EXPRESIONES ALGEBRAICAS: MONOMIOS Y POLINOMIOS

Transcripción

1 EXPRESIONES LGERIS: MONOMIOS Y POLINOMIOS EXPRESIÓN LGERI.- Un epresión lgeric es culquier cominción de números letrs unidos por ls operciones ritmétics (sum, rest, multiplicción, división, potenci, (o) ríz). Ejemplo: z z Ls letrs que intervienen en cd epresión lgeric se llmn: vriles o indeterminds. (En el ejemplo:,, z) Los sumndos que formn prte de l epresión lgeric se llmn términos de l epresión lgeric. (En el ejemplo: z ; ; ; ; z son sus cinco términos) En cd término h que diferencir entre el resultdo de ls operciones con números, llmdo coeficiente, el resultdo de ls operciones con ls letrs, llmdo prte literl. (En el ejemplo, el término: z, tiene como coeficiente como prte literl z ) Tendremos en cuent que: El signo de multiplicción ( ) entre letrs o entre números letrs no suele ponerse, se soreentiende. (L epresión lgeric del ejemplo se suele escriir sí: z z ) El coeficiente no se escrie, se soreentiende, slvo que esté formndo un término él solo. (Por ejemplo l epresión:, se suele epresr sí: ) El eponente no se escrie, se soreentiende. Otros ejemplos de epresiones lgerics son: h (áre del rectángulo); l (áre del cudrdo); π r (longitud de l circunferenci); ; etc. Ejercicio.-En l siguiente epresión lgeric indic: ls vriles que intervienen, los términos que l formn el coeficiente l prte literl de cd uno de ellos. MONOMIOS.- Un monomio es un epresión lgeric formd sólo por el producto de un número (llmdo coeficiente) un o vris letrs elevds números nturles (llmd prte literl).

2 Ejemplos: ; ; h ; ; ; 7 ; 0 No son monomios: ; ; ; 7 Los monomios que están formdos solo por números (como 7, 0,, etc ) se llmn: monomios constntes. Grdo de un monomio es el eponente de l letr que form l prte literl, si solo h un, o l sum de los eponentes de tods ls letrs, si h más de un, siempre que el coeficiente del monomio se distinto de 0. Los monomios constntes (los números) tienen todos grdo 0 ( que por ejemplo: ) Slvo el monomio 0,que no tiene grdo (pues : , podemos poner culquier eponente). En los ejemplos nteriores de monomios, el grdo del º es:, el del º es:, el del º es: 7, el del º es:, el del º es:, el del º es 0, el último, l ser el 0, no tiene grdo Dos monomios son semejntes si tienen ectmente l mism prte literl (ls misms letrs, unque estén en distinto orden, con sus mismos eponentes). Ejemplos: 7 No son semejntes: Dos monomios son opuestos si son semejntes demás tienen sus coeficientes opuestos. Ejemplos: OPERIONES ON MONOMIOS. - Sum: L sum de dos o más monomios semejntes es otro monomio semejnte ellos (con l mism prte literl) cuo coeficiente es l sum de los coeficientes. L sum de dos monomios no semejntes se dej indicd. Ejemplos: 8

3 L sum cumple ls propieddes siguientes: onmuttiv: El orden de los sumndos no lter l sum. Ejemplo: ( ) en mos csos sle: socitiv: l sumr tres o más monomios d igul como los sociemos. Ejemplo: ( ) ( ) en culquier cso sle: Elemento neutro: ulquier monomio sumdo con el 0 sle él mismo. Ejemplo: etc Elemento opuesto: d monomio tiene su monomio opuesto (definido en l pregunt nterior) que cumple que l sumrlos sle el 0. Ejemplo: ( ) 0 0 etc. Rest: L rest de monomios se hce sumndo l primero el opuesto del segundo, es decir, se efectú restndo los coeficientes dejndo l mism prte literl, en el cso de que sen semejntes, dejndo l rest indicd en el cso de que no lo sen. Ejemplos: 8 ( ) ( ) 7 ( ) Pr efectur sums rests cominds de vrios monomios, se grupn en un solo monomio todos los que son semejntes se dejn indicdos los que no lo son. l relizción de est operción se le llm reducción de términos semejntes. Ejemplo: Reducir los términos semejntes: Multiplicción: El producto de dos monomios es otro monomio cuo coeficiente el producto de los coeficientes cu prte literl es el producto de ls prtes literles (que se puede epresr, pr cd vrile, dejndo l mism se sumndo los eponentes). Pr multiplicr no es necesrio que los monomios sen semejntes. Ejemplos: z z Se cumplen pr l multiplicción ls siguientes propieddes: onmuttiv: El orden de los fctores no lter el producto. Ejemplos: z z ( ) en mos csos sle: z socitiv: l multiplicr tres o más monomios d igul como los sociemos.

