Taller de Álgebra. 0, 1, 2, 3, 4, 5, los llamamos enteros no negativos o números naturales 0.5, 0.333, 0.75, 0.875, 4.333

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1 Tller de Álger. Dr. Blnc M. Prr UIA Tijun 0. Números reles rect numéric. Números reles son todos los números que representmos en l rect numéric. A cd punto de l rect corresponde un número rel pr cd número rel h un punto en l rect. Entre los números reles encontrmos los siguientes tipos de números:. Números pr contr nrnjs, cnics, culquier cos del estilo: 0,,,,,, los llmmos enteros no negtivos o números nturles. Números pr contr ls prtes de un pi, ls prtes de un nrnj, ls prtes de un hor, etc.,,,,,. 8 9 etc Se llmn frcciones o números rcionles positivos. Ls frcciones tmién ls escriimos como números decimles: 0., 0., 0., 0.8,. Algunos son periódicos lgunos no, depende de l relción entre el numerdor el denomindor: numerdor denomindor. Números irrcionles: precen en l geometrí, en l nturle. Los utilimos en el cálculo de áres volúmenes, en ls tss de interés que pgn los ncos o que corn ls trjets de crédito, etc. Entre ellos están:, e,,,, etc. frcciones de ellos o multiplos de ellos.. Números negtivos: los utilimos pr mrcr temperturs por dejo del punto de congelción, ls profundiddes de los océnos, ls fechs nteriores l ncimiento de Cristo, los deudos que tenemos, etc. Los contdores los llmn números rojos. Están uicdos l ldo iquierdo del cero, en l rect numéric, geométricmente corresponden cd uno de los puntos representdos por los números positivos, pero del otro ldo de l rect. Todos estos números, en conjunto, formn los números reles. Pr trr un rect numéric mrcr correctmente los puntos que corresponden números reles ddos es necesrio: Primero: trr un rect mrcr un punto, que será el origen de ls mediciones l cul corresponde el numero cero. Segundo: Elegir l longitud de lo que considerremos l unidd (un distnci que representrá un unidd enter), medid prtir del cero hci l derech. El etremo derecho del segmento trdo corresponde l número uno.

2 Tercero: Repetir es unidd l derech del pr determinr el punto correspondiente l, luego l, etc. Curto: repetir l unidd del ldo iquierdo del cero pr determinr el punto correspondiente -, luego -, -, etc. Pr loclir ls frcciones: dividimos el segmento correspondiente un unidd (por ejemplo el segmento de 0 ) en tnts prtes como indique el denomindor de l frcción. Luego, reproducimos un de ess prtes, prtir de cero hci l derech, tnts veces como lo indique el numerdor de l frcción. En el ejemplo siguiente representmos /: El denomindor es, por lo que l unidd l dividimos en tres prtes igules ls que llmmos tercios. Cd prte mide / de unidd. Luego, el numerdor de l frcción es, por lo que juntmos de ess prtes pr uicr el punto correspondiente /. / de l unidd porque de 0 cen tres segmentos de l mism longitud. 0 / / =/ / / = / / Aquí uicmos el punto correspondiente /. Al uicr el numero / en l rect numéric, nos dmos cuent de que / = + /. Es común escriir esto de form mit (entero frcción): Ejercicio: En cd cso: tr un rect numéric siguiendo el procedimiento que hemos descrito. Sore es rect, represent el número indicdo. Cundo se decudo, escrie l frcción en form mit. ) / ) /8 c) - d) -/ e) - /

