8 - Ecuación de Dirichlet.

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1 Ecuciones Diferenciles de Orden Superior Prte V III Integrl de Dirichle t Ing. Rmón scl Prof esor Titulr de nálisi s de Señles Sistems Teorí de los Circuit os I I en l UTN, Fcultd Regionl vellned uenos i res, rgenti n 006

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3 Ecuciones Diferenciles de Orden Superior. 8.3 Prte VIII - L Integrl de Dirichlet. Superficies Volúmenes. 8 - Ecución de Dirichlet Momento de un superficie respecto de los ejes de coordends: Consideremos el dominio, D, definido por el sistem de ecuciones: 0 0 que está representdo por el triángulo rdo en l figur siguiente: D = Se trt de clculr el momento de un cierto orden (En este cso, P Q) de l superficie de un dominio D, respecto de los ejes e. Dicho momento está definido por l ecución: - M = P. Q d. d = P d Q d (8.) D 0 0 Resolviendo l segund de ests integrles, encontrmos: - M = P d Q = P ( - ) Q d 0 Q 0 Q 0 Si recordmos l función et, o Eulerin de primer especie (Ver sección.3): Β ( α, β ) = t α - ( - t ) β - dt 0 l plicrl en este cso podemos hcer: M = Q Β ( P, Q ), de cuerdo con l (.4), que relcion ls funciones Β entre sí: R. scl - nálisis de Señles Sistems

4 Ecuciones Diferenciles de Orden Superior. 8.4 Prte VIII - L Integrl de Dirichlet. Superficies Volúmenes. Β ( α, β ) = ( α ). ( β ) ( α β ) podemos epresr M como: M = Β ( P, Q ) = ( P ). ( Q ) Q Q ( P Q 3 ) Recordndo l relción que eiste entre dos funciones cuos rgumentos son correltivos: ( Q ) = ( Q ). ( Q ) si reemplzmos simplificmos Q en numerdor denomindor, encontrmos finlmente que el momento de l superficie rd respecto de los ejes se puede epresr medinte l fórmul siguiente: M = ( P ). ( Q ) ( P Q 3 ) (8.) 8. - Integrl o Ecución de Dirichlet: En este prtdo vmos referirnos un ecución estrechmente relciond con l nterior, que se conoce como Integrl de Dirichlet. Consideremos un recinto R definido por ls ecuciones: 0 0 R Est ecución tiene como representción en el plno un sector uicdo en el primer cudrnte, como se ve en l figur djunt. En función de los vlores de,,, dicho sector puede ser un curto de elipse (), un curto de círculo, etc. e incluso puede, eventulmente, englor l triángulo del cso nterior. En todos los csos se verific que si () En cuo cso, = =.

5 Ecuciones Diferenciles de Orden Superior. 8.5 Prte VIII - L Integrl de Dirichlet. Superficies Volúmenes. = 0, entonces 0 si = 0, entonces 0 Por su prte, l ecución de l curv límite superior del recinto es: = (8.3) Clculremos, como en el cso nterior, el momento de l superficie R respecto de los ejes e : M = P. Q d. d (8.4) R En primer término epresremos l vrile "" en función de "". Pr ello, despejmos "" en l (8.3): = - = - / / L integrl de superficie que prece en l ecución (8.4) puede epresrse hor como un integrl dole, cuos límites son: Pr l primer integrl, lo lrgo del eje (Vése l figur del recinto), "0" "". Y pr l segund, "0" l curv límite, cu ecución está dd por l (8.5). Es decir: - (8.5) M = P. Q d. d = P d Q d (8.6) R 0 0 Pr simplificr, vmos llmr "v" l término encerrdo entre llves: / v = De donde: =. v / v = Hremos, tmién: u = De quí: v = - u, u v = (8.7) R. scl - nálisis de Señles Sistems