4 Ejemplo: ( ) ( ) en culquier cso sle: 0 Elemento neutro: ulquier monomio multiplicdo por sle él mismo. Ejemplo: 7 7 etc L propiedd que relcion l sum con el producto es: Distriutiv del producto respecto de l sum: Sle el mismo resultdo l multiplicr un monomio por l sum de otros dos, que l multiplicr el monomio por cd uno de los dos sumndos sumr sus resultdos. Ejemplos: ( ) ( ) que vle: ( ) que vle: Est propiedd leíd de derech izquierd se llm: scr fctor común. Ejemplo: Scr fctor común todo lo que se pued: ( ) División: Pr dividir dos monomios se dividen los coeficientes (el primero entre el segundo) ls prtes literles (que se puede epresr, pr cd vrile, dejndo l mism se restndo los eponentes). Ejemplos: z: ( ) z : ( ) Potenci de eponente nturl: Pr elevr un monomio un potenci se elev su coeficiente su prte literl, dicho eponente (que se puede epresr, pr cd vrile, dejndo l mism se multiplicndo los eponentes). Ejemplos: 8 ( ) 7 POLINOMIOS.- Un polinomio es l sum de vrios monomios. Ejemplo: Ejemplo: Pr nomrr cd polinomio se utiliz un letr múscul culquier, seguid de un préntesis en el que están metids tods ls vriles que intervienen en el polinomio, seprds por coms. En el ejemplo : (, ) se lee: de. En el ejemplo : ( ) (, ) P ( ) P se lee: P de :

5 omo en culquier epresión lgeric, cd sumndo se llm término o monomio del polinomio. d término se nomr por su grdo (En ( ) grdo,etc.) Entre todos los términos:,, es el término de grdo, es el término de o El que tiene mor grdo ( en (, ) ; en P ( ) ), se llm término principl su coeficiente ( en (, ), en P ( ) principl. o El término constnte ( en (, ) ; 0 en P ( ) grdo 0, si es distinto de 0; no tiene grdo si vle 0. ), que siempre es distinto de 0, se le llm coeficiente ), se llm término independiente. Tiene Los polinomios de un solo término se llmn monomios; los de dos términos se llmn inomios; los de tres términos, trinomios; de cutro o más términos no recien nomre específico (solo polinomio) Grdo de un polinomio: Es el grdo del término de mor grdo que teng (coincide con el grdo de su término principl). Ejemplo: (, ) ( ) Los polinomios pueden ser: P son los dos de grdo. o ompletos: Si tienen todos sus términos distintos de 0 (desde el término principl hst el término independiente). Ejemplo: Q ( ) o Incompletos: Si tiene lgún término (distinto del término principl) que se 0. R (le flt el término de º grdo) Ejemplo: ( ) Pueden estr: o Ordendos: En form decreciente: Si cd término tiene su grdo menor o igul que el del término nterior. Ejemplo: R ( ) En form creciente: Si cd término tiene su grdo mor o igul que el del término nterior. R Ejemplo: ( ) o Desordendos: Si no está ordendo ni en form decreciente ni creciente. Ejemplo: P ( )