3 . Frcciones con el mismo denomindor (denomindor común). Sumr dos frcciones con el mismo denomindor es sencillo: Si tienes mitdes, gregs mitdes, en totl tendrás 9 mitdes: / + / = 9/ De l mism mner, si tienes curtos (curts prtes de lgo) te dn curtos (curts prtes de lo mismo), en totl tendrás 0 curtos (curts prtes): / + / = 0/ En cd cso, lo único que hcemos es sumr los numerdores, dejndo el mismo denomindor: / + / = ( + )/ = 9/ / + / = ( + )/ = 0/ De l mism mner summos frcciones lgerics con el mismo denomindor: / + c/ = ( + c)/ Decimos que hemos simplificdo ls sums dds. Simplificmos de l mism mner: Ponemos préntesis como medid de precución pr no equivocrnos con los signos de los términos que componen l epresión, sore todo cundo tenemos rests. Por ejemplo, l simplificr: Ejercicios: Simplific ls siguientes sums de frcciones: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ) 8 8 )

4 . Frcciones con diferente denomindor (uscr un denomindor común). Vimos que sumr dos frcciones con el mismo denomindor es sencillo, pero que h que tener cuiddo con los signos, que pr eso sirven los préntesis otros signos de grupción. El sunto hor es que veces tenemos que sumr frcciones con diferente denomindor: por ejemplo sumr ¾ /. Pr sumr frcciones con diferente denomindor primero tenemos que convertirls frcciones con el mismo denomindor. Cundo tengn el mismo denomindor, semos qué es lo que h que hcer. Entonces: si queremos sumr ls frcciones ¾ /, uscmos frcciones que sen equivlentes ls que tenemos, pero que tengn el mismo denomindor. Alguns frcciones equivlentes ¾ son: etc 8 Alguns frcciones equivlentes / son: etc Oservmos ls dos series de números vemos que: frcciones equivlentes que necesitámos. Así pues: 9 que 0 sí que tenemos ls Clro que podemos encontrr otrs frcciones equivlentes en ls lists que construimos. Por ejemplo, 8 0 que tmién es cierto que, de mner que tmién es cierto que: Y, l simplificr este resultdo, otenemos: es decir: el mismo resultdo

5 Se consiguen frcciones equivlentes con el mismo denomindor l multiplicr el numerdor el denomindor de un frcción por el denomindor de l otr. Oserv: Tenemos ¾ / Multiplicmos el numerdor el denomindor de ¾ por, que es el denomindor de /. Otenemos: 8 Y hor, multiplicmos el numerdor el denomindor de / por, que es el denomindor de /. Otenemos: 0 Y semos que Ectmente este procedimiento es el que llevmos co pr sumr frcciones lgerics. Vemos como funcion: Queremos sumr Primero, convertimos frcciones con igul denomindor, multiplicndo el denomindor el numerdor de un frcción por el denomindor de l otr frcción. ( ) () ( ) () ( ) () ( ) ( ) () ( ) ( ) () Y tenemos dos frcciones con el mismo denomindor. Oserv que NO desrrollmos el denomindor. Esto es pr simplificrnos l vid si l finl queremos simplificr el resultdo. Ahor: ( ( ) () ( ) () ) ( ) ( ) () ( ) () Recuerd: ) Utilimos préntesis pr no correr el riesgo de equivocrnos. ) Utilimos l propiedd distriutiv pr llevr co ls multiplicciones. ) Summos /o restmos los términos que son semejntes. ) Ls regls de operción con eponentes rdicles.

6 . Ls regls de operción con eponentes rdicles. Alrededor del siglo VI después de Cristo, un mtemático griego llmdo Diofnto rdicdo en Alejndrí, escriió unos liros que llmó Aritmétics. Eso es más o menos el inicio del álger en l form simólic. Al principio de sus Aritmétics, Diofnto hce un dedictori del trjo l re de su époc. En es dedictori le eplic de qué se trt el liro, cuáles son los principios ásicos. Porque si no entendemos el significdo, no entendemos ls operciones. Dice Diofnto: lo llmmos el cudrdo del vlor Diofnto sigue eplicndo hst l potenci 8, esperndo que el re h entendido estos principios ásicos. Eplic: Qué signific? Qué mners de descomponer podrís encontrr, siguiendo los ejemplos de Diofnto? En generl, Qué signific n? De est mner, siendo que lo llmmos el cuo del vlor lo llmmos l curt potenci o el icudrdo del vlor Entonces : ( ) ( ) Crees que el re h entendido cómo hcer más rápidmente ests multiplicciones? Cómo lo eplicrís en tus propis plrs? Según los ejemplos de Diofnto, Qué result de multiplicr dos potencis de un mism se? Si te quedó clro lo que signific multiplicr dos potencis de l mism se, entonces tmién podrás comprender porqué: 0 Cómo eplicrís, en tus propis plrs, est nuev regl? Según los ejemplos de Diofnto, Qué result de elevr un potenci, l potenci de un se?

