La Integral Definida

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1 Nivelción de Mtemátic MTHA UNLP ID Introducción Prtición L Integrl Definid Un prtición del intervlo [, b] es un sucesión de números = x x x x n = b, entre y b, tl que x i x i+ (i =,,, n ) Ejemplo: se llm prtición trivil cundo x = y x = b Sum de Riemnn Se f un función definid en el intervlo [, b] y continu Si c i es un punto entre x i y x i+, entonces se form l sum de Riemnn: f(c )(x x ) + f(c )(x x ) + + f(c n )(x n x n ) Sum Superior Se s i un punto entre x i y x i+ tl que f teng un máximo en el intervlo [x i, x i+ ], en otrs plbrs, f(x) f(s i ) pr x i x x i+ Entonces l sum U b (P, f) = f(s )(x x )+f(s )(x x )++f(s n )(x n x n ) = se llm sum superior socid con l función f y l prtición P n i= f(s i )(x i+ x i ) L sum de ls áres de los rectángulos sombredos es l SUMA SUPERIOR x x x x 4 b = x n Prtición del intervlo [, b] Si en lugr de elegir el máximo en cd intervlo, elegimos el mínimo, tenemos l sum inferior: 4 Sum Inferior Se t i un punto entre x i y x i+ tl que f teng un mínimo en el intervlo [x i, x i+ ], en otrs plbrs, f(t i ) f(x) pr x i x x i+ Entonces l sum L b (P, f) = f(t )(x x )+f(t )(x x )++f(t n )(x n x n ) = se llm sum inferior socid con l función f y l prtición P n i= f(t i )(x i+ x i )

2 Nivelción de Mtemátic MTHA UNLP ID L sum de ls áres de los rectángulos sombredos es l SUMA INFERIOR x x x x 4 b = x n Prtición del intervlo [, b] Qué ps con l sum superior y l sum inferior cundo se greg un nuevo punto l prtición? x x x b = x n x x x b = x n En el gráfico se puede ver que l gregr un punto x l prtición l sum superior decrece El siguiente teorem nos dice que l sum inferior crece y l sum superior decrece 5 Teorem Se f un función continu en el intervlo [, b] Se P = (x,, x n ) un prtición de [, b] Se x culquier número en el intervlo y se Q l prtición obtenid de P l gregr x (x,, x n ) Entonces 6 Corolrio L b (P, f) L b (Q, f) U b (Q, f) U b (P, f) Tod sum inferior es menor o igul que tod sum superior L pregunt nturl es: existe un único número entre ls sums inferiores y ls sums superiores? L respuest es si: Integrl definid Teorem Se f un función continu en el intervlo [, b] Existe un número único que es myor o igul que tod sum inferior y es menor o igul que tod sum superior

3 Nivelción de Mtemátic MTHA UNLP ID L integrl definid de f entre y b es el único número que es myor o igul que tod sum inferior y menor o igul que tod sum superior Se us como notción: f(x) Teorem : Se f un función continu en el intervlo [, b] Entonces ls sums inferiores L b (P, f) y ls sums superiores U b (P, f) se cercn rbitrrimente l integrl f(x) si l máxim longitud de los intervlos [x i, x i+ ] (tmño de l prtición P ) es suficientemente pequeño Teorem Fundmentl Propiedd Si M y m son dos números tles que pr todo x en el intervlo [, b], entonces Propiedd m(b ) m f(x) M f(x) M(b ) Si c es un punto del intervlo [, b], tenemos que c f(x) + c f(x) = f(x) Teorem 4 (Teorem fundmentl del clculo integrl) Se f un función continu en el intervlo [, b] Se F (x) = x f(x) Entonces F es diferencible y su derivd es F (x) = f(x) 4 Corolrio (Regl de Brrow) Sen F y f como en el Teorem 4, entonces f(x) = F (b) F ()

4 Nivelción de Mtemátic MTHA UNLP ID 4 5 Ejemplos Ejemplo : Clculr: π π/ cos x En este cso f(x) = cos x, entonces F (x) = sen x Según el Teorem 4 y su corolrio: π cos x = F (π) F ( π/) = sen(π) sen( π/) = ( ) = π/ Notción: π π/ Ejemplo : cos x = sen x π π/ = ( ) = Clculr: x { x si x Puesto que x = x + si x < Por l propiedd : Como x = x + x = x + + x + = x + x = / + ( ) = 9/ x = x x = 9/ (/ ) = Por lo tnto: x = 9/ + = / Integrles impropis x Integrl de funciones discontinus en un punto del intervlo de integrción ) Supongmos que f es un función continu en el intervlo < x b, (no es continu en x = y lím f(x) = ±) Pr todo número c tl que < c < b l x función es continu en (c, b) Se F un primitiv de f, o se F (x) = f(x) Entonces podemos evlur l integrl como de costumbre: f(x) = F (b) F (c) Definición: Si existe el límite c lím F (c) c entonces decimos que existe l integrl impropi f(x) y definimos: f(x) = lím f(x) = F (b) lím F (c) c c c ) Sucede lgo similr cundo consideremos un función continu en x < b(no es continu en x = b y lím f(x) = ±) Si existe el límite x b lím c b c f(x) = lím c b F (c) F ()