6 VLOR NUMÉRIO DE UN POLINOMIO.- El vlor numérico de un polinomio, pr ciertos vlores de ls vriles, es el número rel que se otiene l sustituir en el polinomio cd vrile por su vlor correspondiente relizr con ellos ls operciones indicds en el polinomio. Ejemplo : El vlor numérico del polinomio ( ) P pr se clcul sí: P( ) ( ) ( ) ( ) 8 Luego P ( ) 8 H un vlor numérico diferente pr cd vlor de ls vriles. Ejemplo: lcul el vlor numérico de ( ) P pr. 8, se not: P ( ), OPERIONES ON POLINOMIOS.- Sum: L sum de dos polinomios es otro polinomio que se otiene escriiendo los términos del segundo continución de los del primero, reduciendo después los términos semejntes. Ejemplo: ( ) ( ) L sum cumple ls propieddes siguientes: onmuttiv: El orden de los sumndos no lter l sum: ( ) ( ) ( ) ( ) socitiv: l sumr tres o más polinomios d igul como los sociemos: [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] Elemento neutro: ulquier polinomio sumdo con el 0 sle él mismo: ( ) 0 ( ) Elemento opuesto: d polinomio tiene su polinomio opuesto que cumple que l sumrlos sle el 0: El polinomio opuesto de ( ) se not con ( ) ( ) ( ( ) ) 0 se otiene cmindo todos sus términos de signo. Ejemplo: El opuesto de Q ( ) es Q ( ) Rest: L rest de dos polinomios es otro polinomio que se otiene sumndo l primero el opuesto del segundo. Pr restr dos polinomios, se escrien los términos del segundo cmidos de signo continución de los términos del primero, después se reducen los términos semejntes.

7 Ejemplo: ( ) ( ) 7 Multiplicción: El producto de un monomio por un polinomio es el polinomio que se otiene multiplicndo el monomio por todos cd uno de los términos del polinomio. Ejemplo: ( ) 0 8 El producto de dos polinomios es otro polinomio que se otiene multiplicndo todos cd uno de los términos del primero por todos los términos del segundo, después se reducen los términos semejntes. Ejemplo: ( ) ( ) Se cumplen pr l multiplicción ls siguientes propieddes: onmuttiv: El orden de los fctores no lter el producto: ( ) ( ) ( ) ( ) socitiv: l multiplicr tres o más polinomios d igul como los sociemos: ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] Elemento neutro: ulquier polinomio multiplicdo con el sle él mismo: ( ) ( ) L propiedd que relcion l sum con el producto es: Distriutiv del producto respecto de l sum: Sle el mismo resultdo l multiplicr un polinomio por l sum de otros dos, que l multiplicr el polinomio por cd uno de los sumndos sumr sus resultdos: ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) Scr fctor común: L propiedd distriutiv leíd de derech izquierd se llm scr fctor común: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] Ejemplo : Etre fctor común todos los fctores posiles de: 7 ( ) 7 Ejemplo : Hz lo mismo con l epresión: 8 ( ) 8 Potenci de eponente nturl: Es el polinomio que se otiene multiplicndo el polinomio por si mismo tnts veces como indique el eponente.

8 Ejemplo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) IDENTIDDES NOTLES.- udrdo de un inomio: El cudrdo de l sum de dos términos o sumndos es igul l cudrdo del primer sumndo más el dole producto del primer sumndo por el segundo más el cudrdo del segundo sumndo. El cudrdo de l diferenci de dos términos es igul l cudrdo del primero de ellos menos el dole producto del primer término por el segundo más el cudrdo del segundo término. ( ) ± ± Demostrción: ( ) ( ) ( ) Gráficmente: ( ) es el áre del cudrdo de ldo ( ), que vemos que coincide con l sum de ls áres ( ) de los cudrdos de ldos respectivmente ls áres ( ) de los dos rectángulos de dimensiones, como se ve con l siguiente figur: ( ) ( ) ( ) Diferenci de cudrdos: L sum de dos términos multiplicd por l diferenci de mos es igul l diferenci de sus cudrdos. ( ) ( )