7 Pero h más: se nos puede ocurrir simplificr. Qué hcemos? Pues plicr lo que Diofnto nos eplicó: Ests regls se plicn, culesquier que se los eponentes: enteros frcciones, positivos o negtivos. Entiendes ests regls? Ls puedes plicr? Ests regls suponen que ses sumr multiplicr enteros (positivos negtivos) frcciones (positivs negtivs). Pero eso lo hemos prcticdo. Por ejemplo, nos piden simplificr: Semos (por l primer regl) que tenemos que sumr los eponentes. Y semos que: Entonces: Ahor tienes que demostrr que entendiste ls regls. Ejercicios. Simplific, plicndo ls regls. Cundo se posile, simplific ls frcciones en los eponentes: Tre: De tu liro de teto, copi 0 ejercicios vridos de plicción de ls regls de eponentes que hemos revisdo quí. Resuélvelos entréglos con todos los cálculos que hs hecho, pero en limpio. Recuerd que es oligtorio escriir correctmente, orgnidmente completmente, sin omitir signos de iguldd. 8 8 c c c c c c c c c c d) c) ) 8 ) 8 e)

8 . Ls regls de operción con eponentes rdicles. Segund prte. En l sesión nterior, recordmos ls primers regls pr operr con potencis, sin importr que números sen los eponentes. En primer lugr, recordmos l definición de potenci: n... multiplicd por si mism n veces L regl ásic es: Multipliccion de potencis de l mism se n m nm Y prtir de est regl, genermos ls demás. El siguiente es un resumen de ls regls de operciones con potencis: Regls de operción con potencis : Definición: Si es un número rel diferente de cero, entonces 0 = Definición: Si es un número rel diferente de cero, entonces n = n Multiplicción de potencis de l mism se: n m = n+m División de potencis de l mism se ( 0): n m = n m Potenci de un potenci: n m = nm Potenci de un producto: n = n n Potenci de un cociente ( 0): n = n n Definición: Si r es un numero nturl mor que, entonces : r = r 8

9 . Multiplicción fctorición. Lo que hemos revisdo en ls sesiones nteriores: Ls operciones con frcciones con el mismo denomindor con denomindores diferentes. L propiedd distriutiv de l multiplicción sore l sum ( rest). Y l representción gráfic de l multiplicción. Ls propieddes de ls operciones con potencis. Ls operciones con rdicles, el uso de l fctorición de números enteros pr simplificr operciones con rdicles. Pr lo que sigue, es importnte que los conceptos procedimientos nteriores los entiends los pliques correctmente. Recuerd que l memori no es lo ms confile que h. Vmos plicr lo nterior pr revisr productos notles fctorición. Productos, productos notles. Si queremos visulir l multipliccion de ( + ) por ( +), semos que l podemos representr como: Otenemos cutro regiones: + Cu áre es por = 9 Cu áre por = + El áre de l figur complet (un rectángulo), se otiene de multiplicr ( + ) ( + ). Al oservr l figur, nos dmos cuent de que el áre totl es l sum de ls áres de ls prtes somreds: = Cu áre es por = 0 Cu áre es por = En conclusión: ( + ) ( + ) = Si entiendes esto, lo utilis, no h mner de que te equivoques l multiplicr inomios o trinomios, etc. 9

