, en l práctic, es mejor el uso de l fórmul de interpolción de Newton por ls propieddes de recurrenci que poseen ls diferencis dividids y tmbién por l sencillez

4 4 Derivción e integrción. Resumen. con l que se consigue el término de error. Así, si p n (x es el interpolnte de f(x en {x 0, x,..., x n } entonces: E I (f, x = f (x p n (x = f [x 0, x,..., x n, x] n (x x i Por lo tnto, pr funciones suficientemente derivbles, se puede obtener l expresión de error, pr l fórmul (.5, siguiente: R (f = E I (f x= = f n+ (θ (n +! Π ( + f n+ (θ (n +! Π ( (. donde Π (x = (x x 0 (x x (x x n. Alguns fórmuls hbitules. Ls fórmuls de derivción numéric clásics suelen usr un número pequeño de nodos (p.e.,, 3, 4 ó 5. Si considermos un fórmul del tipo (.5 con un solo nodo obtenemos: f ( α 0 f (x 0 = 0 por lo que es del todo inútil. Fórmuls con dos nodos (x 0, x : f ( f [x 0, x ] = f (x f (x 0 = f (x 0 + f (x x x 0 x x 0 x x 0 con error R (f = f 3 (θ 3! ( x 0 ( x + f (θ ( x 0 x Como csos prticulres de interés se tienen ls fórmuls con término de error siguientes: Fórmul de diferenci progresiv (, + h: f ( = Fórmul de diferenci regresiv (, h: f ( = Fórmul de diferenci centrd ( + h, h: f ( + h f ( h f ( f ( h h f (θ h + f (θ h f ( = f ( + h f ( h h f (θ 3 h Fórmuls con tres nodos (x 0, x, x : f ( f [x 0, x ] + f [x 0, x, x ] ( x 0 x con error R (f = f 4 (θ 4! Π ( + f 3 (θ Π ( 3!

5 Apuntes de J. Lorente 5 En este cso se tienen los csos prticulres siguientes: FÓRMULA PROGRESIVA (, + h, + h: con error f ( FÓRMULA REGRESIVA (, h, h: con error R (f = f (µ 3 h f ( FÓRMULA CENTRADA ( h,, + h: 3f ( 4f ( + h + f ( + h h R (f = f (θ h 3 3f ( 4f ( h + f ( h h Es l mism fórmul que l de dos puntos con h, + h EJEMPLO: fórmul usndo desrrollos de Tylor. Vmos deducir un fórmul de cutro nodos centrdos en ( h, h, + h, + h Los desrrollos que usmos son: f ( h = f ( f ( h + f ( h 4 3 f ( h f 4 (θ h 3 f ( h = f ( f ( h + f ( h! f ( h3 3! + f 4 (θ h4 4! f ( + h = f ( + f ( h + f ( h! + f ( h3 3! + f 4 (θ h4 4! f ( + h = f ( + f ( h + f ( h f ( h f 4 (θ h 3 Ahor, multiplicndo cd desrrollo por el coeficiente decudo y sumndo obtenemos: α 0 f ( h + α f ( h + α f ( + h + α 3 f ( + h = = f ( 3 α i + f ( h ( α 0 α + α + α 3 + +f ( h ( α 0 + α + α + α 3 + f ( h 3 ( 4 3 α 0 α + α α 3 + +h 3 ( 3 α 0f 4 (θ + 4 f 4 (θ α + 4 f 4 (θ α + 3 f 4 (θ α 3 Así, los coeficientes de l fórmul son l solución del sistem: α 0 + α + α + α 3 = 0 h ( α 0 α + α + α 3 = α 0 + α + α + α 3 = α 0 α + α α 3 = 0

