6. Variable aleatoria continua

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1 6. Vrile letori continu Un diálogo entre C3PO y Hn Solo, en El Imperio Contrtc, cundo el Hlcón Milenrio se dispone entrr en un cmpo de steroides: - C3PO: Señor, l proilidd de sorevivir l pso por el cmpo de steroides es, proimdmente, de un entre HAN SOLO: No me hles de proiliddes!

2 Vrile letori continu versus discret. Consider el siguiente ejemplo: Tenemos dos ddos: el primero es un ddo convencionl que tiene 6 crs, tods ells equiproles. El segundo, es un ddo continuo, es decir, l tirr el ddo podemos otener culquier número rel comprendido en el intervlo [0,6]. Todos los números son equiproles. - Por Lplce, semos que en el primer cso, PX/6 - En el segundo cso, PX/ 0!! En generl, pr tod v.. continu X, l proilidd de que tome un determindo vlor, px, es simpre igul cero. Este hecho es, junto l uso de l integrl en lugr de sumtorios, l diferenci fundmentl entre mos tipos de vriles. Cómo clculr entonces proiliddes?

3 Función de densidd de proilidd L función de densidd per se NO ES UNA PROBABILIDAD Es decir, NO es verdd que f PX Recuerd que PX es siempre igul cero si X es un v.. continu. L proilidd de que X esté entre y se puede clculr como el áre que qued dejo de l curv f El áre delimitd por l curv f en el intervlor [,] se clcul como l integrl de l función en dicho intervlo. X f Al igul que l función de ms de proilidd, l función de densidd siempre tom vlores positivos. Pero, ddo que no es un proilidd, PUEDE TOMAR VALORES SUPERIORES A.

4 Imginemos un rulet de l fortun con un perímetro circulr de longitud. Como l flech puede señlr infinitos vlores no numerles, todo resultdo tiene proilidd 0. Cómo podemos definir entonces proiliddes? Podemos hcerlo signndo proiliddes intervlos, p. ej.: l proilidd de que el resultdo esté entre 0 y 0,5 es /, puesto que se trt de l mitd del círculo. Cómo podemos representrlo medinte un gráfic? p Áre 0 p < 0 > 4

5 p p 0 0 El áre sore un punto como, es cero. L proilidd de que otengmos un vlor entre y es -. 5

6 Función de distriución de un vrile letori continu Pr un vrile letori continu disponemos de un conjunto no numerle de vlores. No es posile definir un proilidd pr cd uno. Por eso definimos previmente l función de distriución de proilidd, que sí tiene un significdo inmedito y semejnte l cso discreto: F : R [0,] F P X 6

7 Definimos l función de distriución pr l vrile letori continu como: F p t dt R Donde p se llm función densidd de proilidd de l distriución F, es continu y definid no negtiv. Diferencindo tenemos: df d p pr cd donde p es continu. 7

8 Función de densidd de proilidd Es un función no negtiv de integrl. 0.5 Se puede pensr como l generlizción de un histogrm de frecuencis reltivs pr vrile continu P 0.0 F F p d

9 Oserv que: p v dv A prtir de l definición es fácil ver que: P X F De modo que l proilidd es el áre jo l curv densidd p entre y. F p v dv Not: pr culquier pr de vlores y, en el cso de un vrile letori continu, ls proiliddes correspondientes los intervlos < X, < X <, X < y X son l mism. No sí en vrile discret. 9

10 Supongmos que X tiene como función densidd p si - y cero en otro cso. Encuentr l función de distriución y ls proiliddes P-/ X / y P/4 X. Y tl que PX 0.95 F 0 si - F 0.75 v dv si - < F si >. P P 4 P X F F 0.75 v dv X X F F v dv F

11 Un crtero lleg cd mñn entre ls 8 y ls 0. Definimos X tiempo trnscurrido medido en hors hst que lleg el crtero. Por tnto, X está entre 0 y. Si l función de densidd de X es f k 0 Si X está entre 0 y En cso contrrio Clcul el vlor de k Cuál es l proilidd de que el crtero llegue entre ls 9 y ls 0? Cuál es l proilidd de que llegue ls 9 en punto? f d f d kd k] k 0 ; k / 0 0 / d / ] / /

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15 Espernz mtemátic o medi μ j j p j Distriución discret μ p d Distriución continu Decimos que un distriución es simétric si eiste un vlor c tl que pr cd rel : p c + pc -. Oserv que si un distriución es simétric con respecto c, entonces su medi µ es µ c. 5

16 Vrinz y desvición típic σ j j μ p j Distriución discret σ μ p d Distriución continu L desvición típic o estándr es el vlor positivo de l ríz cudrd de σ. Ams miden l dispersión de l distriución. Oserv que l vrinz siempre es σ > 0, ecepto pr un distriución con p en un punto y p 0 en el resto un delt de Dirc, en cuyo cso σ 0. 6

17 7 en otro cso 0 si, U p Distriución de proilidd uniforme U, Áre p Función de densidd de proilidd: R dt t p F > < F 0 Recordemos que l función de distriución se define como: Entonces:

18 8 en otro cso 0 si p > < F 0 Igulmente, prtiendo de l función de distriución: Podemos clculr l función de densidd de proilidd: p d df

19 Ejemplo: p pr pr 0 el resto de vlores Clcul l proilidd P 4 45 p Are P 45 4 P

20 Clcul l medi, l vrinz y l desvición típic de l distriución de proilidd uniforme. μ d + σ + d ; σ p σ / p σ 3/4 0-0 Not: Oserv que ests distriuciones tienen l mism medi pero distint vrinz. Myor vrinz implic myor dispersión lrededor de l medi. 0

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22 Momentos de orden k centrdos en el origen y en l medi. d p X E d p X E d p T X T E p X E p X E p T X T E k k k k j j k j k j j k j k j j j μ μ Distriución continu -μ μ Distriución discret Oserv que pr k : σ EX - µ Momentos de orden k

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25 Otrs medids de l nchur de l distriución: Desvición solut medi, Δ : N N i o i p d Intervlo R m min, Nivel de confinz l 68.3% [,] tl que: y el intervlo [,] es mínimo. p d Curtiles [,] tl que p d 0.5 y p d

26 Otros vlores típicos o medids del vlor centrl son: medin med / N + / N / + N + / si N es impr si N es pr Discr. F med P X P X 0.5 Cont. mod mod : es el vlor pr el cuál l distriución tom su máimo soluto. Siguen un orden lfético p df d F p t dt 6

27 Los momentos de orden superior son menos roustos y, por lo tnto, menos utilizdos 3 er momento: descrie l simetrí de l distriución. Asimetrí skewness m 3 N N i i 3 σ 3 4 o momento: descrie el plnmiento de l distriución. Kurtosis m 4 N 4 i i m σ N m 3 3 p d p d Se suele medir en un escl que tom 3 como su cero, y que éste es el vlor de l kurtosis de un distriución norml estándr Figs. Press et l., Numericl Recipes 7

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