10 Vemos que result lo mismo si plicmos correctmente l propiedd distriutiv de l multiplicción sore l sum rest. L propiedd distriutiv de l multiplicción sore l sum (o rest) dice que: ( + c) = + c tmién: ( + c) = + c Entonces: pr multiplicr un sum (o rest) por un fctor, lo que hcemos es multiplicr cd uno de los términos de l sum (o rest) por el fctor. Apliquemos est propiedd l cálculo de ( + ) ( + ). Multiplicmos ( + ) por lo summos ( + ) por (primer plicción de l propiedd distriutiv) Ahor, l plicr nuevmente l propiedd distriutiv, otenemos: ( + ) = 9 + lo summos l resultdo de ( + ) = + 0 Entonces: ( + ) ( + ) = ( + ) + ( + ) = (9 + ) + ( + 0 ) = Como ves, otenemos ectmente el mismo resultdo que l relir el producto gráficmente. De nuevo, si plics correctmente l propiedd distriutiv, entonces no te podrás equivocr l multiplicr epresiones lgerics. Ejercicios. Clcul los siguientes productos sin equivocrte: ) ( )( ) ) ( )( ) c) ( d) ( )( ) e) ( )( ) f) ( )( ) )( ) c) ( )( ) En generl, cundo multiplics dos inomios, uno de cuos términos es común, otienes: ( )( ) ( ) Oserv que el resultdo otenido contiene el cudrdo del término común. 0

11 Est es l regl más generl, l plicmos muchísims veces pr relir rápidmente los productos de inomios que tienen un término común. Por ejemplo: ) ( )( ) ) ( )( ) () c) ( )( ) d) ( )( ) () ( ) ()() ( )() ( )() ( ) ()() 8 ( ) ()( ) 0 L regl siempre funcion cundo se trt de dos inomios que tienen un término común. Ejercicios: Aplic l regl pr clculr los siguientes productos: ) ( )( ) ) ( )( ) c) ( )( ) d) ( )( ) e) ) f) Tienes hor tres mners pr clculr este tipo de productos. Puedes utilir culquier de los métodos pr clculr estos productos o culesquier otros. Te recomiendo verificr siempre tus resultdos no depender de l memori. Ahor, si entendiste ien l regl generl pr multiplicr dos inomios con término común: 0 Y si l ses plicr correctmente, entonces tmién podrás utilir est mism regl pr ir en sentido contrrio: fctorir un epresión cudrátic. Es decir: fctorir un epresión lgeric formd por dos o tres términos, en l cul uno de ellos corresponde l cudrdo de lgo. Pero: Atención: no tods ls epresiones cudrátics se pueden fctorir. En prticulr, ls sums de cudrdos NO se fctorin. Vemos lgunos ejemplos: Ejemplo : Queremos fctorir 0 El cudrdo del término común es. Entonces los fctores que uscmos deen tener l form ( + ) ( + ). Y deemos uscr dos números:, tles que + = = 0. Qué números podrín ser? Como semos fctorir números enteros, semos que 0 =,

12 rápidmente nos dmos cuent de que tmién es cierto que + =. Entonces los números que uscmos son = =. Con lo cul: 0 ( )( ) Ejemplo : Queremos fctorir 8 8 El cudrdo del término común es. Entonces los fctores que uscmos deen tener l form ( + ) ( + ). Deemos uscr dos números:, tles que + = -8 = 8. Qué números podrín ser? Vemos que l sum de los números es + = -8, esto indic que l menos uno de los números, o, tendrí que ser negtivo. Pero l multiplicrlos deemos tener = 8, que es positivo, entonces los dos números,, deen ser negtivos, pr que su producto se positivo. Semos que 8 = tmién 8 = 9 9, rápidmente nos dmos cuent de que tmién es cierto que (-9) + (- 9) = -8. Entonces los números que uscmos son = -9 = -9. Con lo cul: 8 8 ( 9)( 9) Ejemplo : Queremos fctorir El cudrdo del término común es. Entonces los fctores que uscmos deen tener l form ( + ) ( + ). Ahor deemos uscr dos números:, tles que + = 0 = -. Qué números podrín ser? Vemos que l sum de los números es + = 0, porque no h término que conteng. Esto indic que los números, l sumrse, se deen nulr uno l otro. Eso lo logrmos si tienen el mismo vlor soluto (mism cntidd de uniddes) pero signos contrrios. Al multiplicr los números deemos tener = -, que es negtivo, lo cul concuerd con que son dos números de signo contrrio: uno positivo uno negtivo. Semos que = rápidmente nos dmos cuent de que (-) + = 0. Entonces los números que uscmos son = - =. Con lo cul: ( )( ) Recuerd que puedes verificr si fctoriste correctmente, rehciendo l multiplicción.