6 Derivción e integrción. Resumen. cuy solución es: α 0 = h ; α = 8 h ; α = 8 h ; α 3 = h Por lo tnto, l fórmul serí: donde, R (f = f 5 (θ 30 h4 f ( = (f ( h 8f ( h + 8f ( + h f ( + h + R (f h (Observ que l fórmul tiene grdo de exctitud mximl=4. por qué?.. Errores y condicionmiento en l derivción numéric. L derivción numéric present dificultdes de estbilidd numéric cundo pretendemos obtener un lt precisión (lo que requiere un tmo de h pequeo. Si bien, en ls fórmuls descrits nteriormente, R (f h 0 0 vemos qué puede ocurrir, en l práctic, por ejemplo pr l fórmul de dos nodos: f ( = f ( + h f ( h h f (θ 3 h supongmos que en cd evlución de f se comete un error de redondeo cotdo por el vlor fijoε ; es decir, f ( + h = f ( + h + δ h ; f ( h = f ( h + δ h con δ h, δ h ε en consecuenci l evlur l fórmul de derivción numéric pr un h > 0 tendremos: f ( f(+h f( h h = f ( f(+h f( h+δ h δ h f ( f(+h f( h h + ε h = f (θ 3 h + ε h h M h + ε h sif estcot. por lo que se obtiene un cotción del error totl que depende de un término que tiende cero y otro que tiende infinito (si h 0; es decir, puede que hy inestbilidd numéric si usmos vlores de h muy pequeos. Cómo controlr l elección de h? Pr responder hgmos l función g (h = M h + ε h mínim. El vlor mínimo se consigue pr h = 3 3ε M 3 dndo un vlor mínimo pr l cot: g (h = 9ε M. Este cálculo nos dice que no es conveniente un elección de h mucho menor que el obtenido. Por ejemplo, si tommos M=0, ε = 0.0, l gráfic de g(h es:

7 Apuntes de J. Lorente 7 Figur.:.3 Integrción Numéric. Convergenci. Considermos en est sección fórmuls de tipo interpoltorio del tipo. f (x dx = α i f (x i + R (f (.7 Un fórmul como l de (.7 puede obtenerse medinte l integrción del polinomio de interpolción, por exctitud en P n o desde desrrollos de Tylor pr f(x decudos. Si p(x es el polinomio de interpolción de f(x en {x 0, x,..., x n } y l i (x los polinomios de Lgrnge, entonces l fórmul (.7 es: f (x dx = p (x dx + R(f = donde α i = l i(xdx y R(f = f[x 0, x,..., x n, x]π(xdx con Π(x = (x x 0 (x x (x x n Fórmuls con un nodo (x 0 : Cso generl: f(xdx (b f (x 0 α i f (x i + R (f (.8 con error R (f = f [x 0, x] (x x 0 dx Si x 0 = ó x 0 = b ls fórmuls se llmn del rectángulo izquierdo o derecho, respectivmente. Con x 0 =, si f(x es derivble, plicndo el T.V.M., entonces, R (f = Análogmnte, si x 0 = b, se deduce que: Si tommos x 0 = +b f [, x] (x dx =f [, µ] R (f = f [b, x] (x bdx =, obtenemos l fórmul del punto medio: ( + b f(xdx = (b f con término de error: R (f = (b 3 4 f (ξ (x dx = (b f (ξ + R(f (b f (ξ