6 Ecuciones Diferenciles de Orden Superior. 8.6 Prte VIII - L Integrl de Dirichlet. Superficies Volúmenes. =. u / d = =. v / d = u (/) - d u =. -. u (- ) / d u v (/) - d v =. -. v (- ) / d v Y vimos que si = 0, entonces =. demás, prtir de ls ecuciones nteriores se verific que si =, u =. En ests condiciones, l integrl dole (8.6) puede epresrse sí: -u M = R 0 0 = P u P/. -. u (- ) / d u. Q v Q/. -. v (- ) / d v Operndo en ests integrles, se pueden simplificr como sigue: -u M = = P. Q -. - u [ (P ) / ] - d u. v [ (Q ) / ] - d v R 0 0 Osérvese l semejnz de est ecución con l (8.) con l slvedd que, en este cso, los eponentes en los integrndos, en lugr de P Q son, respectivmente: P - Q - Esto nos utoriz plicr el mismo resultdo (8.) que otuvimos en l sección nterior. Que, con l modificción indicd quí rri result: M = = R P. Q P Q P Q L ecución de Dirichlet puede generlizrse pr el cso de tres vriles, en cuo cso, pr el dominio elíptico en el espcio de tres dimensiones es c z C = cuo momento respecto de los ejes viene epresdo por l ecución:

7 Ecuciones Diferenciles de Orden Superior. 8.7 Prte VIII - L Integrl de Dirichlet. Superficies Volúmenes. se otiene M = P. Q. z R. d. d. d z V M = = V P. Q c R C P Q R C P Q R C Est integrl se conoce como Integrl de Dirichlet Volumen de un cuerpo: Como plicción, l ecución de Dirichlet puede emplerse pr clculr el áre o el volumen de cierts figurs o cuerpos geométricos. Se que, por ejemplo, queremos clculr el volumen de un esfer. Pr esto, prtimos del volumen correspondiente un octnte, luego lo multiplicmos por 8: r V r r z Pr clculr el volumen, deemos hcer P = Q = R = 0 L ecución del octnte de esferoide responde l ecución: c z C = R. scl - nálisis de Señles Sistems

8 Ecuciones Diferenciles de Orden Superior. 8.8 Prte VIII - L Integrl de Dirichlet. Superficies Volúmenes. El volumen del octnte de esferoide está ddo por l ecución de volumen (integrl triple) siguiente: V = z d d dz = V c C Si queremos clculr el volumen de l esfer, puesto que l ecución de ést es: C C z r r r = se hn de cumplir demás ls relciones siguientes: = = c = r = = C = Finlmente, el volumen V e de l esfer será: V e = 8 V Reemplzndo vlores, otenemos: V e = 8 r 3 = r 3 π V e = r 3 π 3 = 4 3 π 3 π r 3

9 Ecuciones Diferenciles de Orden Superior. 8.9 Prte VIII - L Integrl de Dirichlet. Superficies Volúmenes. plicciones Mtl Volumen de un esfer de rdio R: % Volumen de l esfer sms R =, =, C=; Ve = 8*R^3/^3*(gmm(.5))^3/gmm(///C) Ve = / *R^3 k = / k = Ve = k*r^3 Ve = 4/3*pi*R^3 Volumen de un esferoide: % Clculr el volumen de un esferoide de semiejes: = 4, = 3, c = = 4 = 3 c = =, =, C= = = C = V = 8*(**c)*gmm(/)^3 / ((**C)*gmm(///C)) V = Volumen generdo por l rotción de un superficie: % Se l práol = 3 - ^, de eje coincidente con, % Que rot lrededor de dicho eje, que está limitd por el eje. % Se trt de determinr el volumen del cuerpo generdo por dich rotción. % V = integrl (*^*d), entre 0 ríz de 3: 3-^ sms 3 % gráfic de l función ():.5 = 3 - ^ = 3 - ^.5 ezplot (, -.8,.8) grid R. scl - nálisis de Señles Sistems

10 Ecuciones Diferenciles de Orden Superior. 8.0 Prte VIII - L Integrl de Dirichlet. Superficies Volúmenes. % Cálculo del volumen del cuerpo de revolución: V = int (**pi,0,3^0.5) V = 9/4*pi Momento de inerci de un superficie respecto de uno de los ejes de coordends: % Clculr el momento de inerci de l superficie limitd por % L práol = ^, l rect = 4, con respecto l eje : % Suponer que l densidd es igul. % L ecución es: M = int (*^*d), entre - : sms = ^ = ^ % El áre indicd es: = 4^ - int (,,-,) = 3/3 % El Momento de Inerci de l superficie respecto del eje, por rzones % de simetrí, es igul l de l figur de ecución = - (4 - ^). Ver el gráfico: ezplot ('(- 4 ^)', -, ) grid (-4^) % Por lo tnto, el momento uscdo es: M = int ('(- 4 ^)*^',-, ) M = -8/

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