13 Ejercicios. Fctori utilindo ls regls (puede ser que solmente eist un fctor común). ) ) 8 c) d) 0 e) f) 8u g) h) i) 9 j). Resolución de ecuciones lineles. El prolem centrl del álger es l resolución de ecuciones. Un ecución es un especie de certijo: se trt de encontrr el vlor de l incógnit que hce que l orción escrit en símolos se verdder. Por ejemplo, l ecución = puede pensrse de l siguiente mner: Cuál es el número que si lo multiplicmos por, l resultdo le restmos nos d? O tmién: Pensé un número, lo multiplique por, l resultdo le resté me quedron. Cuál es el número que pensé? Un mner de simolirlo es l siguiente: - Un número L mner de resolverlo es regresándonos en el digrm, recordndo que l operción invers de l rest es l sum, que l operción invers de l multipliccion es l división:

14 De mner simólic lo que hcemos es lo siguiente. Tenemos = Como queremos despejr l incógnit, deemos sumr mos ldos de l ecución, otenemos: + = + Simplificmos mos ldos: = 8 Dividimos mos ldos entre : ( ) = 8 Y simplificmos: = 9 Oserv que si sustituimos el vlor = 9 en l ecución, otenemos: (9) = 8 =. Es decir, el vlor = 9 hce que l orción = se verdder. Cundo l ecución es más complej, plicmos literlmente el álger (plr que viene de l plr áre l-jr) en el sentido que Al-Khrimi le dio, como trnsponer reducir. Es decir: se trt de escriir de un ldo de l ecución linel todos los términos que contengn l incógnit del otro ldo todos los términos constntes (trnsponer). Pr reducir, ls operciones válids son: l sum, l rest, l multiplicción l división. Ejemplo. Queremos resolver l ecución = + De mos ldos de l ecución restmos. Otenemos: = + simplificmos - = Ahor, de mos ldos summos. Otenemos: - + = + simplificmos - = Multiplicmos por (-) mos ldos. Otenemos: (-)(-) = (-) () simplificmos = - Ahor verificmos que con este vlor, = -, l ecución se vuelve un identidd: (-) = (-) + Es decir: - = - + O se: - 8 = -8 que es un identidd. Esto signific que, efectivmente, el vlor = - es l solución de l ecución = +. Ejemplo. Podemos tener ecuciones que precen más complicds. Por ejemplo, queremos resolver: ( ) (- + ) =

15 Primero desrrollmos todo el ldo iquierdo plicndo l propiedd distriutiv, simplificmos. Otenemos: + = Es decir: = De mner que: = + = Finlmente: = / Verific que este resultdo es verddermente l solución de l ecución. Ejercicios: Resuelve ls siguientes ecuciones: En lgunos csos (como los últimos dos) primero tendrás que hcer ls multiplicciones simplificr pr luego poder resolver l ecución que result. Verific que el resultdo que otuviste es correcto. ) ) c) ( ) d) ( ) ( ) e) ( ) ( ) 0 f) g) h) 0.( ).. i) ( ) j) k) l) m) ( ) ( )(9 ) n) ( )( ) 0 ( ) 0

