X = x ) pierde su significado. Lo que se hace es sustituir la definida sólo para x,..., por una función f (x)

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1 rte Vriles letoris. Vriles letoris continus En l sección nterior se considerron vriles letoris discrets, o se vriles letoris cuo rngo es un conjunto finito o infinito numerle. ero h vriles letoris cuo rngo son todos los números reles de un intervlo ddo, es decir es un conjunto infinito no numerle. Ejemplos de vriles continus podrín ser : tiempo que trd en llegr un colectivo un prd Y: tiempo de vid de un fusile Como hor los vlores de un v.. continu no son contles no se puede hlr del i-ésimo vlor de l v.. por lo tnto p pierde su significdo. Lo que se hce es sustituir l i i, función p definid sólo pr,..., por un función f definid pr todos los vlores del rngo de. or lo tnto se d l siguiente definición de v.. continu Se un v... Decimos que es continu si eiste un función no negtiv f, definid sore todos,, tl que pr culquier conjunto B de números reles los reles B f d B O se que l proilidd de que tome vlores en B se otiene l integrr l función f sore el conjunto B. A l función f l llmmos función densidd de proilidd f.d.p.. Oservciones: - Como dee tomr lgún vlor rel, entonces dee cumplirse que f d - Si B es el intervlo rel [ ] { R; }, entonces B f d Notr que en este cso l proilidd de que tome vlores en el intervlo [, ] es el áre jo f entre - Si en l oservción nterior entonces f d Es decir l proilidd que un v.. continu tome lgún vlor fijdo es cero. or lo tnto, pr un v.. continu 6

2 rte Vriles letoris f d Función de distriución cumuld Se un v.. continu. Se define l función de distriución cumuld de revimos F.d. de como Si tiene f.d.p. f entonces F Además F f t dt f d f d f d F F Oservciones: - Si es un v.. con f.d.p. f función de distriución cumuld F entonces df d f t dt f d d donde F se derivle Es decir, se puede otener l función de densidd de prtir de su F.d.. - Como en el cso discreto vle Si entonces F F es decir F es un función creciente Y demás se cumple que lim F lim lim F lim f t dt f t dt f t dt f t dt Ejemplos: - Supongmos que es un v.. continu con f.d.p. dd por Cuál es el vlor de C? C 4 si Hllr > f cso contrrio c Hllr l F.d.. de 7

3 rte Vriles letoris Solución: or lo dicho en l oservción, se dee cumplir que f d, por lo tnto f d d C 4 d d C 4 d C Entonces 4 C 8 d C 4 Es útil hcer un gráfico de l densidd 8 C r clculr l proilidd que se mor que, plntemos 8 > 4 d c r clculr l F.d.. notr que tenemos tres csos:, >, por lo tnto si F 4t t dt si es decir 8 si > si F si 4 si > El gráfico de l F.d.. es Se podrí her clculdo l > prtir de l F.d.. de l siguiente form 8

4 rte Vriles letoris > F El tiempo de vid en hors que un computdor funcion ntes de descomponerse es un v.. continu con f.d.p. dd por hllr l F.d.. de..e si f Cuál es l proilidd que l computdor funcione si entre hors ntes de descomponerse? c Cuál es l proilidd que un computdor se descompong ntes de registrr hors de uso? d Cuál es l proilidd que ectmente de computdors se descompongn ntes de registrr hors de uso?. Asumir que ls computdors trjn en form independiente. Solución: Hcemos un gráfico de l densidd entonces oservmos clrmente que h dos csos considerr pr clculr l F.d..:. Si entonces F d Y si tenemos.t e.. F dt.e e..t dt e si F cso contrrio L gráfic de l F.d.. es Se pide clculr, lo hcemos con l F.d..: 9

5 rte Vriles letoris F F e. e..84 f c H que clculr F e. e.6 d odemos definir l v.. Y: número de computdores entre que se descomponen ntes de ls hors de uso Entonces Y ~ B,p donde p or lo tnto h que clculr! Y p p e e. 9897!!.6 Espernz de un vrile letori continu r un v.. discret l E se definió como l sum de los p. Si es un v.. continu con f.d.p. f, se define E sustituendo l sumtori por integrción p por f. i i i L espernz de un v.. continu con f.d.p. f se define como E f d Ejemplo: r cierts muestrs de minerles l proporción de impurezs por muestr, es un v.. con f.d.p. dd por Hllr l espernz de si f cso contrrio 6

6 rte Vriles letoris 6 Solución: Se plnte d E A menudo se dese clculr l espernz de un función de, Y h, esto se puede hcer hllndo previmente l densidd de Y luego clculr EY plicndo l definición nterior. Otr form de clculr EY sin hllr l densidd de Y está dd por el siguiente Dem. sin demostrción Ejemplo: En el ejemplo nterior supongmos que el vlor en dólres de cd muestr es h Y.. Encontrr l espernz de Y odemos hllr l espernz de Y encontrndo previmente su f.d.p. r esto se encuentr l F.d.. de Y, pr luego hllr l densidd de Y derivndo l F.d. Anotmos G g l F.d. de Y l densidd de Y respectivmente F Y G Donde F Entonces cso contrrio si f f F d d g O se cso contrrio 9 si g Ahor clculmos l Y E 46 9 d Y E Teorem: Si es un v.. continu con f.d.p. f h es culquier función de, entonces d f h h E

7 rte Vriles letoris Aplicndo el teorem nterior los cálculos se reducen: E Y E h 44 d 46 h 4 4 f Notr que de l mism form que en el cso discreto, si h, es decir si h es un función linel, plicndo ls propieddes de linelidd de l integrl tenemos E E En el ejemplo nterior se podí encontrr l espernz de Y hciendo 7 E Y E h E E 4 46 Vrinz de un vrile letori continu Se un v.. continu con f.d.p. f se E µ, entonces l vrinz de es [ µ ] µ V σ E f d L interpretción de l vrinz de un v.. continu es l mism que pr el cso discreto. Además sigue vliendo l iguldd V E µ ues en l demostrción hech pr el cso discreto si sustituen ls sumtoris por integrles. or l mism rzón, tmién vle que V σ V σ Ejemplo: Clculmos l vrinz de V Y V V E E µ 7 V 4 E Y d V Y 4 9 6

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