9 Demostrción: ( ) ( ) Ls identiddes notles se pueden utilizr: Leíds de izquierd derech: pr desrrollr Ejemplos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Leíds de derech izquierd: pr epresr con un producto de fctores (fctorizr): ( ) ( ) ( ) o Ejemplo: ( ) ( ) ( ) ( ) o Ejemplo: ( ) ( ) ( ) Ejemplo: ( ) ( ) FTORIZIÓN DE LGUNOS POLINOMIOS.- Podemos epresr lgunos polinomios como producto de dos o más fctores, scndo fctor común o usndo ls identiddes notles o medinte otros procedimientos que estudiremos en cursos superiores, que llmmos fctorizción del polinomio. Pr ello seguiremos el orden siguiente: º) Scmos fctor común todos los fctores posiles. º) Intentmos identificr lo que qued con lgun identidd notle Ejemplo: Fctorizr el polinomio ( ) ( ) DIVISIÓN ENTER DE POLINOMIOS.- Ddos dos polinomios, ( ) D ( ) d llmdos dividendo divisor, con ( ) 0 d ( ) ( ) ( ) ( ) d gr D gr, dividir el primero entre el segundo es encontrr otros dos polinomios (que son únicos), ( ) ( ) r, llmdos cociente resto, que cumplen:

10 . D ( ) d( ) ( ) r( ) (Dividendodivisor cocienteresto). ( r( ) ) grd( d( ) ) grd < (grdo del resto es estrictmente menor que el grdo del divisor) o ( ) 0 r (en este cso l división se llm ect) L división de polinomios, se reliz en generl de form precid l de números de vris cifrs, unque ls operciones que relizmos mentlmente con los números, ls vmos indicndo con los polinomios. El proceso es el siguiente: - Los polinomios dividendo divisor se ordenn en form decreciente, si flt lgún término del dividendo, en su lugr se pone un cero o se dej un hueco (esto no es necesrio en el divisor). - Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor, dndo lugr l primer término del cociente. - Se multiplic dicho término por el divisor se coloc dejo del dividendo con los signos contrrios (pr restrlo del dividendo), cuidndo que dejo de cd término se coloque otro semejnte. - Se sumn los polinomios colocdos l efecto, oteniéndose un polinomio de grdo menor l inicil. - Se continú el proceso de l mism form hst que el resto no se pued dividir entre el divisor por ser de menor grdo. Ejemplo : ( 7 ) : ( ) : es el primer término del cociente. ( ) se pone cmido de signo pr restrlo del dividendo: cuiddo de que cd término quede dejo del que se su semejnte, pr sumrlo con el dividendo., con L rest (o sum del opuesto) es un nuevo polinomio con el que se vuelve repetir el proceso; sí sucesivmente hst llegr l resto, que tiene su grdo estrictmente menor que el divisor r ( ) 7 ( )

11 so prticulr: Regl de Ruffini.- El grn mtemático itlino, Plo Ruffini (7 8) ideó un procedimiento esquemático pr hllr el cociente el resto de l división de un polinomio culquier por otro de l form ( ± ). Este procedimiento que tiene un disposición práctic mu simple, se conoce con el nomre de Regl de Ruffini. Vmos relizr l división del polinomio D ( ) entre ( ) L regl de Ruffini permite hcer l mismo de form esquemátic, siguiendo el siguiente procedimiento: -ompromos que el divisor es de l form: ± -Escriimos en fil solo los coeficientes del dividendo completo ordendo en form decreciente, si flt lgún término, se escrie como coeficiente correspondiente un cero: Dejo l izquierd, se escrie el término independiente del divisor cmido de signo: -Se hcen ls operciones de form esquemátic: -omprndo los resultdos con l división efectud con el procedimiento generl, el último número es el resto ( r ), los otros son los coeficientes del cociente ordendos en form decreciente cuo

12 grdo es siempre un unidd inferior l grdo del dividendo (grdo ). El cociente es entonces: ( ) Ejemplo: ( ) ( ) :