5 Nivelción de Mtemátic MTHA UNLP ID 5 decimos que existe l integrl impropi y es igul este límite ) Si l función es discontinu en un punto x = c interior l intervlo de integrción (, b) (lím x c f(x) = ±): f(x) = c f(x) + c N f(x) = lím f(x) + lím f(x) N c M c + M Integrl de funciones cundo el intervlo de integrción es infinito ) Se un número y f un función continu definid pr x Considerr l integrl B f(x) pr lgún número B > Si F (x) es un primitiv de f, entonces l integrl es igul F (B) F () Si tiende un límite cundo B se vuelve muy grnde, entonces definimos: B f(x) = lím f(x) B y decimos que l integrl impropi converge o existe De no ser sí, decimos que l integrl impropi no converge o no existe ) Se un número y f un función continu definid pr x Considerr l integrl B f(x) pr lgún número B < Si F (x) es un primitiv de f, entonces l integrl es igul F () F (B) Si tiende un límite cundo B se vuelve muy chico (grnde negtivo), entonces definimos: f(x) = lím f(x) B B y decimos que l integrl impropi converge o existe De no ser sí, decimos que l integrl impropi no converge o no existe ) Se un número y f un función continu definid pr todo x Si F (x) es primitiv de f(x) + f(x) = C lím f(x) + lím f(x) B B C + Diremos que l integrl impropi converge o existe si existen mbos límites Si lguno de los límites no existe l integrl impropi no converge o no existe Ejemplos: - Determinr si existe l integrl: + x = C lím C + x = Est integrl impropi no converge o no existe lím ln x C = lím (ln C ln ) = + C + C + - Determinr si existe l integrl; si existe clculrl:

6 Nivelción de Mtemátic MTHA UNLP ID 6 8 = x 8 + x N = lím x N 8 + lím x M + M x = = lím N x N + lím M + x 8 M = lím N ( N ( ) ) + lím M +( 8 M ) Ejercicios = + 4 = 9 Escribir ls sums inferior y superior pr ls funciones siguientes Usr un prtición tl que l longitud de cd subintervlo se ), b) 4 ) f(x) = x en el intervlo [, ] b) f(x) = /x en el intervlo [, ] Clculr ls integrles siguientes: () x 5 (b) x / (c) π π sen x (d) π/ π/ cos x (e) xe x (f) 5x Clculr ls integrles siguientes (en todos los csos grficr ls funciones): () (d) x e x (b) (e) π sen x (c) π π 4 + x (f) xe x (sen x + sen x ) 4 Hllr el áre de l región encerrd entre l curvs y = x e y = x, desde su primer punto de intersección pr x > 5 Hllr el áre de ls regiones encerrds entre ls curvs y = x e y = x 6 Hllr el áre de l región encerrd entre ls curvs y = x e y = x 7 Hllr el áre de l región encerrd entre ls curvs y = sen x e y = cos x, el eje y y el primer punto donde se intersecn ess curvs pr x > 8 Hllr el áre comprendid entre ls curvs y = x e y = x + 4 y el eje x 9 Hllr el áre comprendid entre ls curvs y = x e y = x y y = Hllr el áre de l región encerrd entre ls curvs y = x + ; y = ; x = Clculr el áre comprendid entre y = x +, y = 4 x Grficr

7 Nivelción de Mtemátic MTHA UNLP ID 7 Hllr el áre de ls regiones encerrds entre ls curvs y = ln x; x =,5; x = y el eje x Hllr el áre de l región encerrd entre ls curvs y = x y y = x Hllr el áre de l región encerrd entre ls curvs y = xe x ; x = y x = 5 Hllr el áre de l región encerrd entre ls curvs y = x ; y = x y x = 6 Mostrr que l integrl impropi no existe x 7 Determinr si existen ls siguientes integrles impropis, de ser sí, hllr sus vlores: ) x b) x c) / x/ d) g) + x e) e x f) lnx h) e x (x ) i) /4 (x ) 8 Estudir l convergenci de ls siguientes integrles de funciones del tipo f(x) = + x donde n es un número nturl: f(x) y f(x) (nlizr n que sucede pr vlores de n menores o myores que ) 9 Mostrr que l integrl impropi no existe x Determinr si existen ls siguientes integrles impropis, de ser sí, hllr sus vlores: ) x b) x c) / x/ d) g) + x e) e x f) lnx h) e x (x ) i) /4 (x ) Estudir l convergenci de ls siguientes integrles de funciones del tipo f(x) = + x donde n es un número nturl: f(x) y f(x) (nlizr n que sucede pr vlores de n menores o myores que )

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