8 8 Derivción e integrción. Resumen. Cómo se h llegdo l términio de error pr l fórmul del punto medio? Se x 0 = +b : = R (f = f [x 0, x] (x x 0 dx = f [x 0, x 0 ] (x x 0 + f [x 0, x 0, x] (x x 0 dx = 0 + = f [x 0, x 0, µ] ( x + b no se puede plicr el T.V.M. dx = f [x 0, x 0, x] (x x 0 dx = plicmos el T.V.M. (b 3 f (ξ 4 En este proceso se h utilizdo l ley de recurrenci pr ls diferencis dividids; es decir, f [x 0, x 0, x] = f [x 0, x] f [x 0, x 0 ] x x 0 f [x 0, x] = f [x 0, x 0 ] + f [x 0, x 0, x] (x x 0 (est metodologí será de utilidd pr l obtención del término de error en otrs ocsiones Fórmuls de dos y tres nodos: Trpecio y Simpson Fórmul del trpecio (us los nodos x 0 =, x = b: f(xdx = b con término de error: R (f = (b 3 f (ξ (f ( + f (b + R(f Fórmul de Simpson (us los nodos x 0 =, x = +b, x = b: ( ( + b f ( + 4f f(xdx = b y el término de error es: R (f = (b f iv (ξ + f (b + R(f Ests fórmuls se obtienen medinte interpolción o tmbién medinte exctitud. Vemos l de Simpson usndo exctitud; sber, formmos el sistem socido l exctitud pr {, x, (x } puesto que, inicilmente, grdo de exctitud teóric es : L fórmul es de l form: ( + b f(xdx α 0 f( + α f + α f(b entonces, exctitud pr f(x = dx = b = α 0 + α + α exctitud pr f(x = x (b b (x dx = = α + α (b exctitud pr f(x = (x (x ( dx = (b 3 3 = α b + α (b (.9 L solución del sistem (.9 es: α 0 = b, α = 4(b, α = b. Por lo tnto, se obtiene l fórmul de Simpson.

9 Apuntes de J. Lorente 9.4 Fórmuls de Newton-Cotes. Un fórmul de integrción numéric de tipo interpoltorio se llm de Newton-Cotes si dopt un de ls forms siguientes: Fórmuls Cerrds: f(xdx = α i f( + ih + R(f Fórmuls Abierts: n f(xdx = α i f( + ih + R(f donde h = b n Por lo tnto, ls fórmuls bierts usn los nodos interiores de un prtición uniforme del intervlo de integrción y ls cerrds usn todos los nodos de l prtición. Así, ls fórmuls del trpecio y Simpson son cerrds y l del punto medio es biert.

10 0 Derivción e integrción. Resumen..5 Fórmuls compuests Es sencillo verificr que ls fórmuls nteriores tienen problems de convergenci; es decir, no está segurdo que el umento de nodos en l fórmul conduzc l vlor excto de l integrl (recuerde lo visto en l interpolción polinomil. Ahor bien, si en lugr de considerr fórmuls globles pr un prtición dd del intervlo, se usn fórmuls simples en cd subintervlo tendremos ls llmds fórmuls compuests. De form más precis, se { = x 0, x,..., x n = b} un prtición del intervlo [, b] entonces, f(xdx = xi x i f(xdx = F i + R F C (f (.0 donde, F i represent l fórmul de I.N. pr el subintervlo [x i, x i ] y R F C (f es el error totl en l fórmul (.0 que puede obtenerse prtir de los errores pr F i ; es decir, R F C (f = R i (f (. Ejemplos (con prtición uniforme de pso h = b n : Notremos f i = f(x i y f i = f( x i +x i Fórmul del trpecio compuest: Ee el resultdo de relizr l sum de ls fórmuls F i = h (f i + f i ; es decir, cuyo error es ( f(xdx = h n f( + f i + f(b + R T C (f (. R T C (f = R i (f = h3 f (ξ i = nh3 f (b h (ξ = f (ξ Fórmul de Simpson compuest: Es el resultdo de relizr l sum de ls fórmuls F i = h (f i + 4f i + f i ; es decir, cuyo error es f(xdx = h ( f( + 4 f i n + f i + f(b + R SC (f (.3 R SC (f = R i (f = h5 880 f iv (ξ i = nh5 880 f iv (b h4 (ξ = f iv (ξ 880 Es sencillo demostrr que ls fórmuls compuests del trpecio y Simpson convergen l vlor excto de l integrl que proximn cundo h 0