16 . Resolución de sistems de ecuciones lineles. Un ve que semos resolver un ecución linel, podemos resolver sistems de ecuciones lineles. Qué es un sistem de ecuciones lineles? Pues son ecuciones que vienen junts, que tienen ls misms vriles cus vriles solmente pueden estr elevds l potenci. Lo más importnte: cundo encontrmos un solución del sistem, es solución dee hcer que cd ecución del sistem se verdder. Por ejemplo: En cmio: 0 0 Es un sistem de dos ecuciones lineles. Ls dos vriles son. El eponente de cd un es, en cd ecución. Es un sistem linel de dos ecuciones con dos incógnits. Tmién decimos que es un sistem Es un sistem de tres ecuciones lineles. Ls tres vriles son,. El eponente de cd un es, en cd ecución. Es un sistem linel de tres ecuciones con tres incógnits. Tmién decimos que es un sistem Solución de un sistem de ecuciones lineles. H vrios métodos de solución de sistems de ecuciones lineles. Pr los csos los procedimientos son ronlemente simples. Pr sistems más grndes (más ecuciones más incógnits), eisten otros métodos que tendrás oportunidd de estudir en otros cursos. Al resolver un sistem linel se trt de uscr un vlor de cd vrile, que dee ser el mismo en cd ecución que hg que cd ecución se un orción verdder. Por ejemplo, en el sistem linel: L solución es = 8, =. Lo verificmos sustituendo esos vlores en cd un de ls dos ecuciones del sistem: En l primer: (8) () = = De mner que l orción representd por l ecución es verdder. En l segund: -(8) +() = = De mner que l orción representd por l ecución es verdder. Hemos verificdo que l solución del sistem es l prej de números = 8, =.

17 Método de igulción pr resolver un sistem linel. Lo que está en l se de culquier método es el hecho de que el vlor de que d respuest l sistem de ecuciones, dee ser ectmente el mismo pr ms ecuciones. Y lo mismo ocurre con el vlor de. Método de igulción. A prtir de lo que dijimos previmente, podemos despejr de cd ecución l mism incógnit: En el sistem: De l primer ecución despejmos, por ejemplo, el vlor de ; lo mismo hcemos de l segund ecución. Otenemos: De l primer ecución De l segund ecución Y puesto que el vlor de dee ser el mismo pr ls dos ecuciones, tenemos que: Y hor lo que tenemos que hcer es resolver est ecución. Como semos: ) Multiplicmos crudo: Y plicmos propiedd distriutiv: () 0 9 ( ) ) Ahor simplificmos: ) Ahor, con ese vlor de, clculmos el vlor de sustituendo en culquier de ls dos ecuciones en ls que despejmos, por ejemplo: (8) 8 Como símos, l solución del sistem es l prej de números = 8, =.

18 Ldo igul Altur igul Ejercicios: Utili culquier de los métodos que estudimos en clse pr resolver los siguientes sistems de ecuciones: ) 0 ) c) 0 8 d) e) f) 8 g) 8. Completr un cudrdo. Revisemos cómo l epresión lgeric + se puede reescriir completndo un cudrdo: + represent un cudrdo de ldo, ms rectángulos de se ltur. L sum de ls áres de ests figurs geométrics es +. Ldo igul Cd uno tiene se igul 8

19 Ldo igul Altur igul Ldo igul + Ldo igul + Los mismos + pero orgnidos pr completr un cudrdo cuo ldo será +. Ldo igul + Oserv que es l mitd de los rectángulos de áre = (porque necesitmos l mitd de los pr comodrlos los ldos del cudrdo que tenímos). Hemos completdo el cudrdo gregndo (sumndo) 9 uniddes. Pero son prestds tenemos que regresrls (restrls) pr quedrnos con lo que relmente tenemos. Entonces: Ldo igul + + = ( + + 9) 9 = ( + ) 9 Decimos que hemos completdo el cudrdo. Este proceso será mu importnte cundo quermos prender resolver culquier ecución cudrátic. Vemos otro ejemplo: Tenemos + queremos completr el cudrdo. + represent un cudrdo de ldo, ms rectángulos de se ltur. L sum de ls áres de ests figurs geométrics es +. Ldo igul Bse igul Cómo hcemos pr otener dos rectángulos igules que podmos comodr los ldos del cudrdo? Prtiendo el rectángulo que tenemos l mitd!. Otendremos dos rectángulos de se ½ ltur, los cules comodremos en dos de los ldos del cudrdo de ldo, pr ir completndo el cudrdo 9

20 Ldo igul + ½ Ldo igul + ½ Los mismos + pero orgnidos pr completr un cudrdo cuo ldo será + ½ Oserv que ½ es l mitd de los rectángulos de áre = (porque necesitmos l mitd de los pr comodrlos los ldos del cudrdo que tenímos). Ldo igul + ½ Ldo igul + ½ El cudrdito que estmos gregndo pr completr el cudrdo tiene un áre igul ½ ½ = ¼ de unidd. Hemos completdo el cudrdo gregndo (sumndo) ¼ de un unidd. Pero es prestd tenemos que regresrl (restrl) pr quedrnos con lo que relmente tenemos. Entonces: + = ( + + ¼ ) ¼ = (+ ½ ) ¼ Así, hemos completdo el cudrdo. Ejercicio. Se trt de completr el cudrdo, prtiendo de l epresión: + ) Diuj en tu cuderno, el cudrdo de ldo los rectángulos de se ltur, que representn l epresión + : ) Ahor, diuj cómo se comodn los rectángulos los ldos del cudrdo, pr comenr completr el cudrdo. c) Responde: Cuál será l medid del ldo del cudrdo que vs formr? d) Diuj el cudrdo completo. e) Cuánts uniddes gregste (sumste) pr completr el cudrdo? f) Ess uniddes que gregste, l finl hrá que regresrls (restrls) pr tener ectmente lo que tenímos l inicio. Entonces: + = ( + ) Verific este resultdo desrrollndo el inomio simplificndo, en tu cuderno. Dees otener +. 0

21 Ejercicio. Se trt de completr el cudrdo, prtiendo de l epresión: + ) Diuj en tu cuderno el cudrdo de ldo los rectángulos de se ltur, que representn l epresión + : ) Ahor, diuj cómo se comodn los rectángulos los ldos del cudrdo, pr comenr completr el cudrdo. Tom en cuent que será necesrio prtir l menos unos de los rectángulos: c) Responde: Cuál será l medid del ldo del cudrdo que vs formr? d) Diuj el cudrdo completo. e) Cuánts uniddes gregste (sumste) pr completr el cudrdo? Ess uniddes que gregste, l finl hrá que regresrls (restrls) pr tener ectmente lo que tenímos l inicio. Entonces: + = ( + ) Puedes verificr este resultdo desrrollndo el inomio simplificndo. Dees otener +. Ejercicio. Se trt de completr el cudrdo, prtiendo de l epresión: - Vmos hcerlo sin diujr: ) Tienes un cudrdo de ldo. Y tienes -, que h que reprtir en dos ldos del cudrdo. ) A cd ldo pondrás l mitd de - rectángulos de áre. L mitd de - es c) Pr completr el cudrdo, tienes que sumr el cudrdo de -/, es decir, tienes que sumr un cntidd igul (-/) =. d) Esto que sumste en el pso nterior, es lo que tomste prestdo pr completr el cudrdo, lo tienes que regresr (restr) l finl. De est mner: e) - = ( - ) Pr verificr que completste correctmente, desrroll simplific l epresión que otuviste l completr el cudrdo. Dees otener -. Ejercicios de tre: Complet los cudrdos de: ) + 8 ) + c) - 0 d) e) + 8 Dte cuent de que + 8 = ( +)

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