11 Apuntes de J. Lorente. Fórmuls gussins En est sección nlizmos el grdo de exctitud que se puede lcnzr con F.I.N de tipo interpoltorio. Se sbe que el grdo teórico es n pero, cuál es el grdo rel de l fórmul? L respuest se encuentr en el siguiente teorem. Teorem. Dd l fórmul de I.N. (.7, se stisfcen:. El grdo máximo de exctitud es n +.. L fórmul tiene grdo de exctitud n + q (q si, y sólo si, se stisfce: b xj Π(xdx = 0 j = 0,..., q xq Π(xdx 0 (.4 donde Π(x = (x x 0 (x x (x x n Ahor, l pregunt es: existen fórmuls de tipo interpoltorio (.7 con el grdo máximo de exctitud? En definitiv, lo que estmos pidiendo es si podemos elegir los nodos de l fórmul de modo que (.4 se cumpl con q = n + ; es decir, x j Π(xdx = 0 j = 0,..., n (.5 Proposición. Existen (n + nodos únicos en el intervlo ], b[ pr los que se cumple (.5 En l práctic, pr obtener un fórmul con grdo máximo de exctitud no se resuelve directmente el sistem (.5 con incógnits los x i i = 0,,..., n sino en l form siguiente: Pso : Tommos Π(x = x n+ n x n x 0 y clculmos los coeficientes, resolviendo el sistem (n + (n + : x j+n+ dx = x j ( n x n + + x + 0 dx j = 0,..., n (. Pso : Clculmos ls ríces de Π(x = 0. Ests serán los nodos pr l fórmul. Pso 3: Por último obtenemos los coeficientes de l fórmul I.N. con nodos los del pso (pr ello podemos utilizr exctitud pr {, x,..., x n } L fórmul obtenid medinte los psos,,3 se conoce como fórmul Gussin de (n + -nodos. EJEMPLO. Pr clrr esto, vmos obtener un fórmul gussin con nodos; es decir, 0 f(xdx = α 0 f(x 0 + α f(x Pso : Tommos Π(x = x x 0 y clculmos los coeficientes, resolviendo el sistem : 0 x dx = 0 x + 0 dx 3 = + 0 cuy solución es: Π(x = x x + 0 x3 dx = 0 x + 0 xdx 4 = (.7

12 Derivción e integrción. Resumen. Pso : Ríces de Π(x = 0. Ests son: x 0 = 3 3, x = 3+ 3 Pso 3: Por último obtenemos los coeficientes de l fórmul I.N. con nodos los del pso (pr ello podemos utilizr exctitud pr {, x} ; es decir, cuy solución es: α 0 = α = 0 dx = α 0 + α 0 xdx = α 0x 0 + α x Por lo tnto, l fórmul obtenid es: 0 f(xdx = Fórmuls gussins clásics: [ f = α 0 + α = α 0 x 0 + α x (.8 ( f ( ] 3+ 3 Guss-Legendre: Son fórmuls gussins con intervlo de integrción [-,]; es decir, f (x dx = α i f (x i + R (f Guss-Chebyshev: Son fórmuls gussins con intervlo de integrción [-,] y función peso w(x = ; es decir, x w(xf (x dx = α i f (x i + R (f Error en un fórmul gussin. Si l fórmul del tipo f (x dx = n condiciones descrits, entonces es posible expresr el error como: suponiendo que f C n+ ([, b] OBSERVACIONES: α i f (x i + R (f es gussin; es decir, los nodos son elegidos en ls R(f = f n+ (ξ (n +! Π(x dx. Todo el desrrollo pr I.N. sigue siendo válido pr l obtención de fórmuls con función peso en el integrdo sin más que incluir en cd integrción tl función peso.. En cd cso, el polinomio clculr, Π(x, pr l fórmul gussin es el polinomio mónico de grdo n + ortogonl respecto del producto esclr socido l integrl que se proxim. Por ejemplo, si queremos un fórmul de Guss-Chebyshev pr dos nodos podemos tomr Π(x = T (x/ = x 3. Los coeficientes de un fórmul gussin son positivos y stisfcen l propiedd de simetrí siguiente: α j = α n j j 4. Los nodos de l fórmul (ordendos de menor myor son simétricos respecto del centro del intervlo de integrción. 5. Ls fórmuls gussins son convergentes ( si n pr